Построить касательные к окружности параллельные прямой (3 видео)

Сопряжение двух параллельных прямых

Заданы две параллельные прямые и на одной из них точка сопряжения М (рис. 2.19, а). Требуется построить сопряжение.

Построение выполняют следующим образом:

1) находят центр сопряжения и радиус дуги (рис. 2.19, б). Для этого из точки М восставляют перпендикуляр до пересечения с прямой в точке N. Отрезок MN делят пополам (см. рис. 2.7);
2) из точки О – центра сопряжения радиусом ОМ = ON описывают дугу от точек сопряжения М и N (рис. 2.19, в).

Рис. 2.19. Построение сопряжения двух параллельных прямых

Содержание

Проведение касательной к окружности
Проведение прямой, касательной к двум окружностям
Сопряжение дуги и прямой дугой заданного радиуса
Сопряжение двух дуг дугой заданного радиуса
Последовательность построения
Построение эллипса
Восемь способов построения касательной к окружности
Постройте касательную к данной окружности, параллельную данной прямой.
Ваш ответ
Похожие вопросы
💡 Видео

Видео:Касательные к окружностиСкачать

Проведение касательной к окружности

Даны окружность с центром О и точка А. Требуется провести из точки А касательную к окружности.

1. Точку А соединяют прямой с заданным центром О окружности.

Строят вспомогательную окружность диаметром, равным ОА (рис. 2.20, а). Чтобы найти центр О1, делят отрезок ОА пополам (см. рис. 2.7).

2. Точки M и N пересечения вспомогательной окружности с заданной – искомые точки касания. Точку А соединяют прямыми с точками М или N (рис. 2.20, б). Прямая AM будет перпендикулярна прямой ОМ, так как угол АМО опирается на диаметр.

Рис. 2.20. Проведение касательной к окружности

Видео:Построение касательной к окружности.Скачать

Проведение прямой, касательной к двум окружностям

Даны две окружности радиусов R и R1. Требуется построить прямую, касательную к ним.

Различают два случая касания: внешнее (рис. 2.21, б) и внутреннее (рис. 2.21, в).

При внешнем касании построение выполняют следующим образом:

1) из центра О проводят вспомогательную окружность радиусом, равным разности радиусов заданных окружностей, т.е. R – R1 (рис. 2.21, а). К этой окружности из центра О1 проводят касательную прямую Ο1Ν. Построение касательной показано на рис. 2.20;
2) радиус, проведенный из точки О в точку Ν, продолжают до пересечения в точке М с заданной окружностью радиуса R. Параллельно радиусу ОМ проводят радиус Ο1Ρ меньшей окружности. Прямая, соединяющая точки сопряжений М и Р, – касательная к заданным окружностям (рис. 2.21, б).

Рис. 2.21. Проведение касательной к двум окружностям

При внутреннем касании построение проводят аналогично, но вспомогательную окружность проводят радиусом, равным сумме радиусов R + R1 (рис. 2.21, в). Затем из центра О1 проводят касательную к вспомогательной окружности (см. рис. 2.20). Точку N соединяют радиусом с центром О. Параллельно радиусу ON проводят радиус O1Р меньшей окружности. Искомая касательная проходит через точки сопряжений М и Р.

Видео:№648. Постройте касательную к окружности с центром О: а) параллельную данной прямой;Скачать

Сопряжение дуги и прямой дугой заданного радиуса

Даны дуга окружности радиуса R и прямая. Требуется соединить их дугой радиуса R1.

1. Находят центр сопряжения (рис. 2.22, а), который должен находиться на расстоянии R1 от дуги и от прямой. Поэтому проводят вспомогательную прямую, параллельную заданной прямой, на расстоянии, равном радиусу сопрягающей дуги R1) (рис. 2.22, а). Раствором циркуля, равным сумме заданных радиусов R + R1 описывают из центра О дугу до пересечения со вспомогательной прямой. Полученная точка О1 – центр сопряжения.
2. По общему правилу находят точки сопряжения (рис. 2.22, б): соединяют прямой центры сопрягаемых дуг O1 и О и опускают из центра сопряжения Ο1 перпендикуляр на заданную прямую.
3. Из центра сопряжения Οχ между точками сопряжения Μ и Ν проводят дугу, радиус которой R1 (рис. 2.22, б).

Рис. 2.22. Построение сопряжения окружности и прямой

Видео:Построение касательной к окружностиСкачать

Сопряжение двух дуг дугой заданного радиуса

Даны две дуги, радиусы которых R1 и R2. Требуется построить сопряжение дугой, радиус которой задан.

Различают три случая касания: внешнее (рис. 2.23, а, б), внутреннее (рис. 2.23, в) и смешанное (см. рис. 2.25). Во всех случаях центры сопряжений должны быть расположены от заданных дуг на расстоянии радиуса дуги сопряжения.

Рис. 2.23. Построение сопряжения двух дуг окружностей

Построение выполняют следующим образом:

Для внешнего касания:

1) из центров Ο1 и О2 раствором циркуля, равным сумме радиусов заданной и сопрягающей дуг, проводят вспомогательные дуги (рис. 2.23, а); радиус дуги, проведенной из центра Ο1, равен R1 + R3; а радиус дуги, проведенной из центра O2, равен R2 + R3. На пересечении вспомогательных дуг расположен центр сопряжения – точка O3;
2) соединив прямыми точку Ο1 с точкой 03 и точку O2 с точкой O3, находят точки сопряжения M и N (рис. 2.23, б);
3) из точки 03 раствором циркуля, равным R3, между точками Μ и Ν описывают сопрягающую дугу.

Для внутреннего касания выполняют те же построения, но радиусы дуг берут равными разности радиусов заданной и сопрягающей дуг, т.е. R4 – R1 и R4 – R2. Точки сопряжения Р и К лежат на продолжении линий, соединяющих точку O4 с точками O1 и O2 (рис. 2.23, в).

Для смешанного (внешнего и внутреннего) касания (1-й случай):

1) раствором циркуля, равным сумме радиусов R1 и R3, из точки O2, как из центра, проводят дугу (рис. 2.24, а);
2) раствором циркуля, равным разности радиусов R2 и R3, из точки O2 проводят вторую дугу, пересекающуюся с первой в точке O3 (рис. 2.24, б);
3) из точки О1 проводят прямую линию до точки O3, из второго центра (точка O2) проводят прямую через точку O3 до пересечения с дугой в точке М (рис. 2.24, в).

Точка O3 является центром сопряжения, точки М и N – точками сопряжения;

4) поставив ножку циркуля в точку O3, радиусом R3 проводят дугу между точками сопряжения Μ и Ν (рис. 2.24, г).

Рис. 2.24. Построение сопряжения двух дуг окружностей при сочетании внешнего и внутреннего касания

Для смешанного касания (2-й случай):

1) две сопрягаемые дуги окружностей радиусов R1 и R2 (рис. 2.25);
2) расстояние между центрами О i и O2 этих двух дуг;
3) радиус R3 сопрягающей дуги;

1) определить положение центра O3 сопрягающей дуги;
2) найти на сопрягаемых дугах точки сопряжения;
3) провести дугу сопряжения

Видео:Строим касательную к окружности (Задача 3).Скачать

Последовательность построения

Откладывают заданные расстояния между центрами Ο1 и O2. Из центра О1 проводят вспомогательную дугу радиусом равным сумме радиусов сопрягаемой дуги радиуса R1 и сопрягающей дуги радиуса R3, а из центра O2 проводят вторую вспомогательную дугу радиусом, равным разности радиусов R3 и R2, до пересечения с первой вспомогательной дугой в точке O3, которая будет искомым центром сопрягающей дуги (рис. 2.25).

Рис. 2.25. Построение сопряжения двух дуг окружностей при смешанном касании

Точки сопряжения находят по общему правилу, соединяя прямыми центры дуг O3 и O1, O3 и O2. На пересечении этих прямых с дугами соответствующих окружностей находят точки М и N.

В технике встречаются детали, поверхности которых ограничены плоскими кривыми: эллипсом, эвольвентной окружностью, спиралью Архимеда и др. Такие кривые линии нельзя вычертить циркулем.

Их строят по точкам, которые соединяют плавными линиями с помощью лекал. Отсюда название лекальные кривые.

Эвольвента окружности приведена на рис. 2.26. Каждая точка прямой, если ее катить без скольжения по окружности, описывает эвольвенту.

Рис. 2.26. Эвольвента окружности

Рабочие поверхности зубьев большинства зубчатых колес имеют эвольвентное зацепление (рис. 2.27).

Рис. 2.27. Зубья эвольвентного профиля

Спираль Архимеда изображена на рис. 2.28. Это плоская кривая, которую описывает точка, равномерно движущаяся от центра О по вращающемуся радиусу.

Рис. 2.28. Эвольвента окружности

По спирали Архимеда нарезают канавку, в которую входят выступы кулачков самоцентрирующего трехкулачкового патрона токарного станка (рис. 2.29). При вращении конической шестерни, на обратной стороне которой нарезана спиральная канавка, кулачки сжимаются.

При выполнении этих (и других) лекальных кривых на чертеже можно для облегчения работы воспользоваться справочником.

Видео:Как с помощью одной линейки построить касательную к окружности?Скачать

Построение эллипса

Размеры эллипса определяются величиной его большой АВ и малой CD осей (рис. 2.30). Описывают две концентрические окружности. Диаметр большей равен длине эллипса (большой оси АВ), диаметр меньшей – ширине эллипса (малой оси CD). Делят большую окружность на равные части, например на 12. Точки деления соединяют прямыми, проходящими через центр окружностей. Из точек пересечения прямых с окружностями проводят линии, параллельные осям эллипса, как показано на рисунке. При взаимном пересечении этих линий получают точки, принадлежащие эллипсу, которые, соединив предварительно от руки тонкой плавной кривой, обводят с помощью лекала.

Рис. 2.29. Зубья эвольвентного профиля

Рис. 2.30. Построение эллипса

Практическое применение геометрических построений

Дано задание: выполнить чертеж ключа, показанного на рис. 2.31. Как это сделать?

Прежде чем начинать чертить, проводят анализ графического состава изображения, чтобы установить, какие случаи геометрических построений необходимо применить. На рис. 2.31 показаны эти построения.

Рис. 2.31. Анализ контура изображения ключа

Чтобы вычертить ключ, нужно провести взаимно перпендикулярные прямые, описать окружности, построить шестиугольники, соединив верхние и нижние их вершины прямыми, выполнить сопряжение дуг и прямых дугами заданного радиуса.

Какова последовательность этой работы?

Вначале проводят те линии, положение которых определено заданными размерами и не требует дополнительных построений (рис. 2.32, а), т.е. проводят осевые и центровые линии, описывают по заданным размерам четыре окружности и соединяют концы вертикальных диаметров меньших окружностей прямыми линиями.

Рис. 2.32. Последовательность выполнения геометрических построений при вычерчивании ключа

Дальнейшая работа по выполнению чертежа требует применения изложенных в п. 2.2 и 2.3 геометрических построений.

В данном случае нужно построить шестиугольники и выполнить сопряжение дуг с прямыми (рис. 2.32, б). Это и будет второй этап работы.

Видео:Построение касательной к окружностиСкачать

Восемь способов построения касательной к окружности

Государственное бюджетное образовательное учреждение

Проектная работа по геометрии.

Восемь способов построения касательной к окружности.

9 биолого-химический класс

заместитель директора по учебной работе,

Высшее проявление духа – это разум.

Высшее проявление разума – это геометрия.

Клетка геометрии – треугольник. Он так же

неисчерпаем, как и вселенная. Окружность – душа геометрии.

Познайте окружность, и вы не только познаете душу

геометрии, но и возвысите душу свою.

Построить касательную к окружности с центром О и радиусом R, проходящую через точку А, лежащую вне окружности

Построения касательной к окружности, не требующие обоснования, опирающегося на теорию параллельных прямых.

Построение №1.

1. Проведу отрезок ОА

2. Найду К – середину ОА

3. Построю окружность (К; КА).

4. Отмечу точки пересечения окружности (О; r) и окружности (К; КА) С и В.

5. Проведу АВ и ОВ.

Треугольник ОВА – прямоугольный, так как он вписан в окружность, и гипотенуза совпадает с диаметром окружности (К; КА). Следовательно, АВО =90°. Для окружности (О; r) ОВ – радиус. ОВ АВ, следовательно, АВ – касательная по признаку касательной.

Аналогично, АС – касательная к окружности.

Построение № 1 основывается на факте, который гласит, что касательная окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Для прямой имеется лишь одна точка касания с окружностью.

Через данную на прямой точку можно провести лишь одну перпендикулярную прямую.

1. Построю окружность (А; АО)

2. Построю окружность (О; 2R)

3. Построенные окружности пересекаются в точках М и N.

4. Отрезки ОМ и ОN пересекают данную окружность (О;R) в точках С и В.

5. АВ и АС – искомые касательные.

1. Проведу АО – радиус окружности (А;АО)

АМ и AN также радиусы окружности (А;АО), следовательно

2. ОВ = ВМ = ОС = CN = 0,5OM= 0,5ON, так как ОМ – радиус окружности (O;2R), а ОС – радиус окружности (О;R)

3. Рассмотрим треугольник ОАМ. В нем АМ=ОА, тогда Δ ОАМ равнобедренный по определению. ОВ= ВМ, следовательно, АВ – медиана и высота ΔОАМ, по свойству равнобедренного треугольника.

4. Так как в ΔОАМ АВ – высота, следовательно, АВО = 90°

5. ОВ – радиус, АВО = 90°, следовательно, АВ – касательная по признаку.

6. Аналогично в равнобедренном треугольнике AON АС – касательная (АСО = 90°, ОС – радиус)

7. Итак, АВ и АС – касательные

1. Построю концентрические окружности (О; r) и (O; OA)

2. Проведу ОА; ОА пересекает окружность (О; r) в точке Р.

3. Проведу перпендикуляр МN к радиусу ОА в точке Р.

4. MN пересекает окружность(О; ОА) в точках М и N.

5. Проведу ОМ и ОN. Эти отрезки пересекают окружность (О; r) в точках В и С соответственно.

6. АВ и АС– искомые касательные.

1. ОМ =ОА т. к. радиусы

2. В треугольниках ОМР и ОВА:

ОР = ОВ как радиусы, ОМ = ОА как радиусы, следовательно, ΔОМР = ΔОВА по двум сторонам и углу между ними.

3. Следовательно ОРМ =ОВА= 90° ( как соответствующие углы в равных треугольниках), следовательно, АВ – касательная по признаку касательной.

4. Аналогично, АС – касательная

1. Построю окружность (О, 2r).

2. Построю произвольную касательную к окружности (О; r), пересекающую окружность (О, 2r) в точках M и N.

3. Рассмотрим поворот относительно точки О на угол АОМ, равный α.

4. Точку М надо повернуть на угол α, следовательно она перейдет точку А

Точку М надо повернуть на (180 — α) следовательно, точка М перейдет в точку К.

Тогда, так как угол α остается тем же, AD и АК – касательные по признаку

Построения касательной к окружности одной линейкой, одним циркулем.

1. Прямая ОА пересекает окружность (О, r) в точках Р и Q.

2. Проведу через точку А произвольную прямую, пересекающую окружность(О, r) в точках М и N.

3. Прямая PN пересекает прямую QM в точке L.

4. Прямая PM пересекает прямую QN в точке K.

5. Прямая KL пересекает окружность в точках B и С.

6. АВ и ВС – искомые касательные.

1. Т. к. треугольники PQN и PQM вписаны в окружность и сторона PQ является диаметром окружности, то эти треугольники прямоугольные.

2. В треугольнике PQL отрезки PM и QN – высоты, пересекающиеся в точке К, поэтому KL – третья высота. Тогда KL PQ.

3. Пусть DPK=α, DQK=β. Тогда ctg α : ctg β= |PD|:|DQ| (1).

Построю перпендикуляр к прямой АР в точке А, пересекающий прямую РМ в точке S. Тогда |PA|=|AS|ctg α и |AQ|=|AS|ctg AQS.

4. Так как AQS =AMS = 180° — PMN = PQN = β, то |AQ| = |AS|ctg β. Поэтому |PA| : |AQ| = ctg α : ctg β (2).

5. Сопоставляя (1) и (2) получу |PD| : |PA| = |DQ| : |AQ|, или

После раскрытия скобок и упрощений нахожу, что |OD|·|OA|=R².

5. Из соотношения |OD|·|OA|=R² следует, что |OD|:R=R: |OA|, то есть треугольники ODB и OBA подобны. Поскольку ODB= 90°, то OBA=90°.Следовательно, прямая АВ – искомая касательная, что и требовалось доказать.

Построение № 6.

1. Прострою окружность (A; |OA|).

2. Найду раствор циркуля, равный 2R, для чего выберу на окружности (О; R) точку S и отложу три дуги, содержащие по 60º: SP=PQ=QT=60°. Точки S и T диаметрально противоположны.

3. Строю окружность (О; ST), пересекающую w1Что это за окружность? в точках М и N.

4. Теперь построю середину МО. Для этого строю окружности (O; OM) и (М; МО), а затем для точек М и О находим на них диаметрально противоположные точки U и V.

5. Далее строю окружность (U; UM), пересекающую (М; МО) в точках К и L.

6. Наконец, построю окружность (К; КМ) и (L; LM), пересекающиеся в искомой точке В – середине МО.

Треугольники КМВ и UMK равнобедренные и подобные. Поэтому из того, что КМ= 0,5МU, следует, что МВ=0,5МК=0,5R. Итак, точка В – искомая точка касания. Аналогично можно найти точку касания С.

Построения касательной к окружности, основанные на свойствах секущих, биссектрис.