В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности равен половине высоты

Свойства равностороннего треугольника: теория и пример задачи

В данной статье мы рассмотрим определение и свойства равностороннего (правильного) треугольника. Также разберем пример решения задачи для закрепления теоретического материала.

Видео:Задача 6 №27910 ЕГЭ по математике. Урок 130Скачать

Задача 6 №27910 ЕГЭ по математике. Урок 130

Определение равностороннего треугольника

Равносторонним (или правильным) называется треугольник, в котором все стороны имеют одинаковую длину. Т.е. AB = BC = AC.

В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности равен половине высоты

Примечание: правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, имеющий равные стороны и углы между ними.

Видео:№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружностиСкачать

№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружности

Свойства равностороннего треугольника

Свойство 1

В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Т.е. α = β = γ = 60°.

В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности равен половине высоты

Свойство 2

В равностороннем треугольнике высота, проведенная к любой из сторон, одновременно является биссектрисой угла, из которого она проведена, а также медианой и серединным перпендикуляром.

В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности равен половине высоты

CD – медиана, высота и серединный перпендикуляр к стороне AB, а также биссектриса угла ACB.

Свойство 3

В равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы, высоты и серединные перпендикуляры, проведенные ко всем сторонам, пересекаются в одной точке.

В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности равен половине высоты

Свойство 4

Центры вписанной и описанной вокруг равностороннего треугольника окружностей совпадают и находятся на пересечении медиан, высот, биссектрис и серединных перпендикуляров.

В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности равен половине высоты

Свойство 5

Радиус описанной вокруг равностороннего треугольника окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности.

В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности равен половине высоты

  • R – радиус описанной окружности;
  • r – радиус вписанной окружности;
  • R = 2r.

Свойство 6

В равностороннем треугольнике, зная длину стороны (условно примем ее за “a”), можно вычислить:

1. Высоту/медиану/биссектрису:
В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности равен половине высоты

2. Радиус вписанной окружности:
В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности равен половине высоты

3. Радиус описанной окружности:
В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности равен половине высоты

4. Периметр:
В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности равен половине высоты

5. Площадь:
В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности равен половине высоты

Видео:ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэСкачать

ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэ

Пример задачи

Дан равносторонний треугольник, сторона которого равна 7 см. Найдите радиус описанной вокруг и вписанной окружности, а также, высоту фигуры.

Решение
Применим формулы, приведеные выше, для нахождения неизвестных величин:

Видео:Формулы равностороннего треугольника #shortsСкачать

Формулы равностороннего треугольника #shorts

Окружность описанная около равностороннего треугольника свойства и формулы

Видео:Задание 16 ОГЭ по математике. Окружность описана около равностороннего треугольника. Задача 2Скачать

Задание 16 ОГЭ по математике. Окружность описана около  равностороннего   треугольника. Задача 2

Окружность, описанная около правильного треугольника

Окружность, описанная около правильного треугольника, обладает всеми свойствами описанной около произвольного треугольника окружности и, кроме того, имеет свои собственные свойства.

1) Центр описанной около треугольника окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

Поскольку в равностороннем треугольнике медианы, высоты и биссектрисы совпадают, центр описанной около правильного треугольника окружности лежит в точке пересечения его медиан, высот и биссектрис.

В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности равен половине высотыНапример, в правильном треугольнике ABC AB=BC=AC=a

точка O — центр описанной окружности.

AK, BF и CD — медианы, высоты и биссектрисы треугольника ABC.

В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности равен половине высоты

В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности равен половине высоты

2) Расстояние от центра описанной окружности до вершин треугольника равно радиусу. Так как центр описанной около равностороннего треугольника окружности лежит на пересечении его медиан, а медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, то радиус описанной окружности составляет две трети от длины медианы:

В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности равен половине высоты

В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности равен половине высоты

Таким образом, формула радиуса описанной около правильного треугольника окружности

В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности равен половине высоты

И обратно, сторона равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности равен половине высоты

3) Формула для нахождения площади правильного треугольника по его стороне —

В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности равен половине высоты

Отсюда можем найти площадь через радиус описанной окружности:

В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности равен половине высоты

Таким образом, формула площади площади правильного треугольника через радиус описанной окружности

В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности равен половине высоты

4) Центр описанной около правильного треугольника окружности совпадает с центром вписанной в него окружности.

5) Радиус описанной около равностороннего треугольника окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности:

Видео:Радиус описанной окружностиСкачать

Радиус описанной окружности

Правильный треугольник. Площадь правильного треугольника

Правильный треугольник — треугольник, у которого все стороны равны. Каждый угол правильного треугольника равен градусов.
Правильный треугольник называют еще равносторонним.

В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности равен половине высоты

Каждая из высот правильного треугольника является также его медианой и биссектрисой.
Центры вписанной и описанной окружностей правильного треугольника совпадают.

Пусть сторона правильного треугольника равна .

Высота правильного треугольника:
Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник: .
Радиус описанной окружности в два раза больше: .
Площадь правильного треугольника: .

Все эти формулы легко доказать. Если вы нацелены на решение задач части — докажите их самостоятельно.

. Сторона правильного треугольника равна . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Задача решается в одну строчку. Радиус вписанной окружности .

. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, высота которого равна .

В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности равен половине высоты

Сравним формулы для высоты правильного треугольника и радиуса вписанной окружности. Очевидно, радиус вписанной окружности равен высоты.

. Сторона правильного треугольника равна . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности равен половине высоты

Радиус окружности, описанной вокруг правильного треугольника, равен .

Видео:Задача 6 №27909 ЕГЭ по математике. Урок 129Скачать

Задача 6 №27909 ЕГЭ по математике. Урок 129

Окружность, описанная около треугольника.
Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов

В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности равен половине высотыСерединный перпендикуляр к отрезку
В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности равен половине высотыОкружность описанная около треугольника
В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности равен половине высотыСвойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности равен половине высотыДоказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности равен половине высоты

Видео:ОГЭ 2023. РАЗБОР ЗАДАНИЯ №16 "Окружность"Скачать

ОГЭ 2023. РАЗБОР ЗАДАНИЯ №16 "Окружность"

Серединный перпендикуляр к отрезку

Определение 1 . Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).

В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности равен половине высоты

Теорема 1 . Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны.

В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности равен половине высоты

Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB . Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D .

В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности равен половине высоты

Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB . Действительно,

В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности равен половине высоты

В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности равен половине высоты

Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.

В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности равен половине высоты

Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE . Действительно,

В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности равен половине высоты

В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности равен половине высоты

Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2

Видео:Вписанная окружность в равностороннем треугольникеСкачать

Вписанная окружность  в равностороннем треугольнике

Окружность, описанная около треугольника

Определение 2 . Окружностью, описанной около треугольника , называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником .

В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности равен половине высоты

Видео:Окружность вписана в равносторонний треугольник, найти радиусСкачать

Окружность вписана в равносторонний треугольник, найти радиус

Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов

ФигураРисунокСвойство
Серединные перпендикуляры
к сторонам треугольника
В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности равен половине высотыВсе серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
Посмотреть доказательство
Окружность, описанная около треугольникаВ равностороннем треугольнике радиус описанной окружности равен половине высотыОколо любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиЦентр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиВ равностороннем треугольнике радиус описанной окружности равен половине высотыЦентром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиВ равностороннем треугольнике радиус описанной окружности равен половине высотыЦентр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.
Теорема синусовВ равностороннем треугольнике радиус описанной окружности равен половине высоты

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности равен половине высоты,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Площадь треугольникаВ равностороннем треугольнике радиус описанной окружности равен половине высоты

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Радиус описанной окружностиВ равностороннем треугольнике радиус описанной окружности равен половине высоты

Для любого треугольника справедливо равенство:

В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности равен половине высоты

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника
В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности равен половине высоты

Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Окружность, описанная около треугольникаВ равностороннем треугольнике радиус описанной окружности равен половине высоты

Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиВ равностороннем треугольнике радиус описанной окружности равен половине высоты

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиВ равностороннем треугольнике радиус описанной окружности равен половине высоты

Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиВ равностороннем треугольнике радиус описанной окружности равен половине высоты

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.

Теорема синусовВ равностороннем треугольнике радиус описанной окружности равен половине высоты

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности равен половине высоты,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Площадь треугольникаВ равностороннем треугольнике радиус описанной окружности равен половине высоты

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Радиус описанной окружностиВ равностороннем треугольнике радиус описанной окружности равен половине высоты

Для любого треугольника справедливо равенство:

В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности равен половине высоты

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Видео:ОГЭ 2020 задание 17Скачать

ОГЭ 2020 задание 17

Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Теорема 3 . Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).

В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности равен половине высоты

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.

Следствие . Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Доказательство . Рассмотрим точку O , в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).

При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:

из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA , OB , OC проходит через все три вершины треугольника ABC , что и требовалось доказать.

Теорема 4 (теорема синусов) . Для любого треугольника (рис. 7)

В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности равен половине высоты

В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности равен половине высоты.

Доказательство . Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса R хорды окружности радиуса R , на которую опирается вписанный угол величины φ , вычисляется по формуле:

l = 2Rsin φ .(1)

Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).

В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности равен половине высоты

Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.

Формула (1) доказана.

Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.7):

Видео:9 класс. Геометрия. Соотношения в равностороннем треугольнике.Скачать

9 класс. Геометрия. Соотношения в равностороннем треугольнике.

Равносторонний (правильный) треугольник

Равносторонний или правильный треугольник — треугольник, у которого три стороны равны. Все углы равностороннего треугольника равны.

Равносторонним треугольником называется такой треугольник, у которого все стороны равны, то есть АВ = ВС = АС (рис. 1)

В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности равен половине высоты

Свойства равностороннего (правильного) треугольника

  1. Все углы равностороннего треугольника равны по 60°

∠А=∠С=∠В=60°

  1. Биссектрисы треугольника являются медианами и высотами, то есть равны и точка их пересечения, является центром вписанной окружности (рис. 2).

В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности равен половине высоты

Из (рис. 2) обозначения:

h — высота=биссектриса=медиана

R — радиус описанной окружности
r — радиус вписанной окружности
a — стороны правильного треугольника

Формула периметра равностороннего треугольника:

P=3·a

Формула площади правильного треугольника:В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности равен половине высоты

Формула высоты (или медианы или биссектрисы) равностороннего треугольника:

В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности равен половине высоты

Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник:

В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности равен половине высоты

Радиус описанной окружности в равносторонний треугольник:

В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности равен половине высоты

Насколько публикация полезна?

Нажмите на звезду, чтобы оценить!

Средняя оценка 4.6 / 5. Количество оценок: 5

💥 Видео

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Геометрия Равносторонний треугольникСкачать

Геометрия  Равносторонний треугольник

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Найти радиус вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника. Разные способы.Скачать

Найти радиус вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника. Разные способы.

найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать

найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника

Задача 6 №27926 ЕГЭ по математике. Урок 141Скачать

Задача 6 №27926 ЕГЭ по математике. Урок 141

Формулы для радиуса окружности #shortsСкачать

Формулы для радиуса окружности #shorts
Поделиться или сохранить к себе: