В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея
В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90Вписанные четырехугольники и их свойства
В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90Теорема Птолемея

Видео:Пробелы дистанционного обучения по математике. Свойство вписанного четырёхугольникаСкачать

Пробелы дистанционного обучения по математике. Свойство вписанного четырёхугольника

Вписанные четырёхугольники и их свойства

Определение 1 . Окружностью, описанной около четырёхугольника, называют окружность, проходящую через все вершины четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, вписанным в окружность, или вписанным четырёхугольником .

В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

Теорема 1 . Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы величин его противоположных углов равны 180° .

Доказательство . Угол ABC является вписанным углом, опирающимся на дугу ADC (рис.1). Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги ADC . Угол ADC является вписанным углом, опирающимся на дугу ABC . Поэтому величина угла ADC равна половине угловой величины дуги ABC . Отсюда вытекает, что сумма величин углов ABC и ADC равна половине угловой величины дуги, совпадающей со всей окружностью, т.е. равна 180° .

Если рассмотреть углы BCD и BAD , то рассуждение будет аналогичным.

Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью рассмотрим окружность, проходящую через вершины A , B и С четырёхугольника, и предположим, что эта окружность не проходит через вершину D . Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точка D лежит внутри круга (рис.2).

В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

Продолжим отрезок CD за точку D до пересечения с окружностью в точке E , и соединим отрезком точку E с точкой A (рис.2). Поскольку четырёхугольник ABCE вписан в окружность, то в силу теоремы 1 сумма величин углов ABC и AEC равна 180° . При этом сумма величин углов ABC и ADC так же равна 180° по условию теоремы 2. Отсюда вытекает, что угол ADC равен углу AEC . Возникает противоречие, поскольку угол ADC является внешним углом треугольника ADE и, конечно же, его величина больше, чем величина угла AEC , не смежного с ним.

Случай, когда точка D оказывается лежащей вне круга, рассматривается аналогично.

Теорема 2 доказана.

Перечисленные в следующей таблице свойства вписанных четырёхугольников непосредственно вытекают из теорем 1 и 2.

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

ФигураРисунокСвойство
Окружность, описанная около параллелограммаВ любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромбаВ любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапецииВ любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоидаВ любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольникВ любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

Окружность, описанная около параллелограмма
В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромба
В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапеции
В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоида
В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольник
В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90
Окружность, описанная около параллелограмма
В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.

Окружность, описанная около ромбаВ любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.

Окружность, описанная около трапецииВ любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.

Окружность, описанная около дельтоидаВ любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.

Произвольный вписанный четырёхугольникВ любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.

В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Теорема Птолемея

Теорема Птолемея . Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

Доказательство . Рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD , вписанный в окружность (рис.3).

В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

Докажем, что справедливо равенство:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

Для этого выберем на диагонали AC точку E так, чтобы угол ABD был равен углу CBE (рис. 4).

В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

Заметим, что треугольник ABD подобен треугольнику BCE . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABD равен углу CBE (по построению точки E ), угол ADB равен углу ACB (эти углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

откуда вытекает равенство:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90(1)

Заметим, что треугольник ABE подобен треугольнику BCD . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABE равен углу DBC (углы ABD и EBC равны по построению, угол DBE – общий), угол BAC равен углу BDC (эти углы являются вписанными углами, пирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

Видео:Геометрия Если в выпуклом четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны, то в него можноСкачать

Геометрия Если в выпуклом четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны, то в него можно

Сумма углов четырехугольника

Свойства

  1. Сумма углов четырехугольника равна 360°.
    ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°.
    В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90
  2. Если четырехугольник правильный, то каждый угол по 90°
    и этот четырехугольник является квадратом.
    ∠A = ∠B = ∠C = ∠D, ⇒ ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°,
    ABCD — квадрат.
    В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90
  3. Сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°,
    если около четырехугольника описана окружность.
    ∠A + ∠С = ∠В + ∠D = 180°.
    В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

Такие четырехугольники называют вписанными.

Это все виды четырехугольников,
которые изучаются в школьном
курсе по геометрии.

Видео:Задание 25 Вписанный четырёхугольникСкачать

Задание 25 Вписанный четырёхугольник

math4school.ru

В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

Видео:Все типы 24 задание 2 часть ОГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ 2023 УмскулСкачать

Все типы 24 задание 2 часть ОГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ 2023 Умскул

Четырёхугольники

Видео:Вписанный четырехугольникСкачать

Вписанный четырехугольник

Основные определения и свойства

В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

Четырёхугольником называется фигура, которая состоит из четырёх точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), которые последовательно соединяют вершины. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться.

Четырёхугольник называется выпуклым, если он расположен в одной полуплоскости относительно прямой, которая содержит любую из его сторон.

Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360°:

Не существует четырёхугольников, у которых все углы острые или все углы тупые.

Каждый угол четырёхугольника всегда меньше суммы трёх остальных углов:

Каждая сторона четырёхугольника всегда меньше суммы трёх остальных сторон:

Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника равна:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

Диагоналями четырёхугольника называются отрезки, соединяющие его противолежащие вершины.

Диагонали выпуклого четырёхугольника пересекаются, а невыпуклого – нет.

Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

Если M , N , P , Q – середины сторон выпуклого четырёхугольника ABCD , а R , S – середины его диагоналей, то четырёхугольники MNPQ , MRPS , NSQR являются параллелограммами и называются параллелограммами Вариньона.

Форма и размеры параллелограммов Вариньона связаны с формой и размерами данного четырёхугольника ABCD . Так MNPQ – прямоугольник, если диагонали четырёхугольника ABCD перпендикулярны; MNPQ – ромб, если диагонали четырёхугольника ABCD равны; MNPQ – квадрат, если диагонали четырёхугольника ABCD перпендикулярны и равны;

В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

Отрезки MP , NQ и RS называются первой, второй и третьей средними линиями выпуклого четырёхугольника.

В параллелограмме, и только в нём, середины диагоналей совпадают, и потому третья средняя линия вырождается в точку. Для других четырёхугольников средние линии – отрезки.

Все средние линии четырёхугольника пересекаются в одной точке и делятся ею пополам:

MG=GP , NG=GQ , RG=GS .

Сумма квадратов средних линий четырёхугольника равна четверти суммы квадратов всех его сторон и диагоналей:

MP 2 + NQ 2 + RS 2 = ¼ (AB 2 +BC 2 +CD 2 +AD 2 +AC 2 +BD 2 ).

Если β – угол между первой и второй средними линиями четырёхугольника, то его площадь:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

Равными плитками, которые имеют форму произвольного, не обязательно выпуклого, четырёхугольника можно замостить плоскость так, чтобы не было наложений плиток друг на друга и не осталось непокрытых участков плоскости.

Видео:Свойство вписанного четырехугольникаСкачать

Свойство вписанного четырехугольника

Описанные четырёхугольники

В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

Четырёхугольник называется описанным около окружности (описанным), если существует такая окружность, которая касается всех его сторон, тогда сама окружность называется вписанной.

Четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, кода суммы его противолежащих сторон равны:

Для сторон описанного четырёхугольника и радиуса вписанной в него окружности верно:

Площадь описанного четырёхугольника:

где r – радиус вписанной окружности, p – полупериметр четырёхугольника.

Площадь описанного четырёхугольника:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

Центр вписанной в четырёхугольник окружности является точкой пересечения биссектрис всех четырёх углов этого четырёхугольника.

Точки касания вписанной окружности отсекают равные отрезки от углов четырёхугольника:

AK = AN , BK = BL , CL = CM , DM = DN .

Если O – центр окружности, вписанной в четырёхугольник ABCD, то

∠AOB+∠COD = ∠BOC+∠AOD =180°.

Для описанного четырёхугольника ABCD со сторонами AB = a , BC = b , CD = c и AD = d верны соотношения:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

Видео:Геометрия 11 класс. Вписанный четырехугольникСкачать

Геометрия 11 класс. Вписанный четырехугольник

Вписанные четырёхугольники

В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

Четырёхугольник называется вписанным в окружность (вписанным), если существует окружность, проходящая через все его вершины, тогда сама окружность называется описанной около четырёхугольника.

Выпуклый четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна 180°:

Центр описанной около четырёхугольника окружности является точкой пересечения всех четырёх серединных перпендикуляров сторон этого четырёхугольника.

В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

Первая теорема Птолемея. Выпуклый четырёхугольник тогда и только тогда является вписанным, когда выполняется равенство:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

Вторая теорема Птолемея. Выпуклый четырёхугольник тогда и только тогда является вписанным, когда выполняется равенство:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

Радиус окружности, описанной около четырёхугольника:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

Площадь вписанного четырёхугольника:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

Диагонали выпуклого четырёхугольника разбивают каждый его угол на два угла. Углы, опирающиеся на одну сторону, называются связанными углами.

Выпуклый четырёхугольник является вписанным тогда и только тогда, когда у него есть хотя бы одна пара равных связанных углов.

У вписанного четырёхугольника любые два связанных угла равны.

В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

Если четырёхугольник одновременно является описанным и вписанным, то его площадь:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

Для радиусов описанной и вписанной окружностей данного четырёхугольника и расстояния между центрами этих окружностей выполняется соотношение:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Параллелограмм

В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

Параллелограммом называется четырёхугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны:

У параллелограмма противолежащие стороны равны и противолежащие углы равны:

Сумма любых двух соседних углов параллелограмма равна 180°:

∠A +∠ B =∠ B +∠ C =∠ C +∠ D =∠ A +∠ D =180°.

В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам:

Каждая диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника:

∠ ABC =∠ CDA ; ∠ ABD =∠ CDB .

Две диагонали параллелограмма делят его на четыре равновеликих треугольника:

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон:

e 2 +f 2 = a 2 +b 2 +a 2 +b 2 = 2(a 2 +b 2 ).

  • Если у четырёхугольника противолежащие стороны попарно равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.
  • Если у четырёхугольника две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.
  • Четырёхугольник, диагонали которого в точке пересечения делятся пополам – параллелограмм.
  • Если у четырёхугольника противолежащие углы попарно равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.
В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

Высотой параллелограмма называется перпендикуляр, проведённый из вершины параллелограмма к неприлежащей стороне:

Площадь параллелограмма можно определить:

  • через его сторону и высоту, проведённую к ней:
  • через две его стороны и угол между ними:
В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны:

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов:

∠ ABD =∠ CBD =∠ ADB =∠ CDB ; ∠ BAC =∠ DAC =∠ BCA =∠ DCA .

В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

В любой ромб можно вписать окружность с центром в точке пересечения его диагоналей.

Радиус окружности, вписанной в ромб, можно вычислить:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

  • через диагонали ромба и сторону:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

  • через отрезки, на которые делит сторону ромба точка касания:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

Площадь ромба можно определить:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

  • через сторону и угол ромба:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

  • через сторону и радиус вписанной окружности:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

Видео:Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.Скачать

Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.

Прямоугольник

В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся на четыре равных отрезка:

Площадь прямоугольника можно определить:

  • через диагонали и угол между ними:
В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

Около любого прямоугольника можно описать окружность с центром в точке пересечения его диагоналей и радиусом, который равен половине диагонали:

Видео:ЗАДАНИЕ 1| ЕГЭ ПРОФИЛЬ| Угол А четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 25.Найдите уголСкачать

ЗАДАНИЕ 1| ЕГЭ ПРОФИЛЬ| Угол А четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 25.Найдите угол

Квадрат

В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

Диагонали квадрата равны и перпендикулярны.

Сторона и диагональ квадрата связаны соотношениями:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

У квадрата центры вписанной и описанной окружностей совпадают и находятся в точке пересечения его диагоналей.

Радиус описанной окружности:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

Радиус вписанной окружности:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

Видео:Вписанный в окружность четырёхугольник.Скачать

Вписанный в окружность четырёхугольник.

Трапеция

В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

Трапецией называется четырёхугольник у которого только две противолежащие стороны параллельны:

Параллельные стороны называются основаниями трапеции, непараллельные – боковыми сторонами.

Высота трапеции – перпендикуляр, проведённый из произвольной точки одного основания трапеции к прямой, содержащей другое основание трапеции.

В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

Средней линией (первой средней линией) трапеции называется отрезок, который соединяет середины боковых сторон данной трапеции:

Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

При продолжении до пересечения боковых сторон трапеции образуются два подобных треугольника с коэффициентом подобия, равным отношению основ:

Δ AED ∼ Δ BEC , k = AD / BC .

Треугольники, образованные основами и отрезками диагоналей подобны с коэффициентом подобия, равным отношению основ:

Δ AОD ∼ Δ CОВ , k = AD / BC .

Площади треугольников, образованных боковыми сторонами и отрезками диагоналей трапеции, равны:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

Отрезок, соединяющий середины оснований (вторая средняя линия) трапеции, проходит через точку пересечения диагоналей, а его продолжение – через точку пересечения продолжений боковых сторон:

Отрезок, соединяющий середины диагоналей (третья средняя линия) трапеции, параллелен основаниям и равен их полуразности:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

В трапецию можно вписать окружность, если сумма её основ равна сумме боковых сторон:

Центром вписанной в трапецию окружности является точка пересечения биссектрис внутренних углов трапеции.

В трапецию АВСD с основаниями AD и BC можно вписать окружность тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из равенств:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

Боковые стороны трапеции видны из центра окружности, вписанной в данную трапецию, под прямым углом:

Радиус вписанной в трапецию окружности можно определить:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

  • через отрезки, на которые делится боковая сторона точкой касания:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

Равнобокой называется трапеция, у которой боковые стороны равны:

У равнобокой трапеции:

  • углы при основании равны:
  • сумма противолежащих углов равна 180?:

Около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда она равнобокая.

Стороны и диагональ равнобокой трапеции связаны соотношением:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

Трапеция называется прямоугольной, если одна из её боковых сторон перпендикулярна основаниям.

В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

Площадь трапеции можно определить:

  • через полусумму оснований (первую среднюю линию) и высоту:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

  • через диагонали и угол между ними:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

Видео:11 класс, 43 урок, Вписанный четырехугольникСкачать

11 класс, 43 урок, Вписанный четырехугольник

Дельтоид

В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90 В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

Дельтоид называется четырёхугольник, который имеет две пары равных соседних сторон.

Дельтоид может быть выпуклым или невыпуклым.

Прямые, содержащие диагонали любого дельтоида пересекаются под прямым углом.

В любом дельтоиде углы между соседними неравными сторонами равны.

Площадь любого дельтоида можно определить:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

  • через две соседние неравные стороны и угол между ними:
В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

В любой выпуклый дельтоид можно вписать окружность.

Если выпуклый дельтоид не является ромбом, то существует окружность, касающаяся продолжений всех четырёх сторон данного дельтоида.

Для невыпуклого дельтоида можно построить окружность, касающуюся двух сторон большей длины и продолжений двух меньших сторон, а также окружность, касающуюся двух меньших сторон и продолжений двух сторон большей длины.

В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

Вокруг дельтоида можно описать окружность тогда и только тогда, когда его неравные стороны образуют углы по 90°.

Радиус окружности, описанной около дельтоида можно определить через две его неравные стороны:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

Видео:Признаки вписанного четырехугольника | Задачи 11-20 | Решение задач | Волчкевич |Уроки геометрии 7-8Скачать

Признаки вписанного четырехугольника | Задачи 11-20 | Решение задач | Волчкевич |Уроки геометрии 7-8

Ортодиагональные четырёхугольники

В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

Четырёхугольник называется ортодиагональным, если его диагонали пересекаются под прямым углом.

Четырёхугольник является ортодиагональным тогда и только тогда, когда выполняется одно из условий:

  • для сторон четырёхугольника верно: a²+c² = b²+d ²;
  • для площади четырёхугольника верно: S = ½ef ;
  • параллелограмм Вариньона с вершинами в серединах сторон четырёхугольника является прямоугольником.
В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

Сумма квадратов противолежащих сторон вписанного в окружность ортодиагонального четырёхугольника равна квадрату диаметра описанной окружности:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 90

Ортодиагональный четырёхугольник является описанным около окружности тогда и только тогда, когда произведения его противолежащих сторон равны:

Если ABCD – ортодиагональный четырёхугольник, описанный около окружности с центром в точке О , то верны соотношения:

💥 Видео

8 класс Геометрия. Окружность вписанная в четырехугольник и описанная около четырехугольника Урок #4Скачать

8 класс Геометрия. Окружность вписанная в четырехугольник и описанная около четырехугольника Урок #4

Признаки вписанного четырехугольника | Задачи 1-10 | Решение задач | Волчкевич | Уроки геометрии 7-8Скачать

Признаки вписанного четырехугольника | Задачи 1-10 | Решение задач | Волчкевич | Уроки геометрии 7-8

Геометрия. ОкружностьСкачать

Геометрия. Окружность

Признаки вписанного четырехугольника | Задачи 35-40 | Решение задач | Волчкевич |Уроки геометрии 7-8Скачать

Признаки вписанного четырехугольника | Задачи 35-40 | Решение задач | Волчкевич |Уроки геометрии 7-8

Вписанный четырёхугольник | ЕГЭ-2018. Задание 16. Математика. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать

Вписанный четырёхугольник | ЕГЭ-2018. Задание 16. Математика. Профильный уровень | Борис Трушин

Геометрия. 9 класс. Вписанные и описанные четырехугольники /20.04.2021/Скачать

Геометрия. 9 класс. Вписанные и описанные четырехугольники /20.04.2021/
Поделиться или сохранить к себе: