Вектор электрического смещения в диэлектрике и на границе двух диэлектриков (7 видео)

Вектор электрического смещения. Граница двух диэлектриков

Источником электростатического поля являются свободные и связанные электрические заряды: линии напряженности начинаются на положительных зарядах (или в бесконечности) и оканчиваются на отрицательных (или в бесконечности).

Однако при решении задач, связанных с электрическим полем в диэлектрике, в ряде случае оказывается более удобным учитывать только поле свободных зарядов. Для этого вводится понятие вектора электрического смещения ( ).

Рассмотрим изменение электрического поля на достаточно протяженной границе двух однородных и однородно поляризованных диэлектриков 1 и 2.

Вектор электрического смещения в диэлектрике и на границе двух диэлектриков

В первом диэлектрике напряженность электрического поля и вектор поляризации соответственно равны

, во втором диэлектрике —

В общем случае все эти четыре вектора произвольно ориентированы в диэлектриках, поэтому можно говорить об их тангенциальных к границе раздела (E_t₁, E_t₂ и P_t₁, P_t₂) и нормальных (E_n₁, E_n₂ и P_n₁, P_n₂) составляющих.

На границе возникнут связанные электрические заряды противоположных знаков, поверхностные плотности которых равны s_св1 и s_св2. Эти заряды создадут электрическое полеE’. Напряженность E’ уменьшит нормальную составляющую напряженности в одном диэлектрике и увеличит в другом, поэтому E’будет определятьсяразностью нормальных составляющих напряженности:

Это уравнение можно записать так:

Отсюда видно, что на границе двух диэлектриков сохраняется нормальная составляющая:

Это и есть вектор электрического смещения.

Т.е. можно говорить о линиях электрического смещения и о потоке вектора электрического смещения через некоторую поверхность.

Поток вектора электрического смещения не изменятся на границе двух диэлектриков, т.е. линии этого вектора не начинаются и не заканчиваются на связанных зарядах, а линии напряженности поля начинаются и заканчиваются на связанных зарядах.

Из приведенных соотношений видно,

Внутри диэлектрика , в вакууме .

Видно, что величина D_n остается постоянной при переходе из вакуума в среду, а величина E_n изменяется.

Или в векторной форме:

Запишем для нашего случая теорему Гаусса. Общий заряд в диэлектрике q_общ можно найти как разность свободных зарядов и связанных зарядов.

Сумма взята со знаком минус потому, что поле связанных зарядов направлено противоположно полю свободных зарядов.

– теорема Гаусса для поля внутри диэлектрика: поток вектора электрического смещения сквозь замкнутую поверхность равен алгебраической сумме свободных зарядов, находящихся внутри этой поверхности:

отсюда получаем:

Величина поля внутри диэлектрика:

В других конкретных случаях соотношения для электростатического поля с диэлектриком имеют другой вид и чаще всего значительно более сложный, нежели полученные нами для плоской пластины внутри конденсатора. В частности, в некоторых случаях введение диэлектрика сопровождается не только ослаблением поля, но и его усилением.

Поле, созданное зарядом q в т. A и B, по направлению совпадает с полем связанных зарядов диэлектрика M, внесенного в поле заряда q.

В т. C величины E₀ и E’ направлены в противоположные стороны, т.е. в этой точке внесение диэлектрика сопровождается ослаблением поля.

Напряженность электрического поля точечного заряда q в диэлектрике выражается формулой:

Получаем выражение для электрического смещения поля точечного заряда:

Как видно, электрическое смещение в однородном изотропном диэлектрике не зависит от свойств вещества.

Видео:Поток вектора напряженности электрического поля. Теорема Гаусса. 10 класс.Скачать

Теорема Гаусса для поля в диэлектрике. Явления на границе раздела двух диэлектриков. Преломление линий смещения и напряженности

Запишем теперь теорему Гаусса для поля в диэлектрике через поток вектора электрического смещения D = ге₍₎Е. Из формулы (16.8) имеем с учетом ослабления поля в диэлектрике в случае среды с диэлектрической проницаемостью е

Таким образом, если мы записываем теорему Гаусса через поток вектора электрического смещения, то необходимо учитывать только свободные заряды — без учета свойств диэлектрика. В свою очередь, при записи теоремы Гаусса через поток вектора напряженности мы учитываем свойства диэлектрика как со свободными, так и со связанными зарядами. Аналогичны различия в картинах силовых линий напряженности и электрического смещения. Силовые линии напряженности начинаются и заканчиваются как на свободных, так и на связанных зарядах. А силовые линии электрического смещения начинаются и заканчиваются только на свободных зарядах.

Подобные рассуждения позволяют решить задачу о преломлении линий смещения и напряженности на границе раздела двух диэлектриков. Будем считать, что на этой границе отсутствуют свободные заряды. Однако, как мы уже видели (см. рис. 19.2), на границе диэлектрика (а в общем случае — на границе раздела двух диэлектриков) в поле возникает связанный заряд, который может приводить к разрыву полей.

Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к поверхности раздела компонентами вектора электрического смещения D_n. Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой поверхности поверхность цилиндра (рис. 19.3). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать электрическое смещение константой), параллельны границе раздела и находиться в разных диэлектриках, а высота цилиндра должна быть бесконечно малой — в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора электрического смещения через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.

Тогда из теоремы Гаусса (19.11) следует, что потоки вектора электрического смещения через основания равны по модулю, причем один направлен наружу цилиндра, другой — внутрь. Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: = Д,₂5. Поскольку площади оснований

цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора электрического смещения на границе раздела диэлектриков остается непрерывной’.

Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормальная компонента вектора напряженности на границе раздела диэлектриков претерпевает разрыв:

Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотношение которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции (заметим, что, очевидно, теорема о циркуляции остается справедливой и в диэлектрике).

Выделим вблизи границы раздела небольшой прямоугольный контур ABCD (рис. 19.4). Выберем стороны АВ = CD = I так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных диэлектриках, а стороны ВС и DA бесконечно малы но сравнению со сторонами А В и CD. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции (17.7) интегралами по бесконечно малым сторонам, получим: Е_х<1 — Е_х21 = 0, откуда следует, что тангенциальная компонента вектора напряжен

ности на границе раздела диэлектриков остается непрерывной’.

Выразив это соотношение через электрическое смещение, получим, что тангенциальная компонента вектора электрического смещения на границе раздела диэлектриков претерпевает разрыв:

Таким образом, мы получили, что векторы напряженности и электрического смещения претерпевают преломление при переходе из одной среды в другую.

Пусть в первой среде (рис. 19.5) tga, = гг, а во вто-

рой среде tga₂ = —. Тогда из формул (19.13)

и (19.14) получим закон преломления вектора напряженности электрического поля

Аналогично преломляются и силовые линии электрического смещения. Формула показывает, что при переходе в диэлектрик с большей диэлектрической проницаемостью силовые линии напряженности и электрического смещения удаляются от нормали.

Видео:44. Электрическое поле в диэлектрике. Вектор поляризованностиСкачать

Поле в диэлектрике. Условия на границе двух диэлектриков

Изучим поведение векторов напряженности Е и электрического смещения D электростатического поля на границе раздела двух однородных изотропных диэлектрических сред 1 (?),/),) и 2 (E₂,D₂). Рассмотрим окрестность произвольной точки А, лежащей на поверхности раздела этих сред. Пусть е, и с₂ — диэлектрические проницаемости первой и второй сред. Будем использовать теорему о циркуляции вектора Е (12.16) и теорему Гаусса для вектора (13.14).

Проведем в точке А на границе раздела сред единичные векторы, направленные по касательной к поверхности (т) раздела и по нормали (п) к ней, направленной из первой среды во вторую.

Построим вблизи точки А замкнутый прямоугольный контур L, две стороны которого параллельны границе раздела сред и равны А/, а две другие равны АИ (рис. 13.3, а). При любом значении АИ должна выполняться теорема о циркуляции вектора Е (12.16):

Перейдем к пределу при Ah —> 0:

В этом случае значения интеграла j E dI вдоль боковых сторон (АИ) прямоугольного контура L тоже стремятся к нулю. Верхняя и нижняя стороны контура неограниченно приближаются к поверхности раздела сред. При обходе контура L по часовой стрелке с учетом выражения (13.16) получаем, что

Рис. 13.3. К получению условий на границе двух диэлектриков: а — для тангенциальных компонент векторов Ё и D, б — для нормальных компонент векторов

где проекции вектора Ё взяты на направление обхода контура, показанное стрелками на рис. 13.3, а. Учтем, что в проекции на вектор т выполняется E_W=

E_U. Таким образом, первое граничное условие для напряженности поля

т.е. тангенциальная составляющая вектора Ё напряженности поля не изменяется при переходе из одной среды в другую через поверхность раздела.

Согласно формулам (13.12а) и (13.17), имеем и получаем первое граничное условие для электрического смещения:

т.е. тангенциальная составляющая вектора D претерпевает на границе раздела диэлектриков разрыв.

Определим вторую пару условий. Выберем вокруг точки А небольшой участок поверхности раздела сред площадью AS. Построим цилиндрическую замкнутую поверхность S, охватывающую этот участок границы раздела сред 1 и 2. Пусть образующие цилиндра длиной Аh параллельны вектору п нормали к поверхности раздела, а основания цилиндра перпендикулярны п (рис. 13.3, б).

В теореме Гаусса (13.14) для вектора D

где q — суммарный сторонний заряд, находящийся внутри замкнутой поверхности S, т.е. в объеме цилиндра. Перейдем к пределу при А/г —> 0 :

В общем случае при наличии поверхностных сторонних зарядов на границе раздела lim q = oAS, где о — поверхностная плотность сто-

роннего заряда на границе раздела. Тогда должно выполняться равенство

Получаем граничное условие для вектора D в виде

Если на поверхности раздела сред нет поверхностных сторонних зарядов, то Пт

Рис. 13.4. Преломление линий напряженности на границе двух диэлектриков (е₂ > е,)

В частности, если первая среда — вакуум, то ?| = 1 и Е_2п — Е_1п/е₂. Это условие важно для практического применения в решении задач.

Преломление линий векторов Е и D. Полученные выше условия для составляющих векторов Е и D на границе раздела двух диэлектриков означают, что линии данных векторов на этой границе преломляются (рис. 13.4). Найдем соотношение между углами а, и а₂, образуемыми линиями напряженности с перпендикуляром к поверхности раздела сред в точке А. Если сторонних зарядов на границе раздела нет, то по формулам (13.17) и (13.21) получаем

Из рис. 13.4 следует, что углы а_< и а₂ удовлетворяют условиям

Тогда закон преломления линий напряженности электростатического поля

на поверхности раздела двух диэлектрических сред при условии отсутствия на этой поверхности сторонних зарядов в соответствии с уравнением (13.21) запишется так:

Условие на границе проводник — диэлектрик. Если на рис. 13.3, б, среда I — проводник, а среда 2 — диэлектрик, то D_ln — D_n, a D_ln — 0, так как внутри проводника Е — 0. Из формулы (13.19) следует, что

где И — внешняя по отношению к проводнику нормаль.

Связанный заряд у поверхности проводника. Можно доказать, что если к заряженному участку поверхности проводника прилегает однородный диэлектрик (объемная плотность связанных зарядов р’ = 0), то на границе диэлектрика с проводником будут связанные заряды с поверхностной плотностью о’:

где о — поверхностная плотность стороннего заряда на проводнике. При этом знаки связанного и стороннего зарядов будут противоположны.

Сегнетоэлектрики. Сегнетоэлектриками называются кристаллические диэлектрики, обладающие в определенном диапазоне температур спонтанной поляризацией, которая существенно изменяется под влиянием внешних воздействий. Они используются в конденсаторах большой емкости при малых размерах. Примеры: сегнетова соль NaKC₄H₄0₆ 4Н₂0, титанат бария ВаТЮ₃.

Домены — это области сегнетоэлектриков с различными направлениями поляризации. Доменная структура отражает особенности развития фазового перехода в реальном сегнетоэлектрике. Температура, выше которой исчезают сегнетоэлектрические свойства и вещество ведет себя как изотропный диэлектрик, называют тонкой Кюри Т_с . В некотором температурном интервале у сегнетоэлектриков ?

10 000 . Например, у сегнето- вой соли Т_с — 258 —296 К, спонтанная поляризация p_s — 2,6 нКл/м 2 , ?-200; у титаната бария Г_С=391К, спонтанная поляризация p_s = 158 нКл/м 2 , ?-3000.

Рис. 13.5. Диэлектрический гистерезис в сегнетоэлект-

Для сегнетоэлектриков связь между вектором напряженности внешнего электрического поля Е и вектором поляризации Р нелинейная и наблюдается явление диэлектрического гистерезиса — сохранения остаточной поляризованности Р_0СТ при снятии внешнего поля (рис. 13.5). Поляризация образца исчезает полностью лишь под действием электрического поля противоположного направления, напряженность которого Е =

Е_С. Величина Е_с называется коэрцитивной силой.

Пьезоэлектрики — это кристаллические диэлектрики, в которых при сжатии или растяжении возникает электрическая поляризация — прямой пьезоэффект. Обратный пьезоэффект — появление механической деформации под действием электрического поля.