Окружность касается сторон угла

Окружность касается сторон угла

Окружность касается сторон угла с вершиной O в точках A и B. На этой окружности внутри треугольника AOB взята точка С. Из точки С на прямые OA, OB и AB опущены перпендикуляры соответственно CK, CL и CM.

а) Докажите подобие треугольников AKC и BMC, AMC и BLC.

б) Найдите CM, если CK = 4, CL = 9.

а) Заметим, что (поскольку один из них вписанный, опирающийся на дугу AC, а второй — угол между касательной и хордой, стягивающей дугу AC). Значит, в прямоугольных треугольниках AKC и MBC есть одинаковые острые углы, поэтому они подобны по двум углам.

Аналогично откуда следует второе указанное в условии подобие.

б) Из пункта a мы знаем, что (первое равенство — из подобия AKC и MBC, второе — из подобия AMC и BLC). Приравнивая крайние отношения, находим откуда

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б.	3
Получен обоснованный ответ в пункте б. Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а. При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. Содержание Окружность касается сторон угла Задача 45746 Окружность касается сторон угла с. Условие Решение Окружность касается сторон угла Окружность касается сторон угла, отношение радиусов окружностей. В этой статье разберём один теоретический момент, который может встретиться при решении задачи по геометрии. В любом случае, пусть данный материал будет в вашей «математической копилке», пригодится. Речь пойдёт о двух окружностях, которые лежат внутри угла, касаются его сторон и друг друга. Мы выведем формулу отношения их радиусов. Построим эскиз: Теперь пару теорем, доказывать здесь их мы не будем, оно предельно простое. Теорема 1: Если из одной точки, не лежащей на окружности, проведены к ней две касательные, то их отрезки равны, то есть АС=АВ. Теорема 2: Если окружность вписана в угол, то ее центр лежит на биссектрисе этого угла, то есть АO-биссектриса. Значит центры любых окружностей построенных таким образом будут лежать на биссектрисе угла. Теперь выполним некоторые построения и обозначим точки: Отрезок О₂F мы построили параллельно АС. Теперь обозначим: Так как О₁А биссектриса, то Обозначим угол САВ как α (альфа), тогда Рассмотрим прямоугольный треугольник О₁О₂F: Так как FО₁ = R–r, то можем записать: Вывод: данное отношение сохранится при любом расположении окружностей, то есть независимо от их удалённости от вершины угла. Отношение радиусов зависит только от величины угла. Задача 45746 Окружность касается сторон угла с. Условие Окружность касается сторон угла с вершиной О в точках А и В. На этой окружности внутри треугольника АОВ взята точка С. Расстояния от точки С до прямых АО и ВО равны соответственно 8 и 18. а) Докажите, что углы АВС и САО равны. б) Найдите расстояние от точки С до прямой AB. [16п15] Решение Стороны угла — касательные к окружности. По свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки: [b]АО=ОВ[/b] Обозначим центр окружности Р. Так как касательная [i]перпендикулярна[/i] радиусу, проведенному в точку касания, то[b] РА ⊥ OA[/b] и [b]PB ⊥ OB[/b] и [b]ОР[/b]- [i]биссектриса[/i] угла О ∠ САО — угол между касательной и хордой, измеряется половиной дуги АС, заключенной между ними. ∠ АВС — вписанный угол, измеряется половиной дуги АВ, на которую он опирается. Поделиться или сохранить к себе: Search for: Вектор Докажите что векторы m 3a 2b c n a 3b 2c 865 Окружность Как найти площадь фигуры ограниченной окружностью 868 Треугольник Класс подобные прямоугольные треугольники 877 Окружность Хорда ab стягивает дугу окружности в 98 Четырехугольники Четырехугольник стороны которого хорды окружности 869 Смотрите также Ящик тянут по земле по горизонтальной окружности длиной 60 Ящик тянут по земле по горизонтальной окружности длиной 40 Ящик тянут по земле по горизонтальной окружности диаметром 20 Ящик тянут по земле за веревку по горизонтальной окружности длиной Ящик тянут по земле за веревку по горизонтальной окружности диаметром Электрон равномерно движется по окружности в однородном магнитном поле Электрон и протон ускоренные разностью потенциалов движутся по окружности Шарик скатывается по желобу изогнутому в виде дуги окружности О сайте \| \| © 2026 Курс школьной геометрии.

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б.

Получен обоснованный ответ в пункте б.

Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

Имеется верное доказательство утверждения пункта а.

При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

Содержание

Окружность касается сторон угла
Задача 45746 Окружность касается сторон угла с.
Условие
Решение

Окружность касается сторон угла, отношение радиусов окружностей. В этой статье разберём один теоретический момент, который может встретиться при решении задачи по геометрии. В любом случае, пусть данный материал будет в вашей «математической копилке», пригодится. Речь пойдёт о двух окружностях, которые лежат внутри угла, касаются его сторон и друг друга. Мы выведем формулу отношения их радиусов. Построим эскиз:

Теперь пару теорем, доказывать здесь их мы не будем, оно предельно простое.

Теорема 1: Если из одной точки, не лежащей на окружности, проведены к ней две касательные, то их отрезки равны, то есть АС=АВ.

Теорема 2: Если окружность вписана в угол, то ее центр лежит на биссектрисе этого угла, то есть АO-биссектриса.

Значит центры любых окружностей построенных таким образом будут лежать на биссектрисе угла. Теперь выполним некоторые построения и обозначим точки:

Отрезок О₂F мы построили параллельно АС. Теперь обозначим:

Так как О₁А биссектриса, то

Обозначим угол САВ как α (альфа), тогда

Рассмотрим прямоугольный треугольник О₁О₂F:

Так как FО₁ = R–r, то можем записать:

Вывод: данное отношение сохранится при любом расположении окружностей, то есть независимо от их удалённости от вершины угла. Отношение радиусов зависит только от величины угла.

Задача 45746 Окружность касается сторон угла с.

Условие

Окружность касается сторон угла с вершиной О в точках А и В. На этой окружности внутри треугольника АОВ взята точка С. Расстояния от точки С до прямых АО и ВО равны соответственно 8 и 18.

а) Докажите, что углы АВС и САО равны.

б) Найдите расстояние от точки С до прямой AB. [16п15]

Решение

Стороны угла — касательные к окружности.
По свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки:
[b]АО=ОВ[/b]
Обозначим центр окружности Р.
Так как касательная [i]перпендикулярна[/i] радиусу, проведенному в точку касания, то[b] РА ⊥ OA[/b] и [b]PB ⊥ OB[/b]
и
[b]ОР[/b]- [i]биссектриса[/i] угла О

∠ САО — угол между касательной и хордой, измеряется половиной дуги АС, заключенной между ними.
∠ АВС — вписанный угол, измеряется половиной дуги АВ, на которую он опирается.