Вектор и градиент скаляра

Градиент скалярного поля и его физический смысл

В заключение рассмотрим меру скалярного поля, называемую градиентом, что в переводе с латинского означает шагающий или растущий. Термин впервые появился в метеорологии, а в математику и физику был введен Джеймсом Максвеллом, который предложил его обозначение в виде — grad.

Градиент — вектор, своим направлением указывающий направление наискорейшего возрастания некоторой физической величины, значение которой меняется от одной точки скалярного поля к другой, а по величине (модулю) равный быстроте роста этой величины в этом направлении.

Для раскрытия физического смысла градиента, рассмотрим пример скалярного поля, в котором изменяется один параметр — высота поверхности земли над уровнем моря (см. рис. 2.7). Тогда градиент в каждой точке поверхности будет показывать «направление самого крутого подъема», и своей величиной характеризовать крутизну склона.

Вектор и градиент скаляра

Рисунок 2.7 — Пример скалярного поля и его градиента.

Из рисунка видно, что операция градиента преобразует холм (слева), если смотреть на него сверху, в поле векторов (справа). Видно, что векторы направлены «в горку» и тем длиннее, чем круче наклон.

С математической точки зрения градиент — это производная скалярной функции, определенной на векторном пространстве. Для случая трехмерного пространства градиентом скалярной функции

Использовав в качестве единичных векторов векторы (орты) еЛЛ- 110 осям прямоугольных декартовых координат, получаем

Вектор и градиент скаляра

В общем, размерность вектора градиента определяется размерностью пространства (или многообразия), на котором задано скалярное поле, о градиенте которого идет речь.

Математический смысл градиента любой скалярной функции/в том, что его скалярное произведение с бесконечно малым вектором перемещения dx дает полный дифференциал этой функции при соответствующем изменении координат в пространстве, на котором определена/, то есть линейную часть изменения / при смещении на dx. Применяя одну и ту же букву для обозначения функции от вектора и соответствующей функции от его координат, можно написать: Вектор и градиент скаляра

Стоит здесь заметить, что поскольку формула полного дифференциала не зависит от вида координат лт.е. от природы параметров х вообще, то полученный дифференциал является инвариантом, то есть скаляром, при любых преобразованиях координат. В тоже время dx — это вектор, то градиент, вычисленный обычным образом, оказывается ковариантным вектором, т.е. вектором, представленным в дуальном базисе, какой только и может дать скаляр при простом суммировании произведений координат обычного (контравариантного) вектора, т.е. вектором, записанным в обычном базисе.

В различных отраслях физики используется понятие градиента различных физических полей. Например, напряженность электростатического поля есть минус градиент электрического потенциала, напряженность гравитационного поля (ускорение свободного падения) в классической теории гравитации есть минус градиент гравитационного потенциала. Консервативная сила в классической механике есть минус градиент потенциальной энергии.

Видео:Скалярные и векторные величины, основные определения.Скачать

Скалярные и векторные величины, основные определения.

Теории поля с примерами решения и образцами выполнения

Теория поля — крупный раздел физики, механики, математики, в котором изучаются скалярные, векторные, тензорные поля.

К рассмотрению скалярных и векторных полей приводят многие задачи физики, электротехники, математики, механики и других технических дисциплин. Изучение одних физических полей способствует изучению и других. Так, например, силы всемирного тяготения, магнитные, электрические силы — все они изменяются обратно пропорционально квадрату расстояния от своего источника; диффузия в растворах происходит по законам, общим с распространением тепла в различных средах; вид силовых магнитных линий напоминает картину обтекания препятствий жидкостью и т. д.

Математическим ядром теории поля являются такие понятия, как градиент, поток, потенциал, дивергенция, ротор, циркуляция и другие. Эти понятия важны и в усвоении основных идей математического анализа функций многих переменных.

Полем называется область V пространства, в каждой точке которой определено значение некоторой величины. Если каждой точке М этой области соответствует определенное число U = U(M), говорят, что в области определено (задано) скалярное поле (или функция точки). Иначе говоря, скалярное поле — это скалярная функция U(М) вместе с ее областью определения. Если же каждой точке М области пространства соответствует некоторый вектор Вектор и градиент скаляра, то говорят, что задано векторное поле (или векторная функция точки).

Примерами скалярных полей могут быть поля температуры (воздуха, тела, …), атмосферного давления, плотности (массы, воздуха, …), электрического потенциала и т.д. Примерами векторных полей являются поле силы тяжести, поле скоростей частиц текущей жидкости (ветра), магнитное поле, поле плотности электрического тока и т. д.

Если функция Вектор и градиент скаляране зависит от времени, то скалярное (векторное) поле называется стационарным (или установившимся); поле, которое меняется с течением времени (меняется, например, скалярное поле температуры при охлаждении тела), называется нестационарным (или неустановившимся).

Далее будем рассматривать только стационарные поля.

Если V — область трехмерного пространства, то скалярное поле U можно рассматривать как функцию трех переменных х, у, z (координат точки М):

Вектор и градиент скаляра

(Наряду с обозначениями Вектор и градиент скаляраиспользуют запись Вектор и градиент скаляра— радиус-вектор точки М.)

Если скалярная функция U (М) зависит только от двух переменных, например х и у, то соответствующее скалярное поле U(х; у) называют плоским.

Аналогично: вектор Вектор и градиент скаляра, определяющий векторное поле, можно рассматривать как векторную функцию трех скалярных аргументов Вектор и градиент скаляра

Вектор Вектор и градиент скаляраможно представить (разложив его по ортам координатных осей) в виде

Вектор и градиент скаляра

где P(x;y;z), Q(x;y;z ), R(x;y;z) — проекции вектора Вектор и градиент скалярана оси координат. Если в выбранной системе координат Oxyz одна из проекций вектора Вектор и градиент скаляраравна нулю, а две другие зависят только от двух переменных, то векторное поле называется плоским. Например, Вектор и градиент скаляра

Векторное поле называется однородным, если Вектор и градиент скаляра— постоянный вектор, т. е. Р, R и Q — постоянные величины. Таким полем является поле тяжести. Здесь Р = О, Q — О, R = — mg, g — ускорение силы тяжести, m — масса точки.

В дальнейшем будем предполагать, что скалярные функции (U(x;y;z) — определяющая скалярное поле, P(x;y;z), Q(x;y;z) и R(x; у; z) — задающие векторное поле) непрерывны вместе со своими частными производными.

Пример:

Функция Вектор и градиент скаляраопределяет скалярное поле в точках пространства, ограниченного сферой с центром в начале координат и радиусом R = 1; скалярное поле Вектор и градиент скаляраопределено во всем пространстве, за исключением точек оси Oz (на ней Вектор и градиент скаляра).

Пример:

Найти поле линейной скорости Вектор и градиент скаляраматериальной точки М, вращающейся против часовой стрелки с угловой скоростью Вектор и градиент скаляравокруг оси Oz (см. п. 7.4).

Решение:

Угловую скорость представим в виде вектора Вектор и градиент скаляра, лежащего на оси Oz, направленного вверх. Имеем:

Вектор и градиент скаляра

Построим радиус-вектор Вектор и градиент скаляраточки М (см. рис. 267).

Численное значение линейной скорости Вектор и градиент скаляра(модуль), как известно из курса физики, равно Вектор и градиент скаляра, где р — расстояние вращающейся точки M(x;y,z) от оси вращения (оси Oz).Но Вектор и градиент скаляра— угол между вектором r и осью Oz). Следовательно, Вектор и градиент скаляра

Вектор скорости Вектор и градиент скаляранаправлен в сторону вращения, совпадает с направлением векторного произведения Вектор и градиент скаляравекторы Вектор и градиент скаляраобразуют правую тройку). Следовательно, Вектор и градиент скалярат. е.

Вектор и градиент скаляра

или Вектор и градиент скаляра

Вектор и градиент скаляра

Поле линейных скоростей Вектор и градиент скаляратела, вращающегося вокруг неподвижной оси, есть плоское векторное поле.

Вектор и градиент скаляра

Видео:ГрадиентСкачать

Градиент

Скалярное поле

Поверхности и линии уровня:

Рассмотрим скалярное поле, задаваемое функцией U = U(x,y,z). Для наглядного представления скалярного поля используют поверхности и линии уровня.

Поверхностью уровня скалярного поля называется геометрическое место точек, в которых функция U(М) принимает постоянное значение, т. е.

Вектор и градиент скаляра

Давая в уравнении (70.1) величине с различные значения, получим различные поверхности уровня, которые в совокупности как бы расслаивают поле. Через каждую точку поля проходит только одна поверхность уровня. Ее уравнение можно найти путем подстановки координат точки в уравнение (70.1).

Для скалярного поля, образованного функцией

Вектор и градиент скаляра

поверхностями уровня является множество концентрических сфер с центрами в начале координат: Вектор и градиент скаляраВ частности, при с = 1 получим Вектор и градиент скаляра, т. е. сфера стягивается в точку.

Для равномерно раскаленной нити поверхности уровня температурного поля (изотермические поверхности) представляют собой круговые цилиндры, общей осью которых служит нить.

В случае плоского поля U — U(х; у) равенство U(x; у) = с представляет собой уравнение линии уровня поля, т. е. линия уровня —это линия на плоскости Оху, в точках которой функция U (х; у) сохраняет постоянное значение.

В метеорологии, например, сети изобар и изотерм (линии одинаковых средних давлений и одинаковых средних температур) являются линиями уровня и представляют собой функции координат точек местности.

Линии уровня применяются в математике при исследовании поверхностей методом сечений (см. п. 12.9).

Производная по направлению

Для характеристики скорости изменения поля U =U(М) в заданном направлении введем понятие «производной по направлению».

Возьмем в пространстве, где задано поле U = U(x;y;z), некоторую точку М и найдем скорость изменения функции U при движении точки М в произвольном направлении Вектор и градиент скаляра. Пусть вектор Вектор и градиент скаляраимеет начало в точке М и направляющие косинусы Вектор и градиент скаляра

Приращение функции U, возникающее при переходе от точки М к некоторой точке Вектор и градиент скалярав направлении вектора Вектор и градиент скаляраопределяется как

Вектор и градиент скаляра

Вектор и градиент скаляра

Вектор и градиент скаляра

Вектор и градиент скаляра

Производной от функции U = U(M) в точке М по направлению Вектор и градиент скаляраназывается предел

Вектор и градиент скаляра

Производная по направлению Вектор и градиент скаляраи характеризует скорость изменения функции (поля) в точке М по этому направлению. Если Вектор и градиент скаляра> 0, то функция U возрастает в направлении Вектор и градиент скаляра, если Вектор и градиент скаляра Вектор и градиент скаляра

где Вектор и градиент скаляра— бесконечно малые функции при Вектор и градиент скаляра(см. п. 44.3). Поскольку

Вектор и градиент скаляра

Вектор и градиент скаляра

Переходя к пределу при Вектор и градиент скаляраполучим формулу для вычисления производной по направлению:

Вектор и градиент скаляра

В случае плоского поля U = U(x;y) имеем:

Вектор и градиент скаляра

Формула (70.2) принимает вид:

Вектор и градиент скаляра

Замечание:

Понятие производной по направлению является обобщением понятия частных производных Вектор и градиент скаляраИх можно рассматривать как производные от функции и по направлению координатных осей Ох, Оу и Oz. Так, если направление Вектор и градиент скалярасовпадает с положительным направлением оси Ох, то, положив в формуле (70.2) Вектор и градиент скаляраполучим

Пример:

Найти производную функции Вектор и градиент скалярав точке М(0; 1; 2) в направлении от этой точки к точке Вектор и градиент скаляра
Решение:

Находим вектор Вектор и градиент скаляраи его направляющие косинусы:

Вектор и градиент скаляра

Находим частные производные функции и вычисляем их значения в точке М:

Вектор и градиент скаляра

Следовательно, по формуле (70.2) имеем:

Вектор и градиент скаляра

Поскольку jj^- Градиент скалярного поля и его свойства

В каком направлении Вектор и градиент скалярапроизводная Вектор и градиент скаляраимеет наибольшее значение? Это направление указывает вектор, называемый градиентом скалярного поля.

Можно заметить, что правая часть равенства (70.2) представляет собой скалярное произведение единичного вектора

Вектор и градиент скаляра

и некоторого вектора

Вектор и градиент скаляра

Вектор, координатами которого являются значения частных производных функции U(x,y,z) в точке M(x;y,z), называют градиентом функции и обозначают gradU, т. е. Вектор и градиент скаляра

Вектор и градиент скаляра

Отметим, что grad U есть векторная величина. Говорят: скалярное поле U порождает векторное поле градиента U. Теперь равенство (70.2) можно записать в виде

Вектор и градиент скаляра

Вектор и градиент скаляра

где Вектор и градиент скаляраугол между вектором grad U и направлением Вектор и градиент скаляра(см. рис. 269).

Вектор и градиент скаляра

Из формулы (70.3) сразу следует, что производная по направлению достигает наибольшего значения, когда Вектор и градиент скаляраТаким образом, направление градиента совпадает с направлением А, вдоль которого функция (поле) меняется быстрее всего, т. е. градиент функции указывает направление наибыстрейшего возрастания функции. Наибольшая скорость изменения функции U в точке М равна

Вектор и градиент скаляра

В этом состоит физический смысл градиента. На указанном свойстве градиента основано его широкое применение в математике и других дисциплинах.

Приведем важные свойства градиента функции.

1.Градиент направлен по нормали к поверхности уровня, проходящей через данную точку.

Действительно, по любому направлению вдоль поверхности уровня Вектор и градиент скаляраНо тогда из (70.3) следует, что Вектор и градиент скаляра

Вектор и градиент скаляра

Доказываются эти свойства на основании определения градиента. Докажем, например, последнее свойство. Имеем:

Вектор и градиент скаляра

Замечание. Приведенные свойства градиента функции остаются справедливыми и для плоского поля.

