В любой треугольник можно вписать только одну окружность

Вписанная окружность

Окружность вписанная в многоугольник — это окружность, которая касается всех сторон многоугольника. Центр вписанной окружности лежит внутри многоугольника, в который она вписана. Описанный около окружности многоугольник — это многоугольник, в который вписана окружность. На рисунке 1 четырехугольник АВСD описан около окружности с центром О, а четырехугольник АЕКD не является описанным около этой окружности, так как сторона ЕК не касается окружности.

В любой треугольник можно вписать только одну окружность

Теорема

В любой треугольник можно вписать окружность.

Доказательство

Дано: произвольный В любой треугольник можно вписать только одну окружностьАВС.

Доказать: в В любой треугольник можно вписать только одну окружностьАВС можно вписать окружность.

Доказательство:

1. Проведем биссектрисы углов А, В и С, которые пересекутся в точке О (следствие из свойства биссектрис). Из точки О проведем перпендикуляры ОК, ОL и ОМ соответственно к сторонам АВ, ВС и СА (Рис. 2).

В любой треугольник можно вписать только одну окружность

2. Точка О равноудалена от сторон В любой треугольник можно вписать только одну окружностьАВС (свойство биссектрис), поэтому ОК = ОL = ОМ. Следовательно, окружность с центром О радиуса ОК проходит через точки К, L и М. Стороны В любой треугольник можно вписать только одну окружностьАВС касаются этой окружности в точках К, L, М, т.к. они перпендикулярны к радиусам ОК, ОL и ОМ. Значит, окружность с центром О радиуса ОК является вписанной в В любой треугольник можно вписать только одну окружностьАВС. Теорема доказана.

Замечание 1

В треугольник можно вписать только одну окружность.

Доказательство

Предположим, что в треугольник можно вписать две окружности. Тогда центр каждой окружности равноудален от сторон треугольника и, значит, совпадает с точкой О пересечения биссектрис треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до сторон треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают, значит в треугольник можно вписать только одну окружность. Что и требовалось доказать.

Замечание 2

Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной в него окружности.

Доказательство

На рисунке 2 мы видим, что В любой треугольник можно вписать только одну окружностьАВС составлен из трех треугольников: АВО, ВСО и САО. Пусть АВ, ВС и АС основания треугольников АВО, ВСО и САО соответственно, тогда высотами данных треугольников окажутся отрезки ОК = ОL = ОМ = r ( r — радиус окружности с центром О). Следовательно, площади этих треугольников вычисляются по формулам: В любой треугольник можно вписать только одну окружность. Тогда, по свойству площадей, площадь треугольника В любой треугольник можно вписать только одну окружностьАВС выражается формулой: В любой треугольник можно вписать только одну окружность, где В любой треугольник можно вписать только одну окружность— периметр В любой треугольник можно вписать только одну окружностьАВС. Что и требовалось доказать.

Замечание 3

Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.

Доказательство

Рассмотрим, например, прямоугольник, у которого смежные стороны не равны, т.е. прямоугольник, не являющийся квадратом. В такой прямоугольник можно «поместить» окружность, касающуюся трех его сторон (Рис.3), но нельзя «поместить» окружность так, чтобы она касалась всех четырех его сторон, т.к. диаметр окружности меньше большей стороны прямоугольника т.е. нельзя вписать окружность. Что и требовалось доказать.

В любой треугольник можно вписать только одну окружность

Если же в четырехугольник можно вписать окружность, то его стороны обладают следующим замечательным свойством:

В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

Доказательство

Рассмотрим четырехугольник АВСD, описанный около окружности (Рис. 4).

В любой треугольник можно вписать только одну окружность

На рисунке 4 одинаковыми буквами обозначены равные отрезки касательных, т.к. отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны. Тогда АВ + СD = В любой треугольник можно вписать только одну окружностьи ВС + АD = В любой треугольник можно вписать только одну окружность, следовательно, АВ + СD = ВС + АD.

Верно и обратное утверждение:

Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Доказательство

Пусть в выпуклом четырехугольнике АВСD

АВ + СD = ВС + АD. (1)

Точка О пересечения биссектрис углов А и В равноудалена от сторон АD, АВ и ВС (свойство биссектрис), поэтому можно провести окружность с центром О, касающуюся указанных трех сторон (Рис. 5).

В любой треугольник можно вписать только одну окружность

Докажем, что эта окружность касается также стороны СD и, значит, является вписанной в четырехугольник АВСD.

Предположим, что это не так. Тогда прямая СD либо не имеет общих точек с окружностью, либо является секущей. Рассмотрим первый случай (Рис. 6). Проведем касательную С1D1, параллельную стороне СD (С1 и D1 — точки пересечения касательной со сторонами ВС и АD).

В любой треугольник можно вписать только одну окружность

Так как АВС1D1 — описанный четырехугольник, то по свойству его противоположных сторон

АВ + С1D1 = ВС1 + AD1. (2)

Но ВС1 = ВСС1С, АD1 = АDD1D, поэтому из равенства (2) получаем:

С1D1 + С1С + D1D = ВС + АDАВ.

Правая часть этого равенства в силу (1) равна СD. Следовательно, приходим к равенству

т.е. в четырехугольник С1СDD1 одна сторона равна сумме трех других сторон. Но этого не может быть, т.к. к аждая сторона четырёхугольника всегда меньше суммы трёх остальных сторон. Значит, наше предположение ошибочно. Аналогично можно доказать, что прямая CD не может быть секущей окружности. Следовательно, окружность касается стороны СD. Что и требовалось доказать.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

В любой треугольник можно вписать только одну окружностьСуществование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
В любой треугольник можно вписать только одну окружностьФормулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
В любой треугольник можно вписать только одну окружностьВывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Видео:№700. Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность.Скачать

№700. Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность.

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

В любой треугольник можно вписать только одну окружность

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

В любой треугольник можно вписать только одну окружность

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

В любой треугольник можно вписать только одну окружность

что и требовалось доказать.

Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается касается сторон этого угла.

Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

В любой треугольник можно вписать только одну окружность

Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности ), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

что и требовалось доказать.

Замечание . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных , проведенных к окружности из одной точки, равны.

Определение 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

Теорема 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

В любой треугольник можно вписать только одну окружность

Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

Определение 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .

В любой треугольник можно вписать только одну окружность

Следствие . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Видео:Если в четырёхугольник можно вписать окружностьСкачать

Если в четырёхугольник можно вписать окружность

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.

В любой треугольник можно вписать только одну окружность

a, b, c – стороны треугольника,
S – площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

В любой треугольник можно вписать только одну окружность.

В любой треугольник можно вписать только одну окружность

В любой треугольник можно вписать только одну окружность

В любой треугольник можно вписать только одну окружность

a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

В любой треугольник можно вписать только одну окружность

ФигураРисунокФормулаОбозначения
Произвольный треугольникВ любой треугольник можно вписать только одну окружность
Равнобедренный треугольникВ любой треугольник можно вписать только одну окружность
Равносторонний треугольникВ любой треугольник можно вписать только одну окружность
Прямоугольный треугольникВ любой треугольник можно вписать только одну окружность

В любой треугольник можно вписать только одну окружность

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
В любой треугольник можно вписать только одну окружность.

В любой треугольник можно вписать только одну окружность

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
В любой треугольник можно вписать только одну окружность.

В любой треугольник можно вписать только одну окружность

В любой треугольник можно вписать только одну окружность

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

В любой треугольник можно вписать только одну окружность

Произвольный треугольник
В любой треугольник можно вписать только одну окружность
Равнобедренный треугольник
В любой треугольник можно вписать только одну окружность
Равносторонний треугольник
В любой треугольник можно вписать только одну окружность
Прямоугольный треугольник
В любой треугольник можно вписать только одну окружность
Произвольный треугольник
В любой треугольник можно вписать только одну окружность

В любой треугольник можно вписать только одну окружность

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
В любой треугольник можно вписать только одну окружность.

В любой треугольник можно вписать только одну окружность

В любой треугольник можно вписать только одну окружность

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
В любой треугольник можно вписать только одну окружность.

Равнобедренный треугольникВ любой треугольник можно вписать только одну окружность

В любой треугольник можно вписать только одну окружность

Равносторонний треугольникВ любой треугольник можно вписать только одну окружность

В любой треугольник можно вписать только одну окружность

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Прямоугольный треугольникВ любой треугольник можно вписать только одну окружность

В любой треугольник можно вписать только одну окружность

Видео:В любой прямоугольник можно вписать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

В любой прямоугольник можно вписать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

В любой треугольник можно вписать только одну окружность

где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, В любой треугольник можно вписать только одну окружность– полупериметр (рис. 6).

В любой треугольник можно вписать только одну окружность

В любой треугольник можно вписать только одну окружность

с помощью формулы Герона получаем:

В любой треугольник можно вписать только одну окружность

В любой треугольник можно вписать только одну окружность

В любой треугольник можно вписать только одну окружность

что и требовалось.

Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

В любой треугольник можно вписать только одну окружность

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

В любой треугольник можно вписать только одну окружность

В любой треугольник можно вписать только одну окружность

В любой треугольник можно вписать только одну окружность

то, в случае равнобедренного треугольника, когда

В любой треугольник можно вписать только одну окружность

В любой треугольник можно вписать только одну окружность

В любой треугольник можно вписать только одну окружность

В любой треугольник можно вписать только одну окружность

В любой треугольник можно вписать только одну окружность

В любой треугольник можно вписать только одну окружность

что и требовалось.

Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

В любой треугольник можно вписать только одну окружность

где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

В любой треугольник можно вписать только одну окружность

В любой треугольник можно вписать только одну окружность

то, в случае равностороннего треугольника, когда

В любой треугольник можно вписать только одну окружность

В любой треугольник можно вписать только одну окружность

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

В любой треугольник можно вписать только одну окружность

В любой треугольник можно вписать только одну окружность

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

В любой треугольник можно вписать только одну окружность

Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником прямоугольником , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат квадрат . Следовательно,

В силу теоремы 3 справедливы равенства

В любой треугольник можно вписать только одну окружность

В любой треугольник можно вписать только одну окружность

Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

В любой треугольник можно вписать только одну окружность

В любой треугольник можно вписать только одну окружность

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)

Вписанная окружность

В любой треугольник можно вписать только одну окружность

Вписанная окружность — это окружность, которая вписана
в геометрическую фигуру и касается всех его сторон.

Окружность, точно можно вписать в такие геометрические фигуры, как:

  • Треугольник
  • Выпуклый, правильный многоугольник
  • Квадрат
  • Равнобедренная трапеция
  • Ромб

В четырехугольник, можно вписать окружность,
только при условии, что суммы длин
противоположных сторон равны.

Во все вышеперечисленные фигуры
окружность, может быть вписана, только один раз.

Окружность невозможно вписать в прямоугольник
и параллелограмм, так как окружность не будет
соприкасаться со всеми сторонам этих фигур.

Геометрические фигуры, в которые вписана окружность,
называются описанными около окружности.

Описанный треугольник — это треугольник, который описан
около окружности и все три его стороны соприкасаются с окружностью.

Описанный четырехугольник — это четырехугольник, который описан
около окружности и все четыре его стороны соприкасаются с окружностью.

Свойства вписанной окружности

В треугольник

  1. В любой треугольник может быть вписана окружность, причем только один раз.
  2. Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника.
  3. Вписанная окружность касается всех сторон треугольника.
  4. Площадь треугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

[ S = frac(a+b+c) cdot r = pr ]

p — полупериметр четырехугольника.
r — радиус вписанной окружности четырехугольника.

  • Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от всех сторон.
  • Точка касания — это точка, в которой соприкасается
    окружность и любая из сторон треугольника.
  • От центра вписанной окружности можно провести
    перпендикуляры к любой точке касания.
  • Вписанная в треугольник окружность делит стороны
    треугольника на 3 пары равных отрезков.
  • Вписанная и описанная около треугольника окружность тесно взаимосвязаны.
    Поэтому, расстояние между центрами этих окружностей можно найти с помощью формулы Эйлера:

    с — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника.
    R — радиус описанной около треугольника.
    r — радиус вписанной окружности треугольника.

    В четырехугольник

    1. Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.
    2. Если у четырехугольника суммы длин его противолежащих
      сторон равны, то окружность, может быть, вписана (Теорема Пито).
    3. Центр вписанной окружности и середины двух
      диагоналей лежат на одной прямой (Теорема Ньютона, прямая Ньютона).
    4. Точка пересечения биссектрис — это центр вписанной окружности.
    5. Точка касания — это точка, в которой соприкасается
      окружность и любая из сторон четырехугольника.
    6. Площадь четырехугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

    [ S = frac(a+b+c+d)cdot r = pr ]

    p — полупериметр четырехугольника.
    r — радиус вписанной окружности четырехугольника.

  • Точка касания вписанной окружности, которая лежит на любой из сторон,
    равноудалены от этой конца и начала этой стороны, то есть от его вершин.
  • Примеры вписанной окружности

    • Треугольник
      В любой треугольник можно вписать только одну окружность
    • Четырехугольник
      В любой треугольник можно вписать только одну окружность
    • Многоугольник
      В любой треугольник можно вписать только одну окружность

    Примеры описанного четырехугольника:
    равнобедренная трапеция, ромб, квадрат.

    Примеры описанного треугольника:
    равносторонний
    , равнобедренный,
    прямоугольный треугольники.

    Верные и неверные утверждения

    1. Радиус вписанной окружности в треугольник и радиус вписанной
      в четырехугольник вычисляется по одной и той же формуле. Верное утверждение.
    2. Любой параллелограмм можно вписать в окружность. Неверное утверждение.
    3. В любой четырехугольник можно вписать окружность. Неверное утверждение.
    4. В любой ромб можно вписать окружность. Верное утверждение.
    5. Центр вписанной окружности треугольника это точка пересечения биссектрис. Верное утверждение.
    6. Окружность вписанная в треугольник касается всех его сторон. Верное утверждение.
    7. Угол вписанный в окружность равен соответствующему центральному
      углу опирающемуся на ту же дугу. Неверное утверждение.
    8. Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник равен
      половине разности суммы катетов и гипотенузы. Верное утверждение.
    9. Вписанные углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности равны. Неверное утверждение.
    10. Вписанная окружность в треугольник имеет в общем
      три общие точки со всеми сторонами треугольника. Верное утверждение.

    Окружность вписанная в угол

    Окружность вписанная в угол — это окружность, которая
    лежит внутри этого угла и касается его сторон.

    Центр окружности, которая вписана в угол,
    расположен на биссектрисе этого угла.

    К центру окружности вписанной в угол, можно провести,
    в общей сложности два перпендикуляра со смежных сторон.

    Длина диаметра, радиуса, хорды, дуги вписанной окружности
    измеряется в км, м, см, мм и других единицах измерения.

    🔥 Видео

    ТРЕУГОЛЬНИК И ОКРУЖНОСТЬСкачать

    ТРЕУГОЛЬНИК И ОКРУЖНОСТЬ

    Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

    Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

    В любой четырёхугольник можно вписать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

    В любой четырёхугольник можно вписать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

    ГЕОМЕТРИЯ 8 класс : Вписанная окружностьСкачать

    ГЕОМЕТРИЯ 8 класс : Вписанная окружность

    Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника, окружностьСкачать

    Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника,  окружность

    8 класс, 38 урок, Вписанная окружностьСкачать

    8 класс, 38 урок, Вписанная окружность

    Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

    Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

    Геометрия 8 класс (Урок№33 - Описанная окружность.)Скачать

    Геометрия 8 класс (Урок№33 - Описанная окружность.)

    Треугольник, вписанный в окружность геометрия 7 классСкачать

    Треугольник, вписанный в окружность геометрия 7 класс

    Построение окружности по трём точкам.Скачать

    Построение окружности по трём точкам.

    4K Как вписать окружность в треугольник, inscribed circle for triangleСкачать

    4K Как вписать окружность в треугольник, inscribed circle for triangle

    Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

    Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

    Вписанная окружность. Видеоурок по геометрии 8 классСкачать

    Вписанная окружность. Видеоурок по геометрии 8 класс

    Свойство четырехугольника, в который можно вписать окружностьСкачать

    Свойство четырехугольника, в который можно вписать окружность

    ОПИСАННАЯ и ВПИСАННАЯ окружности. §21 геометрия 7 классСкачать

    ОПИСАННАЯ и  ВПИСАННАЯ окружности. §21 геометрия 7 класс
    Поделиться или сохранить к себе: