В чем заключается физический смысл вектора умова пойнтинга

Перенос энергии бегущей упругой и электромагнитной волной определяют при помощи вектора, который называют вектором потока энергии. Этот вектор обозначим как $overline $(встречается обозначение $overline

$) Он показывает количество энергии, протекающее в волне за единицу времени через единицу площади поперечного сечения волны. Для электромагнитных волн данный вектор был введен Пойнтингом в 1884 г. Скорость переноса энергии при помощи вектора Пойнтинга не изменяется и равна характеристической скорости распространения электромагнитной волны в пространстве. Сейчас данный вектор ($overline$) называют вектором Умова — Пойнтинга.

Определение

Вектором Умова — Пойнтинга ($overline$) называют физическую величину, определяющую поток энергии электромагнитного поля, который равен:

где $overline$ — напряженность электрического поля; $overline$ — напряженность магнитного поля. Направлен $overline$ перпендикулярно $overline$ и $overline$ и совпадает с направлением распространения электромагнитной волны.

Величина вектора Умова — Пойнтинга

Правая часть формулы (1) представляет собой векторное произведение векторов, значит, величина вектора Умова — Пойнтинга для электромагнитной волны равна:

где $alpha $ — угол между векторами $overline$ и $overline$, но $overlinebot $ $overline$, следовательно, получаем для электромагнитной волны:

Вектор $overline $удовлетворяет в свободном пространстве уравнению непрерывности:

где $w$ — объемная плотность энергии электромагнитного поля.

Вектор Умова — Пойнтинга плоской электромагнитной волны

В случае плоской электромагнитной волны величина вектора $overline$ равна:

где $u$ $=frac<sqrt<_0mu varepsilon _0>>$- фазовая скорость распространения электромагнитного возмущения в веществе с диэлектрической проницаемостью $varepsilon $ и магнитной проницаемостью $mu .$

где $c$ — скорость света в вакууме.

Мгновенные величины напряженности магнитного и электрического полей в рассматриваемой волне связаны соотношением:

выразим напряженность $H$:

Учитывая формулу (8) величину вектора $overline$ запишем как:

В изотропном веществе объемную плотность энергии электромагнитного поля найдем как:

Учитывая формулы (6) и (10) запишем еще одно выражение для величины вектора $overline$:

На практике переходят от мгновенных величин к их средним значениям. Для плоской электромагнитной волны средняя величина по времени вектора Умова — Пойнтинга равна:

Модуль величины $left|_tright|$ называют интенсивностью ($I$) электромагнитной волны:

Направление вектора Умова — Пойнтинга показывает направление движения энергии в электромагнитном поле. Если изобразить линии, касательные к которым в любой точке совпадут с направлениями вектора $overline$, то такие линии будут являться путями распространения энергии электромагнитного поля. В оптике это лучи.

Примеры задач с решением

Задание. На рис.1 изображен вектор фазовой скорости плоской электромагнитной волны. В какой плоскости расположены векторы $overline$ и $overline$ полей этой волны?

Решение. Основой решения нашей задачи будем считать определение вектора $overline$:

Вектор $overline$ является результатом векторного произведения векторов$overline$ и $overline$, он направлен в сторону распространения электромагнитной волны, следовательно, $overlineuparrow uparrow overline$, для рис.1 вектор Умова — Пойнтинга направлен по оси Z. Значит, векторы $overlineи overline$ лежат в плоскости XOY.

Ответ. XOY

Задание. Запишите модуль среднего вектора Умова — Пойнтинга электромагнитной волны: $overline=E_0 $Считайте, что волна распространяется в вакууме по оси X.

Решение. Модуль вектора Умова — Пойнтинга для электромагнитной волны:

где $E$ и $H$ — мгновенные значения электрического и магнитного полей. Мгновенное значение вектора Умова — Пойнтинга будет равно:

[S=EH=E_0H_0<^2 left(omega t-kxright)(2.2), >]

где $H_0$ — амплитуда колебаний напряженности магнитного поля.

Средняя величина $_t$ может быть найдена:

принимая во внимание, что $<leftlangle <^2 left(omega t-kxright) >rightrangle >_t=frac$, для вакуума имеем:

Вектор Умова — Пойнтинга

Мгновенное значение объемной плотности энергии электромагнитного поля в объеме dV в среде с параметрами е_а и р_а равно сумме объемных плотностей энергии электрического и магнитного полей, которые выражаются следующим образом:

В выражении (2.17) Е = E(t) и Н = H(_t) — мгновенные значения напряженностей электрического и магнитного полей электромагнитной волны. С учетом соотношения Н_т = E_m/Z_B, соотношений (2.8), (2.10), (2.13) выражение (2.17) запишется следующим образом:

Энергия, заключенная в объеме dV, будет равна

В выражении (2.18) dV = ds ? dl, где dV — элементарный объем, принимаемый в виде куба со сторонами dl; ds — площадь боковой поверхности куба. Волна, перемещающаяся в пространстве со скоростью о, за время dt пройдет участок длиной dl = udt. Удельная мощность потока энергии, пронизывающего элементарную площадку ds, будет равна

В выражении (2.19) записан модуль вектора удельной мощности потока энергии, пронизывающий элементарную площадку ds. Вектор удельной мощности потока энергии называется вектором Умова — Пойнтинга (в иностранной литературе он называется вектором Пойнтинга).

Вектор Умова — Пойнтинга направлен вдоль оси z и равен векторному произведению векторов Е и Н:

Он измеряется в В-А/м 2 или Вт/м 2 . Вектор направлен нормально к плоскости, образованной векторами Е и Н.

В соответствии с рис. 2.1 вектор Умова — Пойнтинга для мгновенных значений векторов напряженности электрического и магнитного полей будет направлен по оси z и по модулю будет равен

Положив начальные фазы векторов Е и Н равными (в выражении (2.15) это а_п и а₂₁), для фиксированного момента времени t = t₁ получим график распространения мгновенного значения вектора Умова — Пойнтинга вдоль координаты z, как показано на рис. 2.2. На рисунке показано среднее по времени

значение вектора S₀ =—Е_тН_т. Записанный в выражении

(2.20) вектор Умова — Пойнтинга для синусоидального процесса изменяется по синусоидальному закону с удвоенной частотой по сравнению с частотой изменения электрического и магнитного полей, как показано на рис. 2.2.

Рис. 2.2. Волновой характер распределения энергии

Вектор Умова — Пойнтинга в комплексной форме записи. Мощность энергии светового потока. Для расчета энергетических характеристик синусоидальных с периодом Т процессов в теории электромагнитного поля используются среднеквадратичные или действующие значения синусоидальных функций. Действующие значения характеризуют среднеквадратичные на периоде Т значения синусоидальных колебаний. Для синусоидальных функции напряженностей электрического и магнитного полей (2.14) действующие значения напряженностей электрического и магнитного полей запишутся следующим образом: 32

На комплексной плоскости векторы действующих значений напряженностей электрического и магнитного полей представляются векторами, длины которых пропорциональны действующему значению синусоидальной функции, с горизонтальной ось эти векторы составляют угол, равный начальной фазе синусоидальной функции. Представим синусоидальные функции напряженностей электрического и магнитного полей комплексами действующих значений E(t)—> Е_де^Е и Н(0->Н_де^н, где Ф_? — начальная фаза синусоидальной функции напряженности электрического поля, а ср_н — начальная фаза синусоидальной функции напряженности магнитного поля. В пространстве эти векторы задаются их проекциями на координатные оси х, у, z с единичными ортами i,j, к:

Вектор Умова — Пойнтинга для синусоидального процесса запишется следующим образом:

В формуле (2.21) Е_д — вектор действующего значения электрического поля, направленного в соответствии с рис. 2.1 по оси х, Н_д — вектор действующего значения напряженности магнитного поля, направленного по оси у.

Вектор Умова — Пойнтинга в комплексной форме записи S равен векторному произведению комплексных действующих значений векторов электрического и магнитного полей. При принятых направлениях векторов Е_д и Н_д он будет направлен по оси z.

Поток вектора S определяется выражением

В выражении (2.22) ds — это вектор, направление которого определяется нормалью к элементу ds поверхности s. В правой части равенства записано комплексное число, элементы которого Р и Q — это активная и реактивная мощности потока энергии, пронизывающей поверхность s. Символ; в этой записи — это мнимая единица, j = v-l. Следует обратить внимание на то, что поверхность s и вектор Умова — Пойнтин- га S обозначаются одинаковыми символами, как это принято в работах по теории электромагнитного поля.

Пример 2.3. Записать мгновенное значение модуля вектора Умова — Пойнтинга для условий задачи, сформулированной в примере 2.2.

Эквивалентность массы и энергии

Согласно принципу, лежащему в основе теории относительности, полная энергия физического объекта или системы физических тел определяется выражением

где Е — энергия объекта; т — его масса; с — скорость света в вакууме, с = 299 792 458 м/с.

В универсальной форме этот принцип был сформулирован в 1905 г. А. Эйнштейном. Связь инертных свойств объекта (системы физических тел) с его массой была установлена гораздо раньше рядом ученых.

В своей работе «Теория простых сред» (1873) Н. А. Умов получил соотношение массы и энергии в виде Е = ктс 2 , а в докторской диссертации в 1874 г. им были введены понятия потока энергии и мощности потока энергии через единицу поверхности. Джон Генри Пойнтинг в 1884 г. применил эти понятия к теории электромагнитного поля.

Вектор Умова-Пойнтинга

Вы будете перенаправлены на Автор24

Вектор потока электромагнитной энергии, определяемый как:

называют вектором Умова — Пойнтинга (вектором Пойнтинга). Понятие вектора как потока энергии в разных веществах было введено Н.А. Умовым, а математическое выражение (1) получено Пойнтингом.

В электромагнитной волне векторы $overrightarrow и overrightarrow$ перпендикулярны, следовательно, модуль вектора $overrightarrow

$ имеет выражение:

Направление вектора Умова — Пойнтинга перпендикулярно к векторам $overrightarrowи overrightarrow$, и со направленно с направлением распространения волны ($overrightarrow$).

Для плоской электромагнитной волны выражение для модуля вектора Умова — Пойнтинга имеет вид:

и между мгновенными значениями напряженности магнитного и электрического полей в электромагнитной волне существует соотношение:

Модуль вектора Умова — Пойнтинга можно выразить как:

В диэлектрике объемная плотность электромагнитного поля равна:

Следовательно, сравнивая равенства (6) и (7), имеем:

В уравнения (2) -(8) входят мгновенные значения величин. Векторы в световой волне совершают колебания с частотами около $^Гц$, следовательно, весьма затруднительно следить за изменением величин во времени. Поэтому обращаются к средним значениям, переходя от мгновенных величин. Если электромагнитная волна является плоской, то среднее значение по времени вектора Умова — Пойнтинга равно:

Вектор Умова — Пойнтинга связан с энергией, которую несет электромагнитная волна соотношением:

где $frac$ — энергия, проходящая через площадку $S$ в единицу времени, $P_n=Pcosalpha $ — проекция вектора $overrightarrow

$ на нормаль $overrightarrow$ к площадке $S$. Направление вектора Умова — Пойнтинга дает характеристику движения энергии в электромагнитном поле.

Готовые работы на аналогичную тему

Если представить линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлениями вектора $overrightarrow

$, то такие линии есть пути распространения энергии электромагнитного поля. В оптике подобные линии называют лучами.

Теорема Пойнтинга

Для теории электромагнитных полей формулировки законов сохранения энергии и импульса имеет весьма важное значение. Теорема Пойнтинга — один из видов формулировок закона сохранения энергии: Скорость возрастания электромагнитной энергии внутри некоторого объема в сумме с энергией, которая вытекает за единицу времени через поверхность, ограничивающую тот же объем, равна полной работе, которую совершает поле над источниками внутри заданного объема, если взять ее со знаком минус.

Поясним данную формулировку. Выделим внутри некоторой среды объем $V$, который ограничивает поверхность $S$ (рис.1). Допустим, что полная энергия, которая заключена внутри объема, равна $W$. Тогда можно записать:

где $P_n$ — нормальная составляющая вектора Умова — Пойнтинга. Интегрирование в (4) производят по всей замкнутой поверхности $S$. Положительным считают направление внешней нормали $overrightarrow$, что означает поток вектора $overrightarrow

$ (выражение, которое стоит в формуле (4) в правой части) считают большим нуля, если линии потока энергии $overrightarrow

$ выводят наружу из объема.

При этом $-frac$- величина, на которую уменьшатся, полная энергия внутри объема $V$ за единицу времени. По закону сохранения энергии она должна быть равна энергии, которая выходит через поверхность $S$ за единицу времени наружу. Следовательно, энергия, покидающая объем $V$ через поверхность $S$, выражена потоком вектора Умова — Пойнтинга.

Задание: Напишите выражение для вектора Умова — Пойнтинга, если энергию переносит волна, уравнение изменения вектора напряженности электрического поля которой задано как: $overrightarrow=10cosleft(omega t-kx+alpha right)overrightarrow(frac).$ Учесть, что амплитуда вектора напряженности магнитного поля имеет вид: $H_moverrightarrow$, частота волны $omega при ней varepsilon =2, mu approx 1 .$

Решение:

За основу решения задачи, примем определение вектора Умова — Пойнтинга:

Из условий видим, что колебания вектора напряженности электрического поля происходят по $оси Z$, колебания вектора напряженности магнитного поля по $оси X$, следовательно, вектор Умова — Пойнтинга колеблется по $оси Y$.

Модуль искомого вектора можно найти как:

Найдем амплитуду вектора $overrightarrow$, если знаем, что амплитудные значения в нашем случае связаны соотношением:

Выразим из (1.3) искомую амплитуду $H_m$, имеем:

При этом уравнение колебаний вектора напряженности запишем в виде:

Используя уравнения (1.1), (1.5) и уравнение колебаний вектора напряжённости электрического поля из условий задачи, запишем выражение для вектора Умова — Пойнтинга:

Ответ: $overrightarrow

=sqrt<frac<varepsilon _0><mu _0>>^2c^2left(omega t-kx+alpha right)overrightarrow.$

Задание: Плоский конденсатор, имеющий круглые обкладки заряжен постоянным током за время $t_0$ до напряжения $U$. Расстояние между пластинами конденсатора равно $d$. Запишите выражение для вектора Умова — Пойнтинга для точек воображаемой цилиндрической поверхности радиуса $r$, которая находится между обкладками конденсатора. Считайте, что радиус пластин конденсатора много больше, чем радиус воображаемого цилиндра.

Решение:

За основу решения задачи, примем определение вектора Умова — Пойнтинга:

Переменное электрическое поле, возникающее в результате разрядки конденсатора, вызывает переменное магнитное поле. Запишем уравнение из системы Максвелла, учитывая, что между обкладками конденсатора токов проводимости нет:

и материальное уравнение:

Возьмем производную от $overrightarrow$ по времени:

Возьмём интеграл от $rotoverrightarrow$ по поверхности цилиндра радиуса $r$, применим теорему Стокса:

Приравняем правые части выражений (2.6), (2.7), согласно тому, что выполняется (2.5):

Найдем модуль вектора Умова — Пойнтинга согласно выражениям (2.1) и (2.8):

Задание: Плоская электромагнитная волна распространяется в вакууме по $оси X$. Чему равна средняя энергия, которая проходит через единицу поверхности в единицу времени?

Решение:

сли мы имеем плоскую электромагнитную волну, то модули напряженности полей $overrightarrow $и $overrightarrow$ в произвольной точке $x$ могут быть выражены как:

где $k=frac$. Следовательно, мгновенное значение вектора $overrightarrow

$ можно записать в виде:

[P=E_0<H_0^2 left(omega t-kxright) >left(1.3right).]

По условию задачи волна распространяется в вакууме, следовательно, $varepsilon =1, mu =1 $, имеем следующее соотношение между амплитудами полей:

Кроме того, известно, что среднее значение $leftlangle ^2alpha rightrangle =frac,$ тогда используем (1.3), (1.4) получаем среднее значение вектора Умова — Пойнтинга ($leftlangle Prightrangle $) равно:

Ответ: Средняя энергия, которая проходит через единицу поверхности за единицу времени (интенсивность волны), равна $leftlangle Prightrangle =sqrt<frac<_0><_0>>frac.$

Задание: Вычислите среднее значение вектора Умова — Пойнтинга в стоячей волне.

Решение:

Колебания электрического и магнитного полей можно представить в стоячей волне с использованием следующих гармонических законов:

где $_E, varphi_H$- запаздывание по фазе отраженной волны соответствующего поля, то есть:

здесь $theta ,vartheta $ — изменение фазы при отражении, они равны или $pi , $или 0. $l-$длина линии (если рассматривается свободная волна, то это расстояние от излучателя до поверхности отражения). Обозначим:

тогда колебания, исходя из (2.1) и (2.2) в точке $x$ можно записать как:

при этом очевидно, что $E_1$ и $H_1$ не зависят от времени. Допустим, что $theta =pi $, тогда:

Исходя из (2.9) и (2.10), для вектора Умова — Пойнтинга получим:

Из формулы (2.11) следует, что колебания модуля вектора $overrightarrow

$ происходят с частотой $2omega $, при этом периодически изменяется знак. Следовательно, среднее значение вектора по времени равно $0$ ($leftlangle Prightrangle =0$).

Ответ: В стоячей волне течения энергии нет, $leftlangle Prightrangle =0$.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 26 02 2021