Пример:

Найти наибольшую скорость возрастания функции

Вектор и градиент скаляра

Решение:

Вектор и градиент скаляра

Наибольшая скорость возрастания функции равна

Вектор и градиент скаляра

Отметим, что функция U будет убывать с наибольшей скоростью Вектор и градиент скаляра, если точка А движется в направлении Вектор и градиент скаляра(антиградиентное направление).

Видео:Александр Чирцов: ротор, дивергенция и градиентСкачать

Александр Чирцов: ротор, дивергенция и градиент

Векторное поле

Векторные линии поля:

Рассмотрим векторное поле, задаваемое вектором Вектор и градиент скаляра. Изучение поля удобно начинать с понятия векторных линий; они являются простейшими геометрическими характеристиками поля.

Векторной линией поля Вектор и градиент скаляраназывается линия, касательная к которой в каждой ее точке М имеет направление соответствующего ей вектора Вектор и градиент скаляра.

Это понятие для конкретных полей имеет ясный физический смысл. Например, в поле скоростей текущей жидкости векторными линиями будут линии, по которым движутся частицы жидкости (линии тока); для магнитного поля векторными (силовыми) линиями будут линии, выходящие из северного полюса и оканчивающиеся в южном.

Совокупность всех векторных линий поля, проходящих через некоторую замкнутую кривую, называется векторной трубкой.

Изучение векторного поля обычно начинают с изучения расположения его векторных линий. Векторные линии поля

Вектор и градиент скаляра

описываются системой дифференциальных уравнений вида

Вектор и градиент скаляра

Действительно, пусть PQ — векторная линия поля, Вектор и градиент скаляра— ее радиус-вектор. Тогда вектор Вектор и градиент скаляранаправлен по касательной к линии PQ в точке М (см. рис. 270). В силу коллинеарности векторов Вектор и градиент скаляраследует пропорциональность их проекций, т. е. равенства (71.2).

Пример:

Найти векторные линии поля линейных скоростей тела, вращающегося с постоянной угловой скоростью Вектор и градиент скаляравокруг оси Oz.

Решение:

Это поле определено вектором Вектор и градиент скаляра(см. пример 69.2). Согласно (71.2), имеем:

Вектор и градиент скаляра

Интегрируя, получим: Вектор и градиент скалярат. е. векторные линии данного поля представляют собой окружности с центрами на оси Oz, лежащие в плоскостях, перпендикулярных к этой оси.

Поток поля

Пусть векторное поле образовано вектором (71.1). Для наглядности будем считать Вектор и градиент скаляравектором скорости некоторого потока жидкости, движущейся стационарно. Представим, что некоторая поверхность S находится в этом потоке и пропускает жидкость. Подсчитаем, какое количество жидкости протекает через поверхность S.

Выберем определенную сторону поверхности S. Пусть Вектор и градиент скаляра— единичный вектор нормали к рассматриваемой стороне поверхности S. Разобьем поверхность на элементарные площадки Вектор и градиент скаляраВыберем в каждой площадке точку Вектор и градиент скаляра(см. рис. 271) и вычислим значения вектора скорости Вектор и градиент скалярав каждой точке: .Вектор и градиент скаляра.

Вектор и градиент скаляра

Будем приближенно считать каждую площадку плоской, а вектор Вектор и градиент скалярапостоянным по модулю и одинаково направленным в каждой точке площадки. Тогда за единицу времени через Вектор и градиент скалярапротекает количество жидкости, приближенно равное Вектор и градиент скаляра— площадь i-й площадки,Вектор и градиент скаляра— высота i-гo цилиндра с образующей Вектор и градиент скаляра. Но Я, является проекцией вектора Вектор и градиент скалярана нормаль Вектор и градиент скаляра— единичный вектор нормали к поверхности в точке Вектор и градиент скаляра. Следовательно, общее количество жидкости, протекающее через всю поверхность S за единицу времени, найдем, вычислив сумму

Вектор и градиент скаляра

Точное значение искомого количества жидкости получим, взяв предел найденной суммы при неограниченном увеличении числа элементарных площадок и стремлении к нулю их размеров (диаметров Вектор и градиент скаляраплощадок):

Вектор и градиент скаляра

Независимо от физического смысла поля Вектор и градиент скаляраполученный интеграл называют потоком векторного поля.

Потоком вектора Вектор и градиент скаляра через поверхность S называется интеграл по поверхности от скалярного произведения вектора поля на единичный вектор нормали к поверхности, т. е.

Вектор и градиент скаляра

Рассмотрим различные формы записи потока вектора. Так как

Вектор и градиент скаляра

Вектор и градиент скаляра

где Вектор и градиент скаляра— проекция вектора а на направление нормали Вектор и градиент скаляра— дифференциал (элемент) площади поверхности.

Иногда формулу (71.3) записывают в виде

Вектор и градиент скаляра

где вектор Вектор и градиент скаляранаправлен по нормали к поверхности, причем Вектор и градиент скаляра

Вектор и градиент скаляра

— проекции вектора Вектор и градиент скалярана соответствующие координатные оси, то поток (71.3) вектора Вектор и градиент скаляра, можно записать в виде

Вектор и градиент скаляра

Используя взаимосвязь поверхностных интегралов I и II рода (см. формулу (58.8)), поток вектора можно записать как

Вектор и градиент скаляра

Отметим, что поток К вектора а есть скалярная величина. Величина К равна объему жидкости, которая протекает через поверхность S за единицу времени. В этом состоит физический смысл потока (независимо от физического смысла поля).

Особый интерес представляет случай, когда поверхность замкнута и ограничивает некоторый объем V. Тогда поток вектора записывается в виде

Вектор и градиент скаляра

В этом случае за направление вектора п обычно берут направление внешней нормали и говорят о потоке изнутри поверхности S (см. рис. 272).

Если векторное поле Вектор и градиент скаляраесть поле скоростей текущей жидкости, то величина потока К через замкнутую поверхность дает разность между количеством жидкости, вытекающей из области V (объема V) и втекающей в нее за единицу времени (в точках поверхности S, где векторные линии выходят из объема V, внешняя нормаль образует с вектором Вектор и градиент скаляраострый угол и Вектор и градиент скалярав точках, где векторные линии входят в объем, Вектор и градиент скаляра).

При этом если К > 0, то из области V вытекает больше жидкости, чем в нее втекает. Это означает, что внутри области имеются дополнительные источники.

Если К Вектор и градиент скаляра

Пример:

Найти поток вектора Вектор и градиент скалярачерез верхнюю сторону треугольника, полученного при пересечении плоскости Зх + 6у — 2z — 6 =0 с координатными плоскостями (см. рис. 274).

Решение:

Поток найдем методом проектирования на три координатные плоскости. Для этого воспользуемся формулой (71.5). В нашем случае Р = z, Q = —х, R = у. Имеем:

Вектор и градиент скаляра

Расчленим этот поверхностный интеграл на три слагаемых, затем сведем их вычисление к вычислению двойных интегралов. Нормаль к верхней стороне треугольника образует с осью Ох тупой угол, с осью Оу — тупой, а с осью Oz — острый угол. (Единичный вектор данной плоскости есть Вектор и градиент скалярана верхней стороне Вектор и градиент скалярапоэтому надо выбрать знак «минус»; получим:

Вектор и градиент скаляра

Итак, Вектор и градиент скаляраНаходимВектор и градиент скаляра

Вектор и градиент скаляра

В результате имеем: Вектор и градиент скаляра

Вектор и градиент скаляра

Пример:

Найти поток радиус-вектора Вектор и градиент скалярачерез внешнюю сторону поверхности прямого конуса, вершина которого совпадает с точкой O(0; 0;0), если известны радиус основания R и высота конуса H (см. рис. 275).

Решение:

Вектор и градиент скаляра

Очевидно, чтоВектор и градиент скаляра

Вектор и градиент скаляра

т. к. Вектор и градиент скаляра

Дивергенция поля. Формула Остроградского-Гаусса

Важной характеристикой векторного поля (71.1) является так называемая дивергенция, характеризующая распределение и интенсивность источников и стоков поля.

Дивергенцией (или расходимостью) векторного поля

Вектор и градиент скаляра

в точке М называется скаляр вида Вектор и градиент скаляраи обозначается символом Вектор и градиент скаляра, т. е.

Вектор и градиент скаляра

Отметим некоторые свойства дивергенции.

  1. Если Вектор и градиент скаляра— постоянный вектор, то Вектор и градиент скаляра
  2. Вектор и градиент скалярагде с = const.
  3. Вектор и градиент скалярат. е. дивергенция суммы двух векторных функций равна сумме дивергенции слагаемых.
  4. Если U — скалярная функция, Вектор и градиент скаляра— вектор, то

Вектор и градиент скаляра

Эти свойства легко проверить, используя формулу (71.6). Докажем, например, справедливость свойства 4.

Так как Вектор и градиент скалярато

Вектор и градиент скаляра

Используя понятия потока и дивергенции векторного поля, запишем известную в анализе (см. (58.9)) формулу Остроградского-Гаусса

Вектор и градиент скаляра

в так называемой векторной форме.

Рассматривал область V, ограниченную замкнутой поверхностью S, в векторном поле (71.1), можно утверждать, что левая часть формулы (71.7) есть поток вектора Вектор и градиент скалярачерез поверхность S; подынтегральная функция правой части формулы есть дивергенция вектора Вектор и градиент скаляра. Следовательно, формулу (71.7) можно записать в виде

Вектор и градиент скаляра

(в котором она чаще всего и встречается).

Формула Остроградского-Гаусса означает, что поток векторного поля через замкнутую поверхность S (в направлении внешней нормали, т. е. изнутри) равен тройному интегралу от дивергенции этого поля по объему V, ограниченному данной поверхностью.

Используя формулу (71.8), можно дать другое определение дивергенции векторного поля Вектор и градиент скалярав точке М (не связанное с выбором координатных осей).

По теореме о среднем для тройного интеграла (см. п. 54.1) имеем:

Вектор и градиент скаляра

где Вектор и градиент скаляра— некоторая (средняя) точка области V. Тогда формулу (71.8) можно переписать в виде Вектор и градиент скаляраОтсюда

Вектор и градиент скаляра

Пусть поверхность S стягивается в точку. Тогда Вектор и градиент скаляра, и мы получаем выражение для Вектор и градиент скалярав точке М:

Вектор и градиент скаляра

Дивергенцией векторного поля в точке М называется предел отношения потока поля через (замкнутую) поверхность S, окружающую точку М, к объему тела, ограниченного этой поверхностью, при условии, что вся поверхность стягивается в точку Вектор и градиент скаляра

Определение (71.9) дивергенции эквивалентно (можно показать) определению (71.6).

Как видно из определения, дивергенция векторного поля в точке является скалярной величиной. Она образует скалярное поле в данном векторном поле.

Исходя из физического смысла потока (обычно условно считают, что Вектор и градиент скаляраесть поле скоростей фиктивного стационарного потока несжимаемой жидкости), можно сказать, что: при Вектор и градиент скаляраточка М представляет собой источник, откуда жидкость вытекает, при Вектор и градиент скаляраточка М есть сток, поглощающий жидкость. Как следует из равенства (71.9), величина Вектор и градиент скалярахарактеризует мощность (интенсивность, плотность) источника или стока в точке М. В этом состоит физический смысл дивергенции.

Понятно, что если в объеме V, ограниченном замкнутой поверхностью S, нет ни источников, ни стоков, то Вектор и градиент скаляра

Векторное поле, в каждой точке которого дивергенция поля равна нулю, т. е. Вектор и градиент скаляраназывается соленоидалъным (или трубчатым).

Пример:

Найти дивергенцию поля линейных скоростей Вектор и градиент скаляражидкости, вращающейся как твердое тело вокруг неподвижной оси с постоянной угловой скоростью Вектор и градиент скаляра.

Решение:

Примем ось вращения жидкости за ось Oz. Тогда, как показано ранее (см. пример 69.2), Вектор и градиент скаляраИмеем:

Вектор и градиент скаляра

Поле Вектор и градиент скаляра— соленоидальное.

Циркуляция поля

Пусть векторное поле образовано вектором (71.1). Возьмем в этом поле некоторую замкнутую кривую L и выберем на ней определенное направление.

Пусть Вектор и градиент скаляра— радиус-вектор точки М на контуре L. Известно, что вектор Вектор и градиент скаляранаправлен по касательной к кривой в направлении ее обхода (см. рис. 276) и Вектор и градиент скаляра— дифференциал дуги кривой Вектор и градиент скаляра

Криволинейный интеграл по замкнутому контуру L от скалярного произведения вектора Вектор и градиент скалярана вектор Вектор и градиент скаляра, касательный к контуру L, называется циркуляцией вектора а вдоль L, т. е.

Вектор и градиент скаляра Вектор и градиент скаляра

Рассмотрим различные формы записи циркуляции. Так как

Вектор и градиент скаляра

где Вектор и градиент скаляра— проекция вектора Вектор и градиент скалярана касательную Вектор и градиент скаляра, проведенную в направлении обхода кривой L, то равенство (71.10) можно записать в виде

Вектор и градиент скаляра

Вектор и градиент скаляра

Циркуляция С, записанная в виде (71.12) имеет простой физический смысл: если кривая L расположена в силовом поле, то циркуляция — это работа силы Вектор и градиент скаляраполя при перемещении материальной точки вдоль L (п.56.5).

Отметим, что вдоль замкнутых векторных линий циркуляция отлична от нуля, потому что в каждой точке векторной линии скалярное произведение Вектор и градиент скалярасохраняет знак: положительный, если направление вектора Вектор и градиент скалярасовпадает с направлением обхода векторной линии; отрицательный — в противном случае.

Пример:

Найти циркуляцию вектора поля линейных скоростей вращающегося тела (см. пример 69.2) Вектор и градиент скаляравдоль замкнутой кривой L, лежащей в плоскости Вектор и градиент скаляра, перпендикулярной оси вращения.

Решение:

Будем считать, что направление нормали к плоскости Вектор и градиент скалярасовпадает с направлением оси Oz. Согласно формуле (71.12), имеем:

Вектор и градиент скаляра

где S — площадь поверхности, ограниченной кривой L (см. 56.17).

Заметим, что если нормаль к поверхности S образует угол Вектор и градиент скалярас осью Oz, то циркуляция будет равна Вектор и градиент скалярас изменением угла Вектор и градиент скаляравеличина С изменяется.

Пример:

Вычислить циркуляцию векторного поля

Вектор и градиент скаляра

вдоль периметра треугольника с вершинами A(1;0;0), В(0;1;0), С(0;0;1) (см. рис. 277).

Вектор и градиент скаляра

Решение:

Согласно формуле (71.12), имеем:

Вектор и градиент скаляра

На отрезке AB: x + у = 1, z = 0, следовательно,

Вектор и градиент скаляра

На отрезке ВС: у + z = 1, х = 0, следовательно,

Вектор и градиент скаляра

На отрезке СА: х + z = 1, у = 0, следовательно,

Вектор и градиент скаляра

Вектор и градиент скаляра

Ротор поля. Формула Стокса

Ротором (или вихрем) векторного поля

Вектор и градиент скаляра

называется вектор, обозначаемый Вектор и градиент скаляраи определяемый формулой

Вектор и градиент скаляра

Формулу (71.13) можно записать с помощью символического определителя в виде, удобном для запоминания:

Вектор и градиент скаляра

Отметим некоторые свойства ротора.

  1. Если Вектор и градиент скаляра— постоянный вектор, то Вектор и градиент скаляра
  2. Вектор и градиент скаляра
  3. Вектор и градиент скалярат. е. ротор суммы двух векторов равен сумме роторов слагаемых.
  4. Если U — скалярная функция, а Вектор и градиент скаляра— векторная, то

Вектор и градиент скаляра

Эти свойства легко проверить, используя формулу (71.13). Покажем, например, справедливость свойства 3:

Вектор и градиент скаляра

Используя понятия ротора и циркуляции, векторного поля, запишем известную в математическом анализе (см. п. 58.4) формулу Стокса:

Вектор и градиент скаляра

Левая часть формулы (71.14) представляет собой циркуляцию вектора Вектор и градиент скалярапо контуру L, т. е. Вектор и градиент скаляра(см. (71.11)). Интеграл в правой части формулы (71.14) представляет собой поток вектора Вектор и градиент скалярачерез поверхность S, ограниченную контуром L (см. (71.3)), т. е.

Вектор и градиент скаляра

Следовательно, формулу Стокса можно записать в виде

Вектор и градиент скаляра Вектор и градиент скаляра

Такое представление формулы Стокса называют ее векторной формой. В этой формуле положительное направление на контуре L и выбор стороны у поверхности S согласованы между собой так же, как в теореме Стокса.

Формула (71.15) показывает, что циркуляция вектора Вектор и градиент скаляра вдоль замкнутого контура L равна потоку ротора этого вектора Вектор и градиент скаляра через поверхность S, лежащую в поле вектора а и ограниченную контуром L (натянутую на контур) (см. рис. 278).

Используя формулу (71.14), можно дать другое определение ротора поля, эквивалентное первому и не зависящее от выбора координатной системы.

Для этого применим формулу Стокса (71.15) для достаточно малой плоской площадки S с контуром L, содержащей точку М.

По теореме о среднем для поверхностного интеграла (п. 57.1, свойство 7) имеем:

Вектор и градиент скаляра

где Вектор и градиент скаляра— некоторая (средняя) точка площадки S (см. рис. 279).

Вектор и градиент скаляра

Тогда формулу (71.15) можно записать в виде

Вектор и градиент скаляра

Вектор и градиент скаляра

Пусть контур L стягивается в точку М. Тогда Вектор и градиент скаляраПерейдя к пределу, получаем:

Вектор и градиент скаляра

Ротором вектора Вектор и градиент скаляра в точке М называется вектор, проекция которого на каждое направление равна пределу отношения циркуляции вектора а по контуру L плоской площадки S, перпендикулярной этому направлению, к площади этой площадки.

Как видно из определения, ротор вектора Вектор и градиент скаляраесть векторная величина, образующая собственное векторное поле.

Дадим физическое истолкование понятия ротора векторного поля. Найдем ротор поля линейных скоростей твердого тела, вращающегося вокруг оси Oz с постоянной угловой скоростью (пример 69.2) Вектор и градиент скаляра, т. е. ротор вектора Вектор и градиент скаляра

По определению ротора

Вектор и градиент скаляра

Ротор этого поля направлен параллельно оси вращения, его модуль равен удвоенной угловой скорости вращения.

С точностью до числового множителя ротор поля скоростей Вектор и градиент скалярапредставляет собой угловую скорость вращения твердого тела. С этим связано само название «ротор» (лат. «вращатель»).

Замечание:

Из определения (71.13) ротора вытекает, что направление ротора — это направление, вокруг которого циркуляция имеет наибольшее значение (плотность) по сравнению с циркуляцией вокруг любого направления, не совпадающего с нормалью к площадке S.

Так что связь между ротором и циркуляцией аналогична связи между градиентом и производной по направлению (см. п. 70.3).

Оператор Гамильтона

Векторные дифференциальные операции первого порядка:

Основными дифференциальными операциями (действиями) над скалярным полем U и векторным полем Вектор и градиент скаляраявляются gradU, Вектор и градиент скаляраДействия взятия градиента, дивергенции и ротора называются векторными операциями первого порядка (в них участвуют только первые производные).

Эти операции удобно записывать с помощью так называемого оператора Гамильтона

Вектор и градиент скаляра

Этот символический вектор называют также оператором Вектор и градиент скаляра(читается «набла»); он приобретает определенный смысл лишь в комбинации со скалярными или векторными функциями. Символическое «умножение» вектора Вектор и градиент скалярана скаляр U или вектор Вектор и градиент скалярапроизводится по обычным правилам векторной алгебры, а «умножение» символов Вектор и градиент скалярана величины Вектор и градиент скалярапонимают как взятие соответствующей частной производной от этих величин.

Применяя оператор Гамильтона, получим дифференциальные операции первого порядка:

Вектор и градиент скаляра

Оператор Гамильтона применяется для записи и других операций и для вывода различных формул в теории поля. При действиях с ним надо пользоваться правилами векторной алгебры и правилами дифференцирования.

В частности, производная по направлению (70.2) может быть записана в виде

Вектор и градиент скаляра

где Вектор и градиент скаляра

Векторные дифференциальные операции второго порядка

После применения оператора Гамильтона к скалярному или векторному полю получается новое поле, к которому можно снова применить этот оператор. В результате получаются дифференциальные операции второго порядка. Нетрудно убедиться, что имеется лишь пять дифференциальных операций второго порядка:

Вектор и градиент скаляра

(Понятно, что операция Вектор и градиент скаляранапример, не имеет смысла: Вектор и градиент скаляра— скаляр, говорить о дивергенции скаляра, т. е. о Вектор и градиент скалярабессмысленно.)

Запишем явные выражения для дифференциальных операций второго порядка, используя оператор Гамильтона. Заметим при этом, что оператор действует только на множитель, расположенный непосредственно за оператором.

Вектор и градиент скаляра

Правая часть этого равенства называется оператором Лапласа скалярной функции U и обозначается Вектор и градиент скаляра. Таким образом,

Вектор и градиент скаляра

Дифференциальное уравнение Лапласа Вектор и градиент скаляраиграет важную роль в различных разделах математической физики. Решениями уравнения Лапласа являются так называемые гармонические функции.

Замечание. К равенству (72.1) можно прийти, введя в рассмотрение скалярный оператор дельта:

Вектор и градиент скаляра

(который тоже называют оператором Лапласа).

2. Вектор и градиент скаляратак как векторное произведение двух одинаковых векторов равно нулю (нуль-вектор). Это означает, что поле градиента есть поле безвихревое.

Вектор и градиент скаляра

4. Вектор и градиент скаляратак как смешанное произведение трех векторов, из которых два одинаковые, равно нулю. Это означает, что поле вихря — соленоидальное.

Вектор и градиент скаляра

так как двойное векторное произведение обладает свойством

Вектор и градиент скаляра

Здесь Вектор и градиент скаляра— векторная величина, полученная в результате применения оператора Лапласа к вектору Вектор и градиент скаляра.

Некоторые свойства основных классов векторных полей

Соленоидальное поле

Напомним, что векторное поле Вектор и градиент скаляраназывается соленоидальным, если во всех точках его дивергенция поля равна нулю, т. е. Вектор и градиент скаляра

Примерами соленоидальных полей являются: поле линейных скоростей вращающегося твердого тела (см. пример 71.4); магнитное поле, создаваемое прямолинейным проводником, вдоль которого течет электрический ток, и другие.

Приведем некоторые свойства соленоидального поля.

  1. В соленоидальном поле Вектор и градиент скалярапоток вектора через любую замкнутую поверхность равен нулю. Это свойство непосредственно вытекает из формулы (71.8). Таким образом, соленоидальное поле не имеет источников и стоков.
  2. Соленоидальное поле является полем ротора некоторого векторного поля, т. е. если Вектор и градиент скаляра, то существует такое поле Вектор и градиент скаляра, что Вектор и градиент скаляра. Вектор Вектор и градиент скаляраназывается векторным потенциалом поляВектор и градиент скаляра.

Любое из свойств 1-2 можно было бы взять в качестве определения соленоидального поля.

Доказывать свойство 2 не будем. Отметим лишь, что обратное утверждение — поле ротора векторного поля есть соленоидальное — нами доказано (выше мы показали, что Вектор и градиент скаляра).

3. В соленоидальном поле Вектор и градиент скалярапоток вектора через поперечное сечение векторной трубки сохраняет постоянное значение (называемое интенсивностью трубки).

Рассмотрим векторную трубку между двумя ее произвольными сечениями Вектор и градиент скалярабоковую поверхность трубки обозначим через S (см. рис. 280). Поток вектора через замкнутую поверхность, состоящую из Вектор и градиент скаляраравен нулю. Следовательно,

Вектор и градиент скаляра

где n — внешняя нормаль.

Вектор и градиент скаляра

Так как на боковой поверхности векторной трубки нормаль п перпендикулярна к векторам поля, то Вектор и градиент скаляраи, следовательно,

Вектор и градиент скаляра

Переменив направление нормали на площадке Вектор и градиент скаляра, т.е. взяв внутреннюю нормаль Вектор и градиент скаляраполучим:

Вектор и градиент скаляра

В поле скоростей текущей жидкости полученный результат означает, что количество жидкости, втекающей в трубку за единицу времени, равно количеству жидкости, вытекающей из нее.

Потенциальное поле

Векторное поле Вектор и градиент скаляраназывается потенциальным (или безвихревым, или градиентным), если во всех точках поля ротор равен нулю, т. е. Вектор и градиент скаляраПримером потенциального поля является электрическое поле напряженности точечного заряда (и другие).

Приведем основные свойства потенциального поля.

Свойство 1. Циркуляция потенциального поля Вектор и градиент скалярапо любому замкнутому контуру в этом поле равна нулю.

Это непосредственно вытекает из формулы (71.14). Следовательно,

Вектор и градиент скаляра

В частности, для силового потенциального поля это означает, что работа силы по любому замкнутому контуру равна нулю; в поле скоростей текущей жидкости равенство С = 0 означает, что в потоке нет замкнутых струек, т. е. нет водоворотов.

Свойство 2. В потенциальном поле Вектор и градиент скаляракриволинейный интеграл Вектор и градиент скаляравдоль любой кривой L с началом в точке Вектор и градиент скаляраи концом в точке Вектор и градиент скаляразависит только от положения точек Вектор и градиент скаляраи не зависит от формы кривой.

Это свойство вытекает из свойства 1. Действительно, взяв в поле две точки Вектор и градиент скалярасоединим их двумя кривыми Вектор и градиент скаляратак, чтобы контур Вектор и градиент скаляралежал внутри поля (см. рис. 281). Тогда, в силу свойства 1, имеем

Вектор и градиент скаляра

Учитывая свойства криволинейного интеграла, получаем:

Вектор и градиент скаляра

Вектор и градиент скаляра

Свойство 3. Потенциальное поле является полем градиента некоторой скалярной функции U(x; y; z), т. е. если Вектор и градиент скаляра, то существует функция U (х; у; z) такая, что Вектор и градиент скаляра

Из равенства Вектор и градиент скаляравытекает, что Вектор и градиент скалярат. е. выражение Pdx + Qdy + Rdz является полным дифференциалом некоторой функции U = U(x;y;z) (следствие 56.1). Эту функцию называют потенциалом векторного поля

Вектор и градиент скаляра

Отсюда: Вектор и градиент скаляраСледовательно,

Вектор и градиент скаляра

т. е. вектор поля Вектор и градиент скаляраявляется градиентом скалярного поля.

Замечание. Из равенства rot grad U = 0 следует обратное утверждение — поле градиента скалярной функции U = U(x;y; z) является потенциальным.

Из равенства Вектор и градиент скаляраследует, что потенциальное поле определяется заданием одной скалярной функции U = U(x; у; z) — его потенциала. Потенциал векторного поля может быть найден по формуле

Вектор и градиент скаляра

где Вектор и градиент скаляра— координаты фиксированной точки, (x;y;z) — координаты произвольной точки. Потенциал определяется с точностью до произвольного постоянного слагаемого (из-за того, что grad (U + а) = grad U ).

Произвольное же векторное поле требует задания трех скалярных функций (P(x;y;z), Q(x;y;z), R(x;y,z) — проекции вектора поля на оси координат).

Замечание. Определение потенциального поля может быть дано иначе — векторное поле Вектор и градиент скаляраназывается потенциальным, если оно является градиентом некоторого скалярного поля, т. е. Вектор и градиент скаляра. (Иногда пишут Вектор и градиент скаляра; знак «минус» пишут для удобства, обычно векторные линии направлены в сторону убывания U: поток жидкости направлен туда, где давление меньше; теплота перемещается от более нагретого места к менее нагретому и т. д.)

Пример:

Установить потенциальность поля

Вектор и градиент скаляра

и найти его потенциал.

Решение:

Вектор и градиент скаляра

Следовательно, поле вектора Вектор и градиент скалярапотенциальное.

Найдем потенциал U по формуле (73.1), выбирая в качестве фиксированной точки начало координат, т. е. Вектор и градиент скаляраТак как

Вектор и градиент скаляра

Вектор и градиент скаляра

Гармоническое поле

Векторное поле Вектор и градиент скаляраназывается гармоническим (или лапласовым), если оно одновременно является потенциальным и соленоидальным, т. е. если Вектор и градиент скаляра

Вектор и градиент скаляра

Примером гармонического поля является поле линейных скоростей стационарного безвихревого потока жидкости при отсутствии в нем источников и стоков.

Так как поле Вектор и градиент скалярапотенциально, то его можно записать в виде Вектор и градиент скаляра— потенциал поля.

Но так как поле одновременно и соленоидальное, то

Вектор и градиент скаляра

или, что то же самое,

Вектор и градиент скаляра

т. е. потенциальная функция U гармонического поля а является решением дифференциального уравнения Лапласа. Такая функция называется, как уже упоминали, гармонической.

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Вектор и градиент скаляра

Вектор и градиент скаляра Вектор и градиент скаляра Вектор и градиент скаляра Вектор и градиент скаляра Вектор и градиент скаляра Вектор и градиент скаляра Вектор и градиент скаляра Вектор и градиент скаляра Вектор и градиент скаляра Вектор и градиент скаляра Вектор и градиент скаляра Вектор и градиент скаляра Вектор и градиент скаляра Вектор и градиент скаляра Вектор и градиент скаляра Вектор и градиент скаляра Вектор и градиент скаляра Вектор и градиент скаляра Вектор и градиент скаляра Вектор и градиент скаляра Вектор и градиент скаляра Вектор и градиент скаляра Вектор и градиент скаляра Вектор и градиент скаляра Вектор и градиент скаляра Вектор и градиент скаляра Вектор и градиент скаляра Вектор и градиент скаляра Вектор и градиент скаляра Вектор и градиент скаляра Вектор и градиент скаляра Вектор и градиент скаляра Вектор и градиент скаляра Вектор и градиент скаляра Вектор и градиент скаляра Вектор и градиент скаляра Вектор и градиент скаляра Вектор и градиент скаляра Вектор и градиент скаляра Вектор и градиент скаляра Вектор и градиент скаляра Вектор и градиент скаляра Вектор и градиент скаляра Вектор и градиент скаляра Вектор и градиент скаляра Вектор и градиент скаляра Вектор и градиент скаляра Вектор и градиент скаляра Вектор и градиент скаляра Вектор и градиент скаляра Вектор и градиент скаляра Вектор и градиент скаляра Вектор и градиент скаляра

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

Нахождение градиента вектор-функции

Дата публикации Oct 20, 2018

Вектор и градиент скаляра

ВЧасть 1Нам поставили задачу: вычислить градиент этой функции потерь:

Вектор и градиент скаляра

Чтобы найти градиент, мы должны найти производную функцию. ВЧасть 2мы научились вычислять частную производную функции по каждой переменной. Однако большинство переменных в этой функции потерь являются векторами. Возможность найти частную производную векторных переменных особенно важна, поскольку нейронная сеть работает с большими объемами данных. Векторные и матричные операции — это простой способ представления операций с таким большим количеством данных. Как именно вы можете найти градиент вектор-функции?

Видео:Скалярное произведение векторов. 9 класс.Скачать

Скалярное произведение векторов. 9 класс.

Градиент скалярной функции

Скажи, что у нас есть функция,f (x, y) = 3x²y, Наши частные производные:

Вектор и градиент скаляра

Если мы организуем эти части в горизонтальный вектор, мы получимградиентизР (х, у), или∇ f (x, y):

Вектор и градиент скаляра

6yxэто изменение вР (х, у)в отношении изменения вИкс, в то время как3x²это изменение вР (х, у)в отношении изменения вY,

Что происходит, когда у нас есть две функции? Давайте добавим еще одну функцию,g (x, y) = 2x + y⁸, Частные производные:

Вектор и градиент скаляра

Таким образом, градиент g (x, y):

Вектор и градиент скаляра

Видео:Математика без Ху!ни. Частные производные функции нескольких переменных. Градиент.Скачать

Математика без Ху!ни. Частные производные функции нескольких переменных. Градиент.

Представляющие функции

Когда у нас есть несколько функций с несколькими параметрами, часто полезно представлять их более простым способом. Мы можем объединить несколько параметров функций в один векторный аргумент,Иксэто выглядит следующим образом:

Вектор и градиент скаляра

Следовательно,Р (х, у, г)станетF (x₁, x₂, x₃)который становитсяе (Икс).

Мы также можем объединить несколько функций в вектор, например так:

Вектор и градиент скаляра

В настоящее время,у = F (X)гдеF (X)является вектором из [f₁ (Икс), f₂ (Икс), f₃ (Икс) . п (Икс)]

Для нашего предыдущего примера с двумя функциями,f (x, y) ⇒ f (Икс)а такжеg (x, y) ⇒ g (Икс).Здесь векторИкс= [x₁, x₂], гдеx₁ = х, а такжеx₂ = у, Чтобы упростить его еще больше, мы можем объединить наши функции: [f (Икс),г(Икс)] = [f₁ (Икс), f₂ (Иксзнак равноf (x) = y.

Вектор и градиент скаляра

Зачастую количество функций и количество переменных будет одинаковым, поэтому для каждой переменной существует решение.

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Градиент вектор-функции

Теперь, когда у нас есть две функции, как мы можем найти градиент обеих функций? Если мы организуем оба их градиента в одну матрицу, мы переместимся из векторного исчисления в матричное исчисление. Эта матрица и организация градиентов нескольких функций с несколькими переменными, известна какМатрица Якобиана,

Вектор и градиент скаляра

Есть несколько способов представления якобиана. Этот макет, где мы укладываем градиенты по вертикали, известен какмакет числителя, но другие документы будут использоватьрасположение знаменателя, который просто переворачивает его по диагонали:

Вектор и градиент скаляра

Видео:Оператор набла (оператор Гамильтона) и оператор ЛапласаСкачать

Оператор набла (оператор Гамильтона) и оператор Лапласа

Градиент функции идентичности

Давайте возьмем функцию идентичности,у = ф (х) = х, гдеFi (Икс) = xiи найдите его градиент:

Вектор и градиент скаляра

Так же, как мы создали наш предыдущий якобиан, мы можем найти градиенты каждой скалярной функции и сложить их вертикально, чтобы создать якобиан тождественной функции:

Вектор и градиент скаляра

Поскольку это функция идентичности, f₁ (Икс) = x₁, f₂ (Икс) = х₂ и тд. Следовательно,

Вектор и градиент скаляра

Частичная производная функции по переменной, которой нет в функции, равна нулю. Например, частная производная 2x² по y равна 0. Другими словами,

Вектор и градиент скаляра

Поэтому все, что не на диагонали якобиана, становится равным нулю. Между тем, частная производная любой переменной по отношению к себе равна 1. Например, частная производнаяИксв отношенииИксравен 1. Следовательно, якобиан становится:

Вектор и градиент скаляра

Видео:10. ФНП. Градиент и производная по направлению функции двух переменных.Скачать

10. ФНП. Градиент и производная по направлению функции двух переменных.

Градиент комбинаций вектор-векторных функций

Элементарные бинарные операторыявляются операциями (такими как сложениевес+Иксиливес>Икскоторый возвращает вектор единиц и нулей), который применяет оператор последовательно, начиная с первого элемента обоих векторов, чтобы получить первый элемент вывода, затем второго элемента обоих векторов, чтобы получить второй элемент вывода… и так далее.

Эта статья представляет поэлементные бинарные операции с такими обозначениями:

Вектор и градиент скаляра

Здесь ◯ означает любой поэлементный оператор (например, +), а не композицию функций.

Итак, как вы находите градиент поэлементной операции двух векторов?

Поскольку у нас есть два набора функций, нам нужны два якобиана, один из которых представляет градиент относительноИкси один по отношению квес:

Вектор и градиент скаляра

Вектор и градиент скаляра

Большинство арифметических операций нам понадобятся простые, поэтомуе (ш)часто просто векторвес, Другими словами,Fi (Wi) = Wi, Например, операцияW + хподходит к этой категории, так как она может быть представлена ​​каке (ж) + д (х)гдеfi (wi) + gi (xi) = wi + xi.

При этом условии каждый элемент в двух якобианах упрощается до:

Вектор и градиент скаляра

Вектор и градиент скаляра

На диагонали i = j, поэтому существует значение для частной производной. Вне диагонали, однако, i ≠ j, поэтому частные производные становятся равными нулю:

Вектор и градиент скаляра

Мы можем представить это более кратко как:

Вектор и градиент скаляра

Вектор и градиент скаляра

Попробуем найти градиент функцииW + х, Мы знаем, что все вне диагонали равно 0. Значения частичных по диагонали относительновеса такжеИксявляются:

Вектор и градиент скаляра

Итак, оба якобиана имеют диагональ 1. Это выглядит знакомо . это матрица тождеств!

Давайте попробуем это с умножением:ш * х, Значения частностей по диагонали относительновеса такжеИксявляются:

Вектор и градиент скаляра

Вектор и градиент скаляра

Следовательно, градиент по отношению квесизш * хявляетсяDiag (Икс)в то время как градиент по отношению кИксизш * хявляетсяDiag (вес).

Применяя те же шаги для вычитания и деления, мы можем суммировать все это:

Вектор и градиент скаляра

Видео:Дивергенция и ротор: Язык уравнений Максвелла, течения жидкости и большеСкачать

Дивергенция и ротор: Язык уравнений Максвелла, течения жидкости и больше

Градиент векторных сумм

Одной из наиболее распространенных операций в глубоком обучении является операция суммирования. Как мы можем найти градиент функцииу = сумма (Икс)?

у = сумма (Икс)также может быть представлен как:

Вектор и градиент скаляра

Следовательно, градиент может быть представлен как:

Вектор и градиент скаляра

А так как частная производная функции по переменной, которой нет в функции, равна нулю, ее можно дополнительно упростить следующим образом:

Вектор и градиент скаляра

Обратите внимание, что результатом является горизонтальный вектор.

Как насчет градиентау = сумма (Иксг)? Единственное отличие состоит в том, что мы умножаем каждый частный с константой, z:

Вектор и градиент скаляра

Хотя это является производной по отношению кИкс, производная по скаляруZэто просто число:

Вектор и градиент скаляра

Видео:Неравномерная темперация и биения центра объектовСкачать

Неравномерная темперация и биения центра объектов

Градиент комбинаций векторных функций правила цепочки

ВЧасть 2мы узнали о правилах цепей с несколькими переменными. Однако это работает только для скаляров. Давайте посмотрим, как мы можем интегрировать это в векторные вычисления!

Давайте возьмем векторную функцию,Yзнак равное(Икс)и найти градиент. Давайте определим функцию как:

Вектор и градиент скаляра

И то и другоеf₁ (х)а такжеf₂ (х)являются составными функциями. Введем промежуточные переменные дляf₁ (х)а такжеf₂ (х)и переписать нашу функцию:

Вектор и градиент скаляра

Теперь мы можем использовать наше правило цепочки переменных, чтобы вычислить производную вектораY, Просто вычислите производнуюf₁ (х)а такжеf₂ (х)и поместите их один над другим:

Вектор и градиент скаляра

Вуаля! У нас есть наш градиент. Однако мы пришли к нашему решению со скалярными правилами, просто сгруппировав числа в вектор. Есть ли способ представить правило цепи с несколькими переменными для векторов?

Прямо сейчас наш градиент вычисляется с помощью:

Вектор и градиент скаляра

Обратите внимание, что первый член градиентов обоихf₁ (х)а такжеf₂ (х)включает частичноеg₁надИкси второй член градиентов обоихf₁ (х)а такжеf₂ (х)включает частичноеg₂надИкс Это как умножение матриц! Поэтому мы можем представить это как:

Вектор и градиент скаляра

Давайте проверим наше новое представление правила цепочки векторов:

Вектор и градиент скаляра

Мы получаем тот же ответ, что и скалярный подход! Если вместо одного параметраИксу нас есть векторный параметрИкснам просто нужно немного изменить наше правило, чтобы получить полное правило цепочки векторов:

Вектор и градиент скаляра

Вектор и градиент скаляра

В нашем примере выше,еэто чисто функцияг; то есть,фиявляется функциейсолдатно нетGJ(каждая функцияесоответствует ровно 1 функцииг),В этом случае все вне диагонали становится равным нулю, и:

Вектор и градиент скаляра

Теперь у нас есть все части, которые мы находим в градиенте нейронной сети, с которой мы начали нашу серию:

Вектор и градиент скаляра

Проверять, выписыватьсяЧасть 4чтобы узнать, как вычислить его производную!

Если вы еще этого не сделали, прочитайте части 1 и 2:

ЧитатьЧасть 4для грандиозного финала!

Скачать оригинал статьиВот,

Если вам понравилась эта статья, не забудьте оставить несколько хлопков! Оставьте комментарий ниже, если у вас есть какие-либо вопросы или предложения 🙂

💥 Видео

Оператор Набла. Градиент. Дивергенция. Ротор. Лапласиан.Скачать

Оператор Набла. Градиент. Дивергенция. Ротор. Лапласиан.

Дивергенция векторного поляСкачать

Дивергенция векторного поля

Демидович №4424в: дивергенция произведения скаляра и вектораСкачать

Демидович №4424в: дивергенция произведения скаляра и вектора

Вектор-градиент (теория)Скачать

Вектор-градиент  (теория)

ГрадиентСкачать

Градиент

СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #формулы #профильныйегэ #векторыСкачать

СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #формулы #профильныйегэ #векторы

Градиенты и частные производныеСкачать

Градиенты и частные производные

Скалярные и векторные поля. ТемаСкачать

Скалярные и векторные поля. Тема

Демидович №4426: дивергенция градиента функции радиус-вектораСкачать

Демидович №4426: дивергенция градиента функции радиус-вектора
Поделиться или сохранить к себе: