Курс школьной геометрии » Окружность

Решение задач на движение по окружности огэ

Обновлено
Решение задач на движение по окружности огэ

Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 14 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 21 км/ч больше скорости другого?

Пусть v км/ч — скорость первого мотоциклиста, тогда скорость второго мотоциклиста равна v + 21 км/ч. Пусть первый раз мотоциклисты поравняются через t часов. Для того, чтобы мотоциклисты поравнялись, более быстрый должен преодолеть изначально разделяющее их расстояние, равное половине длины трассы. Поэтому

Решение задач на движение по окружности огэ

Таким образом, мотоциклисты поравняются через Решение задач на движение по окружности огэчаса или через 20 минут.

Приведём другое решение.

Быстрый мотоциклист движется относительно медленного со скоростью 21 км в час, и должен преодолеть разделяющие их 7 км. Следовательно, на это ему потребуется одна треть часа.

Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 14 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Пусть скорость второго автомобиля равна Решение задач на движение по окружности огэкм/ч. За 2/3 часа первый автомобиль прошел на 14 км больше, чем второй, отсюда имеем

Решение задач на движение по окружности огэ

Добрый день, на мой взгляд, гораздо проще сменить систему отсчёта( Найдём скорость удаления(21) и (80-21=59).

Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист. Через 30 минут он еще не вернулся в пункт А и из пункта А следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.

К моменту первого обгона мотоциклист за 10 минут проехал столько же, сколько велосипедист за 40 минут, следовательно, его скорость в 4 раза больше. Поэтому, если скорость велосипедиста принять за x км/час, то скорость мотоциклиста будет равна 4x, а скорость их сближения — 3x км/час.

C другой стороны, второй раз мотоциклист догнал велосипедиста за 30 минут, за это время он проехал на 30 км больше. Следовательно, скорость их сближения составлят 60 км/час.

Итак, 3х = 60 км/час, откуда скорость велосипедиста равна 20 км/час, а скорость мотоциклиста равна 80 км/час.

Вы утвер­жда­е­те что вто­рой раз мо­то­цик­лист до­гнал ве­ло­си­пе­ди­ста за 30 минут и за это время он про­ехал на 30 км боль­ше. Сле­до­ва­тель­но, ско­рость их сбли­же­ния со­став­лят 60 км/час, но это озна­ча­ет, что ве­ло­си­пе­дист остановился в той точке, где мо­то­цик­лист до­гнал его пер­вый раз, и оста­вал­ся в ней неподвижно, пока мо­то­цик­лист про­ез­жал круг и возвращался в эту точку. Но на самом-то деле ве­ло­си­пе­дист дви­гал­ся 30 мин, пока мо­то­цик­лист про­ез­жал круг. Зна­чит, чтобы мо­то­цик­лист до­гнал ве­ло­си­пе­ди­ста мо­то­цик­ли­сту нужно проехать 30 км + рас­сто­я­ние, ко­то­рое про­шел ве­ло­си­пе­дист, пока дви­гал­ся мотоциклист.

Вы правы в том, что они двигались одновременно и второй раз встретились в другой точке. Это не противоречит сказанному в решении: при этом мотоциклист проехал на 30 км больше.

Часы со стрелками показывают 8 часов ровно. Через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой?

До четвертой встречи стрелок минутная должна сначала пройти 8 разделяющих их часовых делений (поскольку часы показывают 8 часов), затем 3 раза обойти полный круг, то есть пройти 36 часовых делений, и пройти последние L делений, на которые поворачивается часовая стрелка за время движения минутной. Скорость движения минутной стрелки в 12 раз больше часовой: пока часовая обходит один полный круг, минутная проходит 12 кругов. Приравняем время движения часовой и минутной стрелок до их четвертой встречи:

Решение задач на движение по окружности огэ

Часовая стрелка пройдет 4 деления, что соответствует 4 часам, то есть 240 минутам.

Приведем арифметическое решение.

Скорость минутной стрелки 1 круг в час, а часовой — Решение задач на движение по окружности огэкруга в час, поэтому скорость удаления или сближения стрелок равна Решение задач на движение по окружности огэкруга в час. Расстояние между стрелками, отсчитываемое по окружности, в начальный момент составляет 40 минут или Решение задач на движение по окружности огэкруга. С момента первой встречи до момента четвёртой встречи минутная стрелка должна опередить часовую на три круга. Всего Решение задач на движение по окружности огэкруга. Поэтому необходимое время равно Решение задач на движение по окружности огэчаса или 240 минут.

Приведем другое решение.

Ясно, что в первый раз стрелки встретятся между 8 и 9 часами, второй раз — между 9 и 10 часами, третий — между 10 и 11, четвертый — между 11 и 12 часами, то есть ровно в 12 часов. Таким образом, они встретятся ровно через 4 часа, что составляет 240 минут.

Помещаем решение в общем виде.

Скорость вращения часовой стрелки равна 0,5 градуса в минуту, а минутной — 6 градусов в минуту. Поэтому когда часы показывают время h часов m минут часовая стрелка повернута на 30h + 0,5m градусов, а минутная — на 6m градусов относительно 12-часового деления.

Пусть в первый раз стрелки встретятся через t1 минут. Тогда если минутная стрелка еще не опережала часовую в течение текущего часа, то 6m + 6t1 = 30h + 0,5m + 0,5t1, т. е. t1 = (60h − 11m)/11 (*). В противоположном случае получаем уравнение 6m + 6t1 = 30h + 0,5m + 0,5t1 + 360, откуда t1 = (60h − 11m + 720)/11 (**).

Пусть во второй раз стрелки встретятся через t2 минут после первого, тогда 0,5t2 = 6t2 − 360, откуда t2 = 720/11 (***). Это же верно для каждого следующего оборота.

Поэтому для встречи с номером n из (*) и (**) с учетом (***) имеем соответственно: tn = (60h − 11m + 720(n − 1))/11 или tn = (60h − 11m + 720n − 720)/11.

Видео:Задание 21 ОГЭ. Текстовая задача. Движение по окружностиСкачать

Задание 21 ОГЭ. Текстовая задача. Движение по окружности

Текстовые задачи на итоговой аттестации по математике: на движение по окружности; на нахождение длины движущегося объекта; на нахождение средней скорости

Разделы: Математика

В статье рассмотрены задачи в помощь учащимся: для отработки навыков решения текстовых задач при подготовке к ЕГЭ, при обучении решению задач на составление математической модели реальных ситуаций во всех параллелях основной и старшей школы. В ней представлены задачи: на движение по окружности; на нахождение длины движущегося объекта; на нахождение средней скорости.

I. Задачи на движение по окружности.

Задачи на движение по окружности оказались сложными для многих школьников. Решаются они почти так же, как и обычные задачи на движение. В них также применяется формула Решение задач на движение по окружности огэ. Но есть момент, на который обратим внимание.

Задача 1. Из пункта А круговой трассы выехал велосипедист, а через 30 мин следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 мин после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 мин после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.

Решение. Скорости участников примем за х км/ч и у км/ч. В первый раз мотоциклист обогнал велосипедиста через 10 мин, то есть через Решение задач на движение по окружности огэч после старта. До этого момента велосипедист был в пути 40 мин, то есть Решение задач на движение по окружности огэч. Участники движения проехали одинаковые расстояния, то есть Решение задач на движение по окружности огэy =Решение задач на движение по окружности огэx. Внесем данные в таблицу.

Участник движенияv (км/ч.)t(ч)s(км)
велосипедистхРешение задач на движение по окружности огэРешение задач на движение по окружности огэ
мотоциклистуРешение задач на движение по окружности огэРешение задач на движение по окружности огэ

Мотоциклист затем второй раз обогнал велосипедиста. Произошло это через 30 мин, то есть через Решение задач на движение по окружности огэч после первого обгона. Какие расстояния они проехали? Мотоциклист обогнал велосипедиста. А это значит, он проехал на один круг больше. Вот тот момент,

на который надо обратить внимание. Один круг – это длина трассы, Она равна 30 км. Составим другую таблицу.

Участник движенияv(км/ч.)t(ч)s(км)
велосипедистхРешение задач на движение по окружности огэРешение задач на движение по окружности огэ
мотоциклистуРешение задач на движение по окружности огэРешение задач на движение по окружности огэ

Получим второе уравнение: Решение задач на движение по окружности огэy — Решение задач на движение по окружности огэx = 30. Имеем систему уравнений: Решение задач на движение по окружности огэ Решение задач на движение по окружности огэВ ответе укажем скорость мотоциклиста.

Задачи (самостоятельно).

I.1.1. Из пункта “А” круговой трассы выехал велосипедист, а через 40 мин следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 мин после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 36 мин после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 36 км. Ответ дайте в км/ч. Решение задач на движение по окружности огэ

I.1. 2. Из пункта “А” круговой трассы выехал велосипедист, а через 30 мин следом за ним отправился мотоциклист. Через 8 мин после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 12 мин после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 15 км. Ответ дайте в км/ч. Решение задач на движение по окружности огэ

I.1. 3. Из пункта “А” круговой трассы выехал велосипедист, а через 50 мин следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 мин после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 18 мин после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 15 км. Ответ дайте в км/ч. Решение задач на движение по окружности огэ

Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой 20 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 15 км/ч больше скорости другого?

Решение задач на движение по окружности огэ

При одновременном старте мотоциклист, стартовавший из “А”, проехал на полкруга больше, стартовавший из “В”. То есть на 10 км. При движении двух мотоциклистов в одном направлении скорость удаления v = Решение задач на движение по окружности огэ—Решение задач на движение по окружности огэ. По условию задачи v= 15 км/ч =Решение задач на движение по окружности огэкм/мин = Решение задач на движение по окружности огэкм/мин – скорость удаления. Находим время, через которое мотоциклисты поравняются в первый раз.

10:Решение задач на движение по окружности огэ= 40(мин).

Задачи (самостоятельно).

I.2.1. Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой 27 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 27 км/ч больше скорости другого? Решение задач на движение по окружности огэ

I.2.2. Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой 6 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 9 км/ч больше скорости другого? Решение задач на движение по окружности огэ

Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 8 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 89 км/ч, и через 16 мин после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

16 мин =Решение задач на движение по окружности огэ= Решение задач на движение по окружности огэ.

х км/ч – скорость второго автомобиля.

(89 – х) км/ч – скорость удаления.

8 км – длина круговой трассы.

Уравнение.

(89 – х) Решение задач на движение по окружности огэ= 8,

Задачи (самостоятельно).

I.3.1. Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 12 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 103 км/ч, и через 48 мин после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч. Решение задач на движение по окружности огэ

I.3.2 . Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 6 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 114 км/ч, и через 9 мин после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч. Решение задач на движение по окружности огэ

I.3.3. Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 20 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 105 км/ч, и через 48 мин после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч. Решение задач на движение по окружности огэ

I.3.4. Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 9 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 93 км/ч, и через 15 мин после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч. Решение задач на движение по окружности огэ

Часы со стрелками показывают 8 ч 00 мин. Через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой?

Решение. Предполагаем, что экспериментально не решаем задачу.

За один час минутная стрелка проходит один круг, а часовая Решение задач на движение по окружности огэчасть круга. Пусть их скорости равны 1 (круг в час) и Решение задач на движение по окружности огэСтарт — в 8.00. Найдем время, за которое минутная стрелка в первый раз догонит часовую.

Минутная стрелка пройдет на Решение задач на движение по окружности огэбольше, поэтому получим уравнение

Решение задач на движение по окружности огэ

1 Решение задач на движение по окружности огэ— Решение задач на движение по окружности огэ.

Значит, в первый раз стрелки поравняются через Решение задач на движение по окружности огэ

Пусть во второй раз стрелки поравняются через время z. Минутная стрелка пройдет расстояние 1·z, а часовая Решение задач на движение по окружности огэпричем минутная стрелка пройдет на один круг больше. Запишем уравнение:

1· z — Решение задач на движение по окружности огэРешение задач на движение по окружности огэ= 1.

Решив его, получим, что Решение задач на движение по окружности огэ.

Итак, через Решение задач на движение по окружности огэстрелки поравняются во второй раз, еще через – Решение задач на движение по окружности огэв третий, и ещё через Решение задач на движение по окружности огэ– в четвертый раз.

Следовательно, если старт был в 8.00., то в четвертый раз стрелки поравняются через

Решение задач на движение по окружности огэ

4ч = 60 * 4 мин = 240 мин.

Ответ: 240 минут.

Задачи (самостоятельно).

I.4.1.Часы со стрелками показывают 4 ч 45 мин. Через сколько минут минутная стрелка в седьмой раз поравняется с часовой? Решение задач на движение по окружности огэ

I.4.2.Часы со стрелками показывают 2 ч ровно. Через сколько минут минутная стрелка в десятый раз поравняется с часовой? Решение задач на движение по окружности огэ

I.4.3. Часы со стрелками показывают 8 ч 20 мин. Через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой? Решение задач на движение по окружности огэчетвертый

II. Задачи на нахождение длины движущегося объекта.

Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 80км/ч, проезжает мимо придорожного столба за 36 с. Найдите длину состава поезда в метрах.

Решение. Так как скорость поезда указана в часах, то переведем секунды в часы.

1) 36 сек = Решение задач на движение по окружности огэ

2) найдем длину состава поезда в километрах.

80·Решение задач на движение по окружности огэ

Задачи (самостоятельно).

II. 2.Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 60км/ч, проезжает мимо придорожного столба за 69 с. Найдите длину поезда в метрах. Ответ: 1150м.

II. 3. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 60км/ч, проезжает мимо лесополосы, длина которой 200 м, за 1мин 21 с. Найдите длину поезда в метрах. Ответ: 1150м.

III. Задачи на среднюю скорость.

На экзамене по математике может встретиться задача о нахождении средней скорости. Надо запомнить, что средняя скорость не равна среднему арифметическому скоростей. Средняя скорость находится по специальной формуле:

Решение задач на движение по окружности огэ= Решение задач на движение по окружности огэ.

Если участков пути было два, тоРешение задач на движение по окружности огэ.

Расстояние между двумя селами 18 км. Велосипедист ехал из одного села в другое 2ч, а возвращался по той же дороге 3ч. Какова средняя скорость движения велосипедиста на всем участке пути?

Решение: Решение задач на движение по окружности огэ

2 ч+3 ч = 5 ч — затратил на всё движение,

Решение задач на движение по окружности огэ.

Ответ: Решение задач на движение по окружности огэ.

Турист шел со скоростью 4км/ч, потом точно такое же время со скоростью 5 км/ч. Какова средняя скорость движения туриста на всем участке пути?

Пусть турист шел t ч со скоростью 4 км/ч и t ч со скоростью 5 км/ч. Тогда за 2t ч он прошел 4t + 5t = 9t (км). Средняя скорость движения туриста равна Решение задач на движение по окружности огэ= 4,5 (км/ч).

Замечаем, средняя скорость движения туриста оказалась равной среднему арифметическому двух данных скоростей. Можно убедиться в том, что если время движения на двух участках пути одинаково, то средняя скорость движения равна среднему арифметическому двух данных скоростей. Для этого решим эту же задачу в общем виде.

Турист шел со скоростью Решение задач на движение по окружности огэкм/ч, потом точно такое же время со скоростью Решение задач на движение по окружности огэкм/ч. Какова средняя скорость движения туриста на всем участке пути?

Пусть турист шел t ч со скоростью Решение задач на движение по окружности огэкм/ч и t ч со скоростью Решение задач на движение по окружности огэкм/ч. Тогда за 2t ч он прошел Решение задач на движение по окружности огэt + Решение задач на движение по окружности огэt = Решение задач на движение по окружности огэt (км). Средняя скорость движения туриста равна

Решение задач на движение по окружности огэ= Решение задач на движение по окружности огэ(км/ч).

Некоторое расстояние автомобиль преодолел в гору со скоростью 42 км/ч, а с горы – со скоростью 56 км/ч.

Какова средняя скорость движения автомобиля на всем участке пути?

Пусть длина участка пути равна s км. Тогда в оба конца автомобиль проехал 2 s км, затратив на весь путь Решение задач на движение по окружности огэ.

Средняя скорость движения равна 2 s: Решение задач на движение по окружности огэ(км/ч).

Некоторое расстояние автомобиль преодолел в гору со скоростью Решение задач на движение по окружности огэкм/ч, а с горы – со скоростью Решение задач на движение по окружности огэкм/ч.

Какова средняя скорость движения автомобиля на всем участке пути?

Пусть длина участка пути равна s км. Тогда в оба конца автомобиль проехал 2 s км, затратив на весь путь Решение задач на движение по окружности огэ.

Средняя скорость движения равна 2 s: Решение задач на движение по окружности огэ(км/ч).

Ответ:Решение задач на движение по окружности огэкм/ч.

Рассмотрим задачу, в которой средняя скорость задана, а одну из скоростей нужно определить. Потребуется применение уравнения.

В гору велосипедист ехал со скоростью 10 км/ч, а с горы – с некоторой другой постоянной скоростью. Как он подсчитал, средняя скорость движения оказалась равной 12 км/ч.

С какой скоростью велосипедист ехал с горы?

Пусть в гору и с горы велосипедист проехал по s км, всего 2s км. Так как средняя скорость равна 12 км/ч, то на путь туда и обратно затрачено Решение задач на движение по окружности огэПусть скорость движения с горы равнаРешение задач на движение по окружности огэ, тогда на путь туда и обратно затрачено Решение задач на движение по окружности огэСоставим уравнение: Решение задач на движение по окружности огэ.

Разделим обе части уравнения на s (s Решение задач на движение по окружности огэ0), , получим равносильное уравнение:

Решение задач на движение по окружности огэ

Решение задач на движение по окружности огэ

Велосипедист ехал с горы со скоростью 15 км/ч.

Задачи (самостоятельно).

III. 1. Расстояние между двумя пунктами 45 км. Мотоциклист проехал это расстояние в одном направлении (в гору) со скоростью 40 км/ч, а в другом направлении (с горы) со скоростью 60 км/ч. Какова средняя скорость движения мотоциклиста на всем участке пути?Решение задач на движение по окружности огэ.

III. 2. Половину времени, затраченного на дорогу, автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, а вторую половину времени – со скоростью 46 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.Решение задач на движение по окружности огэ.

III. 3.На пути из одного поселка в другой автомобиль некоторое время шел со скоростью 60 км/ч, потом точно такое же время со скоростью 40км/ч, потом точно такое же время со скоростью, равной средней скорости движения на двух первых участках пути. Какова средняя скорость движения на всем пути из одного поселка в другой?Решение задач на движение по окружности огэ

III. 4. Велосипедист едет от дома до места работы со средней скоростью 10 км/ч, а обратно – со средней скоростью 15 км/ч, поскольку дорога идет немного под уклон. Найдите среднюю скорость движения велосипедиста на всем пути от дома до места работы и обратно.Решение задач на движение по окружности огэ.

III. 5. Автомобиль ехал из пункта А в пункт В порожняком с постоянной скоростью, а возвращался по той же дороге с грузом со скоростью 60 км/ч. С какой скоростью он ехал порожняком, если средняя скорость движения оказалась равной 70 км/ч?Решение задач на движение по окружности огэ.

III. 6. Первые 100 км автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующие 120 км – со скоростью 90 км/ч, а затем 120 км – со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.Решение задач на движение по окружности огэ.

III. 7. Первые 100 км автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующие 140 км – со скоростью 80 км/ч, а затем 150 км – со скоростью 120 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.Решение задач на движение по окружности огэ.

III. 8. Первые 150 км автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующие 130 км – со скоростью 60 км/ч, а затем 120 км – со скоростью 80 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.Решение задач на движение по окружности огэ.

III. 9. Первые 140 км автомобиль ехал со скоростью 70 км/ч, следующие 120 км – со скоростью 80 км/ч, а затем 180 км – со скоростью 120 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.Решение задач на движение по окружности огэ.

Видео:✓ За 1 минуту научимся решать задачи на совместное движение по кругу | ЕГЭ. Задание 9 | Борис ТрушинСкачать

✓ За 1 минуту научимся решать задачи на совместное движение по кругу | ЕГЭ. Задание 9 | Борис Трушин

Задачи ЕГЭ на движение по окружности

Секрет задач на движение по окружности: тот, кто обгоняет, проезжает на 1 круг больше, если это первый обгон. И на n кругов больше, если обогнал другого в n-ный раз.

Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 8 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 114 км/ч, и через 20 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Автомобили стартовали одновременно, и первый автомобиль через 20 минут после старта опережал второй автомобиль на один круг. Значит, за эти 20 минут, то есть за часа он проехал на 1 круг больше – то есть на 8 км больше.

За час первый автомобиль проедет на км больше второго. Скорость второго автомобиля на 24 км/ч меньше, чем у первого, и равна 114 — 24 = 90 км/ч.

Из пункта круговой трассы выехал велосипедист, а через минут следом за ним отправился мотоциклист. Через минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна км. Ответ дайте в км/ч.

Во-первых, переведем минуты в часы, поскольку скорость надо найти в км/ч. Скорости участников обозначим за и . В первый раз мотоциклист обогнал велосипедиста через минут, то есть через часа после старта. До этого момента велосипедист был в пути минут, то есть часа.

Запишем эти данные в таблицу:

велосипедист
мотоциклист

Оба проехали одинаковые расстояния, то есть .

Затем мотоциклист второй раз обогнал велосипедиста. Произошло это через минут, то есть через часа после первого обгона.

Нарисуем вторую таблицу.

велосипедист
мотоциклист

А какие же расстояния они проехали? Мотоциклист обогнал велосипедиста. Значит, он проехал на один круг больше. Это и есть секрет данной задачи. Один круг — это длина трассы, она равна км. Получим второе уравнение:

Решим получившуюся систему.

Получим, что . В ответ запишем скорость мотоциклиста.

Часы со стрелками показывают часов минут. Через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой?

Это, пожалуй, самая сложная задача из вариантов ЕГЭ. Конечно, есть простое решение — взять часы со стрелками и убедиться, что в четвертый раз стрелки поравняются через часа, ровно в .
А как быть, если у вас электронные часы и вы не можете решить задачу экспериментально?

За один час минутная стрелка проходит один круг, а часовая часть круга. Пусть их скорости равны (круг в час) и (круга в час). Старт — в . Найдем время, за которое минутная стрелка в первый раз догонит часовую.

Минутная стрелка пройдет на круга больше, поэтому уравнение будет таким:

Решив его, получим, что часа. Итак, в первый раз стрелки поравняются через часа. Пусть во второй раз они поравняются через время . Минутная стрелка пройдет расстояние , а часовая , причем минутная стрелка пройдет на один круг больше. Запишем уравнение:

Решив его, получим, что часа. Итак, через часа стрелки поравняются во второй раз, еще через часа — в третий, и еще через часа — в четвертый.

Значит, если старт был в , то в четвертый раз стрелки поравняются через часа.

Ответ полностью согласуется с «экспериментальным» решением! 🙂

На экзамене по математике вам может также встретиться задача о нахождении средней скорости. Запомним, что средняя скорость не равна среднему арифметическому скоростей. Она находится по специальной формуле:

где — средняя скорость, — общий путь, — общее время.

Если участков пути было два, то

А сейчас покажем вам один из секретов решения текстовых задач. Что делать, если у вас получился в уравнении пятизначный дискриминант? Да, это реальная ситуация! Это может встретиться в варианте ЕГЭ.

Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 60 кругов по кольцевой трассе протяжённостью 3 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финиш первый пришёл раньше второго на 10 минут. Чему равнялась средняя скорость второго гонщика, если известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 15 минут? Ответ дайте в км/ч.

Первый гонщик через 15 минут после старта обогнал второго на 1 круг. Значит, за 15 минут он проехал на 1 круг, то есть на 3 километра больше. За час он проедет на километров больше. Его скорость на 12 км/ч больше, чем скорость второго.

Как всегда, составляем таблицу и уравнение. 10 минут переведем в часы. Это часа.

Честно преобразовав это уравнение к квадратному, получим:

Пятизначный дискриминант, вот повезло! Но есть и другой способ решения, и он намного проще.
Посмотрим еще раз на наше уравнение:

Заметим, что 180 делится на 12. Сделаем замену:

Решение задач на движение по окружности огэ

Решение задач на движение по окружности огэ

Решение задач на движение по окружности огэ

Это уравнение легко привести к квадратному и решить.
Целый положительный корень этого уравнения: Тогда

Мы решили текстовую задачу с помощью замены переменной. Этот прием в математике используется везде: в решении задач, уравнений и неравенств, в задачах с параметрами и интегрировании. Общее правило: можете сделать замену переменной – сделайте.

🎥 Видео

Кинематика. Решение задач на движение по окружности. Урок 5Скачать

Кинематика. Решение задач на движение по окружности. Урок 5

Задачи на движение | Математика TutorOnlineСкачать

Задачи на движение | Математика TutorOnline

Задачи на движение. Вебинар | МатематикаСкачать

Задачи на движение. Вебинар | Математика

Как решать задачи на движение по окружности || Задание №11 ЕГЭ 2021 || Задание №21 ОГЭ 2021Скачать

Как решать задачи на движение по окружности || Задание №11 ЕГЭ 2021 || Задание №21 ОГЭ 2021

Урок 2. Два бегуна. Движение по окружности. ОГЭ №21. ЕГЭ №21.Скачать

Урок 2. Два бегуна. Движение по окружности. ОГЭ №21. ЕГЭ №21.

Текстовые задачи на движение из ОГЭ за 30 минут | Математика ОГЭ 2022 | УмскулСкачать

Текстовые задачи на движение из ОГЭ за 30 минут | Математика ОГЭ 2022 | Умскул

движение по кругу | математика ЕГЭ | ВебиумСкачать

движение по кругу | математика ЕГЭ | Вебиум

ОГЭ. Задание 22. Два бегуна одновременно стартовали из одной точки круговой трассы.Скачать

ОГЭ. Задание 22. Два бегуна одновременно стартовали из одной точки круговой трассы.

ОГЭ Задание 22 Движение по кругуСкачать

ОГЭ Задание 22 Движение по кругу

Физика - движение по окружностиСкачать

Физика - движение по окружности

Разбор задач на движение по окружности. ОГЭ физика 9 классСкачать

Разбор задач на движение по окружности. ОГЭ физика 9 класс

ОГЭ 2023. РАЗБОР ЗАДАНИЯ №16 "Окружность"Скачать

ОГЭ 2023. РАЗБОР ЗАДАНИЯ №16 "Окружность"

Профильный ЕГЭ 2023. Задача 8. Текстовые задачи на движение. 10 классСкачать

Профильный ЕГЭ 2023. Задача 8. Текстовые задачи на движение. 10 класс

ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ | ДВИЖЕНИЕ ПО ОКРУЖНОСТИ | +1 БАЛЛ ЗА 5 МИНУТ |Скачать

ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ | ДВИЖЕНИЕ ПО ОКРУЖНОСТИ | +1 БАЛЛ ЗА 5 МИНУТ |

ОГЭ. ЗАДАНИЕ-21. ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ НА ДВИЖЕНИЕ. 1-СЕРИЯСкачать

ОГЭ. ЗАДАНИЕ-21. ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ НА ДВИЖЕНИЕ. 1-СЕРИЯ

Задачи на движение из второй части. Задание 21 | Математика ОГЭ 2023 | УмскулСкачать

Задачи на движение из второй части. Задание 21 | Математика ОГЭ 2023 | Умскул

9 класс — Разбор заданий ОГЭ. Задачи на движение по кругуСкачать

9 класс — Разбор заданий ОГЭ. Задачи на движение по кругу

🔴 Курс ОГЭ-2024 по физике. Урок №5. Движение по окружности. Вращательное движение | Бегунов М.И.Скачать

🔴 Курс ОГЭ-2024 по физике. Урок №5. Движение по окружности. Вращательное движение | Бегунов М.И.
Поделиться или сохранить к себе: