В окружности с центром о проведены 2 секущие

К окружности с центром О проведены 2 секущие BA и CD, пересекающиеся в точке E?

Геометрия | 5 — 9 классы

К окружности с центром О проведены 2 секущие BA и CD, пересекающиеся в точке E.

Найдите длину AB(в см), если CD = 9 см, DE = 3 см, EB = 4 см.

В окружности с центром о проведены 2 секущие

Найдем СЕ = СД — ДЕ = 9 — 3 = 6 см.

Если ВА и СД пересекаются в точке Е, то

АЕ·ВЕ = СЕ·ЕД, найдем отсюда АЕ = СЕ·ДЕ : ВЕ = 6·3 : 4 = 4, 5

АВ = АЕ + ВЕ = 4, 5 + 4 = 8, 5 см.

В окружности с центром о проведены 2 секущие

Содержание
  1. К окружность проведены 2 секущие BA и CD, пересекающиеся в точке E?
  2. К окружности с центром в точке О проведены касательная AB и секущая AO?
  3. К окружности с центром в точке О проведены касательная AB и секущая AO?
  4. Из точки А, не лежащей на окружности, проведены к нему касательная и секущая?
  5. К окружности с центром в точке О проведены касательная АВ и секущая АО?
  6. Из точки вне окружности проведена секущая, образующая в окружности хорду АВ длиной 8 см?
  7. К окружности проведены две секущие BA и CD, пересекающиеся в точке E?
  8. Помогите, пожалуйста?
  9. Из точки А не лежащей на окружности, проведены к ней касательная и секущая?
  10. Из точки А , не лежащей на окружности проведены к ней касательная и секущая?
  11. Касательная к окружности
  12. Касательная к окружности, секущая и хорда — в чем разница
  13. Свойства касательной к окружности
  14. Задача
  15. Задача 1
  16. Задача 2
  17. Задача 1
  18. Задача 2
  19. Задача 1
  20. Задача 2
  21. Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
  22. Отрезки и прямые, связанные с окружностью
  23. Свойства хорд и дуг окружности
  24. Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих
  25. Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
  26. Теорема о бабочке
  27. 📺 Видео

Видео:К окружности с центром в точке O проведены ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

К окружности с центром в точке O проведены ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

К окружность проведены 2 секущие BA и CD, пересекающиеся в точке E?

К окружность проведены 2 секущие BA и CD, пересекающиеся в точке E.

НАйдите длину АВ(в см), если CD = 9 см, ED = 3см, EB = 4 см.

В окружности с центром о проведены 2 секущие

Видео:Геометрия В окружности с центром O проведены диаметр AB и хорда AC. Докажите, что угол BOC = 2 угламСкачать

Геометрия В окружности с центром O проведены диаметр AB и хорда AC. Докажите, что угол BOC = 2 углам

К окружности с центром в точке О проведены касательная AB и секущая AO?

К окружности с центром в точке О проведены касательная AB и секущая AO.

Найдите радиус окружности, если AB = 12 см, AO = 13 см.

В окружности с центром о проведены 2 секущие

Видео:№640. Даны окружность с центром О радиуса 4,5 см и точка А. Через точку А проведены две касательныеСкачать

№640. Даны окружность с центром О радиуса 4,5 см и точка А. Через точку А проведены две касательные

К окружности с центром в точке О проведены касательная AB и секущая AO?

К окружности с центром в точке О проведены касательная AB и секущая AO.

Найдите радиус окружности, если AB = 12 см, AO = 13 см.

В окружности с центром о проведены 2 секущие

Видео:№638. Прямая АВ касается окружности с центром О радиуса r в точке В. Найдите АВСкачать

№638. Прямая АВ касается окружности с центром О радиуса r в точке В. Найдите АВ

Из точки А, не лежащей на окружности, проведены к нему касательная и секущая?

Из точки А, не лежащей на окружности, проведены к нему касательная и секущая.

Расстояние от точки А до точки соприкосновения равна 16 см, а в одной из точек пересечения секущей с кругом — 32 см.

Найдите радиус окружности, если секущая удалена от его центра на 15 см.

В окружности с центром о проведены 2 секущие

Видео:2184 касательная в точках A и B к окружности с центром О пересекаютсяСкачать

2184 касательная в точках A и B к окружности с центром О пересекаются

К окружности с центром в точке О проведены касательная АВ и секущая АО?

К окружности с центром в точке О проведены касательная АВ и секущая АО.

Найдите радиус окружности, если АВ = 12 см, АО = 13 см.

В окружности с центром о проведены 2 секущие

Видео:Из точки A проведены две касательные к окружности ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Из точки A проведены две касательные к окружности ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Из точки вне окружности проведена секущая, образующая в окружности хорду АВ длиной 8 см?

Из точки вне окружности проведена секущая, образующая в окружности хорду АВ длиной 8 см.

Кратчайшее расстояние от данной точки до окружности равно 10 см, а до центра окружности — 17 см.

Найдите расстояние от концов хорды АВ до данной точки.

В окружности с центром о проведены 2 секущие

Видео:Отрезки AC и BD – диаметры окружности с центром O ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Отрезки AC и BD – диаметры окружности с центром O ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

К окружности проведены две секущие BA и CD, пересекающиеся в точке E?

К окружности проведены две секущие BA и CD, пересекающиеся в точке E.

Найдите длину AB (в см.

), если CD = 9 см, ED = 3 см, EB = 4 см.

В окружности с центром о проведены 2 секущие

Видео:🔴 В окружности с центром O отрезки AC и BD ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 15 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

🔴 В окружности с центром O отрезки AC и BD ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 15 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Помогите, пожалуйста?

Геометрия Из точки А вне окружности, на 10 см удалённой от центра окружности, проведена секущая, пересекающая окружность в точках В и С, причём АВ = 4 см, а ВС = 5 см.

Найдите диаметр окружности.

В окружности с центром о проведены 2 секущие

Видео:Из точки С проведены две касательные к окружности с центром в точке ОСкачать

Из точки С проведены две касательные к окружности с центром в точке О

Из точки А не лежащей на окружности, проведены к ней касательная и секущая?

Из точки А не лежащей на окружности, проведены к ней касательная и секущая.

Расстояние от точки А до точки касания равна 12 см, а до одной из точек перисичения секущейся окружностью равна 18 см .

Найдите радиус окружности если секущаяся удалена от ее центра на 3 см.

В окружности с центром о проведены 2 секущие

Видео:№651. Хорды АВ и CD окружности с центром О равны, а) Докажите, что две дуги с концами А и ВСкачать

№651. Хорды АВ и CD окружности с центром О равны, а) Докажите, что две дуги с концами А и В

Из точки А , не лежащей на окружности проведены к ней касательная и секущая?

Из точки А , не лежащей на окружности проведены к ней касательная и секущая.

Расстояние от точки А до точки касания равно 12 см, а до одной из точек пересечения секущей с окружностью равно 18 см.

Найти радиус окружности, если секущая удалена от ее центра на 3 см.

На этой странице вы найдете ответ на вопрос К окружности с центром О проведены 2 секущие BA и CD, пересекающиеся в точке E?. Вопрос соответствует категории Геометрия и уровню подготовки учащихся 5 — 9 классов классов. Если ответ полностью не удовлетворяет критериям поиска, ниже можно ознакомиться с вариантами ответов других посетителей страницы или обсудить с ними интересующую тему. Здесь также можно воспользоваться «умным поиском», который покажет аналогичные вопросы в этой категории. Если ни один из предложенных ответов не подходит, попробуйте самостоятельно сформулировать вопрос иначе, нажав кнопку вверху страницы.

Видео:№636. Через концы хорды АВ, равной радиусу окружности, проведены две касательные, пересекающиесяСкачать

№636. Через концы хорды АВ, равной радиусу окружности, проведены две касательные, пересекающиеся

Касательная к окружности

В окружности с центром о проведены 2 секущие

О чем эта статья:

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Касательная к окружности, секущая и хорда — в чем разница

В самом названии касательной отражается суть понятия — это прямая, которая не пересекает окружность, а лишь касается ее в одной точке. Взглянув на рисунок окружности ниже, несложно догадаться, что точку касания от центра отделяет расстояние, в точности равное радиусу.

В окружности с центром о проведены 2 секущие

Касательная к окружности — это прямая, имеющая с ней всего одну общую точку.

Если мы проведем прямую поближе к центру окружности — так, чтобы расстояние до него было меньше радиуса — неизбежно получится две точки пересечения. Такая прямая называется секущей, а отрезок, расположенный между точками пересечения, будет хордой (на рисунке ниже это ВС ).

В окружности с центром о проведены 2 секущие

Секущая к окружности — это прямая, которая пересекает ее в двух местах, т. е. имеет с ней две общие точки. Часть секущей, расположенная внутри окружности, будет называться хордой.

Видео:№634. Радиус ОМ окружности с центром О делит хорду АВ пополам. Докажите, что касательнаяСкачать

№634. Радиус ОМ окружности с центром О делит хорду АВ пополам. Докажите, что касательная

Свойства касательной к окружности

Выделяют четыре свойства касательной, которые необходимо знать для решения задач. Два из них достаточно просты и легко доказуемы, а вот еще над двумя придется немного подумать. Рассмотрим все по порядку.

Касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания, взаимно перпендикулярны.

Не будем принимать это на веру, попробуем доказать. Итак, у нас даны:

  • окружность с центральной точкой А;
  • прямая а — касательная к ней;
  • радиус АВ, проведенный к касательной.

Докажем, что касательная и радиус АВ взаимно перпендикулярны, т.е. аАВ.

Пойдем от противного — предположим, что между прямой а и радиусом АВ нет прямого угла и проведем настоящий перпендикуляр к касательной, назвав его АС.

В таком случае наш радиус АВ будет считаться наклонной, а наклонная, как известно, всегда длиннее перпендикуляра. Получается, что АВ > АС. Но если бы это было на самом деле так, наша прямая а пересекалась бы с окружностью два раза, ведь расстояние от центра А до нее — меньше радиуса. Но по условию задачи а — это касательная, а значит, она может иметь лишь одну точку касания.

Итак, мы получили противоречие. Делаем вывод, что настоящим перпендикуляром к прямой а будет вовсе не АС, а АВ.

В окружности с центром о проведены 2 секущие

Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Задача

У нас есть окружность, центр которой обозначен О. Из точки С проведена прямая, и она касается этой окружности в точке А. Известно, что ∠АСО = 28°. Найдите величину дуги АВ.

Мы знаем, что касательная АС ⟂ АО, следовательно ∠САО = 90°.

Поскольку нам известны величины двух углов треугольника ОАС, не составит труда найти величину и третьего угла.

∠АОС = 180° — ∠САО — ∠АСО = 180° — 90° — 28° = 62°

Поскольку вершина угла АОС лежит в центре окружности, можно вспомнить свойство центрального угла — как известно, он равен дуге, на которую опирается. Следовательно, АВ = 62°.

В окружности с центром о проведены 2 секущие

Если провести две касательных к окружности из одной точки, лежащей вне этой окружности, то их отрезки от этой начальной точки до точки касания будут равны.

Докажем и это свойство на примере. Итак, у нас есть окружность с центром А, давайте проведем к ней две касательные из точки D. Обозначим эти прямые как ВD и CD . А теперь выясним, на самом ли деле BD = CD.

Для начала дополним наш рисунок, проведем еще одну прямую из точки D в центр окружности. Как видите, у нас получилось два треугольника: ABD и ACD . Поскольку мы уже знаем, что касательная и радиус к ней перпендикулярны, углы ABD и ACD должны быть равны 90°.

В окружности с центром о проведены 2 секущие

Итак, у нас есть два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой AD. Учитывая, что радиусы окружности всегда равны, мы понимаем, что катеты AB и AC у этих треугольников тоже одинаковой длины. Следовательно, ΔABD = ΔACD (по катету и гипотенузе).. Значит, оставшиеся катеты, а это как раз наши BD и CD (отрезки касательных к окружности), аналогично равны.

Важно: прямая, проложенная из стартовой точки до центра окружности (в нашем примере это AD), делит угол между касательными пополам.

Задача 1

У нас есть окружность с радиусом 4,5 см. К ней из точки D, удаленной от центра на 9 см, провели две прямые, которые касаются окружности в точках B и C. Определите градусную меру угла, под которым пересекаются касательные.

Решение

Для этой задачи вполне подойдет уже рассмотренный выше рисунок окружности с радиусами АВ и АC. Поскольку касательная ВD перпендикулярна радиусу АВ , у нас есть прямоугольный треугольник АВD. Зная длину его катета и гипотенузы, определим величину ∠BDA.

∠BDA = 30° (по свойству прямоугольного треугольника: угол, лежащий напротив катета, равного половине гипотенузы, составляет 30°).

Мы знаем, что прямая, проведенная из точки до центра окружности, делит угол между касательными, проведенными из этой же точки, пополам. Другими словами:

∠BDC = ∠BDA × 2 = 30° × 2 = 60°

Итак, угол между касательными составляет 60°.

В окружности с центром о проведены 2 секущие

Задача 2

К окружности с центром О провели две касательные КМ и КN. Известно, что ∠МКN равен 50°. Требуется определить величину угла ∠NМК.

Решение

Согласно вышеуказанному свойству мы знаем, что КМ = КN. Следовательно, треугольник МNК является равнобедренным.

Углы при его основании будут равны, т.е. ∠МNК = ∠NМК.

∠МNК = (180° — ∠МКN) : 2 = (180° — 50°) : 2 = 65°

В окружности с центром о проведены 2 секущие

Соотношение между касательной и секущей: если они проведены к окружности из одной точки, лежащей вне окружности, то квадрат расстояния до точки касания равен произведению длины всей секущей на ее внешнюю часть.

Данное свойство намного сложнее предыдущих, и его лучше записать в виде уравнения.

Начертим окружность и проведем из точки А за ее пределами касательную и секущую. Точку касания обозначим В, а точки пересечения — С и D. Тогда CD будет хордой, а отрезок AC — внешней частью секущей.

В окружности с центром о проведены 2 секущие

Задача 1

Из точки М к окружности проведены две прямые, пусть одна из них будет касательной МA, а вторая — секущей МB. Известно, что хорда ВС = 12 см, а длина всей секущей МB составляет 16 см. Найдите длину касательной к окружности МA.

Решение

Исходя из соотношения касательной и секущей МА 2 = МВ × МС.

Найдем длину внешней части секущей:

МС = МВ — ВС = 16 — 12 = 4 (см)

МА 2 = МВ × МС = 16 х 4 = 64

В окружности с центром о проведены 2 секущие

Задача 2

Дана окружность с радиусом 6 см. Из некой точки М к ней проведены две прямые — касательная МA и секущая МB . Известно, что прямая МB пересекает центр окружности O. При этом МB в 2 раза длиннее касательной МA . Требуется определить длину отрезка МO.

Решение

Допустим, что МО = у, а радиус окружности обозначим как R.

В таком случае МВ = у + R, а МС = у – R.

Поскольку МВ = 2 МА, значит:

МА = МВ : 2 = (у + R) : 2

Согласно теореме о касательной и секущей, МА 2 = МВ × МС.

(у + R) 2 : 4 = (у + R) × (у — R)

Сократим уравнение на (у + R), так как эта величина не равна нулю, и получим:

Поскольку R = 6, у = 5R : 3 = 30 : 3 = 10 (см).

В окружности с центром о проведены 2 секущие

Ответ: MO = 10 см.

Угол между хордой и касательной, проходящей через конец хорды, равен половине дуги, расположенной между ними.

Это свойство тоже стоит проиллюстрировать на примере: допустим, у нас есть касательная к окружности, точка касания В и проведенная из нее хорда . Отметим на касательной прямой точку C, чтобы получился угол AВC.

В окружности с центром о проведены 2 секущие

Задача 1

Угол АВС между хордой АВ и касательной ВС составляет 32°. Найдите градусную величину дуги между касательной и хордой.

Решение

Согласно свойствам угла между касательной и хордой, ∠АВС = ½ АВ.

АВ = ∠АВС × 2 = 32° × 2 = 64°

В окружности с центром о проведены 2 секущие

Задача 2

У нас есть окружность с центром О, к которой идет прямая, касаясь окружности в точке K. Из этой точки проводим хорду KM, и она образует с касательной угол MKB, равный 84°. Давайте найдем величину угла ОMK.

Решение

Поскольку ∠МКВ равен половине дуги между KM и КВ, следовательно:

КМ = 2 ∠МКВ = 2 х 84° = 168°

Обратите внимание, что ОМ и ОK по сути являются радиусами, а значит, ОМ = ОК. Из этого следует, что треугольник ОMK равнобедренный.

∠ОКМ = ∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2

Так как центральный угол окружности равен угловой величине дуги, на которую он опирается, то:

∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2 = (180° — 168°) : 2 = 6°

Видео:Касательные к окружности с центром O в точках A и B ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Касательные к окружности с центром O в точках A и B ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке

В окружности с центром о проведены 2 секущиеОтрезки и прямые, связанные с окружностью
В окружности с центром о проведены 2 секущиеСвойства хорд и дуг окружности
В окружности с центром о проведены 2 секущиеТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
В окружности с центром о проведены 2 секущиеДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
В окружности с центром о проведены 2 секущиеТеорема о бабочке

В окружности с центром о проведены 2 секущие

Видео:№672. Через точку А, лежащую вне окружности, проведены две секущие, одна из которых пересекаетСкачать

№672. Через точку А, лежащую вне окружности, проведены две секущие, одна из которых пересекает

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьВ окружности с центром о проведены 2 секущие
КругВ окружности с центром о проведены 2 секущие
РадиусВ окружности с центром о проведены 2 секущие
ХордаВ окружности с центром о проведены 2 секущие
ДиаметрВ окружности с центром о проведены 2 секущие
КасательнаяВ окружности с центром о проведены 2 секущие
СекущаяВ окружности с центром о проведены 2 секущие
Окружность
В окружности с центром о проведены 2 секущие

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругВ окружности с центром о проведены 2 секущие

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусВ окружности с центром о проведены 2 секущие

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаВ окружности с центром о проведены 2 секущие

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрВ окружности с центром о проведены 2 секущие

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяВ окружности с центром о проведены 2 секущие

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяВ окружности с центром о проведены 2 секущие

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:№644. Прямые МА и MB касаются окружности с центром О в точках А и В. Точка С симметрична точке ОСкачать

№644. Прямые МА и MB касаются окружности с центром О в точках А и В. Точка С симметрична точке О

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеВ окружности с центром о проведены 2 секущиеДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыВ окружности с центром о проведены 2 секущиеЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныВ окружности с центром о проведены 2 секущиеБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиВ окружности с центром о проведены 2 секущиеУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыВ окружности с центром о проведены 2 секущиеДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
В окружности с центром о проведены 2 секущие

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыВ окружности с центром о проведены 2 секущие

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыВ окружности с центром о проведены 2 секущие

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиВ окружности с центром о проведены 2 секущие

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныВ окружности с центром о проведены 2 секущие

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиВ окружности с центром о проведены 2 секущие

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыВ окружности с центром о проведены 2 секущие

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:2023 На окружности с центром в точке О отмечены точки А и Б так что угол аоб равен 45Скачать

2023 На окружности с центром в точке О отмечены точки А и Б так что угол аоб равен 45

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

В окружности с центром о проведены 2 секущие

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

В окружности с центром о проведены 2 секущие

В окружности с центром о проведены 2 секущие

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыВ окружности с центром о проведены 2 секущие
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиВ окружности с центром о проведены 2 секущие
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиВ окружности с центром о проведены 2 секущие
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаВ окружности с центром о проведены 2 секущие

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

В окружности с центром о проведены 2 секущие

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

В окружности с центром о проведены 2 секущие

В окружности с центром о проведены 2 секущие

Пересекающиеся хорды
В окружности с центром о проведены 2 секущие
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
В окружности с центром о проведены 2 секущие
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
В окружности с центром о проведены 2 секущие
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
В окружности с центром о проведены 2 секущие
Пересекающиеся хорды
В окружности с центром о проведены 2 секущие

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

В окружности с центром о проведены 2 секущие

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

В окружности с центром о проведены 2 секущие

В окружности с центром о проведены 2 секущие

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

В окружности с центром о проведены 2 секущие

В окружности с центром о проведены 2 секущие

В окружности с центром о проведены 2 секущие

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

В окружности с центром о проведены 2 секущие

В окружности с центром о проведены 2 секущие

В окружности с центром о проведены 2 секущие

Видео:№660. Через точку, лежащую вне окружности, проведены две секущие, образующие угол в 32Скачать

№660. Через точку, лежащую вне окружности, проведены две секущие, образующие угол в 32

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

В окружности с центром о проведены 2 секущие

В окружности с центром о проведены 2 секущие

Тогда справедливо равенство

В окружности с центром о проведены 2 секущие

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

В окружности с центром о проведены 2 секущие

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

В окружности с центром о проведены 2 секущие

В окружности с центром о проведены 2 секущие

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

В окружности с центром о проведены 2 секущие

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

В окружности с центром о проведены 2 секущие

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

В окружности с центром о проведены 2 секущие

В окружности с центром о проведены 2 секущие

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

В окружности с центром о проведены 2 секущие

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

В окружности с центром о проведены 2 секущие

В окружности с центром о проведены 2 секущие

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

В окружности с центром о проведены 2 секущие

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:Урок 3. №23 ОГЭ. Касательная. Окружность с центром на стороне AC касается АВ в точке В.Скачать

Урок 3. №23 ОГЭ. Касательная. Окружность с центром на стороне AC касается АВ в точке В.

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

В окружности с центром о проведены 2 секущие

В окружности с центром о проведены 2 секущие

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

В окружности с центром о проведены 2 секущие

В окружности с центром о проведены 2 секущие

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

В окружности с центром о проведены 2 секущие

В окружности с центром о проведены 2 секущие

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

В окружности с центром о проведены 2 секущие

В окружности с центром о проведены 2 секущие

Воспользовавшись теоремой 1, получим

В окружности с центром о проведены 2 секущие

В окружности с центром о проведены 2 секущие

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

В окружности с центром о проведены 2 секущие

В окружности с центром о проведены 2 секущие

В окружности с центром о проведены 2 секущие

В окружности с центром о проведены 2 секущие

В окружности с центром о проведены 2 секущие

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

В окружности с центром о проведены 2 секущие

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

📺 Видео

№641. Отрезки АВ и АС являются отрезками касательных к окружности с центром О, проведенными изСкачать

№641. Отрезки АВ и АС являются отрезками касательных к окружности с центром О, проведенными из
Поделиться или сохранить к себе: