В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

Теорема синусов

В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:Две окружности | Резерв досрока ЕГЭ-2019. Задание 16. Профильный уровень | Борис Трушин |Скачать

Две окружности | Резерв досрока ЕГЭ-2019. Задание 16. Профильный уровень | Борис Трушин |

Доказательство теоремы синусов

Теорема синусов звучит так: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Нарисуем стандартный треугольник и запишем теорему формулой:

В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

Формула теоремы синусов:

В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

Докажем теорему с помощью формулы площади треугольника через синус его угла.

В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

Из этой формулы мы получаем два соотношения:


    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

В прямоугольный треугольника вписаны две окружности
На b сокращаем, синусы переносим в знаменатели:
В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

  • В прямоугольный треугольника вписаны две окружности
    bc sinα = ca sinβ
    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности
  • Из этих двух соотношений получаем:

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    Теорема синусов для треугольника доказана.

    Эта теорема пригодится, чтобы найти:

    • Стороны треугольника, если даны два угла и одна сторона.
    • Углы треугольника, если даны две стороны и один прилежащий угол.

    Видео:Геометрия В острый угол, равный 60, вписаны две окружности, извне касающиеся друг друга. РадиусСкачать

    Геометрия В острый угол, равный 60, вписаны две окружности, извне касающиеся друг друга. Радиус

    Доказательство следствия из теоремы синусов

    У теоремы синусов есть важное следствие. Нарисуем треугольник, опишем вокруг него окружность и рассмотрим следствие через радиус.

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    где R — радиус описанной около треугольника окружности.

    Так образовались три формулы радиуса описанной окружности:

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    Основной смысл следствия из теоремы синусов заключен в этой формуле:

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    Радиус описанной окружности не зависит от углов α, β, γ. Удвоенный радиус описанной окружности равен отношению стороны треугольника к синусу противолежащего угла.

    Для доказательства следствия теоремы синусов рассмотрим три случая.

    1. Угол ∠А = α — острый в треугольнике АВС.

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    Проведем диаметр BA1. В этом случае точка А и точка А1 лежат в одной полуплоскости от прямой ВС.

    Используем теорему о вписанном угле и видим, что ∠А = ∠А1 = α. Треугольник BA1C — прямоугольный, в нём ∠ BCA1 = 90°, так как он опирается на диаметр BA1.

    Чтобы найти катет a в треугольнике BA1C, нужно умножить гипотенузу BA1 на синус противолежащего угла.

    BA1 = 2R, где R — радиус окружности

    Следовательно: R = α/2 sinα

    Для острого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    2. Угол ∠А = α — тупой в треугольнике АВС.

    Проведем диаметр окружности BA1. Точки А и A1 по разные стороны от прямой ВС. Четырёхугольник ACA1B вписан в окружность, и его основное свойство в том, что сумма противолежащих углов равна 180°.

    Следовательно, ∠А1 = 180° — α.

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    Вспомним свойство вписанного в окружность четырёхугольника:

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    Также известно, что sin(180° — α) = sinα.

    В треугольнике BCA1 угол при вершине С равен 90°, потому что он опирается на диаметр. Следовательно, катет а мы находим таким образом:

    α = 2R sin (180° — α) = 2R sinα

    Следовательно: R = α/2 sinα

    Для тупого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    Часто используемые тупые углы:

    • sin120° = sin(180° — 60°) = sin60° = 3/√2;
    • sin150° = sin(180° — 30°) = sin30° = 1/2;
    • sin135° = sin(180° — 45°) = sin45° = 2/√2.

    3. Угол ∠А = 90°.

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    В прямоугольнике АВС угол А прямой, а противоположная сторона BC = α = 2R, где R — это радиус описанной окружности.

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    Для прямоугольного треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.

    Видео:В трапецию вписаны ДВЕ окружности. Что делать? | Планиметрия 91 | mathus.ru #егэ2024Скачать

    В трапецию вписаны ДВЕ окружности. Что делать? | Планиметрия 91 | mathus.ru #егэ2024

    Теорема о вписанном в окружность угле

    Из теоремы синусов и ее следствия можно сделать любопытный вывод: если известна одна сторона треугольника и синус противолежащего угла — можно найти и радиус описанной окружности. Но треугольник не задаётся только этими величинами. Это значит, что если треугольник еще не задан, найти радиус описанной окружности возможно.

    Раскроем эту тему на примере теоремы о вписанном в окружность угле и следствиях из нее.

    Теорема о вписанном угле: вписанный в окружность угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    ∠А = α опирается на дугу ВС. Дуга ВС содержит столько же градусов, сколько ее центральный угол ∠BOC.

    Формула теоремы о вписанном угле:

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    Следствие 1 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    ∠А = ∠BAC опирается на дугу ВС. Поэтому ∠A = 1/2(∠COB).

    Если мы возьмём точки A1, А2. Аn и проведём от них лучи, которые опираются на одну и ту же дугу, то получим:

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    На рисунке изображено множество треугольников, у которых есть общая сторона СВ и одинаковый противолежащий угол. Треугольники являются подобными, и их объединяет одинаковый радиус описанной окружности.

    Следствие 2 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Вписанные углы, которые опираются на диаметр, равны 90°, то есть прямые.

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    ВС — диаметр описанной окружности, следовательно ∠COB = 180°.

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    Следствие 3 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Сумма противоположных углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 180°. Это значит, что:

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    Угол ∠А = α опирается на дугу DCB. Поэтому DCB = 2α по теореме о вписанном угле.

    Угол ∠С = γ опирается на дугу DAB. Поэтому DAB = 2γ.

    Но так как 2α и 2γ — это вся окружность, то 2α + 2γ = 360°.

    Следовательно: α + γ = 180°.

    Поэтому: ∠A + ∠C = 180°.

    Следствие 4 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Синусы противоположных углов вписанного четырехугольника равны. То есть:

    sinγ = sin(180° — α)

    Так как sin(180° — α) = sinα, то sinγ = sin(180° — α) = sinα

    Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

    Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

    Примеры решения задач

    Теорема синусов и следствия из неё активно используются при решении задач. Рассмотрим несколько примеров, чтобы закрепить материал.

    Пример 1. В треугольнике ABC ∠A = 45°,∠C = 15°, BC = 4√6. Найти AC.

      Согласно теореме о сумме углов треугольника:

    ∠B = 180° — 45° — 15° = 120°

  • Сторону AC найдем по теореме синусов:
    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности
  • Пример 2. Гипотенуза и один из катетов прямоугольного треугольника равны 10 и 8 см. Найти угол, который расположен напротив данного катета.

    В этой статье мы узнали, что в прямоугольном треугольнике напротив гипотенузы располагается угол, равный 90°. Примем неизвестный угол за x. Тогда соотношение сторон выглядит так:

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    Значит x = sin (4/5) ≈ 53,1°.

    Ответ: угол составляет примерно 53,1°.

    Видео:Две окружности в треугольнике. Моё решение.Скачать

    Две окружности в треугольнике. Моё решение.

    Запоминаем

    Обычная теорема: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

    >
    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    Расширенная теорема: в произвольном треугольнике справедливо следующее соотношение:

    Видео:№17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математикеСкачать

    №17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математике

    Узнать ещё

    Знание — сила. Познавательная информация

    Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

    Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

    Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

    Если в задаче дана окружность, вписанная в прямоугольный треугольник, то ее решение может быть связано со свойством отрезков касательных, проведенных из одной точки, и теоремой Пифагора.

    Кроме того, следует учесть, что радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется по формуле

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    где a и b — длины катетов, c — гипотенузы.

    Рассмотрим две задачи на вписанную в прямоугольный треугольник окружность.

    Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит гипотенузу на отрезки 4 см и 6 см. Найти периметр и площадь треугольника и радиус окружности.

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружностиДано: ∆ ABC, ∠C=90º,

    окружность (O, r) — вписанная,

    K, M, F — точки касания со сторонами AC, AB, BC,

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    1) По свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки,

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружностиAK=AM=6 см,

    2) AB=AM+BM=6+4=10 см,

    3) По теореме Пифагора:

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    Второй корень не подходит по смыслу задачи. Значит, CK+CF=2 см, AC=8 см, BC=6 см.

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    Ответ: 24 см, 24 см², 2 см.

    Найти площадь прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 26 см, а радиус вписанной окружности — 4 см.

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружностиДано:∆ ABC, ∠C=90º,

    окружность (O, r) — вписанная,

    K, M, F — точки касания со сторонами AC, AB, BC,

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    1) Проведем отрезки OK и OF.

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    (как радиусы, проведенные в точки касания).

    Четырехугольник OKCF — прямоугольник (так как у него все углы — прямые).

    А так как OK=OF (как радиусы), то OKCF — квадрат.

    2) По свойству касательных, проведенных из одной точки,

    3) AC=AK+KC=(x+4) см, BC=BF+CF=26-x+4=(30-x) см.

    Видео:Как найти сторону квадрата в который вписаны 2 окружностиСкачать

    Как найти сторону квадрата в который вписаны 2 окружности

    Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружностиСуществование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
    В прямоугольный треугольника вписаны две окружностиФормулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
    В прямоугольный треугольника вписаны две окружностиВывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

    Видео:В треугольник АВС, |AВ|=6, |BC|=8, |AC|=10 вписан две окружности . Найдите радиусы этих окружностейСкачать

    В треугольник АВС, |AВ|=6, |BC|=8, |AC|=10 вписан две окружности . Найдите радиусы этих окружностей

    Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

    Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

    Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

    что и требовалось доказать.

    Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    что и требовалось доказать.

    Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается касается сторон этого угла.

    Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

    Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности ), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

    что и требовалось доказать.

    Замечание . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных , проведенных к окружности из одной точки, равны.

    Определение 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

    Теорема 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

    Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

    Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

    Следовательно, справедливо равенство:

    откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

    Определение 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    Следствие . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

    Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

    Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

    Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

    Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    a, b, c – стороны треугольника,
    S – площадь,
    r – радиус вписанной окружности,
    p – полупериметр

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности.

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    a – сторона равностороннего треугольника,
    r – радиус вписанной окружности

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    ФигураРисунокФормулаОбозначения
    Произвольный треугольникВ прямоугольный треугольника вписаны две окружности
    Равнобедренный треугольникВ прямоугольный треугольника вписаны две окружности
    Равносторонний треугольникВ прямоугольный треугольника вписаны две окружности
    Прямоугольный треугольникВ прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    где
    a, b, c – стороны треугольника,
    S –площадь,
    r – радиус вписанной окружности,
    p – полупериметр
    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности.

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    где
    a, b, c – стороны треугольника,
    r – радиус вписанной окружности,
    p – полупериметр
    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности.

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    где
    a – сторона равностороннего треугольника,
    r – радиус вписанной окружности

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    Произвольный треугольник
    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности
    Равнобедренный треугольник
    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности
    Равносторонний треугольник
    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности
    Прямоугольный треугольник
    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности
    Произвольный треугольник
    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    где
    a, b, c – стороны треугольника,
    S –площадь,
    r – радиус вписанной окружности,
    p – полупериметр
    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности.

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    где
    a, b, c – стороны треугольника,
    r – радиус вписанной окружности,
    p – полупериметр
    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности.

    Равнобедренный треугольникВ прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    Равносторонний треугольникВ прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    где
    a – сторона равностороннего треугольника,
    r – радиус вписанной окружности

    Прямоугольный треугольникВ прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    Видео:В угол, равный 60, вписаны две окружности, причём эти окружности касаются друг другаСкачать

    В угол, равный 60, вписаны две окружности, причём эти окружности касаются друг друга

    Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

    Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, В прямоугольный треугольника вписаны две окружности– полупериметр (рис. 6).

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    с помощью формулы Герона получаем:

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    что и требовалось.

    Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    то, в случае равнобедренного треугольника, когда

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    что и требовалось.

    Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    то, в случае равностороннего треугольника, когда

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    что и требовалось.

    Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

    Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником прямоугольником , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат квадрат . Следовательно,

    В силу теоремы 3 справедливы равенства

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    В прямоугольный треугольника вписаны две окружности

    что и требовалось.

    Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

    🎦 Видео

    Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

    Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

    №693. В прямоугольный треугольник вписана окружность радиуса r. Найдите периметр треугольника,Скачать

    №693. В прямоугольный треугольник вписана окружность радиуса r. Найдите периметр треугольника,

    №701. Начертите три треугольника: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный. В каждыйСкачать

    №701. Начертите три треугольника: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный. В каждый

    Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 16Скачать

    Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 16

    Пара фактов про окружность | Ботай со мной #067 | Борис Трушин |Скачать

    Пара фактов про окружность | Ботай со мной #067 | Борис Трушин |

    Окружность, вписанная в треугольник. ДВЕ В ОДНОМ!Скачать

    Окружность, вписанная в треугольник. ДВЕ В ОДНОМ!

    Задание 16 ОГЭ по математике. Две окружности одна описана около квадрата, другая вписана в него.Скачать

    Задание 16 ОГЭ по математике. Две окружности одна  описана около квадрата, другая вписана в него.

    Сможешь найти радиус окружности? Окружность, вписанная в прямоугольный треугольникСкачать

    Сможешь найти радиус окружности? Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

    Задача 6 №27932 ЕГЭ по математике. Урок 146Скачать

    Задача 6 №27932 ЕГЭ по математике. Урок 146
    Поделиться или сохранить к себе: