Угол окружности хорда 90 градусов

Углы, связанные с окружностью
Угол окружности хорда 90 градусовВписанные и центральные углы
Угол окружности хорда 90 градусовУглы, образованные хордами, касательными и секущими
Угол окружности хорда 90 градусовДоказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Видео:Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 класс

Вписанные и центральные углы

Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).

Угол окружности хорда 90 градусов

Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).

Угол окружности хорда 90 градусов

Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.

Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Теоремы о вписанных и центральных углах

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

ФигураРисунокТеорема
Вписанный уголУгол окружности хорда 90 градусов
Вписанный уголУгол окружности хорда 90 градусовВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.
Вписанный уголУгол окружности хорда 90 градусовВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды
Вписанный уголУгол окружности хорда 90 градусовДва вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды
Вписанный уголУгол окружности хорда 90 градусовВписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр
Окружность, описанная около прямоугольного треугольникаУгол окружности хорда 90 градусов

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Угол окружности хорда 90 градусов

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

Угол окружности хорда 90 градусов

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды

Угол окружности хорда 90 градусов

Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды

Угол окружности хорда 90 градусов

Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр

Угол окружности хорда 90 градусов

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Угол окружности хорда 90 градусов

Видео:Хорда АВ стягивает дугу окружности в 40 градусов. Найдите угол АВС между этой хордой и касательной..Скачать

Хорда АВ стягивает дугу окружности в 40 градусов. Найдите угол АВС между этой хордой и касательной..

Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

Вписанный угол
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

ФигураРисунокТеоремаФормула
Угол, образованный пересекающимися хордамиУгол окружности хорда 90 градусовУгол окружности хорда 90 градусов
Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне кругаУгол окружности хорда 90 градусовУгол окружности хорда 90 градусов
Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касанияУгол окружности хорда 90 градусовУгол окружности хорда 90 градусов
Угол, образованный касательной и секущейУгол окружности хорда 90 градусовУгол окружности хорда 90 градусов
Угол, образованный двумя касательными к окружностиУгол окружности хорда 90 градусовУгол окружности хорда 90 градусов

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Угол окружности хорда 90 градусов

Угол окружности хорда 90 градусов

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Угол окружности хорда 90 градусов

Угол окружности хорда 90 градусов

Угол окружности хорда 90 градусов

Угол окружности хорда 90 градусов

Угол, образованный пересекающимися хордами хордами
Угол окружности хорда 90 градусов
Формула: Угол окружности хорда 90 градусов
Угол, образованный секущими секущими , которые пересекаются вне круга
Формула: Угол окружности хорда 90 градусов

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный касательной и хордой хордой , проходящей через точку касания
Угол окружности хорда 90 градусов
Формула: Угол окружности хорда 90 градусов
Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей
Формула: Угол окружности хорда 90 градусов

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности
Формулы: Угол окружности хорда 90 градусов

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Видео:Угол между хордой и касательнойСкачать

Угол между хордой и касательной

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Теорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5).

Угол окружности хорда 90 градусов

Угол окружности хорда 90 градусов

Угол окружности хорда 90 градусов

Угол окружности хорда 90 градусов

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

Угол окружности хорда 90 градусов

В этом случае справедливы равенства

Угол окружности хорда 90 градусов

Угол окружности хорда 90 градусов

Угол окружности хорда 90 градусов

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

Угол окружности хорда 90 градусов

В этом случае справедливы равенства

Угол окружности хорда 90 градусов

Угол окружности хорда 90 градусов

Угол окружности хорда 90 градусов

что и завершает доказательство теоремы 1.

Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.

Угол окружности хорда 90 градусов

Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

Угол окружности хорда 90 градусов

Угол окружности хорда 90 градусов

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Угол окружности хорда 90 градусов

Угол окружности хорда 90 градусов

Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

Угол окружности хорда 90 градусов

Угол окружности хорда 90 градусов

что и требовалось доказать.

Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.

Угол окружности хорда 90 градусов

Угол окружности хорда 90 градусов

Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

Угол окружности хорда 90 градусов

Угол окружности хорда 90 градусов

что и требовалось доказать

Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.

Угол окружности хорда 90 градусов

Угол окружности хорда 90 градусов

Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

Угол окружности хорда 90 градусов

Угол окружности хорда 90 градусов

что и требовалось доказать.

Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 12.

Угол окружности хорда 90 градусов

Угол окружности хорда 90 градусов

Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство

Видео:ОГЭ 2023. РАЗБОР ЗАДАНИЯ №16 "Окружность"Скачать

ОГЭ 2023. РАЗБОР ЗАДАНИЯ №16 "Окружность"

Сегмент круга

Вычисляет площадь, длину дуги, длину хорды, высоту и периметр сегмента круга. Описывается несколько вариантов расчета по параметрам сегмента — по углу, по хорде, по радиусу, по высоте и длине дуги.

Угол окружности хорда 90 градусовСегмент круга

Круговой сегмент — часть круга ограниченная дугой и секущей (хордой).

На рисунке:
L — длина дуги сегмента
c — хорда
R — радиус
a — угол сегмента
h — высота

Первый калькулятор рассчитывает параметры сегмента, если известен радиус и угол по следующим формулам:

Формулы вычисления параметров сегмента

Площадь сегмента:
[1]
Длина дуги:

Видео:Точное выставление угла стен 90°. Как правильно сделать РАЗМЕТКУ? Штукатурка стен.Скачать

Точное выставление угла стен 90°. Как правильно сделать  РАЗМЕТКУ? Штукатурка стен.

Длина хорды, центральный угол в ° (угловых градусах) и радианах при делении окружности единичного диаметра на равные сегменты.

Длина хорды, центральный угол в ° (угловых градусах) и радианах при делении окружности единичного диаметра на равные сегменты. Опа-на! Не путаем диаметр и радиус!

Угол окружности хорда 90 градусов

  • Длину хорды при делении круга / окружности на равные сегменты вы можете посчитать используя таблицу ниже.
  • Например. Для окружности с диаметром = 4м (радиусом = 2м) надо найти длину хорды при делении на 5 равных сегментов. Берем значение L для n равного 5 и умножаем на 4 м.
  • Ответ: 0,587785 *4м = 2,351141м

🎬 Видео

Вариант 23, № 7. Нахождение длины хорды, стягивающей дугу, содержащую 90° (центральный угол)Скачать

Вариант 23, № 7. Нахождение длины хорды, стягивающей дугу, содержащую 90° (центральный угол)

ЕГЭ. Задачи на окружность. ХордаСкачать

ЕГЭ. Задачи на окружность. Хорда

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

Углы в окружности | ФормулыСкачать

Углы в окружности | Формулы

Длина дуги окружности. 9 класс.Скачать

Длина дуги окружности. 9 класс.

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Окружность. Длина хорды. Теорема синусов.Скачать

Окружность. Длина хорды. Теорема синусов.

11 класс, 40 урок, Угол между касательной и хордойСкачать

11 класс, 40 урок, Угол между касательной и хордой

Прямая касается окружности в точке K ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Прямая касается окружности в точке K ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСССкачать

Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСС

Угол между касательной и хордойСкачать

Угол между касательной и хордой

Как найти длину хорды по радиусу и центральному углу. Геометрия 8-9 классСкачать

Как найти длину хорды по радиусу и центральному углу. Геометрия 8-9 класс

Окружность, касательная, секущая и хорда | МатематикаСкачать

Окружность, касательная, секущая и хорда | Математика
Поделиться или сохранить к себе: