Радиус вписанной окружности в трапецию равен половине высоты трапеции.
Главное чтобы выполнялось условие при котором в данную трапецию возможно вписать окружность. В четырехугольник окружность можно вписать только в том случае, если суммы его противоположных сторон равны. т.е.:
Иначе в данную трапецию нельзя вписать окружность.
бедро трапеции выражается через высоту по теореме Пифагора:
Отсюда — зная все стороны трапеции вычислим такую высоту трапеции, которая удовлетворяет условию вписанной окружности (3).
после небольших преобразований получим
используем формулы Квадрат суммы и Квадрат разности и после раскрытия скобок и упрощения получим
И соответственно радиус вписанной окружности в трапецию
Видео:Геометрия Задача № 26 Найти радиус вписанной в трапецию окружностиСкачать
Узнать ещё
Знание — сила. Познавательная информация
Видео:Радиус описанной окружности трапецииСкачать
Трапеция вписана в окружность
Рассмотрим несколько направлений решения задач, в которых трапеция вписана в окружность.
Когда трапецию можно вписать в окружность? Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна 180º. Отсюда следует, что вписать в окружность можно только равнобокую трапецию.
Радиус окружности, описанной около трапеции, можно найти как радиус окружности, описанной около из одного из двух треугольников, на которые трапецию делит ее диагональ.
Где находится центр окружности, описанной около трапеции? Это зависит от угла между диагональю трапеции и ее боковой стороной.
Если диагональ трапеции перпендикулярна ее боковой стороне, то центр окружности, описанной около трапеции, лежит на середине ее большего основания. Радиус описанной около трапеции окружности в этом случае равен половине ее большего основания:
Если диагональ трапеции образует с боковой стороной острый угол, центр окружности, описанной около трапеции лежит внутри трапеции.
Если диагональ трапеции образует с боковой стороной тупой угол, центр описанной около трапеции окружности лежит вне трапеции, за большим основанием.
Радиус описанной около трапеции окружности можно найти по следствию из теоремы синусов. Из треугольника ACD
Из треугольника ABC
Другой вариант найти радиус описанной окружности —
Синусы угла D и угла CAD можно найти, например, из прямоугольных треугольников CFD и ACF:
При решении задач на трапецию, вписанную в окружность, можно также использовать то, что вписанный угол равен половине соответствующего ему центрального угла. Например,
Кстати, использовать углы COD и CAD можно и для нахождения площади трапеции. По формуле нахождения площади четырехугольника через его диагонали
В равнобедренном треугольнике AMD углы при основании равны. Внешний угол CMD равен сумме внутренних углов, не смежных с ним:
Видео:Трапеция вписана в окружность. Найти радиус окружностиСкачать
Радиус описанной окружности трапеции
Как найти радиус описанной окружности для трапеции?
В зависимости от данных условия, сделать это можно разными способами. Готовой формулы радиуса описанной около трапеции окружности нет.
I. Радиус описанной около трапеции окружности как радиус окружности, описанной около треугольника, вершины которого — вершины трапеции
Описанная около трапеции окружность проходит через все её вершины, следовательно, является описанной для любого из треугольников, вершины которых являются вершинами трапеции.
В общем случае радиус описанной около треугольника окружности может быть найден по одной из формул
где a — сторона треугольника, α — противолежащий ей угол;
либо по формуле
где a, b, c — стороны, S — площадь треугольника.
Для трапеции ABCD радиус может быть найден, например, как радиус окружности, описанной около треугольника ABD:
где синус угла A можно найти из прямоугольного треугольника ABF:
III. Радиус описанной около трапеции окружности как расстояние до точки пересечения серединных перпендикуляров
Радиус описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров с сторонам трапеции. (Можно рассуждать иначе: в равнобедренном треугольнике AOD (AO=OD=R) высота ON является также медианой. Для треугольника BOC — аналогично).
Если известна высота трапеции KN=h, основания AD=a, BC=b, можно обозначить ON=x.
Если центр окружности лежит внутри трапеции, OK=h-x, из прямоугольных треугольников ANO и BKO можно выразить
и приравнять правые части
Решив это уравнения относительно x, можно найти R.
IV. Если диагональ трапеции перпендикулярна боковой стороне, центр описанной окружности лежит на середине большего основания и радиус равен половине большего основания.
точка O — середина AD
Если диагональ трапеции образует с боковой стороной тупой угол, центр описанной окружности лежит вне трапеции, за большим основанием.
I вариант нахождения радиуса для этого случая не изменяется.
Во II случае OK=h+x, соответственно, изменяется уравнение для нахождения x и R.
Позже рассмотрим конкретные задачи нахождения радиуса описанной около трапеции окружности.
📹 Видео
Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать
Задание 16 ОГЭ по математике. Окружность вписана в трапецию.Скачать
Задача про трапецию, описанную около окружностиСкачать
Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать
Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать
найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать
Радиус описанной окружностиСкачать
Окружность вписана в равносторонний треугольник, найти радиусСкачать
Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать
Окружность, вписанная в трапециюСкачать
ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 РАДИУС ОКРУЖНОСТИ ВПИСАННОЙ В ТРАПЕЦИЮ РАВЕН 18. НАЙДИТЕ ВЫСОТУ ЭТОЙ ТРАПЕЦИИСкачать
Как найти радиус окружности, зная три отрезка | Денис ЖучковСкачать
Трапеция, вписанная в окружностьСкачать
Геометрия В прямоугольную трапецию вписана окружность. Найдите её радиус, если основания трапецииСкачать
Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать
Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать
Основания равнобедренной трапеции равны 72 и 30. Центр окружности, описанной около трапеции... (ЕГЭ)Скачать