В координатной плоскости от начала координат отложен вектор (7 видео)

Координаты вектора в декартовой системе координат (ДСК)

Для начала дадим определение координат вектора в заданной системе координат. Чтобы ввести данное понятие, определим что мы называем прямоугольной или декартовой системой координат.

Прямоугольная система координат представляет из себя прямолинейную систему координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве.

С помощью введения прямоугольной системы координат на плоскости или в трехмерном пространстве становится возможным описывание геометрических фигур вместе с их свойствами при помощи уравнений и неравенств, то есть использовать алгебраические методы при решении геометрических задач.

Тем самым, мы можем привязать к заданной системе координат векторы. Это значительно расширит наши возможности при решении определенных задач

Прямоугольная система координат на плоскости обычно обозначается O x y , где O x и O y – оси коорднат. Ось O x называют осью абсцисс, а ось O y – осью ординат (в пространстве появляется ещё одна ось O z , которая перпендикулярна и O x и O y ).

Итак, нам дана прямоугольная декартова система координат O x y на плоскости если мы отложим от начала координат векторы i → и j → , направление которых соответственно совпадет с положительными направлениями осей O x и O y , и их длина будет равна условной единице, мы получим координатные векторы. То есть в данном случае i → и j → являются координатными векторами.

Содержание

Координатные векторы
Разложение вектора
Равные и противоположные векторы
Координаты радиус-вектора точки
Векторы на координатной плоскости
Векторное произведение векторов
Определение векторного произведения
Координаты векторного произведения
Свойства векторного произведения
Примеры решения задач
Пример 1
Пример 2
Пример 3
Геометрический смысл векторного произведения
Физический смысл векторного произведения
📺 Видео

Видео:Координаты вектора. Векторы на координатной плоскости. Геометрия 8-9 классСкачать

Координатные векторы

Векторы i → и j → называются координатными векторами для заданной системы координат.

Откладываем от начала координат произвольный вектор a → . Опираясь на геометрическое определение операций над векторами, вектор a → может быть представлен в виде a → = a x · i → + a y · j → , где коэффициенты a x и a y — единственные в своем роде, их единственность достаточно просто доказать методом от противного.

Видео:Векторы. Метод координат. Вебинар | МатематикаСкачать

Разложение вектора

Разложением вектора a → по координатным векторам i → и j → на плоскости называется представление вида a → = a x · i → + a y · j → .

Коэффициенты a x и a y называются координатами вектора в данной системе координат на плоскости.

Координаты вектора в данной системе координат принято записывать в круглых скобках, через запятую, при этом заданные координаты следует отделять от обозначения вектора знаком равенства. К примеру, запись a → = ( 2 ; — 3 ) означает, что вектор a → имеет координаты ( 2 ; — 3 ) в данной системе координат и может быть представлен в виде разложения по координатным векторам i → и j → как a → = 2 · i → — 3 · j → .

Следует обратить внимание, что порядок записи координат, имеет важное значение, если вы запишите координаты вектора в другом порядке, вы получите совершенно другой вектор.

Опираясь на определения координат вектора и их разложения становится очевидным, что единичные векторы i → и j → имеют координаты ( 1 ; 0 ) и ( 0 ; 1 ) соответственно, и они могут быть представлены в виде следующих разложений i → = 1 · i → + 0 · j → ; j → = 0 · i → + 1 · j → .

Также имеет место быть нулевой вектор 0 → с координатами ( 0 ; 0 ) и разложением 0 → = 0 · i → + 0 · j → .

Видео:Координаты вектора. 9 класс.Скачать

Равные и противоположные векторы

Векторы a → и b → равны тогда, когда их соответствующие координаты равны.

Противоположным вектором называется вектор противоположный данному.

Отсюда следует, что координаты такого вектора будут противоположны координатам данного вектора, то есть, — a → = ( — a x ; — a y ) .

Все вышеизложенное можно аналогично определить и для прямоугольной системы координат, заданной в трехмерном пространстве. В такой системе координат имеет место быть тройка координатных векторов i → , j → , k → , а произвольный вектор a → раскладывается не по двум, а уже по трем координатам, причем единственным образом и имеет вид a → = a x · i → + a y · j → + a z · k → , а коэффициенты этого разложения ( a x ; a y ; a z ) называются координатами вектора в данной (трехмерной) системе координат.

Следовательно, координатные векторы в трехмерном пространстве принимают также значение 1 и имеют координаты i → = ( 1 ; 0 ; 0 ) , j → = ( 0 ; 1 ; 0 ) , k → = ( 0 ; 0 ; 1 ) , координаты нулевого вектора также равны нулю 0 → = ( 0 ; 0 ; 0 ) , и в таком случае два вектора будут считаться равными, если все три соответствующие координаты векторов между собой равны a → = b → ⇔ a x = b x , a y = b y , a z = b z , и координаты противоположного вектора a → противоположны соответствующим координатам вектора a → , то есть, — a → = ( — a x ; — a y ; — a z ) .

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№8 - Связь между координатами вектора и координатами его начала и конца.)Скачать

Координаты радиус-вектора точки

Чтобы ввести данное определение, требуется показать в данной системе координат связь координат точки и координат вектора.

Пусть нам дана некоторая прямоугольная декартова система координат O x y и на ней задана произвольная точка M с координатами M ( x M ; y M ) .

Вектор O M → называется радиус-вектором точки M .

Определим, какие координаты в данной системе координат имеет радиус-вектор точки

Вектор O M → имеет вид суммы O M → = O M x → + O M y → = x M · i → + y M · j → , где точки M x и M y это проекции точки М на координатные прямые Ox и Oy соответственно (данные рассуждения следуют из определения проекция точки на прямую), а i → и j → — координатные векторы, следовательно, вектор O M → имеет координаты ( x M ; y M ) в данной системе координат.

Иначе говоря, координаты радиус-вектора точки М равны соответствующим координатам точки М в прямоугольной декартовой системе координат.

Аналогично в трехмерном пространстве радиус-вектор точки M ( x M ; y M ; z M ) разлагается по координатным векторам как O M → = O M x → + O M y → + O M z → = x M · i → + y M · j → + z M · k → , следовательно, O M → = ( x M ; y M ; z M ) .

Видео:9 класс, 3 урок, Связь между координатами вектора и координатами его начала и концаСкачать

Векторы на координатной плоскости

Теорема

В прямоугольной системе координат расстояние между точками (P(x_1; y_1)) и (Q(x_2; y_2)) выражается формулой (rho(P, Q) = sqrt) .

Доказательство

Если (PQparallel Ox) , то он лежит на некоторой прямой (y = C) , тогда (y_1 = y_2 = C) , следовательно, (sqrt = |x_1 — x_2|) , что равно его длине.

Если (PQparallel Oy) , то он лежит на некоторой прямой (x = C) , тогда (x_1 = x_2 = C) , следовательно, (sqrt = |y_1 — y_2|) , что равно его длине.

Если (PQ) не параллелен осям, то рассмотрим прямоугольный треугольник (PQM) , в котором (PMparallel Ox) , (QMparallel Oy) . По теореме Пифагора (PQ^2 = PM^2 + QM^2) . Так как (PMparallel Ox) , то (PM) лежит на некоторой прямой (y = C) , откуда (PM = |x_1 — x_2|) , аналогично (QM = |y_1 — y_2|) , тогда (PQ^2 = (x_1 — x_2)^2 + (y_1 — y_2)^2) , откуда получаем требуемое равенство.

Утверждение

Если в прямоугольной системе координат точка (M) – середина отрезка (PQ) , где (P(x_1;y_1), Q(x_2;y_2)) , то

Доказательство

1) Пусть (PQparallel Oy Rightarrow x_1=x_2=a) . Значит, (a=dfrac2=dfrac2) – верно.

Т.к. (PM=MQ) , следовательно, (|y_2-b|=|y_1-b| Rightarrow y_2-b=y_1-b) или (y_2-b=b-y_1) , что равносильно (y_2=y_1) или (b=dfrac2) . Первое равенство невозможно (т.к. тогда точки (P) и (Q) совпадают).

2) Случай (PQparallel Ox Rightarrow y_1=y_2=b) доказывается аналогично.

3) (x_1ne x_2, y_1ne y_2) .

Тогда (Ma=b) – средняя линия трапеции (x_1PQx_2) , следовательно, равна полусумме оснований, то есть (b=dfrac2) .

Лемма

Если векторы (overrightarrow a) и (overrightarrow b) коллинеарны, то существует такое число (lambdane 0) , что (overrightarrow a=lambdaoverrightarrow b) .

Доказательство

1) Если (overrightarrow auparrow uparrow overrightarrow b) .

Рассмотрим вектор (dfrac1overrightarrow a) . Данный вектор сонавправлен с (overrightarrow a) , а его длина равна (1) . Тогда вектор (dfracoverrightarrow a) также сонаправлен с (overrightarrow a) , но его длина равна (|overrightarrow b|) . То есть равен вектору (overrightarrow b) .

2) Если (overrightarrow auparrow downarrow overrightarrow b) .

Аналогично доказывается, что (overrightarrow b=-dfracoverrightarrow a) .

Определение

Если вектор (overrightarrow p) представлен как линейная комбинация двух векторов: (overrightarrow p=alphaoverrightarrow a+beta overrightarrow b) , то говорят, что вектор (overrightarrow p) разложен по векторам (overrightarrow a) и (overrightarrow b) .

(alpha, beta) – коэффициенты разложения.

Пусть векторы (overrightarrow i) , (overrightarrow j) – векторы, длины которых равны (1) , а направление совпадает с направлением осей (Ox) и (Oy) соответственно. Такие векторы называются единичными векторами.

Тогда если (overrightarrow p=aoverrightarrow i+boverrightarrow j) , то () – координаты вектора (overrightarrow p) .

Свойства координат вектора

1. Равные векторы имеют равные координаты.

2. Координаты суммы векторов равны сумме координат каждого вектора: если (overrightarrow a, overrightarrow b) , то (overrightarrow a+overrightarrow b=) .

3. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты данного вектора на это число: (overrightarrow a, lambda ) – число, то (lambdaoverrightarrow a) .

Теорема

Если точки (A(x_1;y_1), B(x_2;y_2)) , то (overrightarrow ) .
То есть каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.

Следствие

Если (overrightarrow a) , то длина (|overrightarrow a|=sqrt) .

Определение

Пусть от одной точки отложены два вектора (overrightarrow ) и (overrightarrow ) . Тогда угол между этими векторами – это угол (angle BAC) , не превышающий развернутого угла.

Скалярное произведение векторов (overrightarrow a) и (overrightarrow b) – это число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
Обозначение: (overrightarrow acdot overrightarrow b) или ((overrightarrow a, overrightarrow b)) . [(overrightarrow a, overrightarrow b)=|overrightarrow a|cdot |overrightarrow b|cdot coswidehat]

Следствия

1. Если ненулевые векторы взаимно перпендикулярны, то косинус угла между ними равен нулю, следовательно, и их скалярное произведение равно нулю.

2. Если угол между ненулевыми векторами острый, то скалярное произведение положительно.

3. Если угол между ненулевыми векторами тупой, то скалярное произведение отрицательно.

4.Скалярное произведение вектора на себя равно квадрату его длины: (overrightarrow acdot overrightarrow a=|overrightarrow a|^2) .

Теорема

В прямоугольной системе координат скалярное произведение векторов (overrightarrow a) и (overrightarrow b) выражается формулой:

[overrightarrow acdot overrightarrow b=x_1x_2+y_1y_2]

Доказательство

Рассмотрим вектор (overrightarrow c) :

Т.к. (overrightarrow a+overrightarrow c=overrightarrow b Rightarrow overrightarrow c=overrightarrow b-overrightarrow a Rightarrow overrightarrow c ) .

По теореме косинусов: (|c|^2=|a|^2+|b|^2-2|a||b|cosalpha) , но (|a||b|cos alpha=overrightarrow acdot overrightarrow b) , значит: [overrightarrow acdot overrightarrow b=dfrac12left(|a|^2+|b|^2-|c|^2right) =dfrac12left(x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2-(x_2-x_1)^2-(y_2-y_1)^2right)=x_1x_2+y_1y_2]

Свойства скалярного произведения

Для любых векторов (overrightarrow a, overrightarrow b, overrightarrow c) и любого числа (lambda) справедливо:

1. Скалярное произведение вектора на себя всегда неотрицательно, причем равно нулю оно тогда и только тогда, когда вектор нулевой: (overrightarrow a^2geqslant 0, quad overrightarrow a^2=0 Leftrightarrow |overrightarrow a|=0) .

2. Переместительный закон: (overrightarrow acdot overrightarrow b=overrightarrow bcdot overrightarrow a) .

3. Распределительный закон: (overrightarrow a cdot (overrightarrow b+overrightarrow c)=overrightarrow acdot overrightarrow b+overrightarrow acdot overrightarrow c) .

4. Сочетательный закон: ((lambdaoverrightarrow a)cdot overrightarrow b=lambda (overrightarrow acdot overrightarrow b)) .

Видео:9 класс, 2 урок, Координаты вектора Скачать

Векторное произведение векторов

О чем эта статья:

11 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Видео:Векторы в координатной плоскости.Скачать

Определение векторного произведения

Система координат — способ определить положение и перемещение точки или тела с помощью чисел или других символов.

Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Как найти координаты точки мы рассказали в этой статье.

Скаляр — это величина, которая полностью определяется в любой координатной системе одним числом или функцией.

Вектор — направленный отрезок прямой, для которого указано, какая точка является началом, а какая — концом.

Вектор с началом в точке A и концом в точке B принято обозначать как →AB. Векторы также можно обозначать малыми латинскими буквами со стрелкой или черточкой над ними, вот так: →a.

Коллинеарность — отношение параллельности векторов. Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой.

Проще говоря это «параллельные» векторы. Коллинеарные векторы могут быть одинаково направлены или противоположно направлены. Основное обозначение — →a || →b. Сонаправленные коллинеарные векторы обозначаются так →a ↑↑ →b, противоположно направленные — →a ↑↓ →b.

Прежде чем дать определение векторного произведения, разберемся с ориентацией упорядоченной тройки векторов →a, →b, →c в трехмерном пространстве.

Отложим векторы →a, →b, →c от одной точки. В зависимости от направления вектора →c тройка →a, →b, →c может быть правой или левой.

Посмотрим с конца вектора →c на то, как происходит кратчайший поворот от вектора →a к →b. Если кратчайший поворот происходит против часовой стрелки, то тройка векторов →a, →b, →c называется правой, по часовой стрелке — левой.

Теперь возьмем два неколлинеарных вектора →a и →b. Отложим от точки А векторы →AB = →a и →AC = →b. Построим некоторый вектор →AD = →c, перпендикулярный одновременно и →AB и →AC.

Очевидно, что при построении вектора →AD = →c мы можем поступить по-разному, если зададим ему либо одно направление, либо противоположное.

В зависимости от направления вектора →AD = →c упорядоченная тройка векторов →a, →b, →c может быть правой или левой.

И сейчас мы подошли к определению векторного произведения. Оно дается для двух векторов, которые заданы в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.

Еще не устали от теории? Онлайн-школа Skysmart предлагает обучение на курсах по математике — много практики и поддержка внимательных преподавателей!

Векторным произведением двух векторов →a и →b, которые заданы в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, называется такой вектор →c, что:

он является нулевым, если векторы →a и →b коллинеарны;
он перпендикулярен и вектору →a и вектору →b;
длина векторного произведения равна произведению длин векторов →a и →b на синус угла между ними
тройка векторов →a, →b, →c ориентирована так же, как и заданная система координат.

Векторным произведением вектора →a на вектор →b называется вектор →c, длина которого численно равна площади параллелограмма построенного на векторах →a и →b, перпендикулярный к плоскости этих векторов и направленный так, чтобы наименьшее вращение от →a к →b вокруг вектора c осуществлялось против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора →c.

Векторное произведение двух векторов a = и b = в декартовой системе координат — это вектор, значение которого можно вычислить, используя формулы вычисления векторного произведения векторов:

Векторное произведение векторов →a и →b обозначается как [→a • →b].

Другое определение связано с правой рукой человека, откуда и есть название. На рисунке тройка векторов →a, →b, [→a • →b] является правой.

Еще есть аналитический способ определения правой и левой тройки векторов — он требует задания в рассматриваемом пространстве правой или левой системы координат, причём не обязательно прямоугольной и ортонормированной.

Нужно составить матрицу, первой строкой которой будут координаты вектора →a, второй — вектора →b, третьей — вектора →c. Затем, в зависимости от знака определителя этой матрицы, можно сделать следующие выводы:

Если определитель положителен, то тройка векторов имеет ту же ориентацию, что и система координат.
Если определитель отрицателен, то тройка векторов имеет ориентацию, противоположную ориентации системы координат.
Если определитель равен нулю, то векторы компланарны (линейно зависимы).

Видео:Координаты точки и координаты вектора 1.Скачать

Координаты векторного произведения

Рассмотрим векторное произведение векторов в координатах.

Сформулируем второе определение векторного произведения, которое позволяет находить его координаты по координатам заданных векторов.

В прямоугольной системе координат трехмерного пространства векторное произведение двух векторов →a = (ax, ay, az) и →b = (bx, by, bz) есть вектор

→i, →j, →k — координатные векторы.

Это определение показывает нам векторное произведение в координатной форме.

Векторное произведение удобно представлять в виде определителя квадратной матрицы третьего порядка, первая строка которой есть орты →i, →j, →k, во второй строке находятся координаты вектора →a, а в третьей — координаты вектора →b в заданной прямоугольной системе координат:

Если разложим этот определитель по элементам первой строки, то получим равенство из определения векторного произведения в координатах:

Важно отметить, что координатная форма векторного произведения согласуется с определением,которое мы дали в первом пункте этой статьи. Более того, эти два определения векторного произведения эквивалентны.

Видео:Видеоурок "Координатная плоскость, координата точки"Скачать

Свойства векторного произведения

Векторное произведение в координатах представляется в виде определителя матрицы:

На основании свойств определителя можно легко обосновать свойства векторного произведения векторов:

Антикоммутативность
Свойство дистрибутивности

Сочетательное свойство

, где λ произвольное действительное число.

Для большей ясности докажем свойство антикоммутативности векторного произведения.

Нам известно, что значение определителя матрицы изменяется на противоположное, если переставить местами две строки, поэтому

что доказывает свойство антикоммутативности векторного произведения.

Чтобы найти модуль векторного произведения векторов u и v нужно найти площадь параллелограмма, который построен на данных векторах: S = | u × v | = | u | * | v | * sinθ, где θ — угол между векторами.

Векторное произведение векторов u и v равно нулевому вектору, если u и v параллельны (коллинеарны): u × v = 0, если u ∥ v (θ = 0).

Видео:Разложение вектора по базису. 9 класс.Скачать

Примеры решения задач

Пример 1

а) Найти длину векторного произведения векторов →a и →b, если |→a| = 2, |→b| = 3, ∠(→a, →b) = π/3.

б) Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах →a и →b, если |→a| = 2, |→b| = 3, ∠(→a, →b) = π/3.

а) По условию требуется найти длину векторного произведения. Подставляем данные в формулу:

Так как в задаче речь идет о длине, то в ответе указываем размерность — единицы.

б) По условию требуется найти площадь параллелограмма, который построен на векторах →a и →b. Площадь такого параллелограмма численно равна длине векторного произведения:

Пример 2

Найти |[-3→a x 2→b]|, если |→a| = 1/2, |→b| = 1/6, ∠(→a, →b) = π/2.

По условию снова нужно найти длину векторного произведения. Используем нашу формулу:

Согласно ассоциативным законам, выносим константы за переделы векторного произведения.

Выносим константу за пределы модуля, при этом модуль позволяет убрать знак минус. Длина же не может быть отрицательной.

Пример 3

Даны вершины треугольника A (0, 2, 0), B (-2, 5,0), C (-2, 2, 6). Найти его площадь.

Сначала найдём векторы:

Затем векторное произведение:

Вычислим его длину:

Подставим данные в формулы площадей параллелограмма и треугольника:

Видео:Видеоурок "Преобразование координат"Скачать

Геометрический смысл векторного произведения

По определению длина векторного произведения векторов равна

А из курса геометрии средней школы мы знаем, что площадь треугольника равна половине произведения длин двух сторон треугольника на синус угла между ними.

Поэтому длина векторного произведения равна удвоенной площади треугольника, имеющего сторонами векторы →a и →b, если их отложить от одной точки. Проще говоря, длина векторного произведения векторов →a и →b равна площади параллелограмма со сторонами |→a| и |→b| и углом между ними, равным (→a, →b). В этом состоит геометрический смысл векторного произведения.

Видео:Координаты вектора в пространстве. 11 класс.Скачать

Физический смысл векторного произведения

В механике — одном из разделов физики — благодаря векторному произведению можно определить момент силы относительно точки пространства. Поэтому сформулируем еще одно важное определение.

Под моментом силы →F, приложенной к точке B, относительно точки A понимается следующее векторное произведение [→A B × →F].

Вектор линейной скорости →V точки M колеса равен векторному произведению вектора угловой скорости →W и радиус-вектора точки колеса, то есть →V = →W`→rM.