Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать
Признаки параллельных прямых
1. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они являются параллельными:
2. Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны:
Остальные признаки параллельности прямых основаны на углах, образующихся при пересечении двух прямых третьей.
3. Если сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны:
Если ∠1 + ∠2 = 180°, то a || b.
4. Если соответственные углы равны, то прямые параллельны:
5. Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны:
Видео:Теорема 13.1. Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны || Геометрия 7 класс ||Скачать
Свойства параллельных прямых
Утверждения, обратные признакам параллельности прямых, являются их свойствами. Они основаны на свойствах углов, образованных пересечением двух параллельных прямых третьей прямой.
1. При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, сумма образованных ими внутренних односторонних углов равна 180°:
Если a || b, то ∠1 + ∠2 = 180°.
2. При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, образованные ими соответственные углы равны:
3. При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, образованные ими накрест лежащие углы равны:
Следующее свойство является частным случаем для каждого предыдущего:
4. Если прямая на плоскости перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой:
Пятое свойство — это аксиома параллельности прямых:
5. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой:
Видео:Геометрия. 7 класс. Теоремы. Т2. Теорема о двух прямых, перпендикулярных к третьей.Скачать
Планиметрия. Страница 2
Главная
Репетиторы
Учебные материалы
Контакты
Главная > Учебные материалы > Математика: Планиметрия. Страница 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Видео:Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать
1.Параллельность прямых
Теорема: если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
Доказательство. Пусть даны две прямые а и b. Допустим, что они не параллельны между собой. (Рис.1) Тогда они пересекаются в некоторой точке С. Следовательно, через точку С проходят две прямые, параллельные прямой с. А это невозможно согласно аксиоме: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. Следовательно, прямые а и b не пересекаются. Они параллельны.
Рис.1 Теорема. Параллельность прямых.
Видео:Теорема 13.2 Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны ||Геометрия 7 класс||Скачать
2.Признаки параллельности прямых
Теорема. Если внутренние накрест лежащие углы равны или сумма внутренних односторонних углов равна 180 градусов, то прямые параллельны.
Доказательство. Пусть даны две прямые a и b, которые образуют с секущей АВ внутренние накрест лежащие углы (Рис. 2 а). Допустим, что прямые a и b не параллельны. Тогда они пересекаются в одной точке С. Секущая АВ разбивает плоскость на две полуплоскости. И, следовательно, точка С лежит в одной из них и образует треугольник АВС. Сторона АС принадлежит прямой а. Сторона ВС принадлежит прямой b. (Рис. 2 б)
Отложим равный треугольник ABC1 в другой полуплоскости с вершиной С1 так, чтобы угол А треугольника АВС совпал с углом В треугольника АВС1. Так как по условию задачи сумма внутренних односторонних углов равна 180 градусов, то сторона АС1 ляжет на прямую а, ВС1 — на прямую b. Тогда точка С1 принадлежит двум прямым: а и b. Т.е. две точки С и С1 одновременно принадлежат двум прямым. А это невозможно. Следовательно прямые a и b не пересекаются, они параллельны.
Рис.2 Теорема. Признаки параллельности прямых.
Видео:Геометрия 10 класс (Урок№8 - Перпендикулярность прямой и плоскости.)Скачать
3.Свойство углов при пересечении параллельных прямых
Теорема. Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны и сумма внутренних односторонних углов равна 180 градусов.
Доказательство. Пусть a и b параллельные прямые. Прямая с пересекает их в точках А и В. (Рис. 3)
Проведем через точку А прямую а 1 так, чтобы внутренние накрест лежащие углы, образованные между прямыми а 1 и b и секущей с, были равны. Тогда по признаку параллельности прямых они параллельны. А так как согласно аксиоме о единственной параллельной прямой, проходящей через точку не лежащей на данной прямой, такая прямая может быть только одна, то прямые а и а 1 совпадают. А следовательно внутренние накрест лежащие углы, образованные между прямыми а,b и секущей с, равны.
Рис.3 Теорема. Свойство углов при пересечении параллельных прямых.
Видео:Перпендикулярность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать
4.Сумма углов треугольника
Теорема. Сумма углов треугольника равна 180 градусов.
Доказательство. Пусть АВС данный треугольник. Проведем через вершину В прямую BD, параллельную стороне АС (Рис. 4).
Тогда углы α и α’, γ и γ’ равны как внутренние накрест лежащие. А так как прямая BD представляет собой развернутый угол с вершиной угла в точке В, который равен 180°, т.е. α’ + β + γ’ = 180°, то сумма углов треугольника равна также 180°. Таким образом, мы пришли к выводу, что сумма углов треугольника, т.е. α + β + γ = 180°.
Теорема. Из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить только один перпендикуляр на данную прямую.
Доказательство. Пусть дана прямая а и не лежащая на ней точка А. Отметим на прямой а произвольную точку, например D. И проведем через нее перпендикуляр.(Рис. 5)
Теперь проведем через точку А прямую, параллельную нашей перпендикулярной прямой. Она также будет перпендикулярна прямой а. Так как прямая а, перпендикулярна одной из параллельных прямых, перпендикулярна и второй прямой. Отрезок АВ и есть перпендикуляр. Если допустить, что существует другой перпендикуляр, допустим в точке С. То в треугольнике АВС образуются два угла 90 градусов, а это невозможно. Следовательно отрезок АВ — это единственный перпендикуляр, проходящий через точку А.
Рис.5 Теорема. Единственность перпендикуляра к прямой.
Видео:Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать
6. Высота, биссектриса и медиана треугольника
Высотой треугольника, проведенной из данной вершины, называется перпендикуляр, опущенный из данной вершины на противолежащую сторону.
Биссектрисой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину угла и противолежащую сторону, и делящий данный угол пополам.
Медианой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину и противолежащую сторону, и делящий ее пополам. (Рис.6)
Рис.6 Высота, биссектриса и медиана треугольника.
Видео:Геометрия 7 класс (Урок№21 - Свойства параллельных прямых.)Скачать
7. Свойство медианы равнобедренного треугольника
Теорема. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная из вершины угла к основанию, является биссектрисой и высотой.
Доказательство:
Пусть АВС — данный равнобедренный треугольник с основанием АС. Боковые стороны АВ и ВС равны, ВD — медиана. Необходимо доказать, что BD является биссектрисой и высотой.
Рассмотрим треугольники ABD и BDC. Они равны по третьему признаку равенства треугольников. АВ = ВС по условию, AD = DC, так как BD медиана, а сторона BD у них общая. Следовательно, углы при вершине D равны, а так как они являются смежными, то ∠ADB = ∠CDB = 90°.
Из равенства треугольников ABD и BDC следует равенство углов при вершине В, т.е. ∠AВD = ∠CВD = α.
Отсюда можно сделать вывод, что медиана BD является биссектрисой и высотой.
Даны прямая а и точка С, не лежащая на этой прямой. Необходимо доказать, что через точку С можно провести прямую, параллельную прямой а. (Рис.8)
Доказательство:
Проведем прямую b, параллельную прямой а. Тогда, согласно аксиоме 9, (через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую) проведем прямую с через точку С, параллельную прямой b.
Таким образом, получается, что прямая с параллельна прямой b, и прямая a также параллельна прямой b по построению. Следовательно, по теореме о двух прямых, параллельных третьей прямой, имеем, что две прямые a и c параллельны прямой b и, следовательно, они (прямые а и с) параллельны. Т.е. через точку С можно провести прямую, параллельную прямой а.
Рис.8 Задача. Даны прямая а и точка С .
Пример 2
Даны две параллельные прямые а и b, и секущая с. Докажите, что биссектрисы внутренних накрест лежащих углов, образованных этими прямыми, параллельны (Рис.9)
Доказательство:
Так как прямые а и b параллельны, то углы α и β, образованные этими параллельными прямыми и секущей с, равны как внутренние накрест лежащие, т.е. ∠α = ∠β. Согласно определению, биссектриса — это луч, исходящий из вершины угла между его сторонами, который делит этот угол пополам. Следовательно, биссектрисы d1 и d2 делят углы α и β пополам.
Таким образом, так как углы α и β равны, то и углы α/2 и β/2 также равны. А если углы α/2 и β/2 равны, то они являются внутренними накрест лежащими углами, между секущей с и прямыми, на которых лежат лучи d1 и d2, и согласно теореме: признак параллельности прямых, лучи d1 и d2 лежат на параллельных прямых.
Рис.9 Задача. Даны две параллельные прямые а и b и секущая с.
Пример 3
Один из углов равнобедренного треугольника АВС равен 100° (Рис.10). Найти остальные углы треугольника.
Решение:
Так как сумма углов треугольника составляет 180°, а два угла у равнобедренного треугольника равны, то они не могут равняться 100°. Следовательно, углы при вершинах А и С равны, а угол при вершине В = 100°.
Сумма внешних углов треугольника АВС при вершиах А и В равна 240° (Рис.11). Найдите угол С треугольника АВС.
Решение:
Так как сумма углов α + β + α1 + β1 = 360°, а
α1 + β1 = 240° по условию задачи, то
А так как сумма углов треугольника составляет 180°, то
α + β + γ = 180°, т.е.
И следовательно, γ = 60°
Ответ: угол при вершине С = 60°.
Рис.11 Задача. Найти угол треугольника.
Пример 5
В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена биссектриса AD. Угол при вершине В составляет 36° (Рис.12). Докажите, что треугольники CDA и ADB равнобедренные.
Доказательство:
Так как по условию задачи треугольник АВС равнобедренный, то углы при вершинах А и С равны:
α = 72°, а так как AD биссектриса, то ∠BAD = ∠DAC, т.е.
Следовательно, треугольник ADB равнобедренный. Углы при вершинах А и В равны 36°.
Теперь рассмотрим треугольник ADC. Угол λ равен:
λ = 180° — (α / 2 + α)
Таким образом, треугольник ADC равнобедренный. Углы при вершинах С и D равны 72°.
Рис.12 Задача. В равнобедренном треугольнике АВС .
Лекция по геометрии на тему: «Перпендикулярность в пространстве». 10-й класс
Разделы: Математика
Класс: 10
Тема: Перпендикулярность прямой и плоскости.
Определение: Две прямые в пространстве могут пересекаться. (Привести примеры перпендикулярных прямых, используя окружающую обстановку).
Лемма: Если одна из двух прямых перпендикулярна к третьей прямой, то другая прямая перпендикулярна к этой прямой.
Дано: a || b, a c
Доказать: b c
Через т.М | М a, М b и М c проведем прямые MA || a и MC || c. Так как a c (по условию), то АМС =90 0 . По условию a || b и MA || a (по построению) значит, b || MA (по теореме о трех параллельных прямых). Тогда прямые b и c параллельны соответственно МА и МС, угол между которыми 90 0 b c, что и требовалось доказать.
Определение: Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.
(Возможна запись: a или a).
Прямая, перпендикулярная к плоскости пересекает эту плоскость.
a a b, a c, a d.
Теорема: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая также перпендикулярна к этой плоскости.
Дано: a || b, a .
Доказать: b .
Проведем в плоскости произвольную прямую с. Так как a , то a с (по определению). Согласно лемме, если а перпендикулярна с, то и b, параллельная а также перпендикулярна с. Так как с – произвольная прямая, то b перпендикулярна . (по определению). Что и требовалось доказать.
Теорема (обратная): Если 2 прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.
(Доказать предлагается учащимся самостоятельно).
Теорема: Если прямая, не лежащая в плоскости перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то прямая и плоскость перпендикулярны.
Предлагается 2 способа доказательства.
Дано: a , b, c, b x c=0, a b, a c
Доказать: a .
Проведем в плоскости произвольную прямую р. (Если р не проходит через т.О, то можно провести р | || р через т.О) На прямых a, b, c, и p’ отложим векторы , , и соответственно. Так как , и , то =x+y (известно из курса планиметрии). Так как a b, то · =0; так как a c , то ·=0. Докажем, что . Найдем их скалярное произведение ·= ( x+y)=x·+y·=0 a p. Так как p произвольная прямая плоскости , то a (по определению). Что и требовалось доказать.
Дано: m, n, m x n=0, l m, l n
Доказать: l .
Проведем прямую p так, чтобы O p и p || l. l m, l n и p || l p n и p m. Пусть P и P1 – точки прямой p такие, что OP=OP1. Тогда m и n –оси симметрии и значит, — плоскость симметрии для этих точек, а следовательно, p . p и p || l l . Что и требовалось доказать.
Замечание: Еще одно доказательство теоремы в учебнике “Геометрия 10-11” Л.С. Атанасяна и др.
Свойства перпендикулярных прямой и плоскости:
Через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная к данной прямой.
Если две плоскости и перпендикулярны к прямой а ,то они параллельны.
Если одна из двух параллельных плоскостей перпендикулярна к прямой, то и другая плоскость перпендикулярна к этой прямой.
Теорема: Через любую точку пространства не принадлежащую плоскости проходит прямая перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.
Дано: , А .
Доказать: a | A a, a .
Доказательство:
Проведем в произвольную прямую а; построим плоскость а, проходящую через т.А =b В плоскости через А проведем прямую с | c (c b по построению c а, т.к. ). Значит, с и есть искомая прямая.
Докажем, что она единственная. Допустим, что это не так и существует прямая с1, тогда с || c1 ,что не возможно т.к. с х с1=А. Таким образом, через А проходит только одна прямая к
. Что и требовалось доказать
Можно предложить учащимся подготовить к семинару ответы на следующие вопросы:
Верно ли что: если 2 прямые в пространстве перпендикулярны к третьей прямой, то это утверждение при условии, что все три прямые параллельны? Верно ли это утверждение при условии, что все три прямые лежат в одной плоскости?
Прямая а || , а b
. Существует ли прямая перпендикулярная к прямым а и b?
💡 Видео
10 класс, 5 урок, Параллельность трех прямыхСкачать
7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать
Геометрия 7 класс (Урок№33 - Повторение. Параллельные и перпендикулярные прямые.)Скачать
Перпендикулярность прямых в пространстве. 10 класс.Скачать
Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать
СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ. §15 геометрия 7 классСкачать
10 класс, 16 урок, Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскостиСкачать
7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать