Найти радиус описанной окружности треугольника координаты вершин

Радиус описанной окружности треугольника координаты

Видео:найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать

найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника

Уравнение описанной окружности

Как составить уравнение описанной около треугольника окружности по координатам его вершин? Как найти координаты центра описанной окружности? Как найти радиус описанной окружности, зная координаты вершин треугольника?

Решение всех этих задач сводится к одной — написать уравнение окружности, проходящей через три данные точки. Для этого достаточно подставить координаты точек (вершин треугольника) в уравнение окружности. Получим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными: координатами центра и радиусом окружности.

Составить уравнение описанной окружности для треугольника с вершинами в точках A(2;1), B(6;3), C(9;2).

Подставив координаты вершин треугольника в уравнение окружности

Найти радиус описанной окружности треугольника координаты вершин

получим систему уравнений

Найти радиус описанной окружности треугольника координаты вершин

Вычтем из первого уравнения системы второе:

Найти радиус описанной окружности треугольника координаты вершин

Найти радиус описанной окружности треугольника координаты вершин

Найти радиус описанной окружности треугольника координаты вершин

Найти радиус описанной окружности треугольника координаты вершин

Теперь из второго уравнения системы вычтем третье:

Найти радиус описанной окружности треугольника координаты вершин

Найти радиус описанной окружности треугольника координаты вершин

Найти радиус описанной окружности треугольника координаты вершин

Приравняем правые части равенств b=-2a+10 и b=3a-20:

Найти радиус описанной окружности треугольника координаты вершин

Найти радиус описанной окружности треугольника координаты вершин

Найти радиус описанной окружности треугольника координаты вершин

Найти радиус описанной окружности треугольника координаты вершин

Подставим в первое уравнение системы a=6 и b=-2:

Найти радиус описанной окружности треугольника координаты вершин

Найти радиус описанной окружности треугольника координаты вершин

Найти радиус описанной окружности треугольника координаты вершин

a и b — координаты центра окружности, R — её радиус. Таким образом, точка (6;-2) — центр описанной около треугольника ABC окружности, радиус R=5, а уравнение описанной окружности

Найти радиус описанной окружности треугольника координаты вершин

Для решения аналогичной задачи для четырёхугольника либо многоугольника достаточно знать координаты трёх его вершин.

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Окружность, описанная около треугольника.
Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов

Найти радиус описанной окружности треугольника координаты вершинСерединный перпендикуляр к отрезку
Найти радиус описанной окружности треугольника координаты вершинОкружность описанная около треугольника
Найти радиус описанной окружности треугольника координаты вершинСвойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
Найти радиус описанной окружности треугольника координаты вершинДоказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Найти радиус описанной окружности треугольника координаты вершин

Видео:Радиус описанной окружностиСкачать

Радиус описанной окружности

Серединный перпендикуляр к отрезку

Определение 1 . Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).

Найти радиус описанной окружности треугольника координаты вершин

Теорема 1 . Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны.

Найти радиус описанной окружности треугольника координаты вершин

Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB . Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D .

Найти радиус описанной окружности треугольника координаты вершин

Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB . Действительно,

Найти радиус описанной окружности треугольника координаты вершин

Найти радиус описанной окружности треугольника координаты вершин

Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.

Найти радиус описанной окружности треугольника координаты вершин

Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE . Действительно,

Найти радиус описанной окружности треугольника координаты вершин

Найти радиус описанной окружности треугольника координаты вершин

Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2

Видео:ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэСкачать

ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэ

Окружность, описанная около треугольника

Определение 2 . Окружностью, описанной около треугольника , называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником .

Найти радиус описанной окружности треугольника координаты вершин

Видео:Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.

Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов

ФигураРисунокСвойство
Серединные перпендикуляры
к сторонам треугольника
Найти радиус описанной окружности треугольника координаты вершинВсе серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
Посмотреть доказательство
Окружность, описанная около треугольникаНайти радиус описанной окружности треугольника координаты вершинОколо любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиЦентр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиНайти радиус описанной окружности треугольника координаты вершинЦентром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиНайти радиус описанной окружности треугольника координаты вершинЦентр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.
Теорема синусовНайти радиус описанной окружности треугольника координаты вершин

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Найти радиус описанной окружности треугольника координаты вершин,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Площадь треугольникаНайти радиус описанной окружности треугольника координаты вершин

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Радиус описанной окружностиНайти радиус описанной окружности треугольника координаты вершин

Для любого треугольника справедливо равенство:

Найти радиус описанной окружности треугольника координаты вершин

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника
Найти радиус описанной окружности треугольника координаты вершин

Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Окружность, описанная около треугольникаНайти радиус описанной окружности треугольника координаты вершин

Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиНайти радиус описанной окружности треугольника координаты вершин

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиНайти радиус описанной окружности треугольника координаты вершин

Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиНайти радиус описанной окружности треугольника координаты вершин

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.

Теорема синусовНайти радиус описанной окружности треугольника координаты вершин

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Найти радиус описанной окружности треугольника координаты вершин,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Площадь треугольникаНайти радиус описанной окружности треугольника координаты вершин

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Радиус описанной окружностиНайти радиус описанной окружности треугольника координаты вершин

Для любого треугольника справедливо равенство:

Найти радиус описанной окружности треугольника координаты вершин

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Видео:№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружностиСкачать

№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружности

Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Теорема 3 . Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).

Найти радиус описанной окружности треугольника координаты вершин

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.

Следствие . Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Доказательство . Рассмотрим точку O , в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).

При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:

из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA , OB , OC проходит через все три вершины треугольника ABC , что и требовалось доказать.

Теорема 4 (теорема синусов) . Для любого треугольника (рис. 7)

Найти радиус описанной окружности треугольника координаты вершин

Найти радиус описанной окружности треугольника координаты вершин.

Доказательство . Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса R хорды окружности радиуса R , на которую опирается вписанный угол величины φ , вычисляется по формуле:

l = 2Rsin φ .(1)

Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).

Найти радиус описанной окружности треугольника координаты вершин

Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.

Формула (1) доказана.

Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.7):

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Нахождение радиуса описанной вокруг треугольника окружности

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить радиус окружности, описанной около произвольного (любого), прямоугольного или равностороннего треугольника. Также разберем примеры решения задач для закрепления представленного теоретического материала.

Видео:Формулы для радиуса окружности #shortsСкачать

Формулы для радиуса окружности #shorts

Формулы вычисления радиуса описанной окружности

Произвольный треугольник

Радиус окружности, описанной вокруг любого треугольника, рассчитывается по формуле:

Найти радиус описанной окружности треугольника координаты вершин

Найти радиус описанной окружности треугольника координаты вершин

где a, b, c – стороны треугольника, S – его площадь.

Прямоугольный треугольник

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине его гипотенузы или высоте, проведенной к гипотенузе.

Найти радиус описанной окружности треугольника координаты вершин

Равносторонний треугольник

Радиус описанной около правильного треугольника окружности вычисляется по формуле:

Найти радиус описанной окружности треугольника координаты вершин

Найти радиус описанной окружности треугольника координаты вершин

где a – сторона треугольника.

Видео:Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания

Примеры задач

Задание 1
Дан треугольник со сторонами 4, 6 и 9 см. Найдите радиус описанной около него окружности.

Решение
Для начала нам необходимо найти площадь треугольника. Т.к. нам известны длины всех его сторон, можно применить формулу Герона:

Найти радиус описанной окружности треугольника координаты вершин

Теперь мы можем воспользоваться первой формулой из перечисленных выше для расчета радиуса круга:

Найти радиус описанной окружности треугольника координаты вершин

Задание 2
Дан треугольник, у которого известны две стороны из трех: 6 и 8 см. Найдите радиус описанной вокруг него окружности.

Решение
Треугольник со сторонами 6 и 8 см может быть только прямоугольным, причем известные по условиям задачи стороны являются его катетами. Таким образом, мы можем найти гипотенузу фигуры, воспользовавшись теоремой Пифагора:

Найти радиус описанной окружности треугольника координаты вершин

Как мы знаем, радиус круга, описанного вокруг прямоугольного треугольника, равняется половине его гипотенузы, следовательно: R = 10 : 2 = 5.

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Уравнение описанной окружности

Как составить уравнение описанной около треугольника окружности по координатам его вершин? Как найти координаты центра описанной окружности? Как найти радиус описанной окружности, зная координаты вершин треугольника?

Решение всех этих задач сводится к одной — написать уравнение окружности, проходящей через три данные точки. Для этого достаточно подставить координаты точек (вершин треугольника) в уравнение окружности. Получим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными: координатами центра и радиусом окружности.

Составить уравнение описанной окружности для треугольника с вершинами в точках A(2;1), B(6;3), C(9;2).

Подставив координаты вершин треугольника в уравнение окружности

Найти радиус описанной окружности треугольника координаты вершин

получим систему уравнений

Найти радиус описанной окружности треугольника координаты вершин

Вычтем из первого уравнения системы второе:

Найти радиус описанной окружности треугольника координаты вершин

Найти радиус описанной окружности треугольника координаты вершин

Найти радиус описанной окружности треугольника координаты вершин

Найти радиус описанной окружности треугольника координаты вершин

Теперь из второго уравнения системы вычтем третье:

Найти радиус описанной окружности треугольника координаты вершин

Найти радиус описанной окружности треугольника координаты вершин

Найти радиус описанной окружности треугольника координаты вершин

Приравняем правые части равенств b=-2a+10 и b=3a-20:

Найти радиус описанной окружности треугольника координаты вершин

Найти радиус описанной окружности треугольника координаты вершин

Найти радиус описанной окружности треугольника координаты вершин

Найти радиус описанной окружности треугольника координаты вершин

Подставим в первое уравнение системы a=6 и b=-2:

Найти радиус описанной окружности треугольника координаты вершин

Найти радиус описанной окружности треугольника координаты вершин

Найти радиус описанной окружности треугольника координаты вершин

a и b — координаты центра окружности, R — её радиус. Таким образом, точка (6;-2) — центр описанной около треугольника ABC окружности, радиус R=5, а уравнение описанной окружности

Найти радиус описанной окружности треугольника координаты вершин

Для решения аналогичной задачи для четырёхугольника либо многоугольника достаточно знать координаты трёх его вершин.

Видео:Задание 3 ЕГЭ по математике. Урок 73Скачать

Задание 3 ЕГЭ по математике. Урок 73

Нахождение радиуса описанной вокруг треугольника окружности

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить радиус окружности, описанной около произвольного (любого), прямоугольного или равностороннего треугольника. Также разберем примеры решения задач для закрепления представленного теоретического материала.

Видео:Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

Формулы вычисления радиуса описанной окружности

Произвольный треугольник

Радиус окружности, описанной вокруг любого треугольника, рассчитывается по формуле:

Найти радиус описанной окружности треугольника координаты вершин

Найти радиус описанной окружности треугольника координаты вершин

где a, b, c – стороны треугольника, S – его площадь.

Прямоугольный треугольник

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине его гипотенузы или высоте, проведенной к гипотенузе.

Найти радиус описанной окружности треугольника координаты вершин

Равносторонний треугольник

Радиус описанной около правильного треугольника окружности вычисляется по формуле:

Найти радиус описанной окружности треугольника координаты вершин

Найти радиус описанной окружности треугольника координаты вершин

где a – сторона треугольника.

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Примеры задач

Задание 1
Дан треугольник со сторонами 4, 6 и 9 см. Найдите радиус описанной около него окружности.

Решение
Для начала нам необходимо найти площадь треугольника. Т.к. нам известны длины всех его сторон, можно применить формулу Герона:

Найти радиус описанной окружности треугольника координаты вершин

Теперь мы можем воспользоваться первой формулой из перечисленных выше для расчета радиуса круга:

Найти радиус описанной окружности треугольника координаты вершин

Задание 2
Дан треугольник, у которого известны две стороны из трех: 6 и 8 см. Найдите радиус описанной вокруг него окружности.

Решение
Треугольник со сторонами 6 и 8 см может быть только прямоугольным, причем известные по условиям задачи стороны являются его катетами. Таким образом, мы можем найти гипотенузу фигуры, воспользовавшись теоремой Пифагора:

Найти радиус описанной окружности треугольника координаты вершин

Как мы знаем, радиус круга, описанного вокруг прямоугольного треугольника, равняется половине его гипотенузы, следовательно: R = 10 : 2 = 5.

📺 Видео

Математика Найти длину окружности, описанной около треугольника, координаты вершин которого АСкачать

Математика Найти длину окружности, описанной около треугольника, координаты вершин которого А

Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Окружность вписана в равносторонний треугольник, найти радиусСкачать

Окружность вписана в равносторонний треугольник, найти радиус

Задача 6 №27934 ЕГЭ по математике. Урок 148Скачать

Задача 6 №27934 ЕГЭ по математике. Урок 148

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Найти центр и радиус окружностиСкачать

Найти центр и радиус окружности

Задача 6 №27926 ЕГЭ по математике. Урок 141Скачать

Задача 6 №27926 ЕГЭ по математике. Урок 141
Поделиться или сохранить к себе: