Две параллельные прямые а и б пересекает третья прямая с если угол

Если две произвольные прямые AB и СD пересечены третьей прямой MN, то образовавшиеся при этом углы получают попарно такие названия:

соответственные углы: 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7;

внутренние накрест лежащие углы: 3 и 5, 4 и 6;

внешние накрест лежащие углы: 1 и 7, 2 и 8;

внутренние односторонние углы: 3 и 6, 4 и 5;

внешние односторонние углы: 1 и 8, 2 и 7.

Описанные углы видны на рисунке:

Теорема.

Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то сформировавшиеся:

1. внутренние накрест лежащие углы одинаковы;

2. внешние накрест лежащие углы одинаковы;

3. соответственные углы одинаковы;

4. сумма внутренних односторонних углов будет 2d = 180 0 ;

5. сумма внешних односторонних углов будет 2d = 180 0 ;

Данную теорему иллюстрирует рисунок:

Имеются две параллельные прямые AB и СD, их пересекает третья прямая MN.

1. ∠ 4 = ∠ 6 и ∠ 3 = ∠ 5;

2. ∠ 2 = ∠ 8 и ∠ 1 = ∠ 7;

3. ∠ 2 =∠ 6, ∠ 1 = ∠ 5, ∠ 3 = ∠ 7, ∠ 4 = ∠ 8;

4. ∠ 3 + ∠ 6 = 2d и ∠ 4 + ∠ 5 = 2d;

5. ∠ 2 + ∠ 7 = 2d и ∠ 1 + ∠ 8 = 2d.

1. Из середины E того отрезка прямой MN, который размещается между параллельными прямыми, прочертим на СD перпендикуляр EK и продолжим его до пересечения с AB в точке L. Так как перпендикуляр к одной из параллельных есть также и перпендикуляр к другой параллельной, то образовавшиеся при этом треугольники (заштрихованные на чертеже) — оба прямоугольные. Они одинаковы, потому что в них по равной гипотенузе и по одинаковому острому углу при точке E. Из равенства треугольников получаем, что внутренние накрест лежащие углы 4 и 6 одинаковы. Два прочих внутренних накрест лежащих угла 3 и 5 одинаковы, как дополнения до 2d к одинаковым углам 4 и 6 (как смежные с 4 и 6).

2. Внешние накрест лежащие углы равны соответственно внутренним накрест лежащим углам, как углы вертикальные.

Так, ∠ 2 = ∠ 4 и ∠ 8 = ∠ 6, но по доказанному ∠ 4 = ∠ 6.

Следовательно, ∠ 2 =∠ 8.

3. Соответственные углы 2 и 6 одинаковы, поскольку ∠ 2 = ∠ 4, а ∠ 4 = ∠ 6. Также убедимся в равенстве других соответственных углов.

4. Сумма внутренних односторонних углов 3 и 6 будет 2d, потому что сумма смежных углов 3 и 4 равна 2d = 180 0 , а ∠ 4 можно заменить идентичным ему ∠ 6. Также убедимся, что сумма углов 4 и 5 равна 2d.

5. Сумма внешних односторонних углов будет 2d, потому что эти углы равны соответственно внутренним односторонним углам, как углы вертикальные.

Из выше доказанного обоснования получаем обратные теоремы.

Когда при пересечении двух прямых произвольной третьей прямой получим, что:

1. Внутренние накрест лежащие углы одинаковы;

или 2. Внешние накрест лежащие углы одинаковые;

или 3. Соответственные углы одинаковые;

или 4. Сумма внутренних односторонних углов равна 2d = 180 0 ;

или 5. Сумма внешних односторонних равна 2d = 180 0 ,

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Две параллельные прямые а и б пересекает третья прямая с если угол

305. Параллельны ли изображённые на рисунке 212 прямые a и b , если:

3) ∠ 4 = 125°, ∠ 6 = 55°;

4) ∠ 2 = 35°, ∠ 5 = 146°;

5) ∠ 1 = 98°, ∠ 6 = 82°;

6) ∠ 1 = 143°, ∠ 7 = 37°?

306. На каких из рисунков 213, а – г прямые m и n параллельны?

307. На рисунке 214 укажите все пары параллельных прямых.

308. На рисунке 215 укажите параллельные прямые, если ∠ 1 = 53°, ∠ 2 = 128°, ∠ 3 = 127°.

309. На рисунке 216 AB = BC , CD = DK . Докажите, что AB ‖ DK .

310. На рисунке 217 AK — биссектриса угла BAC , AM = MK . Докажите, что MK ‖ AC .

311. На рисунке 218 ∠ ACB = ∠ ACD , AD = CD . Докажите, что BC ‖ AD .

312. В треугольнике ABC известно, что AB = BC , ∠ A = 60°, ∠ BCD — смежный с ∠ ACB , CM — биссектриса угла BCD . Докажите, что AB ‖ CM .

313. Отрезки AB и CD пересекаются в точке O и делятся этой точкой пополам. Докажите, что AC ‖ BD .

314. На рисунке 219 AB = CD , BC = AD . Докажите, что AB ‖ CD .

315. Известно, что некоторая прямая m пересекает прямую a (рис. 220). Пересекает ли прямая m прямую b ?

316. Каково взаимное расположение прямых CD и EF на рисунке 221?

317. Угол ABC равен 60°, а угол BCD — 120°. Можно ли утверждать, что прямые AB и CD параллельны?

318. Угол между прямыми a и c равен углу между прямыми b и c . Можно ли утверждать, что прямые a и b параллельны?

319. Четыре угла, образованные при пересечении прямых a и b прямой c , равны по 40°, а любой из остальных четырёх углов — 140°. Можно ли утверждать, что прямые a и b параллельны?

320. Прямая пересекает биссектрису BM треугольника ABC в точке O , являющейся серединой отрезка BM , а сторону BC — в точке K . Докажите, что если OK ⊥ BM , то MK ‖ AB .

321. Отрезки AM и CK — медианы треугольника ABC . На продолжении отрезка AM за точку M отложен отрезок MF , а на продолжении отрезка CK за точку K — отрезок KD так, что MF = AM , KD = CK . Докажите, что точки B , D и F лежат на одной прямой.

Упражнения для повторения

322. Луч OC разбивает угол AOB на два угла так, что ∠ AOC : ∠ BOC = 3 : 5. Найдите угол между лучом OC и биссектрисой угла, смежного с углом AOB , если угол BOC на 42° больше угла AOC .

323. На рисунке 222 AB = BC , ∠ ABK = ∠ CBM . Докажите, что BM = BK .

324. Равнобедренные треугольники ABC и ADC имеют общее основание AC . Прямая BD пересекает отрезок AC в точке E . Докажите, что AE = EC .

Наблюдайте, рисуйте, конструируйте, фантазируйте

325. Приведите пример, когда общей частью (пересечением) треугольника и четырёхугольника является восьмиугольник.

Когда сделаны уроки

Пятый постулат Евклида

В § 6 вы узнали, что в качестве аксиом выбирают очевидные утверждения. Тогда почему бы, например, теоремы 1.1 и 5.1 не включить в список аксиом, ведь они тоже очевидны? Ответ на этот вопрос понятен: если какое-то утверждение можно доказать с помощью аксиом, то это утверждение — теорема, а не аксиома. С этих позиций очень поучительна история, связанная с пятым постулатом Евклида

V постулат. И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороны от секущей, с которой эта сумма меньше двух прямых углов ( рис. 223 ).

Можно показать, что пятый постулат и сформулированная нами в § 13 аксиома параллельности прямых равносильны, т. е. из постулата следует аксиома и наоборот — из аксиомы следует постулат.

Более двадцати веков многие учёные пытались доказать пятый постулат, т. е. вывести его из других аксиом Евклида. Лишь в начале XIX в. несколько математиков независимо друг от друга пришли к выводу: утверждение, что через данную точку, не лежащую на данной прямой, мож но провести только одну прямую, параллельную данной , является аксиомой.

Вам может показаться, что в этом выводе ничего особенного нет: присоединяем аксиому параллельности к уже существующему списку аксиом-правил, а дальше доказываем теоремы.

Однако если в футболе добавить только одно правило, например разрешить полевым игрокам играть и руками, то мы получим совершенно новую игру.

Если пятый постулат — это правило, которое мы принимаем, а не теорема, то его можно заменить противоположным утверждением.

Так и поступил Н.И. Лобачевский. Он заменил лишь одно правило — аксиому параллельности прямых — следующим: через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, не пересекающие данную. Новая аксиома позволила построить новую геометрию — неевклидову.

Н.И. Лобачевский (1792–1856)

Выдающийся русский математик, про-

фессор Казанского университета.

С подобной идеей несколько позже выступил венгерский математик Янош Бойяи (1802–1860).

Видео:Параллельность прямых. 10 класс.Скачать

Две параллельные прямые пересекает третья прямая (a∥b, c пересекает a и b и не перпендикулярна им)?

Геометрия | 5 — 9 классы

Две параллельные прямые пересекает третья прямая (a∥b, c пересекает a и b и не перпендикулярна им).

Отметьте утверждения, которые верны.

Соответственные углы равны.

Накрест лежащие углы равны.

Сумма соответственных углов равна 360 градусов.

Сумма односторонних углов равна 360 градусов.

Сумма накрест лежащих углов равна 360 градусов.

Односторонние углы не равны.

Соответственные углы равны

Накрест лежащие углы равны.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

Две параллельные прямые пересекает третья прямая (a∥b, c пересекает a и b)?

Две параллельные прямые пересекает третья прямая (a∥b, c пересекает a и b).

Отметьте утверждения, которые верны.

Сумма соответственных углов равна 180 градусов.

Соответственные углы равны.

Односторонние углы равны.

Сумма односторонних углов равна 360 градусов.

Накрест лежащие углы равны.

Сумма накрест лежащих углов равна 180 градусов.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать

Две параллельные прямые пересекает третья прямая (a∥b, c пересекает a и b)?

Две параллельные прямые пересекает третья прямая (a∥b, c пересекает a и b).

Отметьте утверждения, которые верны.

Односторонние углы не равны.

Сумма односторонних углов равна 360 градусов.

Соответственные углы равны.

Сумма накрест лежащих углов равна 360 градусов.

Накрест лежащие углы равны.

Сумма соответственных углов равна 360 градусов.

Видео:10 класс, 5 урок, Параллельность трех прямыхСкачать

1) Две прямые параллельны, если при пересечении данных прямых третьей прямой :1 : вертикальные углы равны?

1) Две прямые параллельны, если при пересечении данных прямых третьей прямой :

1 : вертикальные углы равны.

2 : сумма смежных углов равна 180 градусам

3 : накрест лежащие углы равны.

4 : сумма соответственных углов равна 180 градусам.

Видео:№211. Две параллельные прямые пересечены секущей. Докажите, что: а) биссектрисыСкачать

Две прямые параллельны, если при перечеслении данных прямых третьей :1)вертикальные углы равны?

Две прямые параллельны, если при перечеслении данных прямых третьей :

1)вертикальные углы равны.

2)внутренние односторонние углы равны.

3)сумма накрест лежащих углов равна 180°.

4)соответственные углы равны.

Видео:Параллельные прямые — Признак Параллельности Прямых и Свойства УгловСкачать

Две параллельные прямые пересекает третья прямая (a∥b, c пересекает a и b)?

Две параллельные прямые пересекает третья прямая (a∥b, c пересекает a и b).

Отметьте утверждения, которые ложны.

1 Сумма односторонних углов равна 180 градусов.

2 Односторонние углы равны.

3 Сумма соответственных углов равна 180 градусов.

4 Накрест лежащие углы равны.

5 Соответственные углы равны.

6 Сумма накрест лежащих углов равна 180 градусов.

Видео:7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать

Докажите теоремыЕсли внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельныЕсли сумма внутренних односторонних углов равна 180 градусов, то прямые параллельныЕсли соответственные углы равны, то ?

Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны

Если сумма внутренних односторонних углов равна 180 градусов, то прямые параллельны

Если соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Видео:Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать

1. Выберите правильное утверждение1) Если односторонние углы равны, то две прямые параллельны2) Если соответственные углы равны, то две прямые параллельны3)Если сумма соответственных углов равна 180 г?

1. Выберите правильное утверждение

1) Если односторонние углы равны, то две прямые параллельны

2) Если соответственные углы равны, то две прямые параллельны

3)Если сумма соответственных углов равна 180 градусам, то две прямые параллельны

4) Если сумма накрест лежащих углов равна 180 градусам, то две прямые параллельны

В равно бедренном треугольнике угол при вершине равен 70 градусов.

Чему равны остальные углы?

1)70 градусов и 70 градусов

4) невозможно вычислить.

Видео:Параллельные прямые - геометрия 7 классСкачать

Выберите верное утверждение?

Выберите верное утверждение.

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то а) Накрест лежащие углы равны б)Смежные углы равны в)Соответственные углы в сумме дают 180° г)Односторонние углы равны.

Видео:Геометрия 7 класс : Параллельные прямые и признак параллельности двух прямыхСкачать

2. Укажите номера неверных вариантов утверждения?

2. Укажите номера неверных вариантов утверждения.

Прямые параллельны, если при пересечении двух прямых секущей

1) накрест лежащие углы равны

2) сумма соответственных углов равна 180 градусам

3) односторонние углы равны

4) сумма односторонних углов равна 180 градусам

5) соответственные углы равны.

Видео:ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ. §13 геометрия 7 классСкачать

Найдите углы образованные при пересечении двух параллельных прямых третий прямой если :a ) сумма соответственных углов равна 260 градусовb) величины внутренних односторонних углов относится как 7 : 11?

Найдите углы образованные при пересечении двух параллельных прямых третий прямой если :

a ) сумма соответственных углов равна 260 градусов

b) величины внутренних односторонних углов относится как 7 : 11

с ) сумма внутренних накрест лежащих углов равна 260 градусов

Если вам необходимо получить ответ на вопрос Две параллельные прямые пересекает третья прямая (a∥b, c пересекает a и b и не перпендикулярна им)?, относящийся к уровню подготовки учащихся 5 — 9 классов, вы открыли нужную страницу. В категории Геометрия вы также найдете ответы на похожие вопросы по интересующей теме, с помощью автоматического «умного» поиска. Если после ознакомления со всеми вариантами ответа у вас остались сомнения, или полученная информация не полностью освещает тематику, создайте свой вопрос с помощью кнопки, которая находится вверху страницы, или обсудите вопрос с посетителями этой страницы.

Угол АОВ = 180 — 100 = 80 градусов(смежные угла) 2) АО = ВО(радиусы равны) 3)треугол. АОВ равнобедренный следовательно, Угол Ова и угол ОАВ = 180 — 80 = 100 : 2 = 50 градусов(по св. Равнобедренных треугольников.

1. BD = AC OB = OC BD = BO + OB AC = OC + AO Тогда AO = OB. Итак, BO = BO, AO = OB, ∠BOA = ∠COA — как вертикальные, значит, ΔAOB = ΔCOD — по I признаку. 2. ∠BOA = 180° — ∠1 — как смежные ∠BOC = 180° — ∠2 — как смежные Но∠1 = ∠2⇒∠BOA = ∠BOC. Итак, ..

Ρ = m / V V = 4 / 3 * π R³ = 4 / 3 * π * 0, 3³≈ 4 / 3 * 3 * 0, 027 = 0, 908(м³) ρ = 118, 75 / 0, 908 ≈ 130, 8кг / м³.

Дано : SАВС — правильная пирамида, ΔАВС — правильный, АВ = ВС = АС = 6 см ; SО — высота пирамиды равна 12 см. Построим ВК⊥АС, ВК — высота, медиана и биссектрисаΔАВС. ОК : ОВ = 1 : 2. ΔВСК. СК = 0, 5·АС = 3 см. ВК² = ВС² — СК² = 36 — 9 = 27, ВК =..

2АК = КС, значит АК : КС = 1 : 2 и АК : АС = 1 : 3. Следствием теоремы о площади треугольника по его стороне и высоте, к ней проведённой, является то, что отношение площадей треугольников с одинаковыми высотами равно отношению их сторон, к которым в..

Поскольку в трапеции основы паралельные, то имеем равнобедренный треугольник с основой диагональю. Получаем что боки равнобокой трапеции равны по 12. Отсуда периметр 12 + 12 + 12 + 18 = 36 + 18 = 54.

Билет №1 1. А) Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм б) Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм в) Если в четырехугольнике ди..

Билет 2 b) 1) треугольники подобны по трём углам (см. Доказательство по равенству) 2) Найдём коэффициент подобия AB : CD = 8 / 15. Тогда AO : OD = BO : OC = 8 / 15 АО : 9 = 8 / 15 АО = 72 / 15 = 4, 8 ВО : 12 = 8 / 15 ВО = 96 / 15 = 6 6 / 15.

Пусть дан прямоугольный треугольник АВС, где АС = 7 см, ВС = 25 см, угол А = 90 градусов. АН — высота, проведенная к гипотенузе. Найдем АВ по теореме Пифагора : АВ = √(ВС ^ 2 — AC ^ 2) = 24 cм. Найдем АН через площадь треугольника. S = 1 2 * АВ..

📺 Видео

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать

Доказательство 2 и 3 признаков параллельности прямых.Скачать

Пересекающиеся и параллельные прямые, лучи, отрезки. Задачи. Геометрия. Математика 2 класс.Скачать

Теорема 13.1. Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны || Геометрия 7 класс ||Скачать

Признаки параллельности прямых. Видеоурок по геометрии 7 классСкачать

№204 Концы отрезка АВ лежат на параллельных прямых а и b. Прямая, проходящая через середину ОСкачать

Теорема 13.2 Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны ||Геометрия 7 класс||Скачать

№202. На рисунке 116 прямые а, b и с пересечены прямой d, ∠1=42°, ∠2=140°, ∠3=138°. Какие из прямыхСкачать