В выпуклом четырёхугольнике ABCD известны стороны и диагональ: AB = 3, BC = CD = 5, AD = 8, AC = 7.
а) Докажите, что вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность.
Найдём косинусы углов ABC и ADC в треугольниках ABC и ADC соответственно:
поэтому ABC = 120°.
Далее, 
поэтому ADC = 60°.
Тем самым сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°, поэтому вокруг него можно описать окружность. Для вписанного четырёхугольника справедлива теорема Птолемея: произведение диагоналей четырёхугольника равно сумме произведений его противоположных сторон. Тогда 
то есть 
откуда 
Ответ: б) 
Приведем решение пункта б) Тофига Алиева без использования теоремы Птолемея.
Заметим, что 
поскольку 
Пусть 
тогда в треугольнике BAD по теореме косинусов
В треугольнике BCD по теореме косинусов
Приравнивая выражения для BD 2 , получим
Приведем идею решения Юрия Зорина.
Углы BAC и BDC равны как вписанные углы, опирающиеся на дугу BC. По теореме косинусов найдём косинус угла BAC (он равен 11/14). Далее, зная, что косинусы равных углов равны, из треугольника BDC найдем по теореме косинусов искомый отрезок BD.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, Содержание Видео:Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.Скачать  В четырехугольнике авсд ав ад 5 вс сд 3 корня из 2 Видео:№47. В пространственном четырехугольнике ABCD стороны АВ и CD равны. Докажите, что прямые АВ и CDСкачать  Источник задания: Решение 3351. ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 30 вариантов. Ответ.Задание 16. Дан выпуклый четырёхугольник ABCD со сторонами АВ = 3, ВС = CD = 5, AD = 8 и диагональю АС = 7. а) Докажите, что около него можно описать окружность. б) Найдите диагональ BD. а) У любого четырехугольника вписанного в окружность, сумма противоположных углов равна 180 градусов. Покажем, что для заданного четырехугольника выполняется это свойство. Рассмотрим треугольник ABC, в котором косинус угла B в соответствии с теоремой косинусов будет равен: Аналогично для противоположного угла D из треугольника ACD, имеем: Таким образом, получаем, что сумма углов б) Рассмотрим треугольник ABD и по теореме косинусов можно записать: Также диагональ BD можно вычислить по теореме косинусов из треугольника BCD: Вычтем (1) и (2), получим: Подставим это значение в (1), найдем BD:
Ответ: Видео:Найдите вершину A параллелограмма ABCD, если B(3; −4; 7), C(−5; 3; −2) и D(1; 2; −3)Скачать  в четырехугольнике abcd ав=сд вс=ад, угол А= 30 градусов на вс точка Е прведена так, что угол сде = 60 градусов Докажв четырехугольнике abcd ав=сд вс=ад, угол А= 30 градусов на вс точка Е прведена так, что угол сде = 60 градусов Докажите что четырёхугольник авсд является прямоугольной трапецией Простите, но никак АВСД не может быть прямоугольной трапецией, так как этот четырехугольник есть параллелограмм. Рассмотрим треугольник ЕДС. 📽️ ВидеоМатематика это не ИсламСкачать  №517. Найдите площадь четырехугольника ABCD, в котором АВ = 5 см, ВС = 13 см, CD = 9 см, DA =15 смСкачать  Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать  18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать  9 класс. КР№2. Метод координат. III уровень. Задание №4.Скачать  егэ векторы решу егэ все задания №2 профильСкачать  Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать  Даны вершины пирамиды A, B, C, D. Найдите объём пирамиды и высоту, опущенную на грань ACDСкачать  Задачи по геометрии на ТРАПЕЦИЮ из второй части №23 из ОГЭ по математике 2024 | СВСкачать  Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать  Задание 25 Признак вписанного четырёхугольникаСкачать  Геометрия Найдите диагональ AC четырехугольника ABCD если около него можно описать окружность и ABСкачать  Четырёхугольник ABCD вписан в окружность и при этом AB CD 1 2 BD AC 2 3 Найдите AD BCСкачать  Вступительная в 10 класс. Углубленная математика. Лицей НИУ ВШЭ (Москва). 2023 год.Скачать  №571. Дана трапеция ABCD, в которой ∠A=90°, ∠D = 45°, ВС = 4 см, CD = 3√2 см. Вычислите площадиСкачать  Задача 27872 Математика ЕГЭ Профиль Задание № 6 Описанные окружностиСкачать  Где центр окружности? ТрапецияСкачать  |
, следовательно, вокруг четырехугольника ABCD можно описать окружность.
.
.