В любой ли прямоугольник можно описать окружность

Прямоугольник

Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые.

В любой ли прямоугольник можно описать окружность

Частным случаем прямоугольника является квадрат.

Содержание
  1. Свойства прямоугольника
  2. Признаки параллелограмма
  3. Площадь прямоугольника
  4. Please wait.
  5. We are checking your browser. mathvox.ru
  6. Why do I have to complete a CAPTCHA?
  7. What can I do to prevent this in the future?
  8. Можно ли описать окружность около прямоугольника
  9. Прямоугольник
  10. Свойства прямоугольника
  11. Признаки параллелограмма
  12. Площадь прямоугольника
  13. Можно ли описать окружность прямоугольник
  14. Прямоугольник. Онлайн калькулятор
  15. Свойства прямоугольника
  16. Диагональ прямоугольника
  17. Окружность, описанная около прямоугольника
  18. Формула радиуса окружности описанной около прямоугольника
  19. Периметр прямоугольника
  20. Формулы сторон прямоугольника через его диагональ и периметр
  21. Признаки прямоугольника
  22. Please wait.
  23. We are checking your browser. mathvox.ru
  24. Why do I have to complete a CAPTCHA?
  25. What can I do to prevent this in the future?
  26. Вписанная окружность
  27. Свойства вписанной окружности
  28. В треугольник
  29. В четырехугольник
  30. Примеры вписанной окружности
  31. Верные и неверные утверждения
  32. Окружность вписанная в угол
  33. Please wait.
  34. We are checking your browser. mathvox.ru
  35. Why do I have to complete a CAPTCHA?
  36. What can I do to prevent this in the future?

Видео:В любой прямоугольник можно вписать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

В любой прямоугольник можно вписать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Свойства прямоугольника

1. Так как прямоугольник – это параллелограмм, то все свойства параллелограмма верны и для прямоугольника.

Помимо этого:

2. Стороны прямоугольника являются его высотами.

3. Диагонали прямоугольника равны.

4. Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его соседних сторон.

В любой ли прямоугольник можно описать окружность

5. Около любого прямоугольника можно описать окружность, при этом диагональ прямоугольника равна диаметру описанной окружности.

В любой ли прямоугольник можно описать окружность

Видео:№708. Докажите, что можно описать окружность: а) около любого прямоугольника; б) около любойСкачать

№708. Докажите, что можно описать окружность: а) около любого прямоугольника; б) около любой

Признаки параллелограмма

Параллелограмм является прямоугольником, если выполняется любое из условий:

1. Диагонали параллелограмма равны.

2. Квадрат диагонали параллелограмма равен сумме квадратов соседних сторон.

3. Все углы параллелограмма равны.

Видео:Любой прямоугольник можно вписать в окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Любой прямоугольник можно вписать в окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Площадь прямоугольника

В любой ли прямоугольник можно описать окружность

В любой ли прямоугольник можно описать окружность

В любой ли прямоугольник можно описать окружность

В любой ли прямоугольник можно описать окружность

В любой ли прямоугольник можно описать окружность

Смотрите также таблицу-шпаргалку «Площади простейших фигур» здесь.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Видео:Прямоугольник. Что такое прямоугольник?Скачать

Прямоугольник. Что такое прямоугольник?

Please wait.

Видео:Вокруг любого параллелограмма можно описать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Вокруг любого параллелограмма можно описать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

We are checking your browser. mathvox.ru

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Why do I have to complete a CAPTCHA?

Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.

Видео:№700. Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность.Скачать

№700. Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность.

What can I do to prevent this in the future?

If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.

If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.

Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.

Cloudflare Ray ID: 6d44d0aece313aa7 • Your IP : 85.95.179.65 • Performance & security by Cloudflare

Видео:ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК и ОКРУЖНОСТЬ | ЕГЭ Математика | @matematikajСкачать

ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК и ОКРУЖНОСТЬ | ЕГЭ Математика | @matematikaj

Можно ли описать окружность около прямоугольника

Видео:Геометрия Докажите, что если в прямоугольник можно вписать окружность, то этот прямоугольникСкачать

Геометрия Докажите, что если в прямоугольник можно вписать окружность, то этот прямоугольник

Прямоугольник

Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые.

В любой ли прямоугольник можно описать окружность

Частным случаем прямоугольника является квадрат.

Видео:Как узнать, что около четырехугольника можно описать окружность?😍 #математика #математикаегэ #егэСкачать

Как узнать, что около четырехугольника можно описать окружность?😍 #математика #математикаегэ #егэ

Свойства прямоугольника

1. Так как прямоугольник – это параллелограмм, то все свойства параллелограмма верны и для прямоугольника.

Помимо этого:

2. Стороны прямоугольника являются его высотами.

3. Диагонали прямоугольника равны.

4. Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его соседних сторон.

В любой ли прямоугольник можно описать окружность

5. Около любого прямоугольника можно описать окружность, при этом диагональ прямоугольника равна диаметру описанной окружности.

В любой ли прямоугольник можно описать окружность

Видео:Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.Скачать

Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.

Признаки параллелограмма

Параллелограмм является прямоугольником, если выполняется любое из условий:

1. Диагонали параллелограмма равны.

2. Квадрат диагонали параллелограмма равен сумме квадратов соседних сторон.

3. Все углы параллелограмма равны.

Видео:В любой ромб можно вписать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

В любой ромб можно вписать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Площадь прямоугольника

В любой ли прямоугольник можно описать окружность

В любой ли прямоугольник можно описать окружность

В любой ли прямоугольник можно описать окружность

В любой ли прямоугольник можно описать окружность

В любой ли прямоугольник можно описать окружность

Смотрите также таблицу-шпаргалку «Площади простейших фигур» здесь.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Можно ли описать окружность прямоугольник

Видео:№711. Начертите три треугольника: тупоугольный, прямоугольный и равносторонний. ДляСкачать

№711. Начертите три треугольника: тупоугольный, прямоугольный и равносторонний. Для

Прямоугольник. Онлайн калькулятор

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти сторону, периметр, диагональ прямоугольника, радиус описанной вокруг прямоугольника окружности и т.д.. Для нахождения незвестных элементов, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Определение 1. Прямоугольник − это параллелограмм, у которого все углы прямые (Рис.1).

В любой ли прямоугольник можно описать окружность

Можно дать и другое определение прямоугольника.

Определение 2. Прямоугольник − это четырехугольник, у которого все углы прямые.

Видео:Прямоугольник в окружностиСкачать

Прямоугольник в окружности

Свойства прямоугольника

Так как прямоугольник является параллелограммом, то все свойства параллелограмма верны и для прямоугольника.

  • 1. Стороны прямоугольника являются его высотами.
  • 2. Все углы прямоугольника прямые.
  • 3. Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его соседних двух сторон.
  • 4. Диагонали прямоугольника равны.
  • 5. Около любого прямоугольника можно описать окружность, при этом диаметр описанной окружности равна диагонали прямоугольника.

Длиной прямоугольника называется более длинная пара его сторон.

Шириной прямоугольника называется более короткая пара его сторон.

Видео:Если в четырёхугольник можно вписать окружностьСкачать

Если в четырёхугольник можно вписать окружность

Диагональ прямоугольника

Определение 3. Диагональ прямоугольника − это отрезок, соединяющий две несмежные вершины прямоугольника.

В любой ли прямоугольник можно описать окружность

На рисунке 2 изображен диагональ d, который является отрезком, соединяющим несмежные вершины A и C. Прямоугольник имеет две диагонали.

Для вычисления длины диагонали воспользуемся теоремой Пифагора:

В любой ли прямоугольник можно описать окружность
В любой ли прямоугольник можно описать окружность.(1)

Из равенства (1) найдем d:

В любой ли прямоугольник можно описать окружность.(2)

Пример 1. Стороны прямоугольника равны В любой ли прямоугольник можно описать окружность. Найти диагональ прямоугольника.

Решение. Для нахождения диаметра прямоугольника воспользуемся формулой (2). Подставляя В любой ли прямоугольник можно описать окружностьв (2), получим:

В любой ли прямоугольник можно описать окружность

Ответ: В любой ли прямоугольник можно описать окружность

Видео:№709. Докажите, что если около параллелограмма можно описать окружность, то этот параллелограммСкачать

№709. Докажите, что если около параллелограмма можно описать окружность, то этот параллелограмм

Окружность, описанная около прямоугольника

Определение 4. Окружность называется описанной около прямоугольника, если все вершины прямоугольника находятся на этой окружности (Рис.3):

В любой ли прямоугольник можно описать окружность

Видео:Вокруг любого треугольника можно описать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Вокруг любого треугольника можно описать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Формула радиуса окружности описанной около прямоугольника

Выведем формулу вычисления радиуса окружности, описанной около прямоугольника через стороны прямоугольника.

Нетрудно заметить, что радиус описанной около прямоугольника окружности равна половине диагонали (Рис.3). То есть

( small R=frac )(3)

Подставляя (3) в (2), получим:

( small R=frac )(4)

Пример 2. Стороны прямоугольника равны В любой ли прямоугольник можно описать окружность. Найти радиус окружности, описанной вокруг прямоугольника.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника воспользуемся формулой (4). Подставляя В любой ли прямоугольник можно описать окружностьв (4), получим:

В любой ли прямоугольник можно описать окружность
В любой ли прямоугольник можно описать окружность

Ответ: В любой ли прямоугольник можно описать окружность

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Периметр прямоугольника

Определение 5. Периметр прямоугольника − это сумма всех его сторон. Обозначается периметр латинской буквой P.

Периметр прямоугольника вычисляется формулой:

В любой ли прямоугольник можно описать окружность(5)

где ( small a ) и ( small b ) − стороны прямоугольника.

Пример 3. Стороны прямоугольника равны В любой ли прямоугольник можно описать окружность. Найти периметр прямоугольника.

Решение. Для нахождения периметра прямоугольника воспользуемся формулой (5). Подставляя В любой ли прямоугольник можно описать окружностьв (5), получим:

В любой ли прямоугольник можно описать окружность

Ответ: В любой ли прямоугольник можно описать окружность

Видео:В любой четырёхугольник можно вписать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

В любой четырёхугольник можно вписать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Формулы сторон прямоугольника через его диагональ и периметр

Выведем формулу вычисления сторон прямоугольника, если известны диагональ ( small d ) и периметр ( small P ) прямоугольника. Заметим: чтобы прямоугольник существовал, должно удовлетворяться условие ( small frac P2>d ) (это следует из неравенства треугольника).

Чтобы найти стороны прямоугольника запишем формулу Пифагора и формулу периметра прямоугольника:

В любой ли прямоугольник можно описать окружность(6)
В любой ли прямоугольник можно описать окружность(7)

Из формулы (7) найдем ( small b ) и подставим в (6):

В любой ли прямоугольник можно описать окружность(8)
В любой ли прямоугольник можно описать окружность(9)

Упростив (4), получим квадратное уравнение относительно неизвестной ( small a ):

В любой ли прямоугольник можно описать окружность(10)

Вычислим дискриминант квадратного уравнения (10):

В любой ли прямоугольник можно описать окружностьВ любой ли прямоугольник можно описать окружность(11)

Сторона прямоугольника вычисляется из следующих формул:

В любой ли прямоугольник можно описать окружность(12)

После вычисления ( small a ), сторона ( small b ) вычисляется или из формулы (12), или из (8).

Примечание. Легко можно доказать, что

( frac >d ; ⇒ ; P>2cdot d ; ⇒ ) ( small P^2>4 cdot d^2 ; ⇒ ; 4d^2-P^2 2d .) Следовательно выполняется неравенство (*).

Пример 4. Диагональ прямоугольника равна В любой ли прямоугольник можно описать окружность, а периметр равен В любой ли прямоугольник можно описать окружность. Найти стороны прямоугольника.

Решение. Для нахождения сторон прямоугольника воспользуемся формулами (11), (12) и (8). Найдем сначала дискриминант ( small D ) из формулы (11). Для этого подставим В любой ли прямоугольник можно описать окружность, В любой ли прямоугольник можно описать окружностьв (11):

В любой ли прямоугольник можно описать окружность

Подставляя значения В любой ли прямоугольник можно описать окружностьи В любой ли прямоугольник можно описать окружностьв первую формулу (12), получим:

В любой ли прямоугольник можно описать окружность

Найдем другую сторону ( small b ) из формулы (8). Подставляя значения В любой ли прямоугольник можно описать окружностьи В любой ли прямоугольник можно описать окружностьв формулу, получим:

В любой ли прямоугольник можно описать окружность

Ответ: В любой ли прямоугольник можно описать окружность, В любой ли прямоугольник можно описать окружность

Признаки прямоугольника

Признак 1. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Признак 2. Если квадрат диагонали параллелограмма равен сумме квадратов его смежных сторон, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Признак 3. Если углы параллелограмма равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Please wait.

We are checking your browser. mathvox.ru

Why do I have to complete a CAPTCHA?

Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.

What can I do to prevent this in the future?

If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.

If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.

Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.

Cloudflare Ray ID: 6ceb76395add75af • Your IP : 85.95.179.65 • Performance & security by Cloudflare

Вписанная окружность

В любой ли прямоугольник можно описать окружность

Вписанная окружность — это окружность, которая вписана
в геометрическую фигуру и касается всех его сторон.

Окружность, точно можно вписать в такие геометрические фигуры, как:

  • Треугольник
  • Выпуклый, правильный многоугольник
  • Квадрат
  • Равнобедренная трапеция
  • Ромб

В четырехугольник, можно вписать окружность,
только при условии, что суммы длин
противоположных сторон равны.

Во все вышеперечисленные фигуры
окружность, может быть вписана, только один раз.

Окружность невозможно вписать в прямоугольник
и параллелограмм, так как окружность не будет
соприкасаться со всеми сторонам этих фигур.

Геометрические фигуры, в которые вписана окружность,
называются описанными около окружности.

Описанный треугольник — это треугольник, который описан
около окружности и все три его стороны соприкасаются с окружностью.

Описанный четырехугольник — это четырехугольник, который описан
около окружности и все четыре его стороны соприкасаются с окружностью.

Свойства вписанной окружности

В треугольник

  1. В любой треугольник может быть вписана окружность, причем только один раз.
  2. Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника.
  3. Вписанная окружность касается всех сторон треугольника.
  4. Площадь треугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

[ S = frac (a+b+c) cdot r = pr ]

p — полупериметр четырехугольника.
r — радиус вписанной окружности четырехугольника.

  • Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от всех сторон.
  • Точка касания — это точка, в которой соприкасается
    окружность и любая из сторон треугольника.
  • От центра вписанной окружности можно провести
    перпендикуляры к любой точке касания.
  • Вписанная в треугольник окружность делит стороны
    треугольника на 3 пары равных отрезков.
  • Вписанная и описанная около треугольника окружность тесно взаимосвязаны.
    Поэтому, расстояние между центрами этих окружностей можно найти с помощью формулы Эйлера:

    с — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника.
    R — радиус описанной около треугольника.
    r — радиус вписанной окружности треугольника.

    В четырехугольник

    1. Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.
    2. Если у четырехугольника суммы длин его противолежащих
      сторон равны, то окружность, может быть, вписана (Теорема Пито).
    3. Центр вписанной окружности и середины двух
      диагоналей лежат на одной прямой (Теорема Ньютона, прямая Ньютона).
    4. Точка пересечения биссектрис — это центр вписанной окружности.
    5. Точка касания — это точка, в которой соприкасается
      окружность и любая из сторон четырехугольника.
    6. Площадь четырехугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

    [ S = frac (a+b+c+d)cdot r = pr ]

    p — полупериметр четырехугольника.
    r — радиус вписанной окружности четырехугольника.

  • Точка касания вписанной окружности, которая лежит на любой из сторон,
    равноудалены от этой конца и начала этой стороны, то есть от его вершин.
  • Примеры вписанной окружности

    • Треугольник
      В любой ли прямоугольник можно описать окружность
    • Четырехугольник
      В любой ли прямоугольник можно описать окружность
    • Многоугольник
      В любой ли прямоугольник можно описать окружность

    Примеры описанного четырехугольника:
    равнобедренная трапеция, ромб, квадрат.

    Примеры описанного треугольника:
    равносторонний
    , равнобедренный,
    прямоугольный треугольники.

    Верные и неверные утверждения

    1. Радиус вписанной окружности в треугольник и радиус вписанной
      в четырехугольник вычисляется по одной и той же формуле. Верное утверждение.
    2. Любой параллелограмм можно вписать в окружность. Неверное утверждение.
    3. В любой четырехугольник можно вписать окружность. Неверное утверждение.
    4. В любой ромб можно вписать окружность. Верное утверждение.
    5. Центр вписанной окружности треугольника это точка пересечения биссектрис. Верное утверждение.
    6. Окружность вписанная в треугольник касается всех его сторон. Верное утверждение.
    7. Угол вписанный в окружность равен соответствующему центральному
      углу опирающемуся на ту же дугу. Неверное утверждение.
    8. Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник равен
      половине разности суммы катетов и гипотенузы. Верное утверждение.
    9. Вписанные углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности равны. Неверное утверждение.
    10. Вписанная окружность в треугольник имеет в общем
      три общие точки со всеми сторонами треугольника. Верное утверждение.

    Окружность вписанная в угол

    Окружность вписанная в угол — это окружность, которая
    лежит внутри этого угла и касается его сторон.

    Центр окружности, которая вписана в угол,
    расположен на биссектрисе этого угла.

    К центру окружности вписанной в угол, можно провести,
    в общей сложности два перпендикуляра со смежных сторон.

    Длина диаметра, радиуса, хорды, дуги вписанной окружности
    измеряется в км, м, см, мм и других единицах измерения.

    Please wait.

    We are checking your browser. mathvox.ru

    Why do I have to complete a CAPTCHA?

    Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.

    What can I do to prevent this in the future?

    If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.

    If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.

    Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.

    Cloudflare Ray ID: 6cf9bd5f38813aa7 • Your IP : 85.95.179.65 • Performance & security by Cloudflare

    Поделиться или сохранить к себе: