Содержание:
Почти в любой четырехугольник можно вписать окружность. Трапеция, прямоугольник и квадрат для этого подходят всегда, тогда как сложные геометрические фигуры с четырьмя углами вписываются в круг избирательно. Рассмотрим условия, при которых 4-угольник может касаться точек на окружности всеми вершинами.
Видео:В любой четырёхугольник можно вписать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
Вписанный
Вписанной называется фигура, вершины которой располагаются на окружности. Все треугольники и правильные 4-угольники, вроде квадрата и прямоугольника, размещаются внутри круга, причём их вершины совмещаются с точками на окружности. Вокруг неправильной фигуры с четырьмя углами не всегда можно описать круг. Разбираемся, какие условия нужно выполнить для решения проблемы.
У квадрата и прямоугольника все углы прямые – равны 90°, но это не ключ к разгадке. Случай с параллелограммом тому подтверждение. Чем примечательны прямоугольные 4-угольники? Может дело в сумме углов?
Трапеция в круг вписывается, но только равнобедренная. Одно из её свойств – сумма внутренних углов равна 360°, а соседних – 180°. Получается, что четырехугольник можно вписать в окружность, если сумма противоположных углов равняется 180°. Проверим на практике.
Помните: правило применимо только для выпуклых фигур, расположенных по одну сторону от проходящих через все стороны прямых.
Выпуклый дельтоид вписывается в круг, когда имеет пару прямых углов – называется прямоугольным.
Задача
Известны величины двух соседних углов вписанного четырёхугольника: 65° и 83°. Вычислить размеры сразу большего, затем – меньшего из оставшихся.
Известно, что сумма противоположных углов указанной геометрической фигуры равняется 180°. Отнимем от значения сначала большую цифру, затем – меньшую, чтобы выполнить условия задачи – найти неизвестные значения в указанном порядке.
180 – 65 = 115° – больший угол, 180 – 83 = 97° – меньший.
Видео:Если в четырёхугольник можно вписать окружностьСкачать
В какой четырехугольник можно вписать окружность
Описанным называют 4-угольник, стороны которого касаются круга. Существует теорема, показывающая, когда в четырехугольник можно вписать окружность: сумма его противоположных сторон должна быть одинаковой: AB + CD = BC + AD. В случае с прямоугольником условие не выполняется.
Правило работает для дельтоида, квадрата и даже неправильного выпуклого 4-угольника, подпадающего под теорему.
В параллелограмм вписывается круг в случае, если он является ромбом.
Задача
Стороны описанной фигуры относятся как 1:2:3. Найти длину четвёртой, если периметр равняется 32 см.
Составим уравнение. Зная, что суммы противоположных сторон 4-угольника равны:
Периметр равняется суме сторон: P = AB + ВС + AD + BC либо x + 2x + 2x + 3x = 32.
Видео:№700. Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность.Скачать
Окружность, вписанная в четырехугольник
Определение 1. Окружность называют вписанным в четырехугольник, если окружность касается всех сторон четырехугольника.
На рисунке 1 окружность вписан в четырехугольник ABCD. В этом случае говорят также, что четырехугольник описан около окружности.
 |
Теорема 1. Если окружность вписан в четырехугольник, то сумма противолежащих сторон четырехугольника равны.
Доказательство. Пусть окружность ABCD вписан в четырехугольник (Рис.2). Докажем, что ( small AB+CD=AD+BC ).
 |
Точки M, N, Q, P − точки касания окружности со сторонами четырехугольника. Так как отрезки касательных, проведенных к окружности через одну точку, равны (статья Касательная к окружности теорема 2), то
| ( small AM=AQ=a, ) ( small BM=BN=b, ) ( small CN=CP=c, ) ( small DQ=DP=d ) |
| ( small AB+CD ) ( small=AM+BM+CP+DP ) ( small =a+b+c+d, ) | (1) |
| ( small AD+BC) ( small=AQ+DQ+BN+CN) ( small=a+d+b+c. ) | (2) |
Из равенств (1) и (2), следует:
( small AB+CD=AD+BC. )  |
Теорема 2. Если в выпуклом четырехугольнике сумма противолежащих сторон равны, то в него можно вписать окружность.
Доказательство. Пусть задан выпуклый четырехугольник ABCD и пусть ( small AB+CD=AD+BC. ) (Рис.3). Докажем, что в него можно вписать окружность.
 |
Проведем биссектрисы углов A и B четырехугольника ABCD. Точку их пересечения обозначим буквой O. Тогда точка O равноудалена от сторон AB, BC, AD. Следовательно существует окружность с центром в точке O, которая касается этих трех сторон.
Пусть эта окружность не касается стороны CD. Тогда возможны два случая.
Случай 1. Сторона CD не имеет общих точек с построенной окружностью.
Проведем касательную C1D1 к окружности, параллельно стороне CD четырехугольника.
Тогда окружность с центром O вписан в четырехугольник ABC1D1. Следовательно, по теореме 1, имеем:
| ( small AB+C_1D_1=AD_1+BC_1. ) | (3) |
Но по условию данной теоремы:
| ( small AB+CD=AD+BC. ) | (4) |
Вычтем из равенства (4) равенство (3):
| ( small CD-C_1D_1) (small=AD-AD_1+BC-BC_1 ) |
| ( small CD-C_1D_1=DD_1+CC_1 ) |
| ( small CD=DD_1+CC_1+C_1D_1) |
Получили, что в четырехугольнике CC1D1D длина одной стороны равна сумме длин трех остальных сторон, что невозможно (см. задачу 1 статьи Четырехугольник).
Таким образом сторона CD должна иметь общие точки с рассматриваемой окружностью.
Случай 2. Сторона CD имеет две общие точки с построенной окружностью (Рис.4).
 |
Аналогичными рассуждениями можно показать, что сторона CD не может иметь две общие точки с построенной окружностью.
Следовательно, предполагая, что построенная окружность не касается стороны CD, мы пришли к противоречию. Таким образом, если в выпуклом четырехугольнике сумма противолежащих сторон равны, то в него можно вписать окружность.
Если в четырехугольник вписан окружность, то существует точка, равноудаленная от всех сторон четырехугольника. Эта точка является центром вписанной в четырехугольник окружности. Для нахождения этой точки достаточно найти точку пересечениия биссектрис двух соседних углов данного четырехугольника.
Видео:Свойство четырехугольника, в который можно вписать окружностьСкачать
Вписанные и описанные четырехугольники
Вписанный четырехугольник — четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности.
Очевидно, эта окружность будет называться описанной вокруг четырехугольника.
Описанный четырехугольник — такой, что все его стороны касаются одной окружности. В этом случае окружность вписана в четырехугольник.
На рисунке — вписанные и описанные четырехугольники и их свойства.
Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!
Посмотрим, как эти свойства применяются в решении задач ЕГЭ.
. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны и . Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна . Пусть угол равен . Тогда напротив него лежит угол в градусов. Если угол равен , то угол равен .
. Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как . Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен .
Пусть сторона равна , равна , а . По свойству описанного четырехугольника, суммы противоположных сторон равны, и значит,
Получается, что равна . Тогда периметр четырехугольника равен . Мы получаем, что , а большая сторона равна .
. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен . Найдите ее среднюю линию.
Мы помним, что средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Пусть основания трапеции равны и , а боковые стороны — и . По свойству описанного четырехугольника,
, и значит, периметр равен .
Получаем, что , а средняя линия равна .
Еще раз повторим свойства вписанного и описанного четырехугольника.
Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны .
Четырехугольник можно описать вокруг окружности тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.
Докажите эти утверждения. Это задание особенно полезно тем, кто решает задачи второй части профильного ЕГЭ по математике.
🎥 Видео
Свойство четырехугольника, в который можно вписать окружностьСкачать
ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК и ОКРУЖНОСТЬ | ЕГЭ Математика | @matematikajСкачать
В любой ромб можно вписать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
3 правила для вписанного четырехугольника #shortsСкачать
Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать
Окружность, вписанная в четырехугольникСкачать
А ты ЗНАЕШЬ в каком случае ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИК можно вписать в ОКРУЖНОСТЬ ?Скачать
В любой прямоугольник можно вписать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать
Вписанный в окружность четырёхугольник.Скачать
11 класс, 43 урок, Вписанный четырехугольникСкачать
Урок 1. Вписанная окружность в четырехугольник. Теория+ практикаСкачать
Как узнать, что около четырехугольника можно описать окружность?😍 #математика #математикаегэ #егэСкачать
Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать
Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать
№1080. Докажите, что любой правильный четырехугольник является квадратом.Скачать
