В выпуклом четырёхугольнике ABCD известны стороны и диагональ: AB = 3, BC = CD = 5, AD = 8, AC = 7.
а) Докажите, что вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность.
Найдём косинусы углов ABC и ADC в треугольниках ABC и ADC соответственно:
поэтому ABC = 120°.
Далее, 
поэтому ADC = 60°.
Тем самым сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°, поэтому вокруг него можно описать окружность. Для вписанного четырёхугольника справедлива теорема Птолемея: произведение диагоналей четырёхугольника равно сумме произведений его противоположных сторон. Тогда 
то есть 
откуда 
Ответ: б) 
Приведем решение пункта б) Тофига Алиева без использования теоремы Птолемея.
Заметим, что 
поскольку 
Пусть 
тогда в треугольнике BAD по теореме косинусов
В треугольнике BCD по теореме косинусов
Приравнивая выражения для BD 2 , получим
Приведем идею решения Юрия Зорина.
Углы BAC и BDC равны как вписанные углы, опирающиеся на дугу BC. По теореме косинусов найдём косинус угла BAC (он равен 11/14). Далее, зная, что косинусы равных углов равны, из треугольника BDC найдем по теореме косинусов искомый отрезок BD.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, Содержание В четырехугольнике авсд ав ад 5 вс сд 3 корня из 2 Источник задания: Решение 3351. ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 30 вариантов. Ответ.Задание 16. Дан выпуклый четырёхугольник ABCD со сторонами АВ = 3, ВС = CD = 5, AD = 8 и диагональю АС = 7. а) Докажите, что около него можно описать окружность. б) Найдите диагональ BD. а) У любого четырехугольника вписанного в окружность, сумма противоположных углов равна 180 градусов. Покажем, что для заданного четырехугольника выполняется это свойство. Рассмотрим треугольник ABC, в котором косинус угла B в соответствии с теоремой косинусов будет равен: Аналогично для противоположного угла D из треугольника ACD, имеем: Таким образом, получаем, что сумма углов б) Рассмотрим треугольник ABD и по теореме косинусов можно записать: Также диагональ BD можно вычислить по теореме косинусов из треугольника BCD: Вычтем (1) и (2), получим: Подставим это значение в (1), найдем BD:
Ответ: в четырехугольнике abcd ав=сд вс=ад, угол А= 30 градусов на вс точка Е прведена так, что угол сде = 60 градусов Докажв четырехугольнике abcd ав=сд вс=ад, угол А= 30 градусов на вс точка Е прведена так, что угол сде = 60 градусов Докажите что четырёхугольник авсд является прямоугольной трапецией Простите, но никак АВСД не может быть прямоугольной трапецией, так как этот четырехугольник есть параллелограмм. Рассмотрим треугольник ЕДС. |
, следовательно, вокруг четырехугольника ABCD можно описать окружность.
.
.