В треугольной пирамиде плоскость через точку параллельную прямой (2 видео)

Содержание

Узнать ещё
Как построить сечение пирамиды
Решение задач на применение аксиом и их следствий (в пирамиде)
Задание №14 на ЕГЭ-2019. Различные методы и способы решения.
«Управление общеобразовательной организацией: новые тенденции и современные технологии»
🎥 Видео

Видео:Как строить сечения тетраэдра и пирамидыСкачать

Узнать ещё

Знание — сила. Познавательная информация

Видео:№14 из профильного ЕГЭ по математике. Как строить сечения на изи. Серия-1Скачать

Как построить сечение пирамиды

Разберем, как построить сечение пирамиды, на конкретных примерах. Поскольку в пирамиде нет параллельных плоскостей, построение линии пересечения (следа) секущей плоскости с плоскостью грани чаще всего предполагает проведение прямой через две точки, лежащие в плоскости этой грани.

В простейших задачах требуется построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через данные точки, уже лежащие в одной грани.

Построить сечение плоскостью (MNP)

Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки M, N, P.

Треугольник MNP — сечение пирамиды

Точки M и N лежат в одной плоскости ABS, следовательно, через них можем провести прямую. След этой прямой — отрезок MN. Он видимый, значит, соединяем M и N сплошной линией.

Точки M и P лежат в одной плоскости ACS, поэтому через них проведем прямую. След — отрезок MP. Мы его не видим, поэтому отрезок MP проводим штрихом. Аналогично строим след PN.

Треугольник MNP — искомое сечение.

Если точка, через которую требуется провести сечение, лежит не на ребре, а на грани, то она не будет концом следа-отрезка.

Пример. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки B, M и N, где точки M и N принадлежат, соответственно, граням ABS и BCS.

Здесь точки B и M лежат в одной грани ABS, поэтому можем через них провести прямую.

Аналогично проводим прямую через точки B и P. Получили, соответственно, следы BK и BL.

Точки K и L лежат в одной грани ACS, поэтому через них можем провести прямую. Ее след — отрезок KL.

Треугольник BKL — искомое сечение.

Однако не всегда через данные в условии точки удается провести прямую. В этом случае нужно найти точку, лежащую на прямой пересечения плоскостей, содержащих грани.

Пример. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки M, N, P.

Точки M и N лежат в одной плоскость ABS, поэтому через них можно провести прямую. Получаем след MN. Аналогично — NP. Оба следа видимые, поэтому соединяем их сплошной линией.

Точки M и P лежат в разных плоскостях. Поэтому соединить их прямой не можем.

Продолжим прямую NP.

Она лежит в плоскости грани BCS. NP пересекается только с прямыми, лежащими в этой же плоскости. Таких прямых у нас три: BS, CS и BC. С прямыми BS и CS уже есть точки пересечения — это как раз N и P. Значит, ищем пересечение NP с прямой BC.

Точку пересечения (назовем ее H), получаем, продолжая прямые NP и BC до пересечения.

Эта точка H принадлежит как плоскости (BCS), поскольку лежит на прямой NP, так и плоскости (ABC), поскольку лежит на прямой BC.

Таким образом мы получили еще одну точку секущей плоскости, лежащей в плоскости (ABC).

Через H и точку M, лежащую в этой же плоскости, можем провести прямую.

Получим след MT.

T — точка пересечения прямых MH и AC.

Так как T принадлежит прямой AC, то через нее и точку P можем провести прямую, так как они обе лежат в одной плоскости (ACS).

4-угольник MNPT — искомое сечение пирамиды плоскостью, проходящей через данные точки M,N,P.

Мы работали с прямой NP, продлевая ее для отыскания точки пересечения секущей плоскости с плоскостью (ABC). Если работать с прямой MN, приходим к тому же результату.

Рассуждаем так: прямая MN лежит в плоскости (ABS), поэтому пересекаться может только с прямыми, лежащими в этой же плоскости. У нас таких прямых три: AB, BS и AS. Но с прямыми AB и BS уже есть точки пересечения: M и N.

Значит, продлевая MN, ищем точку пересечения ее с прямой AS. Назовем эту точку R.

Точка R лежит на прямой AS, значит, она лежит и в плоскости (ACS), которой принадлежит прямая AS.

Поскольку точка P лежит в плоскости (ACS), через R и P можем провести прямую. Получаем след PT.

Точка T лежит в плоскости (ABC), поэтому через нее и точку M можем провести прямую.

Таким образом, получили все то же сечение MNPT.

Рассмотрим еще один пример такого рода.

Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки M, N, P.

Через точки M и N, лежащие в одной плоскости (BCS), проводим прямую. Получаем след MN (видимый).

Через точки N и P, лежащие в одной плоскости (ACS), проводим прямую. Получаем след PN (невидимый).

Через точки M и P прямую провести не можем.

1) Прямая MN лежит в плоскости (BCS), где есть еще три прямые: BC, SC и SB. С прямыми SB и SC уже есть точки пересечения: M и N. Поэтому ищем точку пересечения MN с BC. Продолжив эти прямые, получаем точку L.

Точка L принадлежит прямой BC, а значит, она лежит в плоскости (ABC). Поэтому через L и P, которая также лежит в плоскости (ABC) можем провести прямую. Ее след — PF.

F лежит на прямой AB, а значит, и в плоскости (ABS). Поэтому через F и точку M, которая также лежит в плоскости (ABS), проводим прямую. Ее след — FM. Четырехугольник MNPF — искомое сечение.

2) Другой путь — продолжить прямую PN. Она лежит в плоскости (ACS) и пересекается с прямыми AC и CS, лежащими в этой плоскости, в точках P и N.

Значит, ищем точку пересечения PN с третьей прямой этой плоскости — с AS. Продолжаем AS и PN, на пересечении получаем точку E. Поскольку точка E лежит на прямой AS, принадлежащей плоскости (ABS), то через E и точку M, которая также лежит в (ABS), можем провести прямую. Ее след — FM. Точки P и F лежат водной плоскости (ABC), проводим через них прямую и получаем след PF (невидимый).

Видео:Построение сечения параллельно прямойСкачать

Решение задач на применение аксиом и их следствий (в пирамиде)

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На этом уроке мы решим несколько задач с помощью трех аксиом и двух теорем-следствий в пирамиде.
В начале урока мы повторим аксиомы, вспомним, что такое треугольная пирамида, и повторим теоремы-следствия из аксиом. Далее мы решим несколько задач на взаимное расположение точек, прямых и плоскостей в треугольной пирамиде, опираясь на повторенный теоретический материал.

Видео:СЕЧЕНИЯ. СТРАШНЫЙ УРОК | Математика | TutorOnlineСкачать

Задание №14 на ЕГЭ-2019. Различные методы и способы решения.

Видео:Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать

«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Задание №14 на ЕГЭ-2019. Различные методы и способы решения. Колупаев В.А. МБОУ СОШ №25.

Задание № 14 на ЕГЭ-2019. Различные методы и способы решения.

№ 1.1.(а) В правильной треугольной пирамиде SABC точка P — делит сторону AB в отношении 2:3, считая от вершины A , точка K — делит сторону BC в отношении 2:3, считая от вершины C . Через точки P и K параллельно SB проведена плоскость .

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью является прямоугольником.

б) Найдите расстояние от точки S до плоскости , если известно, что SC =5, AC =6 .

Ответ: Источник: ЕГЭ — 2019. Основная волна 29.05.2019. Дальний Восток. Вариант Р.Я.

а) сечение пирамиды плоскостью является прямоугольником.

1-й способ (метод координат).

Пусть точка O – центр равностороннего треугольника, BH – высота ,

Введем прямоугольную систему координат, как показано на рисунке: точка A – начало отсчета; оси x , y , z лучи AC , AV , AW соответственно, где лучи AV и BH сонаправлены, луч AW сонаправлен с лучом OS . Пусть AB = m , AS = k . Тогда координаты точек: .

Координаты некоторых точек найдем более подробно: , так как в равностороннем треугольнике высота является медианой и биссектрисой треугольника; ,так как катет равен произведению гипотенузы на синус противолежащего угла; , так как медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в отношении 2:1, считая от вершины; по теореме Пифагора .

Координаты этих точек находим из векторных равенств и

Уравнение плоскости и меет вид . Так как из параллельности прямой и плоскости получим .

Подставляя координаты точек P и K в уравнение плоскости и определения скалярного произведения векторов получим систему уравнений.

Значит уравнение плоскости где — вектор нормали к плоскости .

Найдем точку M – точку пересечения прямой AS и плоскости , уравнение прямой AS : пусть , тогда и получим уравнение прямой AS в параметрическом виде и подставляя его в уравнение плоскости получим Получим .

Найдем точку N – точку пересечения прямой CS и плоскости , уравнение прямой CS : пусть , тогда и получим уравнение прямой CS в параметрическом виде и подставляя его в уравнение плоскости получим Получим .

Получили четырехугольник MNKP – сечение пирамиды плоскостью . Докажем, что MNKP – параллелограмм, так как , то , значит MNKP – параллелограмм. Докажем, что MNKP – прямоугольник, так как , значит , тогда и MNKP – прямоугольник, что и требовалось доказать.

б) Расстояние от точки S до плоскости найдем по

По условию , значит . Тогда – расстояние от точки S до плоскости .

Решение: 2-й способ (геометрический метод).

а) сечение пирамиды плоскостью является прямоугольником.

Так как AP : PB = CK : KB =2:3 , то BP : BA = BK : BC =3:5 , значит по пропорциональности двух сторон и равенству углов между ними, тогда и эти углы являются соответственными углами для прямых PK и AC , и секущей AS , поэтому .

На грани SCB проведем прямую , на грани SAB проведем прямую , проведем отрезок MN в грани SAC , отрезок PK в грани ABC и получим PKNM – четырехугольник, который является сечением пирамиды плоскостью .

по двум углам: общий, как соответственные углы при параллельных прямых KN и BS , и секущей CB . Тогда получим, что соответствующие стороны пропорциональны, то есть CK : CB = CN : CS = KN : BS =2:5, значит .

по двум углам: общий, как соответственные углы при параллельных прямых PM и BS , и секущей AB . Тогда получим, что соответствующие стороны пропорциональны, то есть AP : AB = AM : AS = PM : BS =2:5 , значит .

Следовательно, , значит PKNM – параллелограмм, так как противоположные стороны параллельны и равны.

Прямые и прямая BH является проекцией прямой BS , тогда по теореме о трех перпендикулярах . Поэтому будут перпендикулярны соответственно параллельные им прямые PM и PK , поэтому и PKNM – прямоугольник, что и требовалось доказать.

б) Проведем высоту BH в треугольнике АВС , которая пересекает отрезок PK в точке R . SH является высотой боковой грани ACS и пересекает MN в точке T . Получим . Так как по пропорциональности двух сторон и равенству углов между ними BK : BC = BP : BA =3:5 , а значит и их высоты BR : BH =3:5.

Так как по пропорциональности двух сторон и равенству углов между ними NS : CS = MS : AS =3:5 , а значит и их высоты ST : SH =3:5.

Тогда HT : HS = HR : HB =2:5 и – общий угол, значит поэтому и эти углы являются соответственными углами для прямых RT и BS , и секущей HS , поэтому и высоты этих треугольников относятся как 2:5.

Значит , где площадь найдем по формуле Герона: BS =5, , , , .

Задание № 14 на ЕГЭ — 2019 по математике, профиль. Дидактические материалы.

Основная волна 29.05.2019.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью является прямоугольником.

б) Найдите расстояние от точки S до плоскости , если известно, что SC =5, AC =6 .

Ответ: Источник: ЕГЭ — 2019. Основная волна 29.05.2019. Дальний Восток. Вариант Р.Я.

№ 1.2.(а) В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB = 9, а боковое ребро SA = 6 . На рёбрах AB и SC отмечены точки K и M соответственно, причём AK:KB = SM:MC = 2:7 . Плоскость содержит прямую KM и параллельна прямой SA .

а) Докажите, что плоскость делит ребро SB в отношении 2:7, считая от вершины S .

б) Найдите расстояние между прямыми SA и KM .

Ответ: Источник: ЕГЭ — 2019. Основная волна 29.05.2019. С.Петербург. Вариант Р.Я.

№ 1.3.(а) В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB = 4, а боковое ребро SA = 3 . На рёбрах AB и SC отмечены точки K и M соответственно, причём AK:KB = SM:MC = 3:1 . Плоскость содержит прямую KM и параллельна прямой SA .

а) Докажите, что сечение пирамиды SABC плоскость является прямоугольником.

б) Найдите объем пирамиды, вершиной которой является точка А, основание – сечение пирамиды плоскостью .

Ответ: Источник: ЕГЭ — 2019. Основная волна 29.05.2019. Вариант Я.

№ 1.3.(б) В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB = 6, а боковое ребро SA = 5 . На рёбрах AB и SC отмечены точки K и M соответственно, причём AK:KB = SM:MC = 5:1 . Плоскость содержит прямую KM и параллельна прямой SA .

а) Докажите, что сечение пирамиды SABC плоскостью является прямоугольником.

б) Найдите объем пирамиды, вершиной которой является точка А, основание – сечение пирамиды плоскостью .

Ответ: Источник: ЕГЭ — 2019. Основная волна 29.05.2019. Вариант .Л.

№ 1.4.(а) В правильной треугольной пирамиде SABC точка K — делит сторону SC в отношении 1:2, считая от вершины S , точка N — делит сторону SB в отношении 1:2, считая от вершины S . Через точки N и K параллельно SA проведена плоскость .

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью параллельно прямой BC .

б) Найдите расстояние от точки B до плоскости , если известно, что SA =9, AB =6 .

Отве: Источник: ЕГЭ — 2019. Основная волна 29.05.2019. Центр Вариант Р.Я.

№ 1.5.(а) В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 5, а боковое ребро SA равно 3. На ребрах AB и SC отмечены точки K и М соответственно, причем АК : КВ = SM : MC = 1:4. Плоскость содержит прямую КМ и параллельна прямой SA .

а) Докажите, что плоскость делит ребро AC в отношении 1:4, считая от вершины А .

б) Найдите расстояние между прямыми SA и KM .

Ответ: . Источник: ЕГЭ — 2019. Основная волна 29.05.2019. Вариант М.

№ 1.6.(а) В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB =3 , а боковое ребро SA =2 . На рёбрах AB и SC отмечены точки K и M соответственно, причём AK : KB = SM : MC =1:2. Плоскость содержит прямую KM и параллельна SA .

а) Докажите, что плоскость делит ребро AC в отношении 1:2, считая от вершины A .

б) Найдите расстояние между прямыми SA и KM .

Ответ: Источник: ЕГЭ — 2019. Основная волна 29.05.2019. Вариант №316.Р.

№ 1.7.(а) В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB =3 , а боковое ребро SA =4 . На рёбрах AB и SC отмечены точки K и M соответственно, причём AK : KB = SM : MC =1:2 . Плоскость содержит прямую KM и параллельна BC .

а) Докажите, что плоскость параллельна прямой SA .

б) Найдите угол между плоскостями и SBC .

Ответ: Источник: ЕГЭ — 2019. Основная волна 29.05.2019. Вариант №324.Я.

№ 1.7.(б) В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB =6 , а боковое ребро SA =7 . На рёбрах AB и SC отмечены точки K и M соответственно, причём AK : KB = SM : MC =1:5 . Плоскость содержит прямую KM и параллельна BC .

а) Докажите, что плоскость параллельна прямой SA .

б) Найдите угол между плоскостями и SBC .

Ответ: Источник: ЕГЭ — 2019. Основная волна 29.05.2019. Вариант №324.Я.

№ 1.8.(а) В правильной четырехугольной пирамиде SABCD AB=7; AS=14. На сторонах CD и SC взяты точки N и K соответственно, причем DN:NC=SK:KC=2:5 . Плоскость содержит прямую NK и параллельна ребру AS .

а) Докажите, что плоскость параллельна ВС .

б) Найдите расстояние от точки B до плоскости .

Ответ: Источник: ЕГЭ — 2019. Основная волна 29.05.2019. Вариант Л.А.Я.

№ 1.9.(а) В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB= 4 , а боковое ребро SA = 8 . На рёбрах CD и SC отмечены точки N и K соответственно, причём DN:NC = SK:KC =1:3 . Плоскость α содержит прямую KN и параллельна прямой BC .

а) Докажите, что плоскость делит ребро AB в отношении 1:3, считая от вершины A .

б) Найдите расстояние между прямыми SA и KN .

Ответ: Источник: ЕГЭ — 2019. Основная волна 29.05.2019. Вариант №405.Р.

№ 1.9.(б) В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB=8 , а боковое ребро SA=10 . На рёбрах CD и SC отмечены точки N и K соответственно, причём DN:NC = SK:KC =1:7. Плоскость содержит прямую KN и параллельна прямой BC .

а) Докажите, что плоскость делит ребро SB в отношении 1:7, считая от вершины S .

б) Найдите расстояние между прямыми SA и KN .

Ответ:б) Источник: ЕГЭ — 2019. Основная волна 29.05.2019. Вариант №409.Р.Я.

№ 1.10.(а) В правильном тетраэдре ABCD точки K и M — середины рёбер AB и CD соответственно. Плоскость содержит прямую KM и параллельна прямой AD .

а) Докажите, что сечение тетраэдра плоскостью — квадрат.

б) Найдите площадь сечения тетраэдра ABCD плоскостью, если

Ответ:б)3 Источник: ЕГЭ — 2019. Основная волна 29.05.2019. Вариант №991.Р.

№ 1.11.(а) В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB =6 , а боковое ребро SA =7 . На рёбрах AB и SC отмечены точки K и M соответственно, причём AK : KB = SM : MC =5:1 . Плоскость содержит прямую KM и параллельна прямой BC .

а) Докажите, что сечение пирамиды SABC плоскостью является прямоугольником .

б) Найдите расстояние от точки C до плоскости угол .

Ответ: Источник: ЕГЭ — 2019. Основная волна 29.05.2019. Вариант № .Я.

№ 1.12.(а) В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB=3 , а боковое ребро SA=6 . Точка K делит ребро SC , причём SK:KC =1:2. Плоскость проходит через точку K и параллельна плоскости SAD .

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью является равнобедренной трапецией.

б) Найдите объем пирамиды, вершиной которой является точка S , а основание – сечение пирамиды SABC D плоскостью .

Ответ:б) Источник: ЕГЭ — 2019. Основная волна 29.05.2019. Вариант № .Я.

Основная волна. Резерв. 24.06.2019.

№ 1.13.(а) В правильной треугольной призме сторона основания равна 4, а боковое ребро равно 2. Точка M — середина ребра , а точка O — точка пересечения диагоналей боковой грани .

а) Докажите, что точка пересечения диагоналей четырёхугольника, являющегося сечением призмы плоскостью AMB лежит на отрезке .

б) Найдите угол между прямой , и плоскостью AMB .

Ответ: Источник: ЕГЭ — 2019. Основная волна. Резерв. 24.06.2019. Вариант №503.и Кавказ. Р.

№ 1.13.(б) В правильной треугольной призме сторона основания равна 4, а боковое ребро равно 6. Точка M — середина ребра , а точка O — точка пересечения диагоналей боковой грани .

б) Найдите угол между прямой , и плоскостью AMB .

Ответ: Источник: ЕГЭ — 2019. Основная волна. Резерв. 24.06.2019. Вариант Л.

№ 1.14.(а) В кубе рёбра равны 1. На продолжении отрезка за точку отмечена точка M так, что , а на продолжении отрезка за точку C отмечена точка N так, что .

б) Найдите расстояние между прямыми и MN .

Ответ: Источник: ЕГЭ — 2019. Основная волна. Резерв. 24.06.2019. Вариант 992.Р.

Досрочная волна (29.03.19).

а) Докажите, что ребро SA перпендикулярно ребру BC .

б) Найдите расстояние между ребрами BC и SA .

Ответ: Источник: ЕГЭ — 2019. Досрочная волна.. 29.03.2019. Вариант

а) Докажите, что ребро SA перпендикулярно ребру BC .

б) Найдите расстояние между ребрами BC и SA .

Ответ: Источник: ЕГЭ — 2019. Досрочная волна.. 29.03.2019. Вариант

№ 1.16.(а) В треугольной пирамиде PABC с основанием ABC известно, что AB =13, PB =15, . Основанием высоты этой пирамиды является точка C . Прямые PA и BC перпендикулярны.

а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

б) Найдите объем пирамиды PABC .

Ответ: Источник: ЕГЭ — 2019. Досрочная волна.. 29.03.2019. Вариант

Досрочная волна, резерв. (10.04.19).

№ 1.17.(а) В конусе с вершиной S и центром основания O , радиус основания равен 13, а высота равна . Точки A и B – концы образующих, M – середина SA , N – точка в плоскости основания такая, что прямая MN параллельна прямой SB .

б) Найдите угол между прямой MB и плоскостью основания конуса, если известно, что AB =10 .

Ответ: Источник: ЕГЭ — 2019. Досрочная волна.. Резерв. 10.04.2019. Вариант

№ 1.17.(б) В конусе с вершиной S и центром основания O , радиус основания равен 5, а высота равна . Точки A и B – концы образующих, M – середина SA , N – точка в плоскости основания такая, что прямая MN параллельна прямой SB .

б) Найдите угол между прямой MB и плоскостью основания конуса , если известно, что AB =8 .

Ответ: Источник: ЕГЭ — 2019. Досрочная волна.. Резерв. 10.04.2019. Вариант