Геометрия | 5 — 9 классы
К окружности с центром О проведены 2 секущие BA и CD, пересекающиеся в точке E.
Найдите длину AB(в см), если CD = 9 см, DE = 3 см, EB = 4 см.
Найдем СЕ = СД — ДЕ = 9 — 3 = 6 см.
Если ВА и СД пересекаются в точке Е, то
АЕ·ВЕ = СЕ·ЕД, найдем отсюда АЕ = СЕ·ДЕ : ВЕ = 6·3 : 4 = 4, 5
АВ = АЕ + ВЕ = 4, 5 + 4 = 8, 5 см.
- К окружность проведены 2 секущие BA и CD, пересекающиеся в точке E?
- К окружности с центром в точке О проведены касательная AB и секущая AO?
- К окружности с центром в точке О проведены касательная AB и секущая AO?
- Из точки А, не лежащей на окружности, проведены к нему касательная и секущая?
- К окружности с центром в точке О проведены касательная АВ и секущая АО?
- Из точки вне окружности проведена секущая, образующая в окружности хорду АВ длиной 8 см?
- К окружности проведены две секущие BA и CD, пересекающиеся в точке E?
- Помогите, пожалуйста?
- Из точки А не лежащей на окружности, проведены к ней касательная и секущая?
- Из точки А , не лежащей на окружности проведены к ней касательная и секущая?
- Касательная к окружности
- Касательная к окружности, секущая и хорда — в чем разница
- Свойства касательной к окружности
- Задача
- Задача 1
- Задача 2
- Задача 1
- Задача 2
- Задача 1
- Задача 2
- Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
- Отрезки и прямые, связанные с окружностью
- Свойства хорд и дуг окружности
- Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих
- Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
- Теорема о бабочке
- 📺 Видео
Видео:К окружности с центром в точке O проведены ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
К окружность проведены 2 секущие BA и CD, пересекающиеся в точке E?
К окружность проведены 2 секущие BA и CD, пересекающиеся в точке E.
НАйдите длину АВ(в см), если CD = 9 см, ED = 3см, EB = 4 см.
Видео:Геометрия В окружности с центром O проведены диаметр AB и хорда AC. Докажите, что угол BOC = 2 угламСкачать
К окружности с центром в точке О проведены касательная AB и секущая AO?
К окружности с центром в точке О проведены касательная AB и секущая AO.
Найдите радиус окружности, если AB = 12 см, AO = 13 см.
Видео:№640. Даны окружность с центром О радиуса 4,5 см и точка А. Через точку А проведены две касательныеСкачать
К окружности с центром в точке О проведены касательная AB и секущая AO?
К окружности с центром в точке О проведены касательная AB и секущая AO.
Найдите радиус окружности, если AB = 12 см, AO = 13 см.
Видео:№638. Прямая АВ касается окружности с центром О радиуса r в точке В. Найдите АВСкачать
Из точки А, не лежащей на окружности, проведены к нему касательная и секущая?
Из точки А, не лежащей на окружности, проведены к нему касательная и секущая.
Расстояние от точки А до точки соприкосновения равна 16 см, а в одной из точек пересечения секущей с кругом — 32 см.
Найдите радиус окружности, если секущая удалена от его центра на 15 см.
Видео:2184 касательная в точках A и B к окружности с центром О пересекаютсяСкачать
К окружности с центром в точке О проведены касательная АВ и секущая АО?
К окружности с центром в точке О проведены касательная АВ и секущая АО.
Найдите радиус окружности, если АВ = 12 см, АО = 13 см.
Видео:Из точки A проведены две касательные к окружности ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
Из точки вне окружности проведена секущая, образующая в окружности хорду АВ длиной 8 см?
Из точки вне окружности проведена секущая, образующая в окружности хорду АВ длиной 8 см.
Кратчайшее расстояние от данной точки до окружности равно 10 см, а до центра окружности — 17 см.
Найдите расстояние от концов хорды АВ до данной точки.
Видео:Отрезки AC и BD – диаметры окружности с центром O ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
К окружности проведены две секущие BA и CD, пересекающиеся в точке E?
К окружности проведены две секущие BA и CD, пересекающиеся в точке E.
Найдите длину AB (в см.
), если CD = 9 см, ED = 3 см, EB = 4 см.
Видео:🔴 В окружности с центром O отрезки AC и BD ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 15 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
Помогите, пожалуйста?
Геометрия Из точки А вне окружности, на 10 см удалённой от центра окружности, проведена секущая, пересекающая окружность в точках В и С, причём АВ = 4 см, а ВС = 5 см.
Найдите диаметр окружности.
Видео:Из точки С проведены две касательные к окружности с центром в точке ОСкачать
Из точки А не лежащей на окружности, проведены к ней касательная и секущая?
Из точки А не лежащей на окружности, проведены к ней касательная и секущая.
Расстояние от точки А до точки касания равна 12 см, а до одной из точек перисичения секущейся окружностью равна 18 см .
Найдите радиус окружности если секущаяся удалена от ее центра на 3 см.
Видео:№651. Хорды АВ и CD окружности с центром О равны, а) Докажите, что две дуги с концами А и ВСкачать
Из точки А , не лежащей на окружности проведены к ней касательная и секущая?
Из точки А , не лежащей на окружности проведены к ней касательная и секущая.
Расстояние от точки А до точки касания равно 12 см, а до одной из точек пересечения секущей с окружностью равно 18 см.
Найти радиус окружности, если секущая удалена от ее центра на 3 см.
На этой странице вы найдете ответ на вопрос К окружности с центром О проведены 2 секущие BA и CD, пересекающиеся в точке E?. Вопрос соответствует категории Геометрия и уровню подготовки учащихся 5 — 9 классов классов. Если ответ полностью не удовлетворяет критериям поиска, ниже можно ознакомиться с вариантами ответов других посетителей страницы или обсудить с ними интересующую тему. Здесь также можно воспользоваться «умным поиском», который покажет аналогичные вопросы в этой категории. Если ни один из предложенных ответов не подходит, попробуйте самостоятельно сформулировать вопрос иначе, нажав кнопку вверху страницы.
Видео:№636. Через концы хорды АВ, равной радиусу окружности, проведены две касательные, пересекающиесяСкачать
Касательная к окружности
О чем эта статья:
Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать
Касательная к окружности, секущая и хорда — в чем разница
В самом названии касательной отражается суть понятия — это прямая, которая не пересекает окружность, а лишь касается ее в одной точке. Взглянув на рисунок окружности ниже, несложно догадаться, что точку касания от центра отделяет расстояние, в точности равное радиусу.
Отрезки и прямые, связанные с окружностью |
Свойства хорд и дуг окружности |
Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих |
Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих |
Теорема о бабочке |
Видео:№672. Через точку А, лежащую вне окружности, проведены две секущие, одна из которых пересекаетСкачать
Отрезки и прямые, связанные с окружностью
Фигура | Рисунок | Определение и свойства | ||||||||||||||||||||||||||
Окружность | ||||||||||||||||||||||||||||
Круг | ||||||||||||||||||||||||||||
Радиус | ||||||||||||||||||||||||||||
Хорда | ||||||||||||||||||||||||||||
Диаметр | ||||||||||||||||||||||||||||
Касательная | ||||||||||||||||||||||||||||
Секущая |
Окружность |
Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности
Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью
Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности
Отрезок, соединяющий две любые точки окружности
Хорда, проходящая через центр окружности.
Диаметр является самой длинной хордой окружности
Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.
Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания
Прямая, пересекающая окружность в двух точках
Видео:№644. Прямые МА и MB касаются окружности с центром О в точках А и В. Точка С симметрична точке ОСкачать
Свойства хорд и дуг окружности
Фигура | Рисунок | Свойство |
Диаметр, перпендикулярный к хорде | Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам. | |
Диаметр, проходящий через середину хорды | Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам. | |
Равные хорды | Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности. | |
Хорды, равноудалённые от центра окружности | Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны. | |
Две хорды разной длины | Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности. | |
Равные дуги | У равных дуг равны и хорды. | |
Параллельные хорды | Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны. |
Диаметр, перпендикулярный к хорде |
Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
У равных дуг равны и хорды.
Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Видео:2023 На окружности с центром в точке О отмечены точки А и Б так что угол аоб равен 45Скачать
Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Фигура | Рисунок | Теорема | ||||||||||||||||
Пересекающиеся хорды | ||||||||||||||||||
Касательные, проведённые к окружности из одной точки | ||||||||||||||||||
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки | ||||||||||||||||||
Секущие, проведённые из одной точки вне круга |
Пересекающиеся хорды | ||
Касательные, проведённые к окружности из одной точки | ||
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки | ||
Секущие, проведённые из одной точки вне круга | ||
Пересекающиеся хорды |
Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:
Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.
Видео:№660. Через точку, лежащую вне окружности, проведены две секущие, образующие угол в 32Скачать
Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).
Тогда справедливо равенство
Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство
откуда и вытекает требуемое утверждение.
Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).
Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство
Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство
откуда и вытекает требуемое утверждение.
Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).
Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство
Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).
Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства
откуда и вытекает требуемое утверждение.
Видео:Урок 3. №23 ОГЭ. Касательная. Окружность с центром на стороне AC касается АВ в точке В.Скачать
Теорема о бабочке
Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.
Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:
Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим
Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим
Воспользовавшись теоремой 1, получим
Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим
Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство
откуда вытекает равенство
что и завершает доказательство теоремы о бабочке.
📺 Видео
№641. Отрезки АВ и АС являются отрезками касательных к окружности с центром О, проведенными изСкачать