В какой четырехугольник можно вписать окружность и почему

Описанные четырехугольники

Определение 1 . Окружностью, вписанной в четырёхугольник, называют окружность, которая касается касается каждой из сторон четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, описанным около окружности или описанным четырёхугольником .

В какой четырехугольник можно вписать окружность и почему

Замечание . В настоящем разделе мы рассматриваем только выпуклые четырёхугольники.

Теорема 1 . Если четырёхугольник описан около окружности, то суммы длин его противоположных сторон равны.

Доказательство . Рассмотрим четырёхугольник ABCD , описанный около окружности, и обозначим буквами E, F, G, H – точки касания сторон четырёхугольника с окружностью (рис.2).

В какой четырехугольник можно вписать окружность и почему

AH = AE, BF = BE, CF = CG, DH = DG,

Складывая эти равенства, получим:

AH + BF + CF + DH =
= AD + BC,
AE + BE + CG + DG =
= AB + CD,

то справедливо равенство

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы длин противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.

Доказательство . Рассмотрим четырёхугольник ABCD , длины сторон которого удовлетворяют равенству

и проведём биссектрисы углов BAD и CDA . Обозначим точку пересечения этих биссектрис буквой O , и опустим из точки O перпендикуляры OH, OE и OG на стороны AD, AB и CD соответственно (рис.3).

В какой четырехугольник можно вписать окружность и почему

Следовательно, справедливы равенства

из которых вытекает, что точки H, E и G лежат на окружности с центром в точке O и радиусом OH , касающейся сторон четырёхугольника AD, AB и CD в точках H, E и G соответственно. При этом возможны два случая:

Окружность касается касается стороны BC (рис.4).

В какой четырехугольник можно вписать окружность и почему

В этом случае четырёхугольник ABCD описан около окружности, и теорема доказана.

Окружность не касается стороны BC .

В этом случае касательная, проведенная к окружности из точки B , пересекает прямую DC в точке K , и возможны два случая:

    Точка K лежит между точками C и D (рис.5)

В какой четырехугольник можно вписать окружность и почему

В какой четырехугольник можно вписать окружность и почему

Рассмотрим случай 2а и приведём его к противоречию. В этом случае в силу того, что четырёхугольник ABKD является описанным, а также по условию теоремы справедливы равенства:

В какой четырехугольник можно вписать окружность и почему

В какой четырехугольник можно вписать окружность и почему

Последнее равенство утверждает, что в треугольнике BKC сумма двух сторон равна третьей стороне, что противоречит неравенству треугольника неравенству треугольника неравенству треугольника . Полученное противоречие доказывает, что случай 2а невозможен.

Совершенно аналогичные рассуждения позволяют заключить, что случай 2b также невозможен.

Итак, возможен и реализуется лишь случай 1.

Из доказательства теоремы 2 непосредственно вытекает

Теорема 3 . Биссектрисы всех внутренних углов описанного четырёхугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной окружности.

В следующей таблице приводятся примеры четырёхугольников, в которые можно вписать окружность. Доказательства утверждений непосредственно вытекают из теорем 1 и 2 и предоставляются читателю в качестве несложных упражнений.

Примеры описанных четырёхугольников

ФигураРисунокУтверждение
РомбВ какой четырехугольник можно вписать окружность и почемуВ любой ромб можно вписать окружность
КвадратВ какой четырехугольник можно вписать окружность и почемуВ любой квадрат можно вписать окружность
ПрямоугольникВ какой четырехугольник можно вписать окружность и почемуВ прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом
ПараллелограммВ какой четырехугольник можно вписать окружность и почемуВ параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом
ДельтоидВ какой четырехугольник можно вписать окружность и почемуВ любой дельтоид можно вписать окружность
ТрапецияВ какой четырехугольник можно вписать окружность и почемуВ трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон рана сумме длин оснований
Ромб
В какой четырехугольник можно вписать окружность и почему
КвадратВ какой четырехугольник можно вписать окружность и почему

В любой квадрат можно вписать окружность

ПрямоугольникВ какой четырехугольник можно вписать окружность и почему

В прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом

ПараллелограммВ какой четырехугольник можно вписать окружность и почему

В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом

ДельтоидВ какой четырехугольник можно вписать окружность и почему

ТрапецияВ какой четырехугольник можно вписать окружность и почему

В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон рана сумме длин оснований

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Вписанная окружность

Вписанная окружность — это окружность, которая вписана
в геометрическую фигуру и касается всех его сторон.

Окружность, точно можно вписать в такие геометрические фигуры, как:

  • Треугольник
  • Выпуклый, правильный многоугольник
  • Квадрат
  • Равнобедренная трапеция
  • Ромб

В четырехугольник, можно вписать окружность,
только при условии, что суммы длин
противоположных сторон равны.

Во все вышеперечисленные фигуры
окружность, может быть вписана, только один раз.

Окружность невозможно вписать в прямоугольник
и параллелограмм, так как окружность не будет
соприкасаться со всеми сторонам этих фигур.

Геометрические фигуры, в которые вписана окружность,
называются описанными около окружности.

Описанный треугольник — это треугольник, который описан
около окружности и все три его стороны соприкасаются с окружностью.

Описанный четырехугольник — это четырехугольник, который описан
около окружности и все четыре его стороны соприкасаются с окружностью.

Свойства вписанной окружности

В треугольник

  1. В любой треугольник может быть вписана окружность, причем только один раз.
  2. Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника.
  3. Вписанная окружность касается всех сторон треугольника.
  4. Площадь треугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

[ S = frac(a+b+c) cdot r = pr ]

p — полупериметр четырехугольника.
r — радиус вписанной окружности четырехугольника.

  • Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от всех сторон.
  • Точка касания — это точка, в которой соприкасается
    окружность и любая из сторон треугольника.
  • От центра вписанной окружности можно провести
    перпендикуляры к любой точке касания.
  • Вписанная в треугольник окружность делит стороны
    треугольника на 3 пары равных отрезков.
  • Вписанная и описанная около треугольника окружность тесно взаимосвязаны.
    Поэтому, расстояние между центрами этих окружностей можно найти с помощью формулы Эйлера:

    с — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника.
    R — радиус описанной около треугольника.
    r — радиус вписанной окружности треугольника.

    В четырехугольник

    1. Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.
    2. Если у четырехугольника суммы длин его противолежащих
      сторон равны, то окружность, может быть, вписана (Теорема Пито).
    3. Центр вписанной окружности и середины двух
      диагоналей лежат на одной прямой (Теорема Ньютона, прямая Ньютона).
    4. Точка пересечения биссектрис — это центр вписанной окружности.
    5. Точка касания — это точка, в которой соприкасается
      окружность и любая из сторон четырехугольника.
    6. Площадь четырехугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

    [ S = frac(a+b+c+d)cdot r = pr ]

    p — полупериметр четырехугольника.
    r — радиус вписанной окружности четырехугольника.

  • Точка касания вписанной окружности, которая лежит на любой из сторон,
    равноудалены от этой конца и начала этой стороны, то есть от его вершин.
  • Примеры вписанной окружности

    • Треугольник
      В какой четырехугольник можно вписать окружность и почему
    • Четырехугольник
      В какой четырехугольник можно вписать окружность и почему
    • Многоугольник
      В какой четырехугольник можно вписать окружность и почему

    Примеры описанного четырехугольника:
    равнобедренная трапеция, ромб, квадрат.

    Примеры описанного треугольника:
    равносторонний
    , равнобедренный,
    прямоугольный треугольники.

    Верные и неверные утверждения

    1. Радиус вписанной окружности в треугольник и радиус вписанной
      в четырехугольник вычисляется по одной и той же формуле. Верное утверждение.
    2. Любой параллелограмм можно вписать в окружность. Неверное утверждение.
    3. В любой четырехугольник можно вписать окружность. Неверное утверждение.
    4. В любой ромб можно вписать окружность. Верное утверждение.
    5. Центр вписанной окружности треугольника это точка пересечения биссектрис. Верное утверждение.
    6. Окружность вписанная в треугольник касается всех его сторон. Верное утверждение.
    7. Угол вписанный в окружность равен соответствующему центральному
      углу опирающемуся на ту же дугу. Неверное утверждение.
    8. Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник равен
      половине разности суммы катетов и гипотенузы. Верное утверждение.
    9. Вписанные углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности равны. Неверное утверждение.
    10. Вписанная окружность в треугольник имеет в общем
      три общие точки со всеми сторонами треугольника. Верное утверждение.

    Окружность вписанная в угол

    Окружность вписанная в угол — это окружность, которая
    лежит внутри этого угла и касается его сторон.

    Центр окружности, которая вписана в угол,
    расположен на биссектрисе этого угла.

    К центру окружности вписанной в угол, можно провести,
    в общей сложности два перпендикуляра со смежных сторон.

    Длина диаметра, радиуса, хорды, дуги вписанной окружности
    измеряется в км, м, см, мм и других единицах измерения.

    Видео:Если в четырёхугольник можно вписать окружностьСкачать

    Если в четырёхугольник можно вписать окружность

    Вписанная в четырехугольник окружность

    Описанный четырехугольник — это четырехугольник, все стороны которого касаются окружности. При этом окружность называется вписанной в четырехугольник.

    Какими свойствами обладает вписанная в четырехугольник окружность? Когда в четырехугольник можно вписать окружность? Где находится центр вписанной окружности?

    В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противолежащих сторон равны.

    В какой четырехугольник можно вписать окружность и почемуВ четырехугольник ABCD можно вписать окружность, если

    И обратно, если суммы противоположных сторон четырехугольника равны:

    то в четырехугольник ABCD можно вписать окружность.

    Центр вписанной в четырехугольник окружности — точка пересечения его биссектрис.

    В какой четырехугольник можно вписать окружность и почемуO — точка пересечения биссектрис четырехугольника ABCD.

    AO, BO, CO, DO — биссектрисы углов четырехугольника ABCD,

    то есть ∠BAO=∠DAO, ∠ABO=∠CBO и т.д.

    3. Точки касания вписанной окружности, лежащие на сторонах, выходящих из одной вершины, равноудалены от этой вершины.

    В какой четырехугольник можно вписать окружность и почемуAM=AN,

    В какой четырехугольник можно вписать окружность и почему

    В какой четырехугольник можно вписать окружность и почему

    В какой четырехугольник можно вписать окружность и почему

    В какой четырехугольник можно вписать окружность и почему

    В какой четырехугольник можно вписать окружность и почему

    5. Площадь четырехугольника связана с радиусом вписанной в него окружности формулой

    В какой четырехугольник можно вписать окружность и почему

    где p — полупериметр четырехугольника.

    Так как суммы противолежащих сторон описанного четырехугольника равны, полупериметр равен любой из пар сумм противолежащих сторон.

    Например, для четырехугольника ABCD p=AD+BC или p=AB+CD и

    В какой четырехугольник можно вписать окружность и почему

    В какой четырехугольник можно вписать окружность и почему

    Соответственно, радиус вписанной в четырехугольник окружности равен

    📹 Видео

    Когда в четырёхугольник можно вписать окружность и почемуСкачать

    Когда в четырёхугольник можно вписать окружность и почему

    Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

    Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

    Свойство четырехугольника, в который можно вписать окружностьСкачать

    Свойство четырехугольника, в который можно вписать окружность

    Свойство четырехугольника, в который можно вписать окружностьСкачать

    Свойство четырехугольника, в который можно вписать окружность

    №700. Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность.Скачать

    №700. Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность.

    В любой четырёхугольник можно вписать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

    В любой четырёхугольник можно вписать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

    Вписанный в окружность четырёхугольник.Скачать

    Вписанный в окружность четырёхугольник.

    3 правила для вписанного четырехугольника #shortsСкачать

    3 правила для вписанного четырехугольника #shorts

    Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

    Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

    Геометрия В четырех угольнике CDEF, в который можно вписать окружность, CD = 6 см, DE = 8 смСкачать

    Геометрия В четырех угольнике CDEF, в который можно вписать окружность, CD = 6 см, DE = 8 см

    ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК и ОКРУЖНОСТЬ | ЕГЭ Математика | @matematikajСкачать

    ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК и ОКРУЖНОСТЬ | ЕГЭ Математика | @matematikaj

    В любой треугольник можно вписать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

    В любой треугольник можно вписать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

    Описанная и вписанная окружности четырехугольника - 8 класс геометрияСкачать

    Описанная и вписанная окружности четырехугольника - 8 класс геометрия

    Окружность и четырехугольникСкачать

    Окружность и четырехугольник

    Окружность, вписанная в четырехугольникСкачать

    Окружность, вписанная в четырехугольник

    8 класс, 38 урок, Вписанная окружностьСкачать

    8 класс, 38 урок, Вписанная окружность

    8 класс. Четырехугольник и окружностьСкачать

    8 класс.  Четырехугольник  и окружность

    Окружность, вписанная в четырёхугольник | МатематикаСкачать

    Окружность, вписанная в четырёхугольник | Математика
    Поделиться или сохранить к себе: