В основании прямой призмы лежит трапеция авсд в которой параллельные стороны ад 30 вс 22
Обновлено
Поделиться
Просмотров837
В основании прямой призмы лежит трапеция авсд в которой параллельные стороны ад 30 вс 22
В основании прямой призмы АВСDA1В1С1D1 лежит равнобедренная трапеция АВСD c основаниями AD и ВС. Известно, что AD : BC = 2 : 1 и АВ = ВС.
а) В трапеции ABCD проведем высоту BH. Тогда Следовательно, угол ABH равен 30°, углы ADC и BAH равны 60°, а угол BCD равен 120°. Отрезки BC, AB и CD равны, следовательно, треугольник BCD — равнобедренный. Углы CBD и CDB равны
Таким образом, угол BDA равен 30°, тогда угол DBA равен 90°, а значит, отрезки AB и BD перпендикулярны как катеты прямоугольного треугольника ABD. По теореме о трех перпендикулярах отрезки B1D и AB перпендикулярны и, следовательно, B1D перпендикулярно A1B1.
Прямые DC2 и CD1 равны, тогда найдем прямую CD1 по теореме Пифагора из треугольника CD1D:
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD:
Найдем B1D по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике B1DB:
Применим теорему косинусов для треугольника B1DC2:
Ответ: б)
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)
3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
Видео:№222. Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция с основаниями 25 см и 9 смСкачать
Школе NET
Register
Do you already have an account? Login
Login
Don’t you have an account yet? Register
Newsletter
Submit to our newsletter to receive exclusive stories delivered to you inbox!
Главная
Вопросы & Ответы
Вопрос 9753735
Онтонио Веселко
Видео:Трапеция. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.Скачать
Всем привет 🙂 Господа, прошу вашей помощи по геометрии. Вот, собственно, две задачи:
1) В основании прямой призмы лежит трапеция. Объем призмы равен 40 см . Площади параллельных боковых граней равны 6 см и 14 см . Найдите расстояние между ними.
2) Диагональ меньшей боковой грани прямоугольного параллелепипеда равна большему ребру основания. Высота параллелепипеда равна 2 см, диагональ основания равна 14 см. Найдите объем параллелепипеда.
Видео:№30. Основание АВ трапеции ABCD параллельно плоскости α, а вершина С лежитСкачать
Задание №16 ЕГЭ по математике базового уровня
Видео:ЕГЭ 2015 Профиль #16 - часть II : В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит квадрат ABCDСкачать
Стереометрия
В задании №16 базового уровня ЕГЭ по математике нам предстоит столкнуться со стереометрией. Как таковой «стереометрии» мы не встретим, обычно условие задания содержит объемную фигуру, в которой нам необходимо найти какое-либо расстояние. В данном задании необходимо правильно применить пространственное мышление и выбрать нужное сечение, остальные расчеты происходят в плоскости, причем по несложным формулам (теорема Пифагора и т.д.). Какой-либо конкретной теории я пока приводить не буду, а рассмотрю типовые варианты, на которых мы и рассмотрим алгоритмы решения задач данного типа.
Разбор типовых вариантов заданий №16 ЕГЭ по математике базового уровня
Вариант 16МБ1
Радиус основания цилиндра равен 13, а его образующая 18. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от нее на расстояние, равное 12. Найдите площадь этого сечения.
Алгоритм выполнения:
Определить тип фигуры, образующей сечение.
Записать формулу для нахождения площади фигуры, образующей сечение.
Вычислить недостающие данные.
Вычислить искомую площадь сечения.
Решение:
Из рисунка видно, что сечение является прямоугольником, одна из сторон которого образующая цилиндра.
Площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину.
Длина прямоугольника – 18, из условия. Осталось вычислить ширину. Сделаем дополнительный чертеж цилиндра сверху:
Ширина прямоугольника – CD.
По условию «Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от нее на расстояние, равное 12». Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, проведенного из этой точки на прямую. То есть на чертеже АВ = 12.
СВ 2 — неизвестное слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
СВ 2 = СА 2 — АВ 2
СВ = √(13 2 — 12 2 ) = √(169 — 144) = √25 = 5
Для решения задачи необходимо знать СD = СВ + ВD = 5 + 5 = 10
Вычислим искомую площадь сечения.
Вариант 16МБ2
Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 24, а боковые рёбра равны 37. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.
Алгоритм выполнения:
Проанализировать какие данные необходимо вычислить для ответа на вопрос задачи.
Найти площади треугольников.
Найти площадь боковой поверхности пирамиды.
Решение:
Проанализируем, какие данные необходимо вычислить для ответа на вопрос задачи.
В основании правильной треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник. Боковые ребра пирамиды, равные 37, образуют три равнобедренных треугольника, которые составляют ее боковую поверхность.
Найдем площади треугольников.
Так как треугольник равнобедренный, то высота BH делит сторону AC пополам, то есть, AH=AC:2=24:2=12. Рассмотрим треугольник АВН. Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В данном случае АВ 2 = ВН 2 + АН 2
ВН 2 — неизвестное слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
ВН 2 = АВ 2 — АН 2 Следовательно, высота BH, равна:
Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.
Тогда, площадь треугольника может быть вычислена как
Найдем площадь боковой поверхности пирамиды.
Боковая поверхность пирамиды состоит из трех треугольников. Найдем ее площадь:
Ответ: 1260.
Вариант 16МБ3
Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 16, а боковые рёбра равны 17. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.
Алгоритм выполнения:
Проанализировать какие данные необходимо вычислить для ответа на вопрос задачи.
Найти площади треугольников.
Найти площадь боковой поверхности пирамиды.
Решение:
Проанализируем, какие данные необходимо вычислить для ответа на вопрос задачи.
В основании правильной треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник. Боковые ребра пирамиды, равные 17, образуют три равнобедренных треугольника, которые составляют ее боковую поверхность.
Найдем площади треугольников.
Так как треугольник равнобедренный, то высота BH делит сторону AC пополам, то есть, AH=AC:2=16:2=8.
ВН 2 — неизвестное слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
ВН 2 = АВ 2 — АН 2
Следовательно, высота BH, равна:
Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.
Тогда, площадь треугольника может быть вычислена как
Найдем площадь боковой поверхности пирамиды.
Боковая поверхность пирамиды состоит из трех треугольников. Найдем ее площадь:
Ответ: 360.
Вариант 16МБ4
Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 4, а боковое ребро равно √17.
Вспомним формулу площади правильной пирамиды — одна треть от произведения площади основания и высоты.
Площадь основания рассчитываем по формуле площади квадрата — квадрат стороны:
После этого перейдем к нахождению высоты. Для этого нам необходимо рассмотреть прямоугольный (так как основание перпендикулярно высоте) треугольник AMH. AH — половина диагонали квадрата, которая равна √2 его стороны, то есть в нашем случае диагональ равна 4√2, ну а половина — AH = 2√2. Зная гипотенузу и один из катетов, найдем высоту:
После этого легко вычисляем объем:
V = 1/3 • 16 •3 = 16
Вариант 16МБ5
В треугольной пирамиде АВСD ребра АВ, АС и АD взаимно перпендикулярны. Найдите объем этой пирамиды, если АВ=2, АС=15 и AD=11.
Алгоритм выполнения
Записываем формулу для определения объема пирамиды.
Находим площадь основания по формуле для площади прямоугольного треугольника.
Показываем, что высота пирамиды совпадает с ребром AD. Вычисляем искомый объем.
Решение:
Т.к. в основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с катетами АВ и АС (по условию АВ перпендикулярно АС), то Sосн=АВ·АС/2.
Т.к. AD перпендикулярно АВ и АС и пересекается с ними в одной точке, то (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости) AD перпендикулярно плоскости основания пирамиды.
Значит AD – высота пирамиды. Т.е. Н=AD=11.
Вариант 16МБ6
Сторона основания правильной треугольной призмы АВСА1В1С1 равна 2, а высота этой призмы равна 4√3. Найдите объем призмы АВСА1В1С1.
Алгоритм выполнения
Находим площадь основы призмы через формулу для площади правильного треугольника.
Записываем формулу для объема призмы. Подставляем в нее числовые данные, вычисляем искомую величину.
Решение:
Площадь правильного треугольника равна:
Здесь а – сторона основания призмы.
Объем призмы: V=Sh, где h – высота призмы, S– площадь ее основания (в нашем случае – площадь правильного треугольника, лежащего в основании).
Вариант 16МБ7
Объем конуса равен 25π, а его высота равна 3. Найдите радиус основания конуса.
Алгоритм выполнения
Записываем формулу для объема конуса. Из нее выражаем площадь основания.
Площадь основания расписываем по формуле площади круга, поскольку именно круг лежит в основании конуса.
Из этих двух формул выражаем искомую величину. Вычисляем ее.
Решение:
Объем конуса равен:
Площадь круга составляет:
Вариант 16МБ8
Радиус основания цилиндра равен 15, а его образующая равна 14. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от нее на расстояние, равное 12. Найдите площадь этого сечения.
Алгоритм выполнения
Определяем, что образующая цилиндра – это одна из сторон сечения-прямоугольника. Вводим обозначения для точек, которые необходимы для выполнения расчетов. Получаем, что образующая – это отрезок DK.
Делаем дополнительное построение – соединяем точки О и А в основании цилиндра. Получаем прямоугольный ∆АВО.
Из ∆АВО по т.Пифагора находим значение АВ. Этот отрезок – половина AD. Отсюда находим AD.
Зная величину DK и AD, вычисляем площадь сечения-прямоугольника.
Решение:
Поскольку образующая цилиндра и его высота совпадают, то DK=14. Это – одна из сторон прямоугольника, форму которого и имеет сечение.
Найдем 2-ю сторону этого прямоугольника. Из прямоугольного ∆АВО по т.Пифагора АО 2 =АВ 2 +ВО 2 .
АО – радиус основания, поэтому АО=15. ВО=12, поскольку ВО – это расстояние от оси до плоскости сечения.
Площадь сечения равна:
Вариант 16МБ9
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 ребра DA, DC и диагональ DA1 боковой грани равны соответственно 3, 5 и √34. Найдите объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1.
Алгоритм выполнения
Соединяем вершины А1 и D. Получаем прямоугольный ∆А1АD. Из этого треугольника находим АА1.
Записываем формулу для вычисления объема параллелепипеда. Находим значение для объема.
Решение:
Т.к. ABCDA1B1C1D1 параллелепипед, то угол А1АD равен 90 0 . Поэтому ∆А1АD – прямоугольный. Тогда по т.Пифагора А1А 2 +AD 2 =A1D 2 . Отсюда получаем:
Объем параллелепипеда найдем по формуле:
Вариант 16МБ10
Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 16, а боковые ребра равны 17. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.
Алгоритм выполнения
Записываем формулу для площади боковой поверхности через периметр основания и апофему.
Находим периметр треугольника, лежащего в основании пирамиды.
Доказываем, что апофема является не только высотой, но и медианой для боковой стороны пирамиды.
Из прямоугольного треугольника, образованного апофемой, боковым ребром и половиной стороны основания, по т.Пифагора находим величину апофемы.
Вычисляем площадь боковой поверхности пирамиды.
Решение:
Площадь боковой поверхности пирамиды равна:
Находим периметр основания:
Т.к. пирамида правильная, то ее боковые грани – равнобедренные треугольники. Тогда апофема, которая является высотой боковой грани, проведенной к основанию, является еще и медианой. Значит, SB – медиана и АВ=АС/2=16/2=8.
Из прямоугольного ∆ABS по т.Пифагора АВ 2 +SB 2 =AS 2 .
Вариант 16МБ11
Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 8, а боковое ребро равно √41.
Алгоритм выполнения
Записываем формулу для объема пирамиды через площадь ее основания и высоту.
Находим площадь основания, учитывая, что в основании пирамиды лежит квадрат.
Находим диагональ квадрата, лежащего в основании, как гипотенузу из ∆АВС. Используем для этого т.Пифагора Делим полученную величину пополам.
Из треугольника, построенного на половине диагонали основания, высоте пирамиды и ее боковом ребре, по т.Пифагора определяем высоту.
Вычисляем объем.
Решение:
Т.к. пирамида правильная, то четырехугольник в ее основании – это квадрат. Поэтому Sосн=а 2 , где а – сторона основания.
Из прямоугольного ∆АВС по т.Пифагора АС 2 =АВ 2 +ВС 2 .
Из прямоугольного ∆АКS по т.Пифагора AS 2 =AK 2 +SK 2 .
Значит, объем пирамиды составляет:
Вариант 16МБ12
Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 8 и 5, а объем параллелепипеда равен 280. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда.
Алгоритм выполнения
Записываем формулу для объема прямоугольного параллелепипеда. Из нее выражаем 3-е (неизвестное) ребро. Вычисляем величину этого ребра.
Записываем формулу для площади поверхности. Подставляем в него числовые данные, находим искомое значение.
Решение:
Объем прямоугольного параллелепипеда равен:
V=abc, где a, b, c – ребра. Будем считать, что a и b нам известны, а с – неизвестно.
Тогда из этой формулы:
Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется так:
Вариант 16МБ13
Объем конуса равен 24π, а радиус его основания равен 2. Найдите высоту конуса.
Алгоритм выполнения
Записываем формулу для объема конуса. Из нее выражаем высоту.
Записываем формулу для площади круга, лежащего в основе конуса. Вычисляем эту площадь.
Подставляем числовые данные в формулу для объема, вычисляем искомую величину.
Решение:
Объем конуса составляет:
.
Площадь основания (как площадь круга) равна:
Тогда высота конуса:
Вариант 16МБ14
Основанием четырехугольной пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 и 12. Найдите высоту этой пирамиды, если ее объем равен 60.
Алгоритм выполнения
Записываем формулу для объема пирамиды через площадь ее основания и высоту. Из нее выражаем высоту.
Находим площадь основы-прямоугольника.
Подставляем числовые данные в формулу для высоты, вычисляем искомую величину.
Решение:
Объем пирамиды вычисляется так:
Отсюда:
Sосн=ab, a и b – стороны прямоугольника, лежащего в основе пирамиды.
Следовательно, угол ABH равен 30°, углы ADC и BAH равны 60°, а угол BCD равен 120°. Отрезки BC, AB и CD равны, следовательно, треугольник BCD — равнобедренный. Углы CBD и CDB равны 
Школе NET
Так как треугольник равнобедренный, то высота BH делит сторону AC пополам, то есть, AH=AC:2=24:2=12. Рассмотрим треугольник АВН. Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В данном случае АВ 2 = ВН 2 + АН 2
Ответ: 1260.
Ответ: 360.
.
Отсюда:
