Нахождение центров этих окружностей определение

Вопрос по геометрии:

Дайте определение окружности вписанной в треугольник окружности описанной около треугольника нахождение центров этих окружностей.
Заранее спасибо!

Трудности с пониманием предмета? Готовишься к экзаменам, ОГЭ или ЕГЭ?

Воспользуйся формой подбора репетитора и занимайся онлайн. Пробный урок — бесплатно!

Ответы и объяснения 1

Окружность, вписанная в треугольник, — это окружность, касающаяся всех сторон треугольника.
Центр этой окружности находится на пересечении биссектрис углов треугольника.

Окружность, описанная около треугольника, — это окружность, проходящая через все вершины треугольника.
Центр этой окружности находится на пересечении перпендикуляров к серединам сторон треугольника.

Знаете ответ? Поделитесь им!

Как написать хороший ответ?

Чтобы добавить хороший ответ необходимо:

• Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете правильный ответ;
• Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не побуждал на дополнительные вопросы к нему;
• Писать без грамматических, орфографических и пунктуационных ошибок.

Этого делать не стоит:

• Копировать ответы со сторонних ресурсов. Хорошо ценятся уникальные и личные объяснения;
• Отвечать не по сути: «Подумай сам(а)», «Легкотня», «Не знаю» и так далее;
• Использовать мат — это неуважительно по отношению к пользователям;
• Писать в ВЕРХНЕМ РЕГИСТРЕ.

Есть сомнения?

Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует? Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие вопросы в разделе Геометрия.

Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи — смело задавайте вопросы!

Геометрия — раздел математики, изучающий пространственные структуры и отношения, а также их обобщения.

Нахождение центра окружности

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа № 7»

Нахождение центра окружности

Среди всевозможных плоских фигур выделяются две главные: треугольник и окружность. Эти фигуры известны нам с раннего детства. Как дать определение треугольника? Через отрезки! А как же определить что такое окружность? Вед

эта линия в каждой точке изгибается! На удивительные свойства окружности люди обратили внимание еще в древности, например, древние греки считали её самой совершенной, так как окружность – единственная кривая, которая может

“ скользить сама по себе”, вращаясь вокруг центра.

Свойства окружности стали основой для многих геометрических вычислений и архитектурных построений. Практическое применение их дало толчок к бурному развитию цивилизации. Основное свойство окружности ( все точки окружности равно удалены от ее центра.) даёт ответ на вопросы, почему для её вычерчивания используют циркуль и почему колёса делают круглыми, а не квадратными или треугольными. Кстати, о колесе. Это одно из самых великих изобретений человечества. Оказывается, додуматься до колеса было не так просто, как это может показаться.

В геометрии, как известно, окружность обычно строится с помощью циркуля. Именно этот изобретенный в древности прибор позволяет обеспечить равную удаленность всех точек от центра. Сейчас в геометрии и черчении используют компьютерные программы.

Хотя окружность можно изобразить на

клетчатой бумаге и без циркуля (рис.1),

то есть от руки. Правда окружность

получается определённого размера. Рис.1.

С необходимостью строить окружности человек сталкивается постоянно. Трудно перечислить все сферы деятельности, в которых это нужно — проектирование, строительство, изготовление всевозможных деталей, дизайн и многое другое. Эта задача решается, как мы уже сказали, с помощью циркуля. Но существует и другая задача – это определение центра окружности, не прибегая к специальным инструментам и сложным вычислениям. Меня заинтересовало, какие способы придумали люди для определения центра окружности. Поэтому цель моей работы: Изучить различные способы определения центра окружности.

Способы нахождения центра окружности

Самый простой способ нахождения центра окружности – согнуть лист бумаги, на котором она начерчена, следя на просвет, чтобы окружность оказалась сложена точно пополам. Полученная линия сгиба будет одним из диаметров заданной окружности. Затем лист можно согнуть в другом направлении, получив тем самым второй диаметр. Точка их пересечения и будет центром окружности. Этот способ, конечно же, годится только для случаев, когда окружность изображена на листе бумаги, бумагу можно сгибать, и есть возможность следить за точностью сгиба на просвет. Надо отметить, что широкого применения он не находит.

Рассмотрим способы нахождения центра окружности, когда она начерчена на материале, который согнуть нельзя, например, нужно найти центр круглой детали.

1. Один из способов основан на том, что диаметр, по определению этого слова – самый длинный из всех отрезков, которые можно провести между двумя точками одной окружности. Середина любого диаметра окружности совпадает с её центром. Наложив линейку на заданную окружность, зафиксируем нулевую отметку в любой точке окружности. Затем медленно будем поворачивать линейку, следя за изменением ширины отрезка. Она будет возрастать, пока секущая не превратится в диаметр, после чего снова начнет уменьшаться. Отметив момент максимума, мы найдем диаметр. Тем же способом найдем второй диаметр. В точке их пересечения и будет центр окружности.

2. В этом случае также воспользуемся линейкой. С помощью линейки ставим четыре точки на окружности (рис.2). Через две соседние точки проводим лучи до пересечения, получаем точку А (рис.3). Противоположные точки также соединяем отрезками, они пересекаются в точке В (рис.3). Прямая АВ (рис.3) проходит через центр окружности. Дополнительные построения убираем, оставляем только прямую АВ (рис.4). Проделаем все построения еще один раз, тем самым найдем еще одну прямую, проходящую через центр окружности (рис.5,6). Дополнительные построения также убираем (рис.7). Точка пересечения этих прямых и есть центр окружности (рис.8).

Рис.5 Рис.6 Рис.7 Рис.8

3. Для того, чтобы найти центр окружности надо сначала вписать её в квадрат (рис.9) или ромб (рис.10). То есть все стороны данного четырехугольника должны касаться окружности. Для этого надо провести четыре прямые так, чтобы противоположные из них были параллельны. Потом соединяем вершины противоположных углов. Центром окружности будет точка пересечения этих прямых.

4.На окружность снаружи накладывается плоскостью на торец угольник и прижимается сторонами к краям окружности так, что стороны угольника становятся касательными к окружности. По линии биссектрисы проводится черта.

Угольник поворачивают на произвольный угол и проводят вторую биссектрису. Можно для верности провести ещё одну биссектрису. Точка пересечения биссектрис будет центром окружности.

5. Для определения центра окружности проводят две произвольные хорды. Через середину каждой из них проводят перпендикуляр к хорде. Точка пересечения данных перпендикуляров будет центром окружности (рис.11).

6. Если треугольник — прямоугольный, то центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы. Следовательно, если вписать в окружность прямоугольный треугольник, то его гипотенуза будет диаметром окружности. Поэтому для нахождения центра окружности подойдет любой прямой угол (школьный или строительный угольник, или просто лист бумаги). Поместим вершину прямого угла в любую точку окружности и сделаем отметки там, где стороны угла пересекают окружность — эти точки являются концами диаметра (рис.12). Также найдем второй диаметр(рис.13). Точка пересечения диаметров – центр окружности (рис.14).

Рис12 Рис.13 Рис.14

7. Найдем центр окружности с помощью прибора (центроискателя, рис.15), который представляет собой угольник, длина одной из сторон которого вдвое больше ширины другой стороны (АВ = 2NC = 2h). Около кромки ВС расположена равномерная шкала, масштаб которой вдвое больше масштаба шкалы, расположенной около кромки MN (B и M – соответственно начала шкал). Чтобы найти центр заданной окружности, центроискатель необходимо приложить так, чтобы вершины А и В оказались на дуге окружности (рис.16). Тогда центр окружности будет находиться против деления шкалы MN, имеющего то же числовое значение, что и точка, в которой окружность пересекает шкалу ВС.

8. По касательным (рис.17). Проводим две касательные, затем прямые в точку касания перпендикулярно касательным, точка пересечения этих прямых – центр окружности.

9. Нужно взять маркер и тарелку. В данном случае воспользуемся

физическим свойством тарелки – однородностью. Удерживая маркер вертикально, попытаемся накрыть его тарелкой, добиваясь равновесия тарелки. Маркер оставит точку соответствующую центру тарелки, т. е. центру круга, а значит центру окружности.

Сделав обобщение способов нахождения центра окружности, можно сделать простые устройства, называемые центроискателями:

1.Центроискатель – прямой угол (рис.18).

а) вписанный прямой угол опирается на диаметр;

б) диаметр (радиус), проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

2.Центроискатель – угол с биссектрисой (рис.19).

Принцип работы: диаметр окружности лежит на биссектрисе угла, описанного около окружности.

3.Центроискатель – пара взаимно перпендикулярных прямых (рис.20).

а) диаметр (радиус), проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной;

б) хорда, перпендикулярная другой хорде и проходящая через её середину, есть диаметр.

4.Центроискатель, который представляет собой угольник (рис.21),

длина одной из сторон которого вдвое больше ширины другой стороны

Шарыгин, геометрия. 5-6 кл. [Текст]: пособие для общеобразовательных учебных заведений / , . – 4-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2005. – 192 с. Атанасян 7-9 кл. [Текст]: учебник для общеобразовательных учреждений / , , и др. — М.: Просвещение, 2010. – 384 с.

Окружность, описанная около треугольника.
Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов

Серединный перпендикуляр к отрезку

Окружность описанная около треугольника

Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов

Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Серединный перпендикуляр к отрезку

Определение 1 . Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).

Теорема 1 . Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны.

Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB . Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D .

Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB . Действительно,

Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.

Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE . Действительно,

Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2

Окружность, описанная около треугольника

Определение 2 . Окружностью, описанной около треугольника , называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником .

Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Фигура	Рисунок	Свойство
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника		Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке. Посмотреть доказательство
Окружность, описанная около треугольника		Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника. Посмотреть доказательство
Центр описанной около остроугольного треугольника окружности		Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности		Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы. Посмотреть доказательство
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности		Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.
Теорема синусов
Площадь треугольника
Радиус описанной окружности

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника

Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Окружность, описанная около треугольника

Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности

Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.

Теорема синусов

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Площадь треугольника

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Радиус описанной окружности

Для любого треугольника справедливо равенство:

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Теорема 3 . Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.

Следствие . Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Доказательство . Рассмотрим точку O , в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).

При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:

из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA , OB , OC проходит через все три вершины треугольника ABC , что и требовалось доказать.

Теорема 4 (теорема синусов) . Для любого треугольника (рис. 7)

.

Доказательство . Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса R хорды окружности радиуса R , на которую опирается вписанный угол величины φ , вычисляется по формуле:

l = 2Rsin φ .

(1)

Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).

Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.

Формула (1) доказана.

Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.7):

📽️ Видео