Центральный угол AOB опирается на хорду AB длиной 6. При этом угол OAB равен 60°. Найдите радиус окружности.
Рассмотрим треугольник AOB: он равнобедренный, его боковые стороны равны радиусу.
Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Пусть AOB равен x, тогда x + 60° + 60° = 180°, где x = 60°. Треугольник, у которого все углы равны, — равносторонний треугольник; значит, радиус равен 6.
В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол OCD равен 30°. Найдите величину угла OAB.
Вписанные углы ВСD и ВАD опираются на одну и ту же дугу окружности, поэтому они равны. Тем самым, угол OAB = 30°.
Найдите градусную меру центрального ∠MON, если известно, NP — диаметр, а градусная мера ∠MNP равна 18°.
Треугольник MON — равнобедренный. Тогда ∠MON = 180° − 2·18° = 144°.
Найдите ∠DEF, если градусные меры дуг DE и EF равны 150° и 68° соответственно.
Дуга FD, не содержащая точку Е, равна 360° − 150° − 68° = 142°, поэтому ∠DEF = 71°.
Найдите градусную меру ∠ACB, если известно, что BC является диаметром окружности, а градусная мера центрального ∠AOC равна 96°.
Так как ∠AOC и ∠AOB — смежные, ∠AOB = 180° − ∠AOC = 84°. Центральный угол равен дуге, на которую он опирается, поэтому градусная мера дуги AB равна 84°. Угол ACB — вписанный и равен половине дуги, на которую опирается, поэтому ∠ACB = 42°.
Приведем решение Артура Ахметьянова.
Треугольник AOC равнобедренный, поскольку AO = OC как радиусы окружности, тогда
Видео:В угол C величиной 83° вписана окружность ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
Центральные и вписанные углы
О чем эта статья:
Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать
Центральный угол и вписанный угол
Окружность — замкнутая линия, все точки которой равноудалены от ее центра.
Определение центрального угла:
Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.
На рисунке: центральный угол окружности EOF и дуга, на которую он опирается EF
Определение вписанного угла:
Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности.
Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.
На рисунке: вписанный в окружность угол ABC и дуга, на которую он опирается AC
Видео:🔴 В угол C, равный 165°, вписана окружность с ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 15 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
Свойства центральных и вписанных углов
Углы просты только на первый взгляд. Свойства центрального угла и свойства вписанного угла помогут решать задачки легко и быстро.
- Вписанный угол в два раза меньше, чем центральный угол, если они опираются на одну и ту же дугу:
Угол AOC — центральный, угол ABC — вписанный. Оба угла опираются на дугу AC, в этом случае центральный угол равен дуге AC, а угол ABC равен половине угла AOC.
- Теорема о центральном угле: центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается:
- Вписанные углы окружности равны друг другу, если опираются на одну дугу:
ㄥADC = ㄥABC = ㄥAEC, поскольку все три угла, вписанные в окружность, опираются на одну дугу AC.
- Вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, — всегда прямой:
ㄥACB опирается на диаметр и на дугу AB, диаметр делит окружность на две равные части. Значит дуга AB = 180 ํ, ㄥCAB равен половине дуги, на которую он опирается, значит ㄥCAB = 90 ํ.
Если есть вписанный, обязательно найдется и описанный угол. Описанный угол — это угол, образованный двумя касательными к окружности. Вот так:
На рисунке: ㄥCAB, образованный двумя касательными к окружности. AO — биссектриса ㄥCAB, значит центр окружности лежит на биссектрисе описанного угла.
Для решения задачек мало знать, какой угол называется вписанным, а какой — описанным. Нужно знать, что такое хорда и ее свойство.
Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!
Хорда — отрезок, соединяющий две точки на окружности.
- Если две хорды в окружности пересекаются, то произведения отрезков одной равно произведению отрезков другой.
AB * AC = AE * AD
Получается, что стороны вписанного в окружность угла — это хорды.
- Если вписанные углы опираются на одну и ту же хорду — они равны, если их вершины находятся по одну сторону от хорды.
ㄥBAC = ㄥCAB, поскольку лежат на хорде BC.
- Если два вписанных угла опираются на одну и ту же хорду, то их суммарная градусная мера равна 180°, если их вершины находятся по разные стороны от хорды.
ㄥBAC + ㄥBDC = 180°
Видео:Углы, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать
Примеры решения задач
Центральный, вписанные и описанные углы, как и любые другие, требуют тренировок в решении. Рассмотрите примеры решения задач и потренируйтесь самостоятельно.
Задачка 1. Дана окружность, дуга AC = 200°, дуга BC = 80°. Найдите, чему равен вписанный угол, опирающийся на дугу AB. ㄥACB = ?
Как решаем: окружность 360° − AC − CB = 360° − 200° − 80° = 80°
По теореме: вписанный угол равен дуге ½.
ㄥACB = ½ AB = 40°
Задачка 2. Дана окружность, ㄥAOC = 140°, найдите, чему равна величина вписанного угла.
Мы уже потренировались и знаем, как найти вписанный угол.
На рисунке в окружности центральный угол и дуга AC = 140°
Мы знаем, что вписанный угол равен половине центрального, то ㄥABC = ½ AC = 140/2 = 70°
Задачка 3. Чему равен вписанный в окружность угол, опирающийся на дугу, если эта дуга = ⅕ окружности?
СB = ⅕ от 360° = 72°
Вписанный угол равен половине дуги, поэтому ㄥCAB = ½ от CB = 72° / 2 = 36°
Видео:Вписанная и описанная окружности. ЗадачиСкачать
Задачи на вписанные углы
Рассмотрим некоторые задачи на вписанные углы.
1) По данным рисунка 1 найти угол AOB,
Дуги ACB и AKB дополняют друг друга до окружности. Следовательно, сумма их градусных мер равна 360º.
∠ACB — вписанный угол, опирающийся на дугу AKB.
Значит, градусная мера дуги равна
AOB — центральный угол, опирающийся на дугу ACB, поэтому его градусная мера равна градусной меры этой дуги, то есть, ∠AOB=110º.
2) Точки C и D окружности лежат по одну сторону от диаметра AB.
Найти угол ABD, если ∠BCD=34º.
Соединим точки A и D.
Рассмотрим треугольник ABD.
Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º, то ∠ABD=90º-∠BAD=90º-34º=56º.
2) В окружности с центром O проведены диаметры AF и BC. Точки C и K окружности лежат по одну сторону от диаметра AF.
Найти угол BCK, если ∠ABC=62º, ∠AFK=20º.
1) Проведем отрезки KC и AC.
2) Рассмотрим треугольник ABC.
∠BAC=90º (как вписанный угол, опирающийся на диаметр).
Поскольку сумма острых углом прямоугольного треугольника равна 90º, ∠ACB=90º-∠ABC=90º-62º=28º.
3) ∠ACK=∠AEK=20º (как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу).
Как правило, решение задач на вписанные в окружность углы можно выполнить несколькими способами. Мы рассмотрели только один вариант в каждом случае, но могут быть и другие.
Решение задач на вписанные в окружность треугольники и четырехугольники во многих случаях также сводится к рассмотрению вписанных и центральных углов (или дуг).
📺 Видео
Решение задач на тему центральные и вписанные углы.Скачать
Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать
Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать
Геометрия 8 класс : Решение задач. Вписанная окружностьСкачать
ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный УголСкачать
Видео урок / Геометрия: В угол величиной 70 градусов вписана окружность, которая касается его сторонСкачать
Угол, вписанный в окружность. Решение задач. Часть 1. Геометрия 8-9 классСкачать
Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать
Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСССкачать
Геометрия 8 класс : Решение задач на центральные и вписанные углыСкачать
Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать
Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать
В угол вписана окружность, найдите вписанный угол этой окружностиСкачать
Углы в окружности. 16 задание ОГЭ математика 2023 | Молодой РепетиторСкачать
Геометрия 8 класс. Тема: "Вписанная и описанная окружности. Решение задач"Скачать
