В правильном треугольнике центр окружности делит

Свойства высоты равностороннего треугольника

В данной публикации мы рассмотрим основные свойства высоты в равностороннем (правильном) треугольнике. Также разберем пример решения задачи по этой теме.

Примечание: треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны.

Видео:Равносторонний треугольник в окружностиСкачать

Равносторонний треугольник в окружности

Свойства высоты в равностороннем треугольнике

Свойство 1

Любая высота в равностороннем треугольнике одновременно является и биссектрисой, и медианой, и серединным перпендикуляром.

В правильном треугольнике центр окружности делит

  • BD – высота, опущенная на сторону AC;
  • BD – медиана, которая делит сторону AC пополам, т.е. AD = DC;
  • BD – биссектриса угла ABC, т.е. ∠ABD = ∠CBD;
  • BD – серединный перпендикуляр, проведенный к AC.

Свойство 2

Все три высоты в равностороннем треугольнике имеют одинаковую длину.

В правильном треугольнике центр окружности делит

Свойство 3

Высоты в равностороннем треугольнике в ортоцентре (точке пересечения) делятся в отношении 2:1, считая от вершины, из которой они проведены.

В правильном треугольнике центр окружности делит

Свойство 4

Ортоцентр равностороннего треугольника является центром вписанной и описанной окружностей.

В правильном треугольнике центр окружности делит

  • R – радиус описанной окружности;
  • r – радиус вписанной окружности;
  • R = 2r (следует из Свойства 3).

Свойство 5

Высота в равностороннем треугольнике делит его на два равных по площади (равновеликих) прямоугольных треугольника.

В правильном треугольнике центр окружности делит

Три высоты в равностороннем треугольнике делят его на 6 равных по площади прямоугольных треугольников.

Свойство 6

Зная длину стороны равностороннего треугольника его высоту можно вычислить по формуле:

В правильном треугольнике центр окружности делит

a – сторона треугольника.

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Пример задачи

Радиус окружности, описанной вокруг равностороннего треугольника, равняется 7 см. Найдите сторону этого треугольника.

Решение
Как мы знаем из Свойств 3 и 4, радиус описанной окружности составляет 2/3 от высоты равностороннего треугольника (h). Следовательно, h = 7 ∶ 2 ⋅ 3 = 10,5 см.

Теперь остается вычислить длину стороны треугольника (выражение выведено из формулы в Свойстве 6):

Видео:Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

Построить описанную окружность (Задача 1)

Свойства равностороннего треугольника

Основные свойства равностороннего треугольника непосредственно следуют из свойств равнобедренного треугольника, частным случаем которого он является.

Свойства равностороннего треугольника

В правильном треугольнике центр окружности делит

В правильном треугольнике центр окружности делит2) Высота, медиана и биссектриса, проведённые к каждой из сторон равностороннего треугольника, совпадают:

AK — высота, медиана и биссектриса, проведённые к стороне BC;

BF — высота, медиана и биссектриса, проведённые к стороне AC;

CD — высота, медиана и биссектриса, проведённые к стороне AB.

Длины всех трёх высот (медиан, биссектрис) равны между собой:

Если a — сторона треугольника, то

В правильном треугольнике центр окружности делит

3) Точка пересечения высот, биссектрис и медиан называется центром правильного треугольника и является центром вписанной и описанной окружностей (то есть в равностороннем треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают).

4) Точка пересечения высот, биссектрис и медиан правильного треугольника делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершин:

В правильном треугольнике центр окружности делит

5) Расстояние от точки пересечения высот, биссектрис и медиан

до любой вершины треугольника равно радиусу описанной окружности:

В правильном треугольнике центр окружности делит

В правильном треугольнике центр окружности делит

В правильном треугольнике центр окружности делит

6) Расстояние от точки пересечения высот, биссектрис и медиан до любой стороны треугольника равно радиусу вписанной окружности:

В правильном треугольнике центр окружности делит

В правильном треугольнике центр окружности делит

7) Сумма радиусов вписанной и описанной окружностей правильного треугольника равна его высоте, медиане и биссектрисе: R+r=BF.

8) Радиус вписанной в правильный треугольник окружности в два раза меньше радиуса описанной окружности:

Видео:9 класс, 22 урок, Окружность, описанная около правильного многоугольникаСкачать

9 класс, 22 урок, Окружность, описанная около правильного многоугольника

Все, что нужно знать о треугольнике

В правильном треугольнике центр окружности делитПри решении геометрических задач полезно следовать такому алгоритму. Во время чтения условия задачи необходимо

  • Сделать чертеж. Чертеж должен максимально соответствовать условию задачи, так его основная задача помочь найти ход решения
  • Нанести все данные из условия задачи на чертеж
  • Выписать все геометрические понятия, которые встречаются в задаче
  • Вспомнить все теоремы, которые относятся к этим понятию
  • Нанести на чертеж все соотношения между элементами геометрической фигуры, которые следуют из этих теорем

Например, если в задаче встречается слова биссектриса угла треугольника, нужно вспомнить определение и свойства биссектрисы и обозначить на чертеже равные или пропорциональные отрезки и углы.

В этой статье вы найдете основные свойства треугольника, которые необходимо знать для успешного решения задач.

ТРЕУГОЛЬНИК.

Площадь треугольника.

1. В правильном треугольнике центр окружности делит,

здесь В правильном треугольнике центр окружности делит— произвольная сторона треугольника, В правильном треугольнике центр окружности делит— высота, опущенная на эту сторону.

В правильном треугольнике центр окружности делит

2. В правильном треугольнике центр окружности делит,

здесь В правильном треугольнике центр окружности делити В правильном треугольнике центр окружности делит— произвольные стороны треугольника, В правильном треугольнике центр окружности делит— угол между этими сторонами:

В правильном треугольнике центр окружности делит

3. Формула Герона:

В правильном треугольнике центр окружности делит

— здесь В правильном треугольнике центр окружности делит— длины сторон треугольника, В правильном треугольнике центр окружности делит— полупериметр треугольника, В правильном треугольнике центр окружности делит

4. В правильном треугольнике центр окружности делит,

здесь В правильном треугольнике центр окружности делит— полупериметр треугольника, В правильном треугольнике центр окружности делит— радиус вписанной окружности.

В правильном треугольнике центр окружности делит

Пусть В правильном треугольнике центр окружности делит— длины отрезков касательных.

В правильном треугольнике центр окружности делит

Тогда формулу Герона можно записать в таком виде:

5. В правильном треугольнике центр окружности делит

6. В правильном треугольнике центр окружности делит,

здесь В правильном треугольнике центр окружности делит— длины сторон треугольника, В правильном треугольнике центр окружности делит— радиус описанной окружности.

В правильном треугольнике центр окружности делит

Если на стороне треугольника взята точка, которая делит эту сторону в отношении m:n, то отрезок, соединяющий эту точку с вершиной противолежащего угла делит треугольник на два треугольника, площади которых относятся как m:n:

В правильном треугольнике центр окружности делит

В правильном треугольнике центр окружности делит

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Медиана треугольника

— это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

В правильном треугольнике центр окружности делит

Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины.

В правильном треугольнике центр окружности делит

Точка пересечения медиан правильного треугольника делит медиану на два отрезка, меньший из которых равен радиусу вписанной окружности, а больший — радиусу описанной окружности.

В правильном треугольнике центр окружности делитРадиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности: R=2r

Длина медианы произвольного треугольника вычисляется по формуле:

В правильном треугольнике центр окружности делит,

здесь В правильном треугольнике центр окружности делит— медиана, проведенная к стороне В правильном треугольнике центр окружности делит, В правильном треугольнике центр окружности делит— длины сторон треугольника.

Биссектриса треугольника

— это отрезок биссектрисы любого угла треугольника, соединяющий вершину этого угла с противоположной стороной.

В правильном треугольнике центр окружности делит

Биссектриса треугольника делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

В правильном треугольнике центр окружности делит

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности.

В правильном треугольнике центр окружности делит

Все точки биссектрисы угла равноудалены от сторон угла.

В правильном треугольнике центр окружности делит

Высота треугольника

— это отрезок перпендикуляра, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону, или ее продолжение. В тупоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины острого угла лежит вне треугольника.

В правильном треугольнике центр окружности делит

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром треугольника.

Чтобы найти высоту треугольника, проведенную к стороне В правильном треугольнике центр окружности делит, нужно любым доступным способом найти его площадь, а затем воспользоваться формулой:

В правильном треугольнике центр окружности делит

Центр окружности, описанной около треугольника, лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника.

В правильном треугольнике центр окружности делит

Радиус описанной окружности треугольника можно найти по таким формулам:

В правильном треугольнике центр окружности делит

— здесь В правильном треугольнике центр окружности делит— длины сторон треугольника, В правильном треугольнике центр окружности делит— площадь треугольника.

В правильном треугольнике центр окружности делит,

где В правильном треугольнике центр окружности делит— длина стороны треугольника, В правильном треугольнике центр окружности делит— противолежащий угол. (Эта формула вытекает из теоремы синусов).

Неравенство треугольника

Каждая сторона треугольника меньше суммы и больше разности двух других.

Сумма длин любых двух сторон всегда больше длины третьей стороны:

В правильном треугольнике центр окружности делитc» title=»a+b>c»/> В правильном треугольнике центр окружности делит

Напротив большей стороны лежит больший угол; напротив большего угла лежит большая сторона:

Если В правильном треугольнике центр окружности делитВ правильном треугольнике центр окружности делит, то В правильном треугольнике центр окружности делит В правильном треугольнике центр окружности делити наоборот.

Теорема синусов:

стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:

В правильном треугольнике центр окружности делит

В правильном треугольнике центр окружности делит

Теорема косинусов:

квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними:

В правильном треугольнике центр окружности делит

Прямоугольный треугольник

это треугольник, один из углов которого равен 90°.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

Гипотенуза — это сторона, которая лежит против угла 90°. Гипотенуза является наибольшей стороной.

Теорема Пифагора:

квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: В правильном треугольнике центр окружности делит

В правильном треугольнике центр окружности делит

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен

В правильном треугольнике центр окружности делит,

здесь В правильном треугольнике центр окружности делит— радиус вписанной окружности, В правильном треугольнике центр окружности делит— катеты, В правильном треугольнике центр окружности делит— гипотенуза:

В правильном треугольнике центр окружности делит

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника лежит в середине гипотенузы:

В правильном треугольнике центр окружности делит

В правильном треугольнике центр окружности делит

Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Определение синуса, косинуса , тангенса и котангенса прямоугольного треугольника смотрите здесь.

Соотношение элементов в прямоугольном треугольнике:

Квадрат высоты прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла, равен произведению проекций катетов на гипотенузу:

В правильном треугольнике центр окружности делит

Квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию катета на гипотенузу:

В правильном треугольнике центр окружности делит

В правильном треугольнике центр окружности делит

В правильном треугольнике центр окружности делит:

В правильном треугольнике центр окружности делит

Катет, лежащий против угла В правильном треугольнике центр окружности делитравен половине гипотенузы:

В правильном треугольнике центр окружности делитВ правильном треугольнике центр окружности делит

Равнобедренный треугольник.

Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию является медианой и высотой.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

В правильном треугольнике центр окружности делит

В правильном треугольнике центр окружности делит— угол при вершине.

В правильном треугольнике центр окружности делити В правильном треугольнике центр окружности делит— боковые стороны, В правильном треугольнике центр окружности делит

В правильном треугольнике центр окружности делити В правильном треугольнике центр окружности делит— углы при основании. В правильном треугольнике центр окружности делит

В правильном треугольнике центр окружности делит— высота, биссектриса и медиана.

Внимание! Высота, биссектриса и медиана, проведенные к боковой стороне не совпадают.

Правильный треугольник

(или равносторонний треугольник ) — это треугольник, все стороны и углы которого равны между собой.

В правильном треугольнике центр окружности делит

Площадь правильного треугольника равна

В правильном треугольнике центр окружности делит,

где В правильном треугольнике центр окружности делит— длина стороны треугольника.

Центр окружности, вписанной в правильный треугольник, совпадает с центром окружности, описанной около правильного треугольника и лежит в точке пересечения медиан.

Точка пересечения медиан правильного треугольника делит медиану на два отрезка, меньший из которых равен радиусу вписанной окружности, а больший — радиусу описанной окружности.

Если один из углов равнобедренного треугольника равен 60°, то этот треугольник правильный.

Средняя линия треугольника

— это отрезок, соединяющий середины двух сторон.

На рисунке DE — средняя линия треугольника ABC.

Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине: DE||AC, AC=2DE

В правильном треугольнике центр окружности делит

Внешний угол треугольника

— это угол, смежный какому либо углу треугольника.

Внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним.

В правильном треугольнике центр окружности делит

Тригонометрические функции внешнего угла:

В правильном треугольнике центр окружности делит

В правильном треугольнике центр окружности делит

В правильном треугольнике центр окружности делит

Признаки равенства треугольников:

1 . Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

В правильном треугольнике центр окружности делит

2 . Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

В правильном треугольнике центр окружности делит

3 Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

В правильном треугольнике центр окружности делит

Важно: поскольку в прямоугольном треугольнике два угла заведомо равны, то для равенства двух прямоугольных треугольников требуется равенство всего двух элементов: двух сторон, или стороны и острого угла.

Признаки подобия треугольников:

1 . Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, и углы, заключенные между этими сторонами равны, то эти треугольники подобны.

2 . Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то эти треугольники подобны.

3 . Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то эти треугольники подобны.

Важно: в подобных треугольниках сходственные стороны лежат против равных углов.

Теорема Менелая

Пусть прямая пересекает треугольник В правильном треугольнике центр окружности делит, причем В правильном треугольнике центр окружности делит– точка ее пересечения со стороной В правильном треугольнике центр окружности делит, В правильном треугольнике центр окружности делит– точка ее пересечения со стороной В правильном треугольнике центр окружности делит, и В правильном треугольнике центр окружности делит– точка ее пересечения с продолжением стороны В правильном треугольнике центр окружности делит. Тогда

💡 Видео

№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружностиСкачать

№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружности

Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).Скачать

Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).

№691. Точка касания окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит однуСкачать

№691. Точка касания окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит одну

Построение равностронего треугольника.Скачать

Построение равностронего треугольника.

Треугольник и окружность #shortsСкачать

Треугольник и окружность #shorts

Деление окружности на 3; 6; 12 равных частейСкачать

Деление окружности на 3; 6; 12 равных частей

Геометрия Центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит его высоту, проведеннуюСкачать

Геометрия Центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит его высоту, проведенную

Радиус описанной окружностиСкачать

Радиус описанной окружности

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

2038 центр окружности описанной около треугольника ABC лежит на стороне ABСкачать

2038 центр окружности описанной около треугольника ABC лежит на стороне AB

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

Через центр О окружности, описанной около остроугольного треугольника ДВИ МГУСкачать

Через центр О окружности, описанной около остроугольного треугольника ДВИ МГУ

Задача 6 №27892 ЕГЭ по математике. Урок 126Скачать

Задача 6 №27892 ЕГЭ по математике. Урок 126

№690. Найдите основание равнобедренного треугольника, если центр вписанной в него окружностиСкачать

№690. Найдите основание равнобедренного треугольника, если центр вписанной в него окружности

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline
Поделиться или сохранить к себе: