Противоположные ребра тетраэдра всегда лежат на параллельных пересекающихся скрещивающихся прямых

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Тетраэдр.

Тетраэдр — это частный случай правильной треугольной пирамиды.

Тетраэдр — правильный многогранник (четырёхгранный), имеющий 4 грани, они, в свою очередь, оказываются правильными треугольниками. У тетраэдра 4 вершины, к каждой из них сходится 3 ребра. Общее количество ребер у тетраэдра 6.

Медиана тетраэдра — это отрезок, который соединяет вершину тетраэдра и точку пересечения медиан противоположной грани (медиан равностороннего треугольника, который противолежит вершине).

Бимедиана тетраэдра — это отрезок, который соединяет середины рёбер, что скрещиваются (соединяет середины сторон треугольника, который есть одной из граней тетраэдра).

Высота тетраэдра — это отрезок, который соединяет вершину и точку противоположной грани и перпендикулярен этой грани (т.е. это высота, проведенная от всякой грани, кроме того, совпадает с центром описанной окружности).

Видео:№69. Через середины ребер АВ и ВС тетраэдра SABC проведена плоскость параллельно ребру SBСкачать

Свойства тетраэдра.

Параллельные плоскости, которые проходят через пары рёбер тетраэдра, что скрещиваются, и определяют описанный параллелепипед около тетраэдра.

Плоскость, которая проходит сквозь середины 2-х рёбер тетраэдра, что скрещиваются, и делит его на 2 части, одинаковые по объему.

Все медианы и бимедианы тетраэдра пересекаются в одной точке. Эта точка делит медианы в отношении 3:1, если считать от вершины. Она же делит бимедианы на две равные части.

Видео:№101. Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных ребер тетраэдра, пересекаютсяСкачать

Типы тетраэдров.

Правильный тетраэдр — это такая правильная треугольная пирамида, каждая из граней которой оказывается равносторонним треугольником.

У правильного тетраэдра каждый двугранный угол при рёбрах и каждый трёхгранный угол при вершинах имеют одинаковую величину.

Тетраэдр состоит из 4 граней, 4 вершин и 6 ребер.

Правильный тетраэдр — это один из 5-ти правильных многогранников.

Кроме правильного тетраэдра, заслуживают внимания такие типы тетраэдров:

— Равногранный тетраэдр, у него каждая грань представляет собой треугольник. Все грани-треугольники такого тетраэдра равны.

— Ортоцентрический тетраэдр, у него каждая высота, опущенная из вершин на противоположную грань, пересекается с остальными в одной точке.

— Прямоугольный тетраэдр, у него каждое ребро, прилежащее к одной из вершин, перпендикулярно другим ребрам, прилежащим к этой же вершине.

— Каркасный тетраэдр — тетраэдр, который таким условиям:

• есть сфера, которая касается каждого ребра,
• суммы длин ребер, что скрещиваются равны,
• суммы двугранных углов при противоположных ребрах равны,
• окружности, которые вписаны в грани, попарно касаются,
• каждый четырехугольник, образующийся на развертке тетраэдра, — описанный,
• перпендикуляры, поставленные к граням из центров окружностей, в них вписанных, пересекаются в одной точке.

— Соразмерный тетраэдр, бивысоты у него одинаковы.

— Инцентрический тетраэдр, у него отрезки, которые соединяют вершины тетраэдра с центрами окружностей, которые вписаны в противоположные грани, пересекаются в одной точке.

Видео:10 класс, 14 урок, Задачи на построение сеченийСкачать

Формулы для определения элементов тетраэдра.

Высота тетраэдра:

где h — высота тетраэдра, a — ребро тетраэдра.

Объем тетраэдра рассчитывается по классической формуле объема пирамиды. В нее нужно подставить высоту тетраэдра и площадь правильного (равностороннего) треугольника.

где V — объем тетраэдра, a — ребро тетраэдра.

Основные формулы для правильного тетраэдра:

Где S — Площадь поверхности правильного тетраэдра;

h — высота, опущенная на основание;

r — радиус вписанной в тетраэдр окружности;

Видео:10 класс, 12 урок, ТетраэдрСкачать

Геометрия. 10 класс

Конспект урока

Геометрия, 10 класс

Урок №7. Тетраэдр и параллелепипед

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1. понятие тетраэдра;
2. понятие параллелепипеда;
3. свойства ребер, граней, диагоналей параллелепипеда;
4. определение сечения в фигуре;
5. метод следа.

Глоссарий по теме

Тетраэдр – это многогранник, состоящий из плоскости треугольника и точки не лежащий в этой плоскости, трех отрезков соединяющих эту точку с вершинами основания треугольника.

Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом.

Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда.

Сечением поверхности геометрических тел называется – плоская фигура, полученная в результате пересечения тела плоскостью и содержащая точки, принадлежащие как поверхности тела, так и секущей плоскости.

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Учебник Геометрия 10-11 кл.– М.: Просвещение, 2014.

Зив Б.Г. Дидактические материалы Геометрия 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.

Глазков Ю.А., Юдина И.И., Бутузов В.Ф. Рабочая тетрадь Геометрия 10 кл.-М.: Просвещение, 2013.

Открытый электронный ресурс:

Решу ЕГЭ. Открытый образовательный портал. https://ege.sdamgia.ru

Теоретический материал для самостоятельного изучения

В дельнейшем несколько уроков нашего курса будет посвящены многогранникам- поверхностям геометрических тел, составленным из многоугольников. Но до более подробного изучения многогранников мы познакомимся с двумя из них- тетраэдром и параллелепипедом. Нам данные тела дадут возможность проиллюстрировать понятия, связанные со взаимным расположением прямых и плоскостей.

Давайте вспомним, что мы понимали под многоугольником в планиметрии. Многоугольник мы рассматривали либо как замкнутую линию без самопересечений, либо как часть плоскости, ограниченную этой линией, включая ее саму.

Мы будем использовать второе толкование многоугольника при рассмотрении поверхностей и тел в пространстве. При таком толковании любой многоугольник в пространстве представляет собой плоскую поверхность.

Давайте рассмотрим изображенную фигуру и ответим на несколько вопросов.

Итак, поверхность данной фигуры состоит из четырёх треугольников DАВ, DВС, DАС и АВС.

1. из вершин- их у него 4- А, B, C, D;
2. из ребер- их у него 6- AB, BC, AC, AD, BD, CD;
3. из граней- их у него 4- треугольники ∆АВС, ∆DАС, ∆DВС, ∆DАВ.

Мы с вами выяснили из элементов состоит наша фигура тетраэдр. Теперь сформулируем определение.

Определение. Тетраэдр – это многогранник, состоящий из плоскости треугольника и точки не лежащий в этой плоскости, трех отрезков соединяющих эту точку с вершинами основания треугольника.

Говорят, что рёбра АD и ВС, АВ и CD, и т.д.- противоположные.

Считается АВС — основание, остальные грани — боковые.

Изображается тетраэдр обычно так (рис. 1).

Рисунок 1 – изображение тетраэдра.

Математика, в частности геометрия, является мощнейшим инструментом в познании мира. Различные геометрические формы находят свое практическое приспособление в различных областях знания: архитектуре, скульптуре, живописи. И тетраэдр тому доказательство. Так же мы можем наблюдать тетраэдр в повседневной жизни (рис. 2).

Форма пакета молока

Рисунок 2 — тетраэдр в повседневной жизни

Прежде чем начать изучать параллелепипед вспомним определение параллелограмма и его свойства.

Определение. Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом (рис. 3).

Рисунок 3 – параллелограмм

1. Противоположные стороны параллелограмма равны:

2. Противоположные углы параллелограмма равны:

3. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам:

1. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника:

треугольники ABC и CDA равны.

1. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180⁰: ∟A+∟D=180°

6. Накрест лежащие углы при диагонали равны:

А теперь перейдем к параллелепипеду.

Рассмотрим два равных параллелограмма ABCD и A₁B₁C₁D₁, расположенных в параллельных плоскостях так, что отрезки AA_1, BB_1, CC₁ и DD₁ параллельны.

Давайте рассмотрим изображенную фигуру (рис. 4).

Рисунок 4 – параллелепипед и его диагонали

АВСDA₁B₁C₁D₁: поверхность, составленная из двух равных параллелограммов АВСD и A₁B₁C₁D₁, лежащих в параллельных плоскостях и четырёх параллелограммов.

Все параллелограммы — грани, их стороны — рёбра, их вершины — вершины параллелепипеда.

Считается: АВСD и A₁B₁C₁D₁ — основания, остальные грани — боковые.

Определение. Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда:
A₁C, D₁B, AC₁, DB₁.

Параллелепипед – слово греческого происхождения, параллел – идущий рядом, епипед – плоскость.

Определение.Параллелепипед- этошестигранник с параллельными и равными противоположными гранями.

Следует отметить, что многоугольник в пространстве представляет собой плоскую поверхность, а тетраэдр и параллелепипед – поверхности, составленные из плоских поверхностей (соответственно треугольников и параллелограммов).

Способы изображения параллелепипеда

Параллелепипед, в основании которого лежит ромб

Параллелепипед, в основании которого лежит квадрат

Параллелепипед,в основании которого лежит прямоугольник или параллелограмм

Параллелепипед, у которого все грани — равные квадраты

Можно сделать вывод, что параллелепипеды делятся на (рис. 5)

Рисунок 5 – виды параллелепипедов

1. Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.
2. Все четыре диагонали пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.

В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁грани ВВ₁С₁С и AA₁D₁D параллельны (рис. 6), потому что две пересекающиеся прямые ВВ₁ и В₁С₁ одной грани параллельны двум пересекающимся прямым АА₁ и A₁D₁ другой; эти грани и равны, так как В₁С₁ = A₁D₁, В₁В= А₁А (как противоположные стороны параллелограммов) и ∟ ВВ₁С₁= ∟АA₁D₁.

Рисунок 6 – чертеж к доказательству свойства 1

Возьмём какие-нибудь две диагонали, например АС₁ и ВD₁, и проведём вспомогательные прямые АD₁ и ВС₁ (рис. 7).

Так как рёбра АВ и D₁С₁ соответственно равны и параллельны ребру DС, то они равны и параллельны между собой; вследствие этого фигура АD₁С₁В есть параллелограмм, в котором прямые С₁А и ВD₁ —диагонали, а в параллелограмме диагонали делятся в точке пересечения пополам.

Возьмём теперь одну из этих диагоналей, например АС₁, с третьей диагональю, положим, с В₁D. Совершенно так же мы можем доказать, что они делятся в точке пересечения пополам. Следовательно, диагонали B₁D и АС₁ и диагонали АС₁ и BD₁(которые мы раньше брали) пересекаются в одной и той же точке, именно в середине диагонали
АС₁. Наконец, взяв эту же диагональ АС₁ с четвёртой диагональю А₁С, мы также докажем, что они делятся пополам. Значит, точка пересечения и этой пары диагоналей лежит в середине диагонали АС₁. Таким образом, все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной и той же точке и делятся этой точкой пополам.

Рисунок 7 – чертеж к доказательству свойства 2

Задачи на построение сечений.

Определение. Сечением поверхности геометрических тел называется — плоская фигура, полученная в результате пересечения тела плоскостью и содержащая точки, принадлежащие как поверхности тела, так и секущей плоскости.

Взаимное расположение многогранника и секущей плоскости:

1. Многогранник и плоскость не имеют общих точек.
2. Многогранник и плоскость имеют одну общую точку-вершину многогранника.
3. Многогранник и плоскость имеют общую грань.
4. Многогранник и плоскость имеют общий отрезок-ребро многогранника.

• сечение параллельное плоскости основания,
• диагональное сечение,
• сечение, параллельное плоскости грани,
• произвольное сечение.

Фигуры, которые получаются в результате сечения:

Один из методов построения сечений, который мы рассмотрим- метод следа.

Рассмотрим метод следов, применяемый при построении сечений многогранников, а именно при построении сечения куба плоскостью.

Что такое метод следов? При построении сечений многогранников в качестве вспомогательной прямой часто используется след секущей плоскости (в плоскости грани, удобной для рассмотрения). Такой метод построения сечений называется методом следа.

Построить сечение параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью, проходящей через точки P, Q, R (рис. 8).

Рисунок 8 –чертеж к задаче №1

1. Построим след секущей плоскости на плоскость нижнего основания параллелепипеда. Рассмотрим грань АА₁В₁В. В этой грани лежат точки сечения P и Q. Проведем прямую PQ.
2. Продолжим прямую PQ, которая принадлежит сечению, до пересечения с прямой АВ. Получим точку S₁, принадлежащую следу.
3. Аналогично получаем точку S₂ пересечением прямых QR и BC.
4. Прямая S₁S₂ — след секущей плоскости на плоскость нижнего основания параллелепипеда.
5. Прямая S₁S₂ пересекает сторону AD в точке U, сторону CD в точке Т. Соединим точки P и U, так как они лежат в одной плоскости грани АА₁D₁D. Аналогично получаем TU и RT.
6. PQRTU – искомое сечение.

Основные правила построения сечений методом следа:

• Если даны (или уже построены) две точки плоскости сечения на одной грани многогранника, то след сечения этой плоскости – прямая, проходящая через эти три точки.
• Если дана (или уже построена) прямая пересечения плоскости сечения с основанием многогранника (след на основании) и есть точка, принадлежащая определенной боковой грани, то нужно определить точку пересечения данного следа с этой боковой гранью ( точка пересечения данного следа с общей прямой основания и данной боковой грани)
• Точку пересечения плоскости сечения с основанием можно определить как точку пересечения какой-либо прямой в плоскости сечения с ее проекцией на плоскость основания.

То есть, суть метода заключается в построении вспомогательной прямой, являющейся изображением линии пересечения секущей плоскости с плоскостью какой-либо грани фигуры. Удобнее всего строить изображение линии пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания. Используя след, легко построить изображения точек секущей плоскости, находящихся на боковых ребрах или гранях фигуры.

Дан тетраэдр АВСD. Точка М – точка внутренняя, точка грани тетраэдра АВD. N – внутренняя точка отрезка DС. Построить точку пересечения прямой NM и плоскости АВС.

Рисунок 9 – чертеж к задаче №2

Решение:
Для решения построим вспомогательную плоскость DМN (рис. 10). Пусть прямая DМ пересекает прямую АВ в точке К. Тогда, СКD – это сечение плоскости DМN и тетраэдра. В плоскости DМN лежит и прямая NM, и полученная прямая СК. Значит, если NM не параллельна СК, то они пересекутся в некоторой точке Р. Точка Р и будет искомая точка пересечения прямой NM и плоскости АВС.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Дан тетраэдр АВСD. М – внутренняя точка грани АВD. Р – внутренняя точка грани АВС. N – внутренняя точка ребра DС. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М, N и Р.

Решение:
Рассмотрим первый случай, когда прямая MN не параллельна плоскости АВС (рис. 11). В прошлой задаче мы нашли точку пересечения прямой MN и плоскости АВС. Это точка К, она получена с помощью вспомогательной плоскости DМN, т.е. мы проводим DМ и получаем точку F. Проводим СF и на пересечении MN получаем точку К.

Проведем прямую КР. Прямая КР лежит и в плоскости сечения, и в плоскости АВС. Получаем точки Р₁ и Р₂. Соединяем Р₁ и М и на продолжении получаем точку М₁. Соединяем точку Р₂ и N. В результате получаем искомое сечение Р1Р2NМ1. Задача в первом случае решена.

Рисунок 10 – чертеж к примеру 1 (первый случай)

Рассмотрим второй случай, когда прямая MN параллельна плоскости АВС (рис. 12). Плоскость МNР проходит через прямую МN параллельную плоскости АВС и пересекает плоскость АВС по некоторой прямой Р₁Р₂, тогда прямая Р₁Р₂ параллельна данной прямой MN.

Рисунок 11 – чертеж к примеру 1 (второй случай)

Через середины ребер АВ и ВС тетраэдра SABC проведена плоскость параллельно ребру SB. Докажите, что эта плоскость пересекает грани SAB и SBC по параллельным прямым.

Плоскость SBC и плоскость, проходящая через прямую MN параллельно ребру SB, пересекаются по прямой, проходящей через точку N (рис. 13).
По теореме (о параллельных прямых) линия пересечения параллельна SB.
В плоскость SBC через т. N проходит NQ||SB.
Плоскость SAB и плоскость MNQ пересекаются по прямой, проходящей через т. M (прямая MP). По теореме (о параллельных прямых) линия пересечения параллельна SB.

следовательно, PM||NQ.Утверждение доказано.

Видео:Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Противоположные ребра тетраэдра всегда лежат на параллельных пересекающихся скрещивающихся прямых

ТЕТРАЭДР. ВИДЫ ТЕТРАЭДРОВ

Тетраэдр является одним из простейших многогранников, гранями которого являются четыре треугольника. Его можно считать пространственным аналогом треугольника. Рассмотрим свойства треугольников и аналогичные им свойства тетраэдров.
Теорема 1. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной окружности.
Теорема 1′. Биссектральные плоскости двугранных углов тетраэдра пересекаются в одной точке – центре вписанной сферы.
Доказательство. Пусть ABCD – тетраэдр. Пересечением биссектральных плоскостей двугранных углов с ребрами AB, AC,и BC (рис. 1) является точка O, равноудаленная от всех граней тетраэдра. Следовательно, эта точка принадлежит биссектральным плоскостям остальных двугранных углов тетраэдра и является центром вписанной сферы.

Теорема 2. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке – центре описанной окружности.
Теорема 2′. Плоскости, проходящие через середины ребер тетраэдра и перпендикулярные этим ребрам, пересекаются в одной точке – центре описанной сферы.
Доказательство. Пусть ABCD – тетраэдр. Пересечением плоскостей, проходящих через середины ребер AD, BD, и CD является точка O, равноудаленная от всех вершин тетраэдра. Следовательно, эта точка принадлежит остальным плоскостям и является центром описанной сферы.
Теорема 2″. Прямые, перпендикулярные граням тетраэдра, и проходящие через центры их описанных окружностей, пересекаются в одной точке – центре описанной сферы.
Доказательство. Каждая такая прямая является геометрическим местом точек, равноудаленных от вершин соответствующей грани тетраэдра. Поэтому центр описанной сферы будет принадлежать всем этим прямым.
Заметим, что не у всякого тетраэдра прямые, проходящие через центры вписанных в грани окружностей и перпендикулярные этим граням, пересекаются в одной точке. Ответ на то, когда это происходит, дает следующая теорема.
Теорема 2»’. У тетраэдра существует сфера, касающаяся всех его ребер, тогда и только тогда, когда суммы противоположных ребер этого тетраэдра равны.
Доказательство. Пусть у тетраэдра ABCD существует сфера, касающаяся его ребер. Обозначим через a, b, c и d расстояния от соответствующих вершин тетраэдра до точек касания. Тогда AB = a + b, CD = c + d. Следовательно, AB + CD = a + b + c + d. Аналогично, AC + BD = a + b + c + d, AD + BC = a + b + c + d. Таким образом, суммы противоположных ребер тетраэдра равны.
Обратно. Предположим, что суммы противоположных ребер тетраэдра ABCD равны. Впишем в треугольник ABC окружность. Обозначим через X точку касания этой окружности стороны AB (рис. 2) .

Тогда AX = (AB + AC – BC):2. Так как AC – BC = AD – BD, то AX = (AB + AD – BD):2. Следовательно, точка X является точкой касания окружности, вписанной в треугольник ABD . Через центры этих двух окружностей проведем перпендикуляры. Они лежат в одной плоскости, проходящей через X и перпендикулярной AB. Точка O их пересечения будет равноудалена от сторон треугольников ABC и ABD. Таким образом, любые два перпендикуляра, проходящие через центры окружностей, вписанных в грани тетраэдра, пересекаются. Из этого следует, что или они лежат в одной плоскости, или пересекаются в одной точке. Поскольку они не лежат в одной плоскости, то значит, они пересекаются в одной точке O , равноудаленной от всех ребер тетраэдра, т.е. O – центр сферы, касающейся всех ребер данного тетраэдра.
Теорема 3. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, называемой центроидом треугольника и делятся в этой точке в отношениии 2 : 1.
Теорема 3′. Отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с точками пересечения медиан противоположных граней, пересекаются в одной точке – центроиде тетраэдра и делятся в этой точке в отношении 3 : 1, считая от вершины.
Доказательство. Пусть ABCD – тетраэдр, O – точка пересечения медиан треугольника ABC, P – точка пересечения медиан треугольника BCD, R – точка пересечения отрезков DO и AP (рис. 3) .

Рассмотрим треугольник AQD. Точки O и P делят соответствующие стороны в отношении 2 : 1. Покажем, что точка R делит DO и AP в отношении 3 : 1. В треугольнике APQ проведем OS параллельно AP. Она разделит отрезок PQ в отношении 2 : 1. Если отрезок SQ принять за единицу, то отрезок DP будет равен 6. Отрезки DR и RQ относятся также как DP и PS, т.е. DR : RQ = 6 : 2 = 3 : 1. Аналогичным образом доказывается, что точка R делит отрезок AP в отношении 3 : 1. Отрезки, соединяющие вершины B и C с точками пересечения медиан противоположных граней также будут делить отрезок DO в отношении 3 : 1 и, следовательно, будут проходить через точку O . Что и требовалось доказать.
Теорема 4. Отрезки, соединяющие середины противоположных ребер тетраэдр, пересекаются в одной точке – центроиде.
Доказательство. Достаточно заметить, что в предыдущем доказательстве медиана треугольника AQD, проведенная из вершины Q, проходит через центроид O .
Теорема 5. Для цетроида O треугольника ABC имеет место равенство .
Теорема 5′. Для цетроида O тетраэдра ABCD имеет место равенство .
Теорема 6. Пусть a произвольная прямая, проходящая через центроид треугольника ABC. Будем считать одну из полуплоскостей, на которые эта прямая разбивает плоскость, положительной, а другую отрицательной. Тогда сумма расстояний от вершин треугольника до прямой a, взятых со знаком + или – в зависимости от того, какой полуплоскости принадлежит вершина, равна нулю.
Теорема 6′. Пусть произвольная плоскость, проходящая через центроид тетраэдра ABCD. Будем считать одно из полупространств, на которые эта плоскость разбивает пространство, положительным, а другое отрицательным. Тогда сумма расстояний от вершин тетраэдра до плоскости , взятых со знаком + или – в зависимости от того, какому полупространству принадлежит вершина, равна нулю.
Теорема 7. Пусть a произвольная прямая. Будем считать одну из полуплоскостей, на которые эта прямая разбивает плоскость, положительной, а другую отрицательной. Тогда сумма расстояний от вершин треугольника до прямой a, взятых со знаком + или – в зависимости от того, какой полуплоскости принадлежит вершина, равна утроенному расстоянию от центроида треугольника до прямой a .
Теорема 7′. Пусть a произвольная плоскость. Будем считать одно из полупространств, на которые эта плоскость разбивает пространство, положительным, а другое отрицательным. Тогда сумма расстояний от вершин тетраэдра до плоскости a , взятых со знаком + или – в зависимости от того, какому полупространству принадлежит вершина, равна учетверенному расстоянию от центроида тетраэдра до данной плоскости.
Теорема 8′ (Менелая). Пусть на ребрах AB, BC, CD и AD тетраэдра ABCD взяты соответственно точки A ₁ , B ₁ , C ₁ и D ₁ . Для того чтобы эти точки лежали в одной плоскости, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

Доказательство. Пусть точки A ₁ , B ₁ , C ₁ и D ₁ лежат в одной плоскости (рис. 4). Опустим из вершин тетраэдра перпендикуляры AA ’ , BB ’ , CC ’ , DD ’ на эту плоскость. Тогда AA ₁ : A ₁ B = AA ’ : BB ’ , BB ₁ : B ₁ C = BB ’ : CC ’ , CC ₁ : C ₁ D = CC ’ : DD ’ , DD ₁ : D ₁ A = DD ’ : AA ’ . Откуда и следует требуемое равенство.

Обратно, пусть выполняется указанное равенство. Через точки A ₁ , B ₁ , C ₁ проведем плоскость. Она пересечет ребро AD в некоторой точке D ’ . Для точек A ₁ , B ₁ , C ₁ и D ’ также выполняется указанное равенство. Из этого следует, что DD ₁ : D ₁ A = DD ’ : D ’ A и, значит, D ₁ и D ’ совпадают, т.е. A ₁ , B ₁ , C ₁ и D ₁ лежат в одной плоскости.

Теорема 9′ (Чевы). Пусть на ребрах AB, BC, CD и AD тетраэдра ABCD взяты соответственно точки A ₁ , B ₁ , C ₁ и D ₁. Плоскости ABC ₁ , BCD ₁ , CDA ₁ и DAB ₁ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

Доказательство. По предыдущей теореме выполнимость указанного равенства равносильна тому, что точки A ₁ , B ₁ , C ₁ и D ₁ лежат в одной плоскости. При этом точка пересечения этих плоскостей является точкой пересечения диагоналей четырехугольника A ₁ B ₁ C ₁ D ₁ .

Рассмотрим теперь некоторые специальные тетраэдры.
Равногранным тетраэдром называется тетраэдр, у которого все грани равны.
Теорема 10. Для любого остроугольного треугольника существует равногранный тетраэдр, грани которого равны данному треугольнику.
Доказательство. Пусть ABC – произвольный остроугольный треугольник. Через его вершины проведем прямые, параллельные противоположным сторонам (рис. 5).

Они образуют треугольник A ₁ B ₁ C ₁ , разбитый на четыре треугольника, равных исходному. Ясно, что A ₁ B ₁ C ₁ представляет собой развертку равногранного тетраэдра.
Теорема 11. Тетраэдр является равногранным тогда и только тогда, когда у него центры вписанной и описанной сфер совпадают.
Доказательство. Пусть в тетраэдре ABCD центрами вписанной и описанной сфер является точка O . P и Q – и точки касания вписанной сферы граней ABC и BCD (рис.6) . Заметим, что P и Q являются центрами окружностей, описанных около треугольников ABC и BCD соответственно. Из этого, в частности, следует, что треугольник ABC – остроугольный. Кроме того, треугольники BP C и BQ C равны. Углы BAC и BDC равны половинам углов BP C и BQ C , и следовательно также равны. Таким образом, плоские углы при вершине D равны углам треугольника ABC. Значит, в сумме они составляют 180 0 . Аналогично, плоские углы при остальных вершинах тетраэдра в сумме составляют 180 0 . Поэтому развертка этого тетраэдра имеет вид, указанный в теореме 1. Следовательно, тетраэдр равногранный.

Покажем обратное, пусть ABCD – равногранный тетраэдр, O – цетр описанной сферы. Тогда плоскости граней пересекают описанную сферу по окружностям одинакового радиуса. Следовательно, расстояния от точки O до граней тетраэдра равны и, значит O – центр вписанной сферы.
Прямоугольным тетраэдром называется тетраэдр, у которого все плоские углы при какой-нибудь вершине прямые.
Теорема 12. Основанием высоты прямоугольного тетраэдра, проведенной из вершины с прямыми плоскими углами, является точка пересечения высот противоположной грани.
Теорема 13. (Пифагора) Квадрат площади грани прямоугольного тетраэдра, лежащей против вершины с прямыми плоскими углами, равен сумме квадратов площадей остальных граней этого тетраэдра.
Доказательство. Пусть ABCD – прямоугольный тетраэдр (рис. 7). Плоские углы при вершине D прямые. Можно было бы обозначить ребра, выходящие из вершины D через a, b, c, а затем воспользоваться формулой Герона для нахождения площади треугольника ABC .

Мы рассмотрим другой способ. Имеем S _ADB = S _ABC cos ; S _ACD = S _ABC cos ; S _BCD = S _ABC cos , где , , — соответствующие двугранные углы, равные углам C DO, BDO и A DO . Таким образом, cos , cos , cos составляют координаты единичного вектора, поэтому cos 2 + cos 2 + cos 2 = 1. Значит , S 2 _ABC = S 2 _ABD + S 2 _BCD + S 2 _ACD . Что и требовалось доказать.
Ортогональным называется тетраэдр, у которого противоположные ребра попарно перпендикулярны.
Ортоцентрическим называется тетраэдр, у которого высоты или их продолжения пересекаются в одной точке – ортоцентре третаэдра.
Теорема 14. Тетраэдр является ортогональным тогда и только тогда, когда отрезки, соединяющие середины противоположных ребер, равны.
Доказательство. Пусть ABCD – тетраэдр. A ₁ , B ₁, C ₁, D ₁ – середины двух пар противоположных ребер (рис. 8).

Тогда A ₁ B ₁ D ₁ C ₁ – параллелограмм. Его диагонали равны тогда и только тогда, когда он – прямоугольник, т.е. AC BD .
Теорема 2. Тетраэдр является ортогональным тогда и только тогда, когда он является ортоцентрическим.
Доказательство. Пусть ABCD – ортогональный тетраэдр (рис. 9). DD ₂ – высота, опущенная из вершины D. Плоскость CDD ₂ перпендикулярна AB и, следовательно, DC ₁ и CC ₁ – высоты треугольников ABC и ABD. Высоты DD ₂ и CC ₂ треугольника C ₁ CD пересекаются.

Таким образом, произвольные пары высот тетраэдра пересекаются в одной точке. Но попарно пересекающиеся прямые или лежат в одной плоскости, или пересекаются в одной точке. В нашем случае прямые не лежат в одной плоскости и, следовательно, пересекаются в одной точке O .
Обратно, пусть высоты тетраэдра ABCD пересекаются в одной точке O. Тогда DD ₂ ABC и, следовательно, DD ₂ ABC . Аналогично, CC ₂ ABD и, следовательно, CC ₂ AB . Таким образом, AB перпендикулярна плоскости COD и, следовательно, AB CD. Аналогично показывается перпендикулярность остальных противоположных ребер.
Теорема 3. Тетраэдр является ортогональным тогда и только тогда, когда одна из его высот проходит через ортоцентр соответствующей грани.
Доказательство. Необходимость вытекает из Теоремы 2. Покажем достаточность. Пусть D ₂ – ортоцентр грани ABC, DD ₂ – высота тетраэдра ABCD. Тогда BC перпендикулярна плоскости AA ₁ D и, следовательно, BC перпендикулярна AD. Аналогично показывается перпендикулярность остальных противоположных ребер.
Теорема 4. В ортогональном тетраэдре окружности 9-ти точек всех граней лежат на одной сфере (сфера 24 точек).
Доказательство. Рассмотрим сферу с центром в центроиде тетраэдра и диаметром, равным отрезкам, соединяющим середины противоположных ребер. Эта сфера проходит через середины всех ребер тетраэдра и, следовательно, содержит окружности 9 точек всех граней.

Литература
1. Адамар Ж. Элементарная геометрия. Часть II. Стереометрия. – М.: Учпедгиз, 1938.
2. Перепелкин Д.И. Курс элементарной геометрии. Часть II. Геометрия в пространстве. – М.-Л.: Гостехиздат, 1949.
3. В.В.Прасолов, И.Ф.Шарыгин. Задачи по стереометрии. – М.: Наука, 1989.
4. Д.О.Шклярский, Н.Н.Ченцов, И.М.Яглом. Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Часть 3. – М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1954.

🌟 Видео

Геометрия 10 класс (Урок№7 - Тетраэдр и параллелепипед.)Скачать

№167. В тетраэдре DABС все ребра равны, точка М— середина ребра АС. Докажите, что ∠DMBСкачать

✓ Расстояние между скрещивающимися прямыми | ЕГЭ-2018. Задание 13. Математика | Борис ТрушинСкачать

Урок 6. Угол между прямыми в пространстве. Стереометрия с нуля.Скачать

№14 из профильного ЕГЭ по математике. Как строить сечения на изи. Серия-1Скачать

ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ ТЕТРАЭДРА ПЛОСКОСТЬЮСкачать

Расстояние между скрещивающимися прямымиСкачать

Тетраэдр, параллелепипед 10 классСкачать

№102. Докажите, что плоскость α, проходящая через середины двух ребер основания тетраэдра и вершинуСкачать

Как строить сечения параллелепипедаСкачать

19. Расстояние между параллельными прямыми Расстояние между скрещивающимися прямымиСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 2 | Математика | TutorOnlineСкачать

Угол между скрещивающимися прямыми Четырёхугольная пирамидаСкачать

Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.Скачать