Доказательство равенства треугольников с биссектрисой

Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Теорема о биссектрисе треугольника. Доказательство

Теорема 1. Биссектриса при вершине треугольника делит противоположную сторону на две отрезки, пропорциональные сторонам, прилежащим к данной вершине. То есть если биссектриса при вершине A делит в точке D сторону BC на отрезки BD и CD (Рис.1), то имеет место следующее соотношение:

(1)

Доказательство (метод площадей 1). Из вершины A опущена биссектриса AD. Построим вершину треугольника AH. Найдем площади треугольников ABD и ACD:

,

(3)

.

(4)

Построим следующее соотношение

.

(5)

С другой стороны, площадь треугольников ABD и ACD можно найти используя следующие формулы:

.

(6)

.

(7)

Построим следующее соотношение используя формулы (6) и (7):

.

(8)

Из формул (5) и (8) получим соотношение (1).

Доказательство (метод площадей 2). С одной стороны, аналогично вышеизложенному имеем соотношение (5). Далее из точки D проведем вершины L и M для треугольников ABD и ACD (Рис.2).

Тогда площади треугольников ABD и ACD можно найти из формул:

,

(9)

.

(10)

Построим следующее соотношение

.

(11)

Из формул (5) и (11) получим соотношение (1).

Доказательство (через теорему синусов). Рассмотрим треугольник ABC. Из точки A проведем биссектрису AD (Рис.3):

Применяя теорему синусов для треугольников ABD и ACD можем записать:

,

(12)

.

(13)

Поделив (12) на (13) и учитывая, что ( small sin(180°-delta)=sin delta , ) (см. статью Формулы приведения тригонометрических функций онлайн) получим равенство (1).

Доказательство (через подобие треугольников). Рассмотрим треугольник ABC. Из точки A проведем биссектрису AD (Рис.4). Проведем перпендикуляры из вершин B и C на луч AD и обозначим точки пересечения через L и K.

Рассмотрим треугольники ABL и ACK. Эти треугольники подобны по двум углам (( small ∠ ALB= ∠ AKC ,;; ∠ BAL= ∠ CAK ) ). Тогда имеем:

(14)

Рассмотрим, далее, треугольники BLD и CKD. Они также подобны поскольку ( small ∠ BLD= ∠ CKD ,) а углы BDL и CDK равны так как они вертикальные. Тогда имеет место следующее соотношение:

(15)

Из равенств (14) и (15) получаем:

.

Пример. Даны стороны треугольника ABC: AB=18, AC=6, BC=20. Найти отрезки, полученные делением биссектрисей большой стороны треугольника.

Решение. Поскольку напротив самой большой стороны треугольника находится вершина A, то бисскетриса AD делит сторону BC на отрезки BD и CD. Тогда имеем:

.

(16)

Обозначим BD=x. Тогда CD=BC−x=20−x. Подставляя данные в уравнение (16), получим:

.

(17)

Методом перекресного умножения упростим (17) и решим:

Видео:Признаки равенства треугольников. 7 класс.Скачать

Признаки равенства треугольников

О чем эта статья:

Видео:Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Первый признак равенства треугольников

Конечно, равенство треугольников всегда можно доказать наложением одного треугольника на другой. Но, согласитесь, — это несерьезно. Какое может быть наложение, когда есть три теоремы и можно их доказать.

Давайте рассмотрим три признака равенства треугольников.

Теорема 1. Равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

При наложении △A₁B₁C₁ на △ABC вершина A₁ совмещается с вершиной A, и сторона A₁B₁ накладывается на сторону AB, AC — на сторону A₁C₁.

Сторона A₁B₁ совмещается со стороной AB, вершина B совпадает с вершиной B₁, сторона A₁С₁ совмещается со стороной AС, вершина C совпадает с вершиной C₁.

Значит, происходит совмещение вершин В и В₁, С и С₁.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№10 - Первый признак равенства треугольников.)Скачать

Второй признак равенства треугольников

Теорема 2. Равенство треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Путем наложения △ABC на △A₁B₁C₁, совмещаем вершину А с вершиной A₁, вершины В и В₁ лежат по одну сторону от А₁С₁.

Тогда АС совмещается с A₁C₁, вершина C совпадает с C₁, поскольку мы знаем, что АС = A₁C₁.

AB накладывается на A₁B₁, поскольку мы знаем, что ∠A = ∠A₁.

CB накладывается на C₁B₁, поскольку мы знаем, что ∠C = ∠C₁.

Вершина B совпадает с вершиной B₁.

Видео:Третий признак равенства треугольников (доказательство) - геометрия 7 классСкачать

Третий признак равенства треугольников

Теорема 3. Равенство треугольников по трем сторонам.

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство 3 признака равенства треугольников:

Приложим △ABC к △A₁B₁C₁ таким образом, чтобы вершина A совпала с вершиной A₁, вершина B — с вершиной B₁, вершина C и вершина C₁ лежат по разные стороны от прямой А₁В₁.

Кроме трех основных теорем, запомните еще несколько признаков равенства треугольников.

Равны ли треугольники, можно определить не только по сторонам и углам, но и по высоте, медиане и биссектрисе.

1. Если угол, сторона, противолежащая этому углу, и высота, опущенная на другую сторону, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и высоте другого треугольника — такие треугольники равны.
   
2. Если две стороны и медиана, заключенная между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и медиане другого треугольника — такие треугольники равны.
   
3. Если сторона и две медианы, проведенные к двум другим сторонам, одного треугольника соответственно равны стороне и двум медианам другого треугольника — такие треугольники тоже равны.
   
4. Если две стороны и биссектриса, заключенная между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и биссектрисе другого треугольника — вы уже догадались сами: эти ребята равны.
   
5. Два треугольника равны, если сторона, медиана и высота, проведенные к другой стороне, одного треугольника соответственно равны стороне, медиане и высоте другого треугольника.
   

Как видите, доказать равенство треугольников можно по множеству признаков и десятком способов. Три признака равенства треугольников — основные. Все остальные способы также стоит запомнить, ведь треугольник — только с виду простая фигура.

Видео:Первый признак равенства треугольников. 7 класс.Скачать

Признаки равенства треугольников с использованием медианы, биссектрисы и высоты

Признаки равенства треугольников с использованием медианы, биссектрисы и высоты. Решетников Михаил Сергеевич, Харютченко Данил Александрович. Муниципальный этап.

Видео:Признаки равенства треугольников. Практическая часть. 7 класс.Скачать

Скачать:

Видео:7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать

Предварительный просмотр:

МУНИЦИПАЛЬНЫЙ ЭТАП XI ВСЕРОССИЙСКОГО ДЕТСКОГО КОНКУРСА
НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ И ТВОРЧЕСКИХ РАБОТ
«ПЕРВЫЕ ШАГИ В НАУКЕ»

Секция: информационные технологии; математика;

Тема: Признаки равенства треугольников с использованием медианы, биссектрисы и высоты

Авторы: Решетников Михаил Сергеевич, МОУ «Октябрьская СОШ им. Ю. Чумака», 8 класс

Харютченко Данил Александрович, МОУ «Октябрьская СОШ им. Ю. Чумака», 8 класс

Научный руководитель: Шевченко Елена Михайловна, учитель математики МОУ «Октябрьская СОШ им. Ю. Чумака»

Место выполнения работы: Белгородская область, Белгородский район, поселок Октябрьский

Признаки равенства треугольников с использованием медианы, биссектрисы и высоты

Треугольник – одна из самых простых и загадочных геометрических фигур. Вот уже два с половиной тысячелетия открываются его новые и новые свойства. Со времен «Начал» Евклида геометрия строится на основе трех признаков равенства треугольников. Исходя из того, что в треугольнике выделяют шесть основных элементов: три внутренних угла и три соответственно противолежащие им стороны, равенство треугольников устанавливается по равенству трех из шести элементов. Три следующих признака являются фундаментом геометрии:

1. по двум сторонам и углу между ними;
2. по стороне и прилежащим к ней углам;
3. по трём сторонам.

Эти признаки отличаются простотой формулировки и часто применяются при решении задач базового уровня. Рассматривая более сложные задачи, приходится фактически «изобретать велосипед», дважды или трижды применять известные признаки, конструируя из них решение. Это приводит к следующему выводу: известных трех признаков не всегда достаточно.

Если учесть, что для каждого треугольника однозначно определяются три медианы, три биссектрисы и три высоты, то число элементов треугольника увеличивается до 15. В связи с этим возникает следующая гипотеза: наряду с основными тремя признаками равенства треугольников можно сформулировать и доказать новые признаки равенства треугольников с использованием медианы, биссектрисы и высоты, знание которых поможет в решении многих геометрических задач.

Объектом данного исследования является треугольник и его элементы, в том числе медианы, биссектрисы и высоты; предмет исследования – признаки равенства треугольников.

• сформулировать и доказать новые признаки равенства треугольников;

• обосновать эффективность применения новых признаков равенства треугольников при решении геометрических задач.

• проанализировать определения и свойства медианы, биссектрисы и высоты;
• выявить зависимость между равенством отдельных элементов и равенством треугольников;
• определить типы геометрических задач, при решении которых целесообразно применение полученных признаков.

В работе применялись методы научного исследования: анализ, сравнение, математическое моделирование.

Для доказательства новых признаков равенства треугольников использовались только первый, второй и третий признаки равенства треугольников, что обеспечивает простоту доказательства и доступность данной работы для широкого круга школьников.

💡 Видео

Геометрия 7 класс (Урок№14 - Второй и третий признаки равенства треугольников.)Скачать

Свойство биссектрисы треугольника с доказательствомСкачать

Геометрия 7 класс (Урок№15 - Решение задач на признаки равенства треугольников.)Скачать

Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать

7 класс, 15 урок, Первый признак равенства треугольниковСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Первый признак равенства треугольников. Доказательство. Задачи по рисункам.Скачать

Второй признак равенства треугольников. 7 класс.Скачать

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)Скачать

Второй признак равенства треугольников. Доказательство. Задачи по рисунку. Геометрия 7Скачать

7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольникаСкачать