Какая окружность называется описанной около многоугольника

Описанная и вписанная окружность
Содержание
  1. теория по математике 📈 планиметрия
  2. Описанная окружность
  3. Вписанная окружность
  4. Вписанный и описанный треугольники
  5. Вписанный и описанный четырехугольники
  6. Описанная окружность
  7. 2 Comments
  8. Какая окружность называется описанной многоугольника
  9. Описанная и вписанная окружность
  10. теория по математике 📈 планиметрия
  11. Описанная окружность
  12. Вписанная окружность
  13. Вписанный и описанный треугольники
  14. Вписанный и описанный четырехугольники
  15. Какая окружность называется описанной многоугольника
  16. Описанные и вписанные окружности — формулы, свойства и определение с примерами решения
  17. Описанная и вписанная окружности треугольника
  18. Прямоугольный треугольник и его описанная и вписанная окружности
  19. Вписанные и описанные четырехугольники
  20. Окружность, вписанная в треугольник
  21. Описанная трапеция
  22. Дополнительные свойства и признаки вписанного четырехугольника
  23. Обобщенная теорема Пифагора
  24. Формула Эйлера для окружностей
  25. Справочная информация по описанной и вписанной окружности треугольника
  26. 📺 Видео

теория по математике 📈 планиметрия

Видео:9 класс, 22 урок, Окружность, описанная около правильного многоугольникаСкачать

9 класс, 22 урок, Окружность, описанная около правильного многоугольника

Описанная окружность

Окружность называется описанной вокруг многоугольника, если все вершины многоугольника принадлежат этой окружности. Многоугольник в этом случае называется вписанным в окружность.

Любой правильный многоугольник можно вписать в окружность. На рисунке описанная окружность проходит через каждую вершину правильного шестиугольника.

Какая окружность называется описанной около многоугольника

Видео:110. Окружность, описанная около правильного многоугольникаСкачать

110. Окружность, описанная около правильного многоугольника

Вписанная окружность

Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон. Многоугольник в этом случае называется описанным около окружности.

В любой правильный многоугольник можно вписать окружность. На рисунке окружность вписана в правильный шестиугольник, она касается всех его сторон.

Какая окружность называется описанной около многоугольника

Вписанный и описанный треугольники

Центр описанной около треугольника окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника.

В любой треугольник можно вписать окружность: Какая окружность называется описанной около многоугольникаЦентр вписанной окружности

Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении его биссектрис.

Вписанный и описанный четырехугольники

Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность. Например, в прямоугольник нельзя вписать окружность. По рисунку видно, что окружность касается только трех его сторон, что не соответствует определению.

Какая окружность называется описанной около многоугольникаУсловие вписанной в 4-х угольник окружности

Окружность является вписанной в четырехугольник, если суммы длин противоположных сторон равны.

Какая окружность называется описанной около многоугольника

На рисунке выполняется данное условие, то есть AD + BC=DC + AB

Окружность является описанной около четырехугольника, если суммы противоположных углов равны 180 градусов.

Какая окружность называется описанной около многоугольника

На рисунке окружности описана около четырехугольника, следовательно выполнено условие, что сумма углов А и С равна сумме углов B и D и равна 180 градусов.

Видео:Окружность, описанная около правильного многоугольника | Геометрия 7-9 класс #105 | ИнфоурокСкачать

Окружность, описанная около правильного многоугольника | Геометрия 7-9 класс #105 | Инфоурок

Описанная окружность

Что такое описанная окружность? Какими свойствами она обладает?

Описанная около выпуклого многоугольника окружность — это окружность, которая проходит через все вершины многоугольника.

Многоугольник, около которого описана окружность, называется вписанным.

В выпуклый многоугольник можно вписать окружность, если все серединные перпендикуляры к его сторонам пересекаются в одной точке.

Центр вписанной в многоугольник окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

Центр описанной окружности равноудалён от вершин многоугольника.

Расстояние от центра до любой вершины многоугольника равно радиусу описанной окружности.

Какая окружность называется описанной около многоугольникаОкружность с центром в точке O и радиусом R описана около пятиугольника ABCDE.

ABCDE — вписанный пятиугольник.

O — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам ABCD, то есть

Какая окружность называется описанной около многоугольника

Какая окружность называется описанной около многоугольника

Какая окружность называется описанной около многоугольника

Какая окружность называется описанной около многоугольника

Какая окружность называется описанной около многоугольника

Какая окружность называется описанной около многоугольникаТочка O равноудалена от вершин пятиугольника.

Расстояние от точки O до любой вершины равно радиусу:

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность. В любой правильный многоугольник также можно вписать окружность. Центр вписанной и описанной окружности лежат в центре правильного многоугольника.

В отличие от вписанной окружности, общей формулы для нахождения радиуса описанной около многоугольника окружности нет. Радиус описанной окружности можно найти как радиус окружности, описанной около любого из треугольников, вершины которого являются вершинами описанного многоугольника.

Например, для описанного пятиугольника ABCDE радиус можно найти как радиус окружности, описанной около одного из треугольников ABC, ABD, ABE, BCD, BCE, ACD, ADE и т.д.

Формулы для нахождения радиуса описанной окружности существуют в частных случаях: для правильных многоугольников, треугольников, прямоугольника.

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

2 Comments

Огромное спасибо за все статьи, что есть на этом сайте! Благодаря вам восполнила пробелы в теории, из-за которых не могла решить задачки, и теперь щёлкаю задания как орехи. Лучший сайт по геометрии!

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Какая окружность называется описанной многоугольника

Видео:8. Окружность, описанная около многоугольника.Скачать

8. Окружность, описанная около многоугольника.

Описанная и вписанная окружность

теория по математике 📈 планиметрия

Видео:Формулы радиусов описанной и вписанной окружностей правильного многоугольника 2Скачать

Формулы радиусов описанной и вписанной окружностей правильного многоугольника 2

Описанная окружность

Окружность называется описанной вокруг многоугольника, если все вершины многоугольника принадлежат этой окружности. Многоугольник в этом случае называется вписанным в окружность.

Любой правильный многоугольник можно вписать в окружность. На рисунке описанная окружность проходит через каждую вершину правильного шестиугольника.

Какая окружность называется описанной около многоугольника

Видео:ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ около многоугольника | геометрия 9 классСкачать

ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ около многоугольника | геометрия 9 класс

Вписанная окружность

Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон. Многоугольник в этом случае называется описанным около окружности.

В любой правильный многоугольник можно вписать окружность. На рисунке окружность вписана в правильный шестиугольник, она касается всех его сторон.

Какая окружность называется описанной около многоугольника

Вписанный и описанный треугольники

Центр описанной около треугольника окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника.

В любой треугольник можно вписать окружность: Какая окружность называется описанной около многоугольникаЦентр вписанной окружности

Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении его биссектрис.

Вписанный и описанный четырехугольники

Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность. Например, в прямоугольник нельзя вписать окружность. По рисунку видно, что окружность касается только трех его сторон, что не соответствует определению.

Какая окружность называется описанной около многоугольникаУсловие вписанной в 4-х угольник окружности

Окружность является вписанной в четырехугольник, если суммы длин противоположных сторон равны.

Какая окружность называется описанной около многоугольника

На рисунке выполняется данное условие, то есть AD + BC=DC + AB

Окружность является описанной около четырехугольника, если суммы противоположных углов равны 180 градусов.

Какая окружность называется описанной около многоугольника

На рисунке окружности описана около четырехугольника, следовательно выполнено условие, что сумма углов А и С равна сумме углов B и D и равна 180 градусов.

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Какая окружность называется описанной многоугольника

Ключевые слова: окружность, описанная окружность, центр окружности, вписанная окружность, треугольник, четырехугольник, вневписанная окружность

Окружность называется вписанной в угол, если она лежит внутри угла и касается его сторон.

Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.

Окружность называется вписанной в выпуклый многоугольник, если она лежит внутри данного многоугольника и касается всех прямых, проходящих через его стороны.

Если в данный выпуклый многоугольник можно вписать окружность, то биссектрисы всех углов данного многоугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности.
Сам многоугольник в таком случае называется описанным около данной окружности.
Таким образом, в выпуклый многоугольник можно вписать не более одной окружности.

Для произвольного многоугольника невозможно вписать в него и описать около него окружность.
Для треуголь ника это всегда возможно.

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех трех его сторон, а её центр находится внутри окружности

  • Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника.
  • В любой треугольник можно вписать окружность, и только одну.
  • Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению площади треугольника и его полупериметра: $$r = frac

Серединным перпендикуляром называют прямую перпендикулярную отрезку и проходящую через его середину.

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через три его вершины.

  • Вокруг любого треугольника можно описать окружность, и только одну.
  • В любом треугольнике сторона равна произведению диаметра описанной окружности и синуса противолежащего угла.
  • Площадь треугольника равна отношению произведения длин всех его сторон к учетверенному радиусу окружности, описанной около этого треугольника: $$R =frac $$, где S — площадь треугольника.
  • Центр вневписанной окружности лежит на пересечении биссектрис внешних углов, при вершинах касаемой стороны, и биссектрисы угла при третей вершине.

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

  • Центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы.
  • Радиус равен половине гипотенузы: $$R = frac $$.
  • Радиус равен медиане, проведенной к гипотенузе: $$R = m_ $$.

Четырехугольник, вписанный в окружность

  • Четырехугольник можно вписать в окружность, если сумма противолежащих углов равна $$180^circ: alpha + beta + gamma +delta = 180^circ$$.
  • Если четырехугольник вписан в окружность, то суммы противолежащих углов равны $$180^circ$$.
  • Сумма произведений противолежащих сторон четырехугольника ABCD равна произведению диагоналей: $$ABcdot DC + AD cdot BC = BD cdot AC$$.
  • Площадь: $$S = sqrt $$, где $$p = frac $$ — полупериметр четырехугольника.

Окружность, вписанная в ромб

  • В любой ромб можно вписать окружность.
  • Радиус r вписанной окружности: $$r = frac $$, где h — высота ромба или $$r = frac cdot d_ > $$, где a — сторона ромба, d1 и d2 — диагонали ромба.

Видео:Правильный многоугольник. Окружность, описанная около правильного многоугольника.Скачать

Правильный многоугольник. Окружность, описанная около правильного многоугольника.

Описанные и вписанные окружности — формулы, свойства и определение с примерами решения

Содержание:

Окружность, которая касается стороны треугольника и продолжений двух других его сторон, называется вневписанной окружностью треугольника. На рисунке 146 изображен треугольник АВС и три его вневписанные окружности с центрами Какая окружность называется описанной около многоугольника

Какая окружность называется описанной около многоугольника

Вневписанные окружности обладают рядом интересных свойств:

1. Центры вписанной и вневписанной окружностей лежат на биссектрисе соответствующего внутреннего угла треугольника.

2. Какая окружность называется описанной около многоугольникагде Какая окружность называется описанной около многоугольника— радиус вписанной окружности треугольника,

3. Какая окружность называется описанной около многоугольникагде R — радиус описанной окружности Какая окружность называется описанной около многоугольника
Попробуйте доказать некоторые из этих свойств.

Какая окружность называется описанной около многоугольника

Найдем радиус Какая окружность называется описанной около многоугольникавневписанной окружности треугольника АВС со сторонами а, b и с (рис. 147). Для этого проведем радиусы Какая окружность называется описанной около многоугольникаПо свойству касательной Какая окружность называется описанной около многоугольникаИз подо­бия прямоугольных треугольников АОЕ и Какая окружность называется описанной около многоугольника(по острому углу) следуетКакая окружность называется описанной около многоугольникаТак как Какая окружность называется описанной около многоугольникато Какая окружность называется описанной около многоугольникаоткуда Какая окружность называется описанной около многоугольника

Какая окружность называется описанной около многоугольника

Пример:

Вычислим, используя данную формулу, радиус вневписанной окружности прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4, которая касается гипотенузы: Какая окружность называется описанной около многоугольника

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№33 - Описанная окружность.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№33 - Описанная окружность.)

Описанная и вписанная окружности треугольника

Определение. Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.

Какая окружность называется описанной около многоугольника

На рисунке 90 изображена окружность с ради­усом R и центром Какая окружность называется описанной около многоугольникаописанная около треугольни ка АВС.

Так как ОА = ОВ = ОС = R, то центр описанной окружности равноудален от вершин треугольника.

Вместо слов «окружность, описанная около треугольника АВС», также говорят «окружность, описанная вокруг треугольника АВС», или «описанная окружность треугольника АВС».

Теорема (об окружности, описанной около треугольника).
Около любого треугольника можно описать окружность, причем только одну, ее центр находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Какая окружность называется описанной около многоугольника

Рассмотрим произвольный треугольник АВС (рис. 91). Пусть О — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Проведем отрезки ОА, ОВ и ОС. По свойству серединного перпендикуляра ОА = ОС, ОС = ОВ. Так как точка О равноудалена от всех вершин треугольника АВС, то окружность с центром в точке О и радиусом ОА проходит через все вершины треугольника АВС, т. е. является его описанной окружностью. Единственность описанной окружности докажите самостоятельно.

Замечание. Так как все три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, то для нахождения центра описанной окружности достаточно построить точку пересечения любых двух из них.

Определение. Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

Какая окружность называется описанной около многоугольника

На рисунке 92 изображена окружность с цент­ром О и радиусом Какая окружность называется описанной около многоугольникавписанная в треугольник АВС; К, М и N — точки ее касания со сторонами треугольника АВС.
Так как Какая окружность называется описанной около многоугольникаи по свойству касательной к окружности Какая окружность называется описанной около многоугольникаКакая окружность называется описанной около многоугольникато центр вписанной окружности равно­удален от сторон треугольника.

Вместо слов «окружность, вписанная в треугольник АВС», также говорят «вписанная окружность треугольника АВС».

Теорема (об окружности, вписанной в треугольник).
В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну, ее центр находится в точке пересечения биссектрис треугольника.

Какая окружность называется описанной около многоугольника

Рассмотрим произвольный треугольник АВС (рис. 93). Пусть О — точка пересечения его биссектрис. Проведем из точки О перпендикуляры ОК, ОМ и ON соответственно к сторонам АВ, ВС и АС. По свойству биссектрисы угла ОК = ON, ON = ОМ. Окружность с центром в точке О и радиусом ОК будет проходить через точки К, М и N и касаться сторон АВ, ВС и АС в указанных точках по признаку касательной.

Следовательно, эта окружность является вписанной в треугольник АВС. Единственность вписанной окружности докажите самостоятельно.

Замечание. Так как все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, то для нахождения центра вписанной окружности достаточно построить точ­ку пересечения любых двух из них.

Теорема. Площадь треугольника можно найти по формуле Какая окружность называется описанной около многоугольникагде Какая окружность называется описанной около многоугольника— полупериметр треугольника, Какая окружность называется описанной около многоугольника— радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Какая окружность называется описанной около многоугольника

Пусть дан треугольник АВС со сторонами Какая окружность называется описанной около многоугольника— центр его вписанной окружности (рис. 94). Соединим отрезками точ­ку О с вершинами А, В и С. Треугольник АВС разобьется на три треугольника: Какая окружность называется описанной около многоугольникаРадиусы Какая окружность называется описанной около многоугольникапроведенные в точки касания, будут высотами этих тре­угольников. Площадь треугольника АВС равна сумме площадей указанных треугольников:

Какая окружность называется описанной около многоугольника

Следствие:

Радиус окружности, вписанной в треугольник, можно найти по формуле

Какая окружность называется описанной около многоугольника

Одной из важнейших задач данной темы является задача нахождения радиуса описанной и радиуса вписанной окружностей данного треугольника.

Пример:

Найти радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника АВС, у которого АВ = ВС = 26 см, высота ВК = 24 см
(рис. 95).

Какая окружность называется описанной около многоугольника

Решение:

Способ 1 (метод подобия). Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Проведем серединные перпендикуляры к сторонам АС и ВС, которые пересекутся в точке О — центре описанной окружности. Так как в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой, то ВК — серединный перпендикуляр к стороне АС. Пусть МО — серединный перпендикуляр к стороне ВС. Тогда ВМ = 13 см, ВО = R -— иско­мый радиус. Поскольку Какая окружность называется описанной около многоугольника(как прямо­угольные с общим острым углом СВК), то , Какая окружность называется описанной около многоугольника
Какая окружность называется описанной около многоугольникаоткуда Какая окружность называется описанной около многоугольника
Способ 2 (тригонометрический метод). Из Какая окружность называется описанной около многоугольника(см. рис. 95) Какая окружность называется описанной около многоугольникаиз Какая окружность называется описанной около многоугольникаоткуда Какая окружность называется описанной около многоугольникаДальнейшее решение совпадает с приведенным в способе 1.

Какая окружность называется описанной около многоугольника

Способ 3* (среднее пропорциональное). Продлим высоту ВК до пересечения с описанной окружностью в точке D (рис. 96). Так как центр описанной окружности равнобедренного треугольника лежит на прямой ВК (см. способ 1), то BD = 2R — диаметр данной окружности. В прямоугольном треугольнике BCD Какая окружность называется описанной около многоугольникакак вписанный, опирающийся на диаметр) катет ВС есть среднее пропорциональное меж­ду гипотенузой BD и проекцией ВК катета ВС на гипотенузу. Поэтому Какая окружность называется описанной около многоугольникаоткуда Какая окружность называется описанной около многоугольника
Ответ: Какая окружность называется описанной около многоугольникасм.
Замечание. Из решения ключевой задачи 1 следует свойство: «Центр окружно­сти, описанной около равнобедренного треугольника, лежит на его высоте, про­веденной к основанию, или на ее продолжении».

Верно и обратное утверждение: «Если центр окружности, описанной около треугольника, лежит на высоте треугольника или на ее продолжении, то этот треугольник равнобедренный».
Обратное утверждение докажите самостоятельно.

Полезно запомнить!
Если в ключевой задаче 1 боковую сторону обозначить Какая окружность называется описанной около многоугольникаа высоту, проведенную к основанию, — Какая окружность называется описанной около многоугольникато получится пропорция Какая окружность называется описанной около многоугольника.
Отсюда следует удобная формула для нахождения радиуса окруж­ности, описанной около равнобедренного треугольника:

Какая окружность называется описанной около многоугольника

Пример:

Найти радиус окружности, вписанной в равнобедренный тре­угольник АВС, у которого АВ = ВС = 10 см, АС = 12 см.

Какая окружность называется описанной около многоугольника

Решение:

Способ 1 (метод подобия). Центр вписанной окружности находится в точке пересечения биссектрис треугольника. Проведем в треугольнике АВС биссектрисы из вершин В и С, которые пересекутся в точке О — центре вписанной окружности (рис. 97). Биссектриса ВМ, проведенная к основанию равнобедренного треугольника АВС, будет его высотой и медианой, луч СО — биссектриса угла С, Какая окружность называется описанной около многоугольника— искомый радиус вписанной окружности. Так как AM = МС = 6 см, то из Какая окружность называется описанной около многоугольникапо теореме Пифагора Какая окружность называется описанной около многоугольника(см), откуда Какая окружность называется описанной около многоугольника(см). Проведем радиус ОК в точку касания окружности со стороной Какая окружность называется описанной около многоугольника. Из подобия прямоугольных треугольников ВКО и ВМС ( Какая окружность называется описанной около многоугольника— общий) следует:Какая окружность называется описанной около многоугольника. Тогда Какая окружность называется описанной около многоугольникаКакая окружность называется описанной около многоугольника(см).
Способ 2 (тригонометрический метод). Из Какая окружность называется описанной около многоугольника(см. рис. 97) Какая окружность называется описанной около многоугольника, из Какая окружность называется описанной около многоугольникаКакая окружность называется описанной около многоугольникаоткуда Какая окружность называется описанной около многоугольника. Дальнейшее решение совпадает с приведенным в способе 1.

Способ 3 (свойство биссектрисы треугольника). СО — биссектриса Какая окружность называется описанной около многоугольника. Известно, что биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. Поэтому Какая окружность называется описанной около многоугольника‘ откуда Какая окружность называется описанной около многоугольника= 3 (см).

Способ 4 (формула Какая окружность называется описанной около многоугольника). Какая окружность называется описанной около многоугольника

Какая окружность называется описанной около многоугольникаИз формулы площади треугольника Какая окружность называется описанной около многоугольникаследует: Какая окружность называется описанной около многоугольника
Ответ: 3 см.

Замечание. Из решения ключевой задачи 2 следует свойство: «Центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, лежит на его высоте, проведенной к основанию».

Верно и обратное утверждение: «Если центр окружности, вписанной в тре­угольник, лежит на высоте треугольника, то этот треугольник равнобедренный».

Обратное утверждение докажите самостоятельно.

Пример:

Дан равносторонний треугольник со стороной а. Найти радиус R его описанной окружности и радиус Какая окружность называется описанной около многоугольникаего вписанной окружности.

Какая окружность называется описанной около многоугольника

Решение:

Способ 1 (тригонометрический метод).Так как в равностороннем треугольнике биссектрисы являются и высотами, и медианами, то его биссектрисы лежат на серединных перпендикулярах к сторонам треугольника. Поэтому в равностороннем треугольнике центры описанной и вписанной окружностей совпадают.

Рассмотрим равносторонний треугольник АВС со стороной а, у которого высоты AM и ВК пересекаются в точке О — центре описанной и вписанной окружностей (рис. 98). Тогда ОА = OB = R — радиусы описанной, Какая окружность называется описанной около многоугольника— радиусы вписанной окружности. Так как AM — бис­сектриса и Какая окружность называется описанной около многоугольникаПоскольку ВК — высота и медиана, то Какая окружность называется описанной около многоугольникаИз Какая окружность называется описанной около многоугольника, откуда Какая окружность называется описанной около многоугольника.
В Какая окружность называется описанной около многоугольникакатет ОК лежит против угла в 30°, поэтому Какая окружность называется описанной около многоугольника, Какая окружность называется описанной около многоугольника

Способ 2 (свойство медиан). Поскольку AM и ВК — медианы треугольника АВС (см. рис. 98), то по свойству медиан Какая окружность называется описанной около многоугольникаВысоту равностороннего треугольника можно найти по формуле Какая окружность называется описанной около многоугольника. Откуда

Какая окружность называется описанной около многоугольника

Какая окружность называется описанной около многоугольника

Ответ: Какая окружность называется описанной около многоугольника

Полезно запомнить!

Поскольку радиус описанной окружности равностороннего треугольника Какая окружность называется описанной около многоугольникато Какая окружность называется описанной около многоугольникаЗначит, сторона равностороннего
треугольника в Какая окружность называется описанной около многоугольникараз больше радиуса его описанной окружности.
Чтобы найти радиус R описанной окружности равностороннего треугольника, нужно сторону Какая окружность называется описанной около многоугольникаразделить на Какая окружность называется описанной около многоугольника, а чтобы найти его сторону а, нужно радиус R умножить на Какая окружность называется описанной около многоугольника. Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника Какая окружность называется описанной около многоугольника

Прямоугольный треугольник и его описанная и вписанная окружности

Теорема. Центр окружности, описанной около прямоугольного тре­угольника, лежит на середине гипотенузы, а ее радиус равен половине гипотенузы, т. е. Какая окружность называется описанной около многоугольникагде с — гипотенуза.

Какая окружность называется описанной около многоугольника

Проведем в прямоугольном треугольнике АВС медиану СО к гипотенузе АВ (рис. 111). Так как медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы, то ОС = ОА = ОВ.
Тогда середина гипотенузы — точка О — равноудалена от точек А, В и С и поэтому является центром описанной окружности треугольника АВС. Радиус этой окружности Какая окружность называется описанной около многоугольникагде с — гипотенуза.
Теорема доказана.

Замечание. Также можно доказать, что серединные перпендикуляры к катетам прямоугольного треугольника пересекаются на середине гипотенузы.

Отметим, что у остроугольного треугольника центр описанной окружности лежит внутри треугольника (рис. 112, а), у тупоугольного — вне треугольника (рис. 112, б), у прямоугольного — на середине гипотенузы (рис. 112, в). Обоснуйте первые два утверждения самостоятельно.

Какая окружность называется описанной около многоугольника

Теорема. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, можно найти по формуле Какая окружность называется описанной около многоугольника, где Какая окружность называется описанной около многоугольника— искомый радиус, Какая окружность называется описанной около многоугольникаи Какая окружность называется описанной около многоугольника— катеты, Какая окружность называется описанной около многоугольника— гипотенуза треугольника.

Какая окружность называется описанной около многоугольника

Рассмотрим прямоугольный треуголь­ник АВС с катетами Какая окружность называется описанной около многоугольникаи гипотенузой Какая окружность называется описанной около многоугольника. Пусть вписанная в треугольник окружность с центром О и радиусом Какая окружность называется описанной около многоугольникакасается сторон треугольника в точках М, N и К (рис. 113).
Проведем радиусы в точки касания и получим: Какая окружность называется описанной около многоугольникаКакая окружность называется описанной около многоугольникаЧетырехугольник CMON — квадрат, так как у него все углы прямые и Какая окружность называется описанной около многоугольника. Тогда Какая окружность называется описанной около многоугольникаКакая окружность называется описанной около многоугольникаТак как отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны между собой, то Какая окружность называется описанной около многоугольникаНо Какая окружность называется описанной около многоугольника, т. е. Какая окружность называется описанной около многоугольника, откуда Какая окружность называется описанной около многоугольника

Следствие: Какая окружность называется описанной около многоугольникагде р — полупериметр треугольника.

Преобразуем формулу радиуса вписанной окружности:

Какая окружность называется описанной около многоугольника

Формула Какая окружность называется описанной около многоугольникав сочетании с формулами Какая окружность называется описанной около многоугольникаи Какая окружность называется описанной около многоугольникадает возможность решать многие задачи, связанные с прямоугольным треугольником, алгебраическим методом.

Пример. Дан прямоугольный треугольник, Какая окружность называется описанной около многоугольникаНайти Какая окружность называется описанной около многоугольника.

Решение:

Так как Какая окружность называется описанной около многоугольникато Какая окружность называется описанной около многоугольника
Из формулы Какая окружность называется описанной около многоугольникаследует Какая окружность называется описанной около многоугольника. По теореме Виета (обратной) Какая окружность называется описанной около многоугольника— посторонний корень.
Ответ: Какая окружность называется описанной около многоугольника= 2.

Пример:

Найти радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, у которого один из катетов равен 6, а радиус вписанной окружности равен 2.

Какая окружность называется описанной около многоугольника

Решение:

Способ 1 (геометрический). Пусть в треугольнике АВС, где Какая окружность называется описанной около многоугольника— радиус вписанной окружности (рис. 114). Проведем из центра О вписанной окружности перпендикуляры ОК, ОМ и ON к сторонам треугольника, которые будут радиусами вписанной окружности. Так как Какая окружность называется описанной около многоугольника— квадрат, то Какая окружность называется описанной около многоугольника
По свойству касательных Какая окружность называется описанной около многоугольника
Тогда Какая окружность называется описанной около многоугольникаПо теореме Пифагора

Какая окружность называется описанной около многоугольника

Какая окружность называется описанной около многоугольника

Следовательно, Какая окружность называется описанной около многоугольника
Радиус описанной окружности Какая окружность называется описанной около многоугольника
Способ 2 (алгебраический). Подставив в формулу Какая окружность называется описанной около многоугольниказначения Какая окружность называется описанной около многоугольникаполучим Какая окружность называется описанной около многоугольникаПо теореме Пифагора Какая окружность называется описанной около многоугольника, т. е. Какая окружность называется описанной около многоугольникаТогда Какая окружность называется описанной около многоугольника
Ответ: 5.

Пример:

Гипотенуза прямоугольного треугольника Какая окружность называется описанной около многоугольникарадиус вписанной в него окружности Какая окружность называется описанной около многоугольникаНайти площадь треугольника.

Решение:

Способ 1 (геометрический). Пусть в Какая окружность называется описанной около многоугольникагипотенуза АВ — = с = 18,0 — центр вписанной окружности, ОК, ОМ, ON — ее радиусы, проведенные в точки касания (рис. 115). Так как Какая окружность называется описанной около многоугольника

Какая окружность называется описанной около многоугольника

Какая окружность называется описанной около многоугольника, то CMON — квадрат co стороной, равной радиусу Какая окружность называется описанной около многоугольникавписанной окружности, Какая окружность называется описанной около многоугольника— высота Какая окружность называется описанной около многоугольника. Поскольку отрезки касательных, проведенных из одной точки к окруж­ности, равны между собой, то АК = AM, ВК = BN.
Отсюда Какая окружность называется описанной около многоугольникапо катету и гипотенузе.
Площадь Какая окружность называется описанной около многоугольникаравна сумме удвоенной площади Какая окружность называется описанной около многоугольникаи площади квадрата CMON, т. е.

Какая окружность называется описанной около многоугольника

Способ 2 (алгебраический). Из формулы Какая окружность называется описанной около многоугольникаследует Какая окружность называется описанной около многоугольникаКакая окружность называется описанной около многоугольникаВозведем части равенства в квадрат: Какая окружность называется описанной около многоугольникаКакая окружность называется описанной около многоугольникаТак как Какая окружность называется описанной около многоугольникаи Какая окружность называется описанной около многоугольникаКакая окружность называется описанной около многоугольника

Способ 3 (алгебраический). Из формулы Какая окружность называется описанной около многоугольникаследует, что Какая окружность называется описанной около многоугольникаИз формулы Какая окружность называется описанной около многоугольникаследует, что Какая окружность называется описанной около многоугольника
Ответ: 40.

Реальная геометрия:

Есть два листа ДСП (древесно-стружечной плиты). Один из них имеет форму равностороннего треугольника со сторо­ной 1 м, другой — форму прямоугольного равнобедренного треугольника с катетами, равными 1 м (рис. 120). Из каждого листа необходимо вырезать по одному кругу наибольшего диаметра. Определите, из какого листа будет вырезан круг большего диаметра и каким в этом случае будет процент отходов, если известно, что площадь круга можно найти по формуле Какая окружность называется описанной около многоугольника

Какая окружность называется описанной около многоугольника

Какая окружность называется описанной около многоугольника

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№21 - Правильный многоугольник. Описанная и вписанная окружность.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№21 - Правильный многоугольник. Описанная и вписанная окружность.)

Вписанные и описанные четырехугольники

Определение. Окружность называется описанной около многоуголь­ника, если она проходит через все его вершины. При этом многоугольник называется вписанным в окружность.

Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон. При этом много угольник называется описанным около окружности.
Пятиугольник ABCDE (рис. 121, а) является вписанным в окружность а четырехугольник MNPK (рис. 121, б) — описанным около окружности.

Какая окружность называется описанной около многоугольника

Центр описанной окружности многоугольника находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам, а центр вписанной — в точке пересечения биссектрис его углов.
Обоснуйте эти утверждения самостоятельно.

Теорема (свойство вписанного четырехугольника).
Сумма противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равна 180°.

Какая окружность называется описанной около многоугольника

Пусть ABCD — четырехугольник, вписанный в окружность (рис. 122). Его углы А, В, С и D являются вписанными в окружность. Так как вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то Какая окружность называется описанной около многоугольникаДуги BCD и BAD дополняют друг друга до окружности, и поэтому сумма их градусных мер равна 360°. Отсюда Какая окружность называется описанной около многоугольника

Какая окружность называется описанной около многоугольникаАналогично доказывается, что Какая окружность называется описанной около многоугольника180°. Теорема доказана.

Теорема (признак вписанного четырехугольника).
Если сумма противоположных углов четырехугольника равна Какая окружность называется описанной около многоугольникато около него можно описать окружность.

Какая окружность называется описанной около многоугольника

Рассмотрим четырехугольник ABCD, у которого Какая окружность называется описанной около многоугольника(рис. 123). Через вершины А, В и D проведем окружность (около любого треугольника можно описать окружность). Если бы вершина С не лежала на данной окружности, а находилась вне ее в положении Какая окружность называется описанной около многоугольникаили внутри нее в положении Какая окружность называется описанной около многоугольникато в первом случае угол С был бы меньше, а во втором — больше поло­вины градусной меры дуги BAD (по свойству угла между секущими и угла между пересекающимися хордами).
Тогда сумма Какая окружность называется описанной около многоугольникане была бы равна 180°. Следовательно, вершина С лежит на данной окружности. Теорема доказана.

Замечание. Так как сумма углов четырехугольника равна 360°, то для того что­бы около четырехугольника можно было описать окружность, достаточно, чтобы сумма любой пары его противоположных углов была равна 180°.

Следствия.

1. Около параллелограмма можно описать окружность, только если этот параллелограмм — прямоугольник (рис. 124, а). Центр этой окружности лежит в точке пересечения диагоналей прямоугольника.

2. Около ромба можно описать окружность, только если этот ромб — квадрат (рис. 124, б).

3. Около трапеции можно описать окружность, только если она равнобедренная (рис. 124, в).

Какая окружность называется описанной около многоугольника

Докажите эти следствия самостоятельно.

Теорема (свойство описанного четырехугольника ).
Суммы противоположных сторон описанного четырехугольника равны между собой.

Какая окружность называется описанной около многоугольника

Пусть ABCD — описанный четырех­угольник, М, N, Р и К — точки касания его сторон с окружностью (рис. 125). Так как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны меж­ду собой, то AM = АК = а, ВМ = BN = b, СР = CN = с, DP = DK = d. Тогда

Какая окружность называется описанной около многоугольника

откуда AD + ВС = AB + CD.
Теорема доказана.

Следствие:

Периметр описанного четырехугольника равен удвоенной сумме длин любой пары его противоположных сторон:

Какая окружность называется описанной около многоугольника

Теорема (признак описанного четырехугольника).
Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Какая окружность называется описанной около многоугольника

Пусть для выпуклого четырехугольника ABCD справедливо, что

Какая окружность называется описанной около многоугольника(1)
Проведем окружность, которая касается прямых AD, АВ и ВС (рис. 126). Такая окружность существует, ее центр находится в точке пересечения биссектрис углов А и В. Если окружность не касается стороны CD, то либо прямая CD не имеет с окружностью общих точек, либо является секущей. Рассмотрим первый случай. Проведем отрезок Какая окружность называется описанной около многоугольникакоторый касается окружности. По свойству описанного четырехугольника

Какая окружность называется описанной около многоугольника(2)

Отняв почленно от равенства (1) равенство (2), получим Какая окружность называется описанной около многоугольникаКакая окружность называется описанной около многоугольникачто противоречит неравенству треугольника.
Рассмотрев случай, когда прямая DC — секущая, также придем к противоре­чию (сделайте это самостоятельно). Следовательно, данная окружность касается стороны CD и в четырехугольник ABCD можно вписать окружность. Теорема доказана.

Следствия.

1. В параллелограмм можно вписать окружность, только если этот параллелограмм — ромб. Центр этой окружности лежит в точке пересечения диагоналей ромба, а ее диаметр равен высоте ромба (рис. 127, а).

2. В прямоугольник можно вписать окружность, только если этот прямоугольник — квадрат (рис. 127, б).

3. Диаметр окружности, вписанной в трапецию, равен ее высоте (рис. 127, в).
Докажите эти следствия самостоятельно.

Какая окружность называется описанной около многоугольника

Для описанного многоугольника справедлива формула Какая окружность называется описанной около многоугольника, где S — его площадь, р — полупериметр, Какая окружность называется описанной около многоугольника— радиус вписанной окружности.

Доказательство аналогично приведенному в § 8 для треугольника. Выполните его самостоятельно, используя рисунок 128.

Какая окружность называется описанной около многоугольника

Пример:

Найти радиус окружности, вписанной в ромб с периметром 24 см и острым углом, равным 45°.

Какая окружность называется описанной около многоугольника

Решение:

Способ 1 (решение прямоугольного треугольника). Пусть ABCD — ромб (рис. 129), О — центр вписанной в ромб окружности. Известно, что высота ВК ромба равна диаметру EF вписанной окружности, т. е. Какая окружность называется описанной около многоугольникаТак как у ромба все стороны равны , то Какая окружность называется описанной около многоугольника(см).
Из прямоугольного треугольника АВК находим. что Какая окружность называется описанной около многоугольникаоткуда Какая окружность называется описанной около многоугольникаИскомый радиус вписанной окружности Какая окружность называется описанной около многоугольника(см).
Способ 2 (метод площадей). Ромб — параллелограмм. По формуле площади параллелограмма Какая окружность называется описанной около многоугольниканайдем площадь данного ромба: Какая окружность называется описанной около многоугольникаС другой стороны , площадь ромба можно найти по формуле площади описанного многоугольника Какая окружность называется описанной около многоугольникаПоскольку Какая окружность называется описанной около многоугольника(см), то Какая окружность называется описанной около многоугольникаОтсюда Какая окружность называется описанной около многоугольникаКакая окружность называется описанной около многоугольника(см).

Ответ: Какая окружность называется описанной около многоугольникасм.

Пример:

Окружность, вписанная в прямоугольную трапецию ABCD, где Какая окружность называется описанной около многоугольникаделит точкой касания большую боковую сторону CD на отрезки СК = 1, KD = 4. Найти площадь трапеции (рис. 130).
Какая окружность называется описанной около многоугольника

Решение:

Способ 1. Площадь трапеции находится по формуле Какая окружность называется описанной около многоугольникаНеобходимо найти сумму оснований и высоту трапеции. Проведем высоту Какая окружность называется описанной около многоугольникатрапеции, проходящую через центр О вписанной окружности. По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, CF = СК = 1, DH = DK = 4. Проведем вы­соту СМ. Так как HFCM — прямоугольник (все углы прямые), то НМ = FC = 1, MD = 3. В прямо­угольном треугольнике CMD по теореме Пифагора Какая окружность называется описанной около многоугольникаТогда Какая окружность называется описанной около многоугольникаПо свойству описанного четырехугольника Какая окружность называется описанной около многоугольникаОтсюда Какая окружность называется описанной около многоугольника

Какая окружность называется описанной около многоугольника

Способ 2*. Центр О вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов Какая окружность называется описанной около многоугольникаи Какая окружность называется описанной около многоугольникаТак как Какая окружность называется описанной около многоугольникакак внутренние односторонние углы при Какая окружность называется описанной около многоугольникаи секущей CD, то Какая окружность называется описанной около многоугольника(рис. 131). Тогда Какая окружность называется описанной около многоугольника— прямоугольный, радиус Какая окружность называется описанной около многоугольникаявляется его высотой, проведенной к гипотенузе CD. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, — есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу. Поэто­му Какая окружность называется описанной около многоугольникаили Какая окружность называется описанной около многоугольникаВысота Какая окружность называется описанной около многоугольникаописанной трапеции равна диаметру вписанной окружности, откуда Какая окружность называется описанной около многоугольникаТак как по свой­ству описанного четырехугольника Какая окружность называется описанной около многоугольникато Какая окружность называется описанной около многоугольника Какая окружность называется описанной около многоугольника
Ответ: 18.
Замечание. Полезно запомнить свойство: «Боковая сторона описанной трапеции видна из центра вписанной окружности под углом 90°».

Пример:

Внутри острого угла А взята точка М, из которой опущены перпендикуляры МВ и МС на стороны угла А, Какая окружность называется описанной около многоугольникаКакая окружность называется описанной около многоугольникаНайти величину угла ВАС (рис. 132, а).
Какая окружность называется описанной около многоугольника

Решение:

Так как в четырехугольнике АВМС сумма углов В и С равна 180°, то около него можно описать окружность. Проведем в ней хорду AM (рис. 132, б). Поскольку Какая окружность называется описанной около многоугольникакак вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу МС, то Какая окружность называется описанной около многоугольникаи прямоугольный треугольник АМС является равнобедренным, Какая окружность называется описанной около многоугольникаВ прямоугольном треугольнике ABM Какая окружность называется описанной около многоугольникаоткуда Какая окружность называется описанной около многоугольника

Окружность, вписанная в треугольник

Пример:

Окружность вписана в треугольник АВС со сторонами ВС = а, АС = Ь, АВ = с. Вывести формулу для нахождения длин отрезков, на которые точки касания окружности со сторонами делят каждую сторону треугольника.

Какая окружность называется описанной около многоугольника

Решение:

Пусть К, М и N — точки касания вписанной окружности соответственно со сторонами АС, АВ и ВС треугольника АВС (рис. 140). Известно, что отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны между собой.
Тогда, если Какая окружность называется описанной около многоугольникато Какая окружность называется описанной около многоугольникаКакая окружность называется описанной около многоугольникаТак как АВ = AM + МВ, то Какая окружность называется описанной около многоугольникаоткуда Какая окружность называется описанной около многоугольникат. е. Какая окружность называется описанной около многоугольника. После преобразований получим: Какая окружность называется описанной около многоугольникаАналогично: Какая окружность называется описанной около многоугольникаКакая окружность называется описанной около многоугольника Какая окружность называется описанной около многоугольника
Ответ: Какая окружность называется описанной около многоугольникаКакая окружность называется описанной около многоугольникаКакая окружность называется описанной около многоугольника

Какая окружность называется описанной около многоугольника

Замечание. Если Какая окружность называется описанной около многоугольника(рис. 141), то Какая окружность называется описанной около многоугольникаКакая окружность называется описанной около многоугольника(см. c. 69). Формула радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, Какая окружность называется описанной около многоугольника— частный случай результата задачи 1.

Описанная трапеция

Пример:

Найти площадь описанной равнобедренной трапеции с основа­ниями а и Ь.

Какая окружность называется описанной около многоугольника

Решение:

Площадь трапеции можно найти по формуле Какая окружность называется описанной около многоугольникаПусть в трапеции ABCD основания Какая окружность называется описанной около многоугольника— боковые стороны, Какая окружность называется описанной около многоугольника— высота (рис. 142). По свойству описанного четырехугольника АВ + CD = AD + ВС, откуда Какая окружность называется описанной около многоугольника. Известно, что в равнобедренной трапеции Какая окружность называется описанной около многоугольника(можно опустить высоту СК и убедиться в этом). Из прямоугольного треугольника АНВ получаем: Какая окружность называется описанной около многоугольникаКакая окружность называется описанной около многоугольникаОтсюда Какая окружность называется описанной около многоугольникаОтвет: Какая окружность называется описанной около многоугольника
Замечание. Площадь описанной равнобедренной трапеции равна произведению среднего арифметического и среднего геометрического ее оснований.

Полезно запомнить!

Для описанной равнобедренной трапеции с основаниями Какая окружность называется описанной около многоугольникабоковой стороной с, высотой h, средней линией Какая окружность называется описанной около многоугольникаи радиусом Какая окружность называется описанной около многоугольникавписанной окружности (см. рис. 142) справедливы равенства:

Какая окружность называется описанной около многоугольника

Дополнительные свойства и признаки вписанного четырехугольника

Теорема.
Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда угол между его стороной и диагональю равен углу между противоположной стороной и другой диагональю.
Рис. 143
Какая окружность называется описанной около многоугольника

1. Если четырехугольник ABCD вписан в окружность (рис. 143), то Какая окружность называется описанной около многоугольникакак вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу.

2. Докажем, что если в некотором четырехугольнике ABCD Какая окружность называется описанной около многоугольникато около него можно описать окружность.
Опишем около треугольника ABD окружность.
В 8-м классе (В. В. Казаков. «Геометрия, 8», с. 186) было доказано свойство:

«Геометрическим местом точек плоскости, из которых данный отрезок AD виден под углом а, является объединение двух дуг окружностей: дуги ABD и ей симметричной относительно прямой AD, исключая точки Какая окружность называется описанной около многоугольника» . Данное свойство гарантирует, что вершины всех углов, равных углу ABD и лежащих по одну сторону от прямой AD, расположены на дуге ABD окружности. Поэтому окружность, описанная около треугольника ABD, пройдет и через вершину С. Теорема доказана.

Обобщенная теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике Какая окружность называется описанной около многоугольникапроведена высота СН, которая делит его на треугольники АСН и СВН, подобные между собой и подобные треугольнику Какая окружность называется описанной около многоугольника(рис. 148). Тогда теорема Пифагора Какая окружность называется описанной около многоугольникаможет звучать так: сумма квадратов гипотенуз Какая окружность называется описанной около многоугольникатреугольников СВН и АСН равна квадрату гипотенузы треугольника АВС. И вообще, если Какая окружность называется описанной около многоугольника— соответствующие линейные элемен­ты Какая окружность называется описанной около многоугольникато можно сформулировать обобщенную теорему Пифагора:
Какая окружность называется описанной около многоугольника

Какая окружность называется описанной около многоугольника

Действительно, из подобия указанных треугольников Какая окружность называется описанной около многоугольникаоткуда Какая окружность называется описанной около многоугольника

Какая окружность называется описанной около многоугольника

Пример:

Пусть Какая окружность называется описанной около многоугольника(см. рис. 148). Найдем Какая окружность называется описанной около многоугольникаПо обобщенной теореме Пифагора Какая окружность называется описанной около многоугольникаотсюда Какая окружность называется описанной около многоугольника
Ответ: Какая окружность называется описанной около многоугольника= 39.

Формула Эйлера для окружностей

Для вписанной и описанной окружностей треугольника с радиусами Какая окружность называется описанной около многоугольникаи расстоянием d между их центрами (рис. 149) справедлива формула Эйлера

Какая окружность называется описанной около многоугольника

Какая окружность называется описанной около многоугольника

Проверим справедливость этой формулы на примере равнобедренного треугольника АВС, у которого АВ = ВС = 10, АС = 12 (рис. 150).

Какая окружность называется описанной около многоугольника

Вначале найдем расстояние между центрами указанных окружностей традиционным способом.

Проведем высоту ВН, длина которой будет равна 8 (пифагорова тройка 6, 8, 10). Центры описанной и вписанной окружностей — соответственно точки Какая окружность называется описанной около многоугольника, и Какая окружность называется описанной около многоугольника— лежат на прямой ВН (свойство равнобедренного треугольника). ТогдаКакая окружность называется описанной около многоугольника— расстояние между указанными центрами. Для нахождения радиуса описанной окружности воспользуемся формулой Какая окружность называется описанной около многоугольникагде b — боковая сторона, Какая окружность называется описанной около многоугольника— высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника. Получим Какая окружность называется описанной около многоугольникаРадиус вписанной окружности Какая окружность называется описанной около многоугольникаТак как Какая окружность называется описанной около многоугольникато Какая окружность называется описанной около многоугольникаИскомое расстояние Какая окружность называется описанной около многоугольника
А теперь найдем d по формуле Эйлера: Какая окружность называется описанной около многоугольника

Какая окружность называется описанной около многоугольникаоткуда Какая окружность называется описанной около многоугольникаКак видим, формула Эйлера достаточно эффективна.

Запомнить:

  1. Центр описанной окружности треугольника (многоугольника) лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.
  2. Центр вписанной окружности треугольника (многоугольника) лежит в точке пересечения биссектрис его углов.
  3. Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы, а ее радиус равен половине гипотенузы: Какая окружность называется описанной около многоугольника
  4. Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника находится по формуле Какая окружность называется описанной около многоугольника
  5. Если четырехугольник вписан в окружность, то суммы его противополож­ных углов равны 180°. И обратно.
  6. Если четырехугольник описан около окружности, то суммы его противопо­ложных сторон равны между собой. И обратно.
  7. Площадь треугольника и описанного многоугольника можно найти по формуле Какая окружность называется описанной около многоугольникагде Какая окружность называется описанной около многоугольника— полупериметр, Какая окружность называется описанной около многоугольника— радиус вписанной окружности.

Справочная информация по описанной и вписанной окружности треугольника

Определение. Окружность называют описанной около треугольника, если она проходит через все вершины этого треугольника.

Какая окружность называется описанной около многоугольника

На рисунке 298 изображена окружность, описанная около треугольника. В этом случае также говорят, что треугольник вписан в окружность. Очевидно, что центр описанной окружности треугольника равноудален от всех его вершин. На рисунке 298 точка Какая окружность называется описанной около многоугольника— центр окружности, описанной около треугольника Какая окружность называется описанной около многоугольника, поэтому Какая окружность называется описанной около многоугольника.

Теорема 21.1. Вокруг любого треугольника можно описать окружность.

Доказательство: Для доказательства достаточно показать, что для любого треугольника Какая окружность называется описанной около многоугольникасуществует точка Какая окружность называется описанной около многоугольника, равноудаленная от всех его вершин. Тогда точка Какая окружность называется описанной около многоугольникабудет центром описанной окружности, а отрезки Какая окружность называется описанной около многоугольника, Какая окружность называется описанной около многоугольникаи Какая окружность называется описанной около многоугольника— ее радиусами.

Какая окружность называется описанной около многоугольника

На рисунке 299 изображен произвольный треугольник Какая окружность называется описанной около многоугольника. Проведем серединные перпендикуляры Какая окружность называется описанной около многоугольникаи Какая окружность называется описанной около многоугольникасторон Какая окружность называется описанной около многоугольникаи Какая окружность называется описанной около многоугольникасоответственно. Пусть точка Какая окружность называется описанной около многоугольника— точка пересечения этих прямых. Поскольку точка Какая окружность называется описанной около многоугольникапринадлежит серединному перпендикуляру Какая окружность называется описанной около многоугольника, то Какая окружность называется описанной около многоугольника. Так как точка Какая окружность называется описанной около многоугольникапринадлежит серединному перпендикуляру Какая окружность называется описанной около многоугольника, то Какая окружность называется описанной около многоугольника. Значит, Какая окружность называется описанной около многоугольникаКакая окружность называется описанной около многоугольника, т. е. точка Какая окружность называется описанной около многоугольникаравноудалена от всех вершин треугольника.

Заметим, что вокруг треугольника можно описать только одну окружность. Это следует из того, что серединные перпендикуляры Какая окружность называется описанной около многоугольникаи Какая окружность называется описанной около многоугольника(рис. 299) имеют только одну точку пересечения. Следовательно, существует только одна точка, равноудаленная от всех вершин треугольника.

Следствие 1. Три серединных перпендикуляра сторон треугольника пересекаются в одной точке.

Следствие 2. Центр описанной окружности треугольника — это точка пересечения серединных перпендикуляров его сторон.

Определение. Окружность называют вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

Какая окружность называется описанной около многоугольника

На рисунке 300 изображена окружность, вписанная в треугольник. В этом случае также говорят, что треугольник описан около окружности.

Точка Какая окружность называется описанной около многоугольника(рис. 300) — центр вписанной окружности треугольника Какая окружность называется описанной около многоугольника, отрезки Какая окружность называется описанной около многоугольника, Какая окружность называется описанной около многоугольника, Какая окружность называется описанной около многоугольника— радиусы, проведенные в точки касания, Какая окружность называется описанной около многоугольника. Понятно, что центр вписанной окружности треугольника равноудален от всех его сторон.

Теорема 21.2. В любой треугольник можно вписать окружность.

Доказательство: Для доказательства достаточно показать, что для любого треугольника Какая окружность называется описанной около многоугольникасуществует точка Какая окружность называется описанной около многоугольника, удаленная от каждой его стороны на некоторое расстояние г. Тогда в силу следствия из теоремы 20.4 точка Какая окружность называется описанной около многоугольникабудет центром окружности радиуса г, которая касается сторон Какая окружность называется описанной около многоугольника.

Какая окружность называется описанной около многоугольника

На рисунке 301 изображен произвольный треугольник Какая окружность называется описанной около многоугольника. Проведем биссектрисы углов Какая окружность называется описанной около многоугольникаи Какая окружность называется описанной около многоугольника, Какая окружность называется описанной около многоугольника— точка их пересечения. Так как точка Какая окружность называется описанной около многоугольникапринадлежит биссектрисе угла Какая окружность называется описанной около многоугольника, то она равноудалена от сторон Какая окружность называется описанной около многоугольникаи Какая окружность называется описанной около многоугольника(теорема 19.2). Аналогично, так как точка Какая окружность называется описанной около многоугольникапринадлежит биссектрисе угла Какая окружность называется описанной около многоугольника, то она равноудалена от сторон Какая окружность называется описанной около многоугольникаи Какая окружность называется описанной около многоугольника. Следовательно, точка Какая окружность называется описанной около многоугольникаравноудалена от всех сторон треугольника.

Заметим, что в треугольник можно вписать только одну окружность. Это следует из того, что биссектрисы углов Какая окружность называется описанной около многоугольникаи Какая окружность называется описанной около многоугольника(рис. 301) пересекаются только в одной точке. Следовательно, существует только одна точка, равноудаленная от сторон треугольника.

Следствие 1. Биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке.

Следствие 2. Центр вписанной окружности треугольника — это точка пересечения его биссектрис.

Докажите, что радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, определяется по формуле Какая окружность называется описанной около многоугольника, где Какая окружность называется описанной около многоугольника— радиус вписанной окружности, Какая окружность называется описанной около многоугольникаи Какая окружность называется описанной около многоугольника— катеты, Какая окружность называется описанной около многоугольника— гипотенуза.

Какая окружность называется описанной около многоугольника

Решение:

В треугольнике Какая окружность называется описанной около многоугольника(рис. 302) Какая окружность называется описанной около многоугольника, Какая окружность называется описанной около многоугольника, Какая окружность называется описанной около многоугольника, Какая окружность называется описанной около многоугольника, точка Какая окружность называется описанной около многоугольника— центр вписанной окружности, Какая окружность называется описанной около многоугольника, Какая окружность называется описанной около многоугольникаи Какая окружность называется описанной около многоугольника— точки касания вписанной окружности со сторонами Какая окружность называется описанной около многоугольника, Какая окружность называется описанной около многоугольникаи Какая окружность называется описанной около многоугольникасоответственно.

Отрезок Какая окружность называется описанной около многоугольника— радиус окружности, проведенный в точку касания. Тогда Какая окружность называется описанной около многоугольника.

Так как точка Какая окружность называется описанной около многоугольника— центр вписанной окружности, то Какая окружность называется описанной около многоугольника— биссектриса угла Какая окружность называется описанной около многоугольникаи Какая окружность называется описанной около многоугольника. Тогда Какая окружность называется описанной около многоугольника— равнобедренный прямоугольный, Какая окружность называется описанной около многоугольника. Используя свойство отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки, получаем:

Какая окружность называется описанной около многоугольника

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Плоские и пространственные фигуры
  • Взаимное расположение точек и прямых
  • Сравнение и измерение отрезков и углов
  • Первый признак равенства треугольников
  • Треугольники и окружность
  • Площадь треугольника
  • Соотношения между сторонами и углами произвольного треугольника
  • Окружность и круг

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

📺 Видео

Вписанные и описанные многоугольникиСкачать

Вписанные и описанные многоугольники

Окружность, вписанная в правильный многоугольник | Геометрия 7-9 класс #106 | ИнфоурокСкачать

Окружность, вписанная в правильный многоугольник | Геометрия 7-9 класс #106 | Инфоурок

Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.Скачать

Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.

9 класс, 23 урок, Окружность, вписанная в правильный многоугольникСкачать

9 класс, 23 урок, Окружность, вписанная в правильный многоугольник

Площадь описанного многоугольникаСкачать

Площадь описанного многоугольника

Описанная окружностьСкачать

Описанная окружность

8 класс, 39 урок, Описанная окружностьСкачать

8 класс, 39 урок, Описанная окружность

Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.
Поделиться или сохранить к себе: