Определение 1 . Окружностью, вписанной в четырёхугольник, называют окружность, которая касается касается каждой из сторон четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, описанным около окружности или описанным четырёхугольником .
Замечание . В настоящем разделе мы рассматриваем только выпуклые четырёхугольники.
Теорема 1 . Если четырёхугольник описан около окружности, то суммы длин его противоположных сторон равны.
Доказательство . Рассмотрим четырёхугольник ABCD , описанный около окружности, и обозначим буквами E, F, G, H – точки касания сторон четырёхугольника с окружностью (рис.2).
AH = AE, BF = BE, CF = CG, DH = DG,
Складывая эти равенства, получим:
AH + BF + CF + DH =
= AD + BC,
AE + BE + CG + DG =
= AB + CD,
то справедливо равенство
что и требовалось доказать.
Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы длин противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.
Доказательство . Рассмотрим четырёхугольник ABCD , длины сторон которого удовлетворяют равенству
и проведём биссектрисы углов BAD и CDA . Обозначим точку пересечения этих биссектрис буквой O , и опустим из точки O перпендикуляры OH, OE и OG на стороны AD, AB и CD соответственно (рис.3).
Следовательно, справедливы равенства
из которых вытекает, что точки H, E и G лежат на окружности с центром в точке O и радиусом OH , касающейся сторон четырёхугольника AD, AB и CD в точках H, E и G соответственно. При этом возможны два случая:
Окружность касается касается стороны BC (рис.4).
В этом случае четырёхугольник ABCD описан около окружности, и теорема доказана.
Окружность не касается стороны BC .
В этом случае касательная, проведенная к окружности из точки B , пересекает прямую DC в точке K , и возможны два случая:
- Точка K лежит между точками C и D (рис.5)
Рассмотрим случай 2а и приведём его к противоречию. В этом случае в силу того, что четырёхугольник ABKD является описанным, а также по условию теоремы справедливы равенства:
Последнее равенство утверждает, что в треугольнике BKC сумма двух сторон равна третьей стороне, что противоречит неравенству треугольника неравенству треугольника неравенству треугольника . Полученное противоречие доказывает, что случай 2а невозможен.
Совершенно аналогичные рассуждения позволяют заключить, что случай 2b также невозможен.
Итак, возможен и реализуется лишь случай 1.
Из доказательства теоремы 2 непосредственно вытекает
Теорема 3 . Биссектрисы всех внутренних углов описанного четырёхугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной окружности.
В следующей таблице приводятся примеры четырёхугольников, в которые можно вписать окружность. Доказательства утверждений непосредственно вытекают из теорем 1 и 2 и предоставляются читателю в качестве несложных упражнений.
Примеры описанных четырёхугольников
Фигура | Рисунок | Утверждение |
Ромб | В любой ромб можно вписать окружность | |
Квадрат | В любой квадрат можно вписать окружность | |
Прямоугольник | В прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом | |
Параллелограмм | В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом | |
Дельтоид | В любой дельтоид можно вписать окружность | |
Трапеция | В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон рана сумме длин оснований |
Ромб |
В любой квадрат можно вписать окружность
В прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом
В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом
В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон рана сумме длин оснований
Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать
Вписанная окружность
Вписанная окружность — это окружность, которая вписана
в геометрическую фигуру и касается всех его сторон.
Окружность, точно можно вписать в такие геометрические фигуры, как:
- Треугольник
- Выпуклый, правильный многоугольник
- Квадрат
- Равнобедренная трапеция
- Ромб
В четырехугольник, можно вписать окружность,
только при условии, что суммы длин
противоположных сторон равны.
Во все вышеперечисленные фигуры
окружность, может быть вписана, только один раз.
Окружность невозможно вписать в прямоугольник
и параллелограмм, так как окружность не будет
соприкасаться со всеми сторонам этих фигур.
Геометрические фигуры, в которые вписана окружность,
называются описанными около окружности.
Описанный треугольник — это треугольник, который описан
около окружности и все три его стороны соприкасаются с окружностью.
Описанный четырехугольник — это четырехугольник, который описан
около окружности и все четыре его стороны соприкасаются с окружностью.
Свойства вписанной окружности
В треугольник
- В любой треугольник может быть вписана окружность, причем только один раз.
- Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника.
- Вписанная окружность касается всех сторон треугольника.
- Площадь треугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:
[ S = frac(a+b+c) cdot r = pr ]
p — полупериметр четырехугольника.
r — радиус вписанной окружности четырехугольника.
окружность и любая из сторон треугольника.
перпендикуляры к любой точке касания.
треугольника на 3 пары равных отрезков.
Поэтому, расстояние между центрами этих окружностей можно найти с помощью формулы Эйлера:
с — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника.
R — радиус описанной около треугольника.
r — радиус вписанной окружности треугольника.
В четырехугольник
- Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.
- Если у четырехугольника суммы длин его противолежащих
сторон равны, то окружность, может быть, вписана (Теорема Пито). - Центр вписанной окружности и середины двух
диагоналей лежат на одной прямой (Теорема Ньютона, прямая Ньютона). - Точка пересечения биссектрис — это центр вписанной окружности.
- Точка касания — это точка, в которой соприкасается
окружность и любая из сторон четырехугольника. - Площадь четырехугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:
[ S = frac(a+b+c+d)cdot r = pr ]
p — полупериметр четырехугольника.
r — радиус вписанной окружности четырехугольника.
равноудалены от этой конца и начала этой стороны, то есть от его вершин.
Примеры вписанной окружности
- Треугольник
- Четырехугольник
- Многоугольник
Примеры описанного четырехугольника:
равнобедренная трапеция, ромб, квадрат.
Примеры описанного треугольника:
равносторонний, равнобедренный,
прямоугольный треугольники.
Верные и неверные утверждения
- Радиус вписанной окружности в треугольник и радиус вписанной
в четырехугольник вычисляется по одной и той же формуле. Верное утверждение. - Любой параллелограмм можно вписать в окружность. Неверное утверждение.
- В любой четырехугольник можно вписать окружность. Неверное утверждение.
- В любой ромб можно вписать окружность. Верное утверждение.
- Центр вписанной окружности треугольника это точка пересечения биссектрис. Верное утверждение.
- Окружность вписанная в треугольник касается всех его сторон. Верное утверждение.
- Угол вписанный в окружность равен соответствующему центральному
углу опирающемуся на ту же дугу. Неверное утверждение. - Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник равен
половине разности суммы катетов и гипотенузы. Верное утверждение. - Вписанные углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности равны. Неверное утверждение.
- Вписанная окружность в треугольник имеет в общем
три общие точки со всеми сторонами треугольника. Верное утверждение.
Окружность вписанная в угол
Окружность вписанная в угол — это окружность, которая
лежит внутри этого угла и касается его сторон.
Центр окружности, которая вписана в угол,
расположен на биссектрисе этого угла.
К центру окружности вписанной в угол, можно провести,
в общей сложности два перпендикуляра со смежных сторон.
Длина диаметра, радиуса, хорды, дуги вписанной окружности
измеряется в км, м, см, мм и других единицах измерения.
Видео:Если в четырёхугольник можно вписать окружностьСкачать
Вписанная в четырехугольник окружность
Описанный четырехугольник — это четырехугольник, все стороны которого касаются окружности. При этом окружность называется вписанной в четырехугольник.
Какими свойствами обладает вписанная в четырехугольник окружность? Когда в четырехугольник можно вписать окружность? Где находится центр вписанной окружности?
В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противолежащих сторон равны.
В четырехугольник ABCD можно вписать окружность, если
И обратно, если суммы противоположных сторон четырехугольника равны:
то в четырехугольник ABCD можно вписать окружность.
Центр вписанной в четырехугольник окружности — точка пересечения его биссектрис.
O — точка пересечения биссектрис четырехугольника ABCD.
AO, BO, CO, DO — биссектрисы углов четырехугольника ABCD,
то есть ∠BAO=∠DAO, ∠ABO=∠CBO и т.д.
3. Точки касания вписанной окружности, лежащие на сторонах, выходящих из одной вершины, равноудалены от этой вершины.
AM=AN,
5. Площадь четырехугольника связана с радиусом вписанной в него окружности формулой
где p — полупериметр четырехугольника.
Так как суммы противолежащих сторон описанного четырехугольника равны, полупериметр равен любой из пар сумм противолежащих сторон.
Например, для четырехугольника ABCD p=AD+BC или p=AB+CD и
Соответственно, радиус вписанной в четырехугольник окружности равен
📹 Видео
Когда в четырёхугольник можно вписать окружность и почемуСкачать
Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать
Свойство четырехугольника, в который можно вписать окружностьСкачать
Свойство четырехугольника, в который можно вписать окружностьСкачать
№700. Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность.Скачать
В любой четырёхугольник можно вписать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
Вписанный в окружность четырёхугольник.Скачать
3 правила для вписанного четырехугольника #shortsСкачать
Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать
Геометрия В четырех угольнике CDEF, в который можно вписать окружность, CD = 6 см, DE = 8 смСкачать
ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК и ОКРУЖНОСТЬ | ЕГЭ Математика | @matematikajСкачать
В любой треугольник можно вписать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
Описанная и вписанная окружности четырехугольника - 8 класс геометрияСкачать
Окружность и четырехугольникСкачать
Окружность, вписанная в четырехугольникСкачать
8 класс, 38 урок, Вписанная окружностьСкачать
8 класс. Четырехугольник и окружностьСкачать
Окружность, вписанная в четырёхугольник | МатематикаСкачать