Еще в Древнем Египте появилась наука, с помощью которой можно было измерять объемы, площади и другие величины. Толчком к этому послужило строительство пирамид. Оно предполагало значительное число сложных расчетов. И кроме строительства, было важно правильно измерить землю. Отсюда и появилась наука «геометрия» от греческих слов «геос» — земля и «метрио» — измеряю.
Исследованию геометрических форм способствовало наблюдение астрономических явлений. И уже в 17-м веке до н. э. были найдены начальные способы расчета площади круга, объема шара и главнейшее открытие — теорема Пифагора.
Вам будет интересно: Казахская академия спорта и туризма. Факультеты, структура вуза
Формулировка теоремы об окружности, вписанной в треугольник выглядит следующим способом:
В треугольник можно вписать только одну окружность.
При таком расположении окружность — вписанная, а треугольник — описанный около окружности.
Формулировка теоремы о центре окружности, вписанной в треугольник, выглядит следующим образом:
Центральная точка окружности, вписанной в треугольник, есть точка пересечения биссектрис этого треугольника.
- Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник
- Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник
- Формулировка теоремы о вписанной окружности
- Теорема о центре окружности, вписанной в треугольник
- Узнать ещё
- Вписанная в треугольник окружность делит сторону на отрезки
- Вписанная окружность
- Свойства вписанной окружности
- В треугольник
- В четырехугольник
- Примеры вписанной окружности
- Верные и неверные утверждения
- Окружность вписанная в угол
- 💥 Видео
Видео:ЕГЭ Математика Задание 6#27935Скачать
Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник
Окружность считается вписанной в треугольник, если она хотя бы одной точкой касается всех его сторон.
На фото ниже показана окружность, находящаяся внутри равнобедренного треугольника. Условие теоремы об окружности, вписанной в треугольник, соблюдено — она касается всех сторон треугольника AB, ВС И СА в точках R, S, Q соответственно.
Одним из свойств равнобедренного треугольника является то, что вписанная окружность точкой касания делит основание пополам (BS = SC), а радиус вписанной окружности составляет треть высоты данного треугольника(SP=AS/3).
Свойства теоремы об окружности, вписанной в треугольник:
- Отрезки, выходящие из одной вершины треугольника к точкам касания с окружностью, равны. На рисунке AR = AQ, BR = BS, CS = CQ.
- Радиус окружности (вписанной) — это площадь, деленная на полупериметр треугольника. Как пример, нужно начертить равнобедренный треугольник с теми же буквенными обозначениями, что на картинке, следующих размеров: основание ВС = 3 см, высота AS = 2 см, стороны АВ=ВС, соответственно, получаются по 2,5 см каждая. Проведем из каждого угла биссектрису и место их пересечения обозначим как Р. Впишем окружность с радиусом PS, длину которого нужно найти. Узнать площадь треугольника можно, умножив 1/2 основания на высоту: S = 1/2 * DC * AS = 1/2 * 3 * 2 = 3 см2. Полупериметр треугольника равен 1/2 суммы всех сторон: Р = (АВ + ВС + СА) / 2 = (2,5 + 3 + 2,5) / 2 = 4 см; PS = S/P = 3/4 = 0,75 см2, что полностью соответствует действительности, если измерить линейкой. Соответственно, верно свойство теоремы об окружности, вписанной в треугольник.
Видео:№691. Точка касания окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит однуСкачать
Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник
Для треугольника с прямым углом действуют свойства теоремы об вписанной окружности в треугольник. И, кроме того, добавляется возможность решать задачи с постулатами теоремы Пифагора.
Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник можно определить следующим образом: сложить длины катетов, вычесть значение гипотенузы и получившееся значение разделить на 2.
Есть хорошая формула, которая поможет высчитать площадь треугольника — периметр умножить на радиус вписанной в этот треугольник окружности.
Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать
Формулировка теоремы о вписанной окружности
В планиметрии важны теоремы о вписанных и описанных фигурах. Одна из них звучит так:
Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения биссектрис, проведенных из его углов.
На представленном рисунке показано доказательство данной теоремы. Показано равенство углов, и, соответственно, равенство прилегающих треугольников.
Видео:№17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математикеСкачать
Теорема о центре окружности, вписанной в треугольник
Радиусы окружности, вписанной в треугольник, проведенные в точки касания перпендикулярны сторонам треугольника.
Задание «сформулируйте теорему об окружности вписанной в треугольник» не должно застать врасплох, потому что это одни из фундаментальных и простейших знаний в геометрии, которыми необходимо владеть в полной мере для решения многих практических задач в реальной жизни.
Видео:Вписанная окружность делит чевиану пополам. ЗАДАЧА - БЛЕСК!Скачать
Узнать ещё
Знание — сила. Познавательная информация
Видео:Окружность, вписанная в треугольникСкачать
Вписанная в треугольник окружность делит сторону на отрезки
Если в задаче вписанная в треугольник окружность делит его сторону на отрезки, один из возможных вариантов решения — использование свойства отрезков касательных к окружности, проведенных из одной точки.
Рассмотрим две задачи на вписанную в треугольник окружность, решение которых опирается на это свойство касательных.
Одна из сторон треугольника равна 30 см, а другая делится точкой касания вписанной окружности на отрезки длиной 12 см и 14 см, считая от конца неизвестной стороны. Найти радиус вписанной окружности.
Дано: ∆ ABC,
окружность (O, r) — вписанная,
K, M, F — точки касания со сторонами AB, BC, AC,
AB=30 см, CM=12 см, BM=14 см.
1) По свойству касательных, отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны:
CF=CM=12 см, BK=BM=14 см, AF=AK=AB-BK=30-14=16 см.
AC=AF+CF=16+12=28 см, BC=BM+CM=14+12=26 см.
2) По формуле Герона,
где a, b, c — стороны треугольника, p — полупериметр,
3) Радиус вписанной окружности найдем по формуле
В треугольнике, периметр которого равен 60 см, одна из сторон делится точкой касания вписанной в него окружности на отрезки 24 см и 5 см. Найти площадь треугольника.
Дано: ∆ ABC,
окружность (O, r) — вписанная,
K, M, F — точки касания со сторонами AB, BC, AC,
1) По свойству касательных, проведенных из одной точки, AF=AK=24 см, BM=BK=5 см, CF=CM= x см.
Следовательно, CM=CF=1 см, AB=AK+BK=29 см, BC=BM+CM=6 см, AC=AF+CF=25 см.
2) Полупериметр равен половине периметра: p=60:2=30 см.
Видео:Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать
Вписанная окружность
Вписанная окружность — это окружность, которая вписана
в геометрическую фигуру и касается всех его сторон.
Окружность, точно можно вписать в такие геометрические фигуры, как:
- Треугольник
- Выпуклый, правильный многоугольник
- Квадрат
- Равнобедренная трапеция
- Ромб
В четырехугольник, можно вписать окружность,
только при условии, что суммы длин
противоположных сторон равны.
Во все вышеперечисленные фигуры
окружность, может быть вписана, только один раз.
Окружность невозможно вписать в прямоугольник
и параллелограмм, так как окружность не будет
соприкасаться со всеми сторонам этих фигур.
Геометрические фигуры, в которые вписана окружность,
называются описанными около окружности.
Описанный треугольник — это треугольник, который описан
около окружности и все три его стороны соприкасаются с окружностью.
Описанный четырехугольник — это четырехугольник, который описан
около окружности и все четыре его стороны соприкасаются с окружностью.
Свойства вписанной окружности
В треугольник
- В любой треугольник может быть вписана окружность, причем только один раз.
- Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника.
- Вписанная окружность касается всех сторон треугольника.
- Площадь треугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:
[ S = frac(a+b+c) cdot r = pr ]
p — полупериметр четырехугольника.
r — радиус вписанной окружности четырехугольника.
окружность и любая из сторон треугольника.
перпендикуляры к любой точке касания.
треугольника на 3 пары равных отрезков.
Поэтому, расстояние между центрами этих окружностей можно найти с помощью формулы Эйлера:
с — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника.
R — радиус описанной около треугольника.
r — радиус вписанной окружности треугольника.
В четырехугольник
- Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.
- Если у четырехугольника суммы длин его противолежащих
сторон равны, то окружность, может быть, вписана (Теорема Пито). - Центр вписанной окружности и середины двух
диагоналей лежат на одной прямой (Теорема Ньютона, прямая Ньютона). - Точка пересечения биссектрис — это центр вписанной окружности.
- Точка касания — это точка, в которой соприкасается
окружность и любая из сторон четырехугольника. - Площадь четырехугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:
[ S = frac(a+b+c+d)cdot r = pr ]
p — полупериметр четырехугольника.
r — радиус вписанной окружности четырехугольника.
равноудалены от этой конца и начала этой стороны, то есть от его вершин.
Примеры вписанной окружности
- Треугольник
- Четырехугольник
- Многоугольник
Примеры описанного четырехугольника:
равнобедренная трапеция, ромб, квадрат.
Примеры описанного треугольника:
равносторонний, равнобедренный,
прямоугольный треугольники.
Верные и неверные утверждения
- Радиус вписанной окружности в треугольник и радиус вписанной
в четырехугольник вычисляется по одной и той же формуле. Верное утверждение. - Любой параллелограмм можно вписать в окружность. Неверное утверждение.
- В любой четырехугольник можно вписать окружность. Неверное утверждение.
- В любой ромб можно вписать окружность. Верное утверждение.
- Центр вписанной окружности треугольника это точка пересечения биссектрис. Верное утверждение.
- Окружность вписанная в треугольник касается всех его сторон. Верное утверждение.
- Угол вписанный в окружность равен соответствующему центральному
углу опирающемуся на ту же дугу. Неверное утверждение. - Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник равен
половине разности суммы катетов и гипотенузы. Верное утверждение. - Вписанные углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности равны. Неверное утверждение.
- Вписанная окружность в треугольник имеет в общем
три общие точки со всеми сторонами треугольника. Верное утверждение.
Окружность вписанная в угол
Окружность вписанная в угол — это окружность, которая
лежит внутри этого угла и касается его сторон.
Центр окружности, которая вписана в угол,
расположен на биссектрисе этого угла.
К центру окружности вписанной в угол, можно провести,
в общей сложности два перпендикуляра со смежных сторон.
Длина диаметра, радиуса, хорды, дуги вписанной окружности
измеряется в км, м, см, мм и других единицах измерения.
💥 Видео
Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторонСкачать
Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать
Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать
Окружность, вписанная в треугольник. Как найти центр и радиус. Геометрия 7-8 классСкачать
Радиус вписанной окружности #ShortsСкачать
Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)Скачать
Задача 6 №27932 ЕГЭ по математике. Урок 146Скачать
Сможешь найти радиус окружности? Окружность, вписанная в прямоугольный треугольникСкачать
8 класс, 38 урок, Вписанная окружностьСкачать
Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать
Геометрия Центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит его высоту, проведеннуюСкачать
9 класс, 23 урок, Окружность, вписанная в правильный многоугольникСкачать
Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник | Геометрия 8-9 классыСкачать
