В четырехугольнике abcd углы b и d прямые диагональ ас образует со стороной

Ваш ответ

решение вопроса

Похожие вопросы

• Все категории
• экономические 43,277
• гуманитарные 33,618
• юридические 17,900
• школьный раздел 606,742
• разное 16,824

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

В четырехугольнике abcd углы b и d прямые диагональ ас образует со стороной

В четырехугольнике ABCD противоположные стороны не параллельны. Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке О под прямым углом и образуют четыре подобных треугольника, у каждого из которых одна из вершин – точка О.

а) Докажите, что в четырехугольник ABCD можно вписать окружность.

б) Найдите радиус вписанной окружности, если AC = 12, BD = 13.

Решение:

а) Δ ABO = ΔCBOпо катету и острому углу (BO–общая сторона, ∠ АВО = ∠СВО — по условию ) → АВ = СВ и АО = СО;

Δ ADO = ΔCDO по катету и острому углу (DO – общая сторона, ∠ АDО = ∠ СDО — по условию ) → АD = СD и АО = СО;

Т.к. AB = CB и AD = CD, то AB + CD = CB + AD→ в четырехугольник ABCD можно вписать окружность.

б) Т.к. АО = СО и АС = 12, то АО = СО = 6

Пусть BO = y, тогда DO = 13 — y

По свойству пересекающихся хорд AO⋅CO = BO⋅DO:

Если у = 4, то ВО = 4и DO = 9

Если у = 9, то BO = 9 иDO = 4

Если в четырехугольник можно вписать окружность, то его площадь равна S = pr, где p–полупериметр четырехугольника, S–площадь четырехугольника, r–радиус вписанной окружности.

В четырехугольнике abcd углы b и d прямые диагональ ас образует со стороной

В выпуклом четырёхугольнике ABCD известны стороны и диагональ: AB = 3, BC = CD = 5, AD = 8, AC = 7.

а) Докажите, что вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность.

Найдём косинусы углов ABC и ADC в треугольниках ABC и ADC соответственно:

поэтому ABC = 120°.

Далее,

поэтому ADC = 60°.

Тем самым сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°, поэтому вокруг него можно описать окружность. Для вписанного четырёхугольника справедлива теорема Птолемея: произведение диагоналей четырёхугольника равно сумме произведений его противоположных сторон. Тогда то есть откуда

Ответ: б)

Приведем решение пункта б) Тофига Алиева без использования теоремы Птолемея.

Заметим, что поскольку Пусть тогда в треугольнике BAD по теореме косинусов

В треугольнике BCD по теореме косинусов

Приравнивая выражения для BD 2 , получим

Приведем идею решения Юрия Зорина.

Углы BAC и BDC равны как вписанные углы, опирающиеся на дугу BC. По теореме косинусов найдём косинус угла BAC (он равен 11/14). Далее, зная, что косинусы равных углов равны, из треугольника BDC найдем по теореме косинусов искомый отрезок BD.