Отбор корней с помощью числовой окружности егэ 12 задание

В этой статье и постараюсь объяснить 2 способа отбора корней в тригонометрическом уравнение: с помощью неравенств и с помощью тригонометрической окружности. Перейдем сразу к наглядному примеру и походу дела будем разбираться.

а) Решить уравнение sqrt(2)cos^2x=sin(Pi/2+x)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-7Pi/2; -2Pi]

Решим пункт а.

Воспользуемся формулой приведения для синуса sin(Pi/2+x) = cos(x)

sqrt(2)cos^2x — cosx = 0

cosx(sqrt(2)cosx — 1) = 0

x1 = Pi/2 + Pin, n ∈ Z

sqrt(2)cosx — 1 = 0

x2 = arccos(sqrt(2)/2) + 2Pin, n ∈ Z
x3 = -arccos(sqrt(2)/2) + 2Pin, n ∈ Z

x2 = Pi/4 + 2Pin, n ∈ Z
x3 = -Pi/4 + 2Pin, n ∈ Z

Решим пункт б.

1) Отбор корней с помощью неравенств

Здесь все делается просто, полученные корни подставляем в заданный нам промежуток [-7Pi/2; -2Pi], находим целые значения для n.

-7Pi/2 меньше или равно Pi/2 + Pin меньше или равно -2Pi

Сразу делим все на Pi

-7/2 меньше или равно 1/2 + n меньше или равно -2

-7/2 — 1/2 меньше или равно n меньше или равно -2 — 1/2

-4 меньше или равно n меньше или равно -5/2

Целые n в этом промежутку это -4 и -3. Значит корни принадлежащие этому промежутку буду Pi/2 + Pi(-4) = -7Pi/2, Pi/2 + Pi(-3) = -5Pi/2

Аналогично делаем еще два неравенства

-7Pi/2 меньше или равно Pi/4 + 2Pin меньше или равно -2Pi
-15/8 меньше или равно n меньше или равно -9/8

Целых n в этом промежутке нет

-7Pi/2 меньше или равно -Pi/4 + 2Pin меньше или равно -2Pi
-13/8 меньше или равно n меньше или равно -7/8

Одно целое n в этом промежутку это -1. Значит отобранный корень на этом промежутку -Pi/4 + 2Pi*(-1) = -9Pi/4.

Значит ответ в пункте б: -7Pi/2, -5Pi/2, -9Pi/4

2) Отбор корней с помощью тригонометрической окружности

Чтобы пользоваться этим способом надо понимать как работает эта окружность. Постараюсь простым языком объяснить как это понимаю я. Думаю в школах на уроках алгебры эта тема объяснялась много раз умными словами учителя, в учебниках сложные формулировки. Лично я понимаю это как окружность, которую можно обходить бесконечное число раз, объясняется это тем, что функции синус и косинус периодичны.

Обойдем раз против часовой стрелки

Обойдем 2 раза против часовой стрелки

Обойдем 1 раз по часовой стрелки (значения будут отрицательные)

Вернемся к нашем вопросу, нам надо отобрать корни на промежутке [-7Pi/2; -2Pi]

Чтобы попасть к числам -7Pi/2 и -2Pi надо обойти окружность против часовой стрелки два раза. Для того, чтобы найти корни уравнения на этом промежутке надо прикидывать и подставлять.

Рассмотри x = Pi/2 + Pin. Какой приблизительно должен быть n, чтобы значение x было где-то в этом промежутке? Подставляем, допустим -2, получаем Pi/2 — 2Pi = -3Pi/2, очевидно это не входит в наш промежуток, значит берем меньше -3, Pi/2 — 3Pi = -5Pi/2, это подходит, попробуем еще -4, Pi/2 — 4Pi = -7Pi/2, также подходит.

Рассуждая аналогично для Pi/4 + 2Pin и -Pi/4 + 2Pin, находим еще один корень -9Pi/4.

Сравнение двух методов.

Первый способ (с помощью неравенств) гораздо надежнее и намного проще для пониманию, но если действительно серьезно разобраться с тригонометрической окружностью и со вторым методом отбора, то отбор корней будет гораздо быстрее, можно сэкономить около 15 минут на экзамене.

Видео:3,5 способа отбора корней в тригонометрии | ЕГЭ по математике | Эйджей из ВебиумаСкачать

Отбор корней тригонометрических уравнений с помощью числовой окружности

Классы: 10 , 11

Презентация к уроку

Тип урока: Урок повторения, обобщения и систематизации изученного материала.

Цель урока:

• образовательная: закрепить умение выполнять отбор корней тригонометрического уравнения на числовой окружности; стимулировать учащихся к овладению рациональными приёмами и методами решения тригонометрических уравнений;
• развивающая: развивать логическое мышление, умение выделять главное, проводить обобщение, делать верные логические выводы;
• воспитательная: воспитание таких качеств характера как настойчивость в достижении цели, умение не растеряться в проблемной ситуации.

Оборудование: мультимедийный проектор, компьютер.

Видео:Отбор корней с аркфункциями в №12 | Это будет на ЕГЭ 2023 по математикеСкачать

Ход урока

I. Организационный момент.

Проверка готовности к уроку, приветствие.

II. Постановка цели.

Французский писатель Анатоль Франс однажды сказал: «…Чтобы переварить знания, надо поглощать их с аппетитом.» Так давайте сегодня последуем этому мудрому совету и будем поглощать знания с большим желанием, ведь они пригодятся вам в ближайшее время на ЕГЭ.

Сегодня на уроке мы продолжим отрабатывать навыки отбора корней в тригонометрических уравнениях с помощью числовой окружности. Окружность удобно использовать как при отборе корней на промежутке, длина которого не превышает 2π, так и в случае, когда значения обратных тригонометрических функций не являются табличными. При выполнении заданий будем применять не только изученные методы и способы, но и нестандартные подходы.

III. Актуализация опорных знаний.

1. Решите уравнение: (Слайд 3-5)

a) cosx = 0
б) cosx = 1
в) cosx = — 1
г) sinx = 1
д) sinx = 0
е) sinx = — 1
ж) tgx = 1
з) tgx = 0

2. Заполните пропуски: (Слайд 6)

3. Покажите на числовой окружности следующие отрезки (Слайд 7) [- 7π/2; -2π], [-π; π/2], [π; 3π], [2π; 7π/2], [-2π; -π/2], [-3π/2; -π/2], [-3π; -2π],[3π; 9π/2], [-4π; -5π/2].

4. Применяя теорему Виета и её следствия, найдите корни уравнений: (Слайд 8)

t 2 -2t-3=0; 2t 2 -3t-3=0; t 2 +4t-5=0; 2t 2 +t-1=0; 3t 2 +7t=4=0; 2t 2 -3t+1=0

IV. Выполнение упражнений.

Многообразие методов преобразований тригонометрических выражений подталкивает нас к выбору более рационального из них.

1. Решите уравнения: (Один ученик решает на доске. Остальные участвуют в выборе рационального метода решения и записывают в тетрадь. Учитель следит за верностью рассуждений учащихся.)

1) 2sin 3 x-2sinx+cos 2 x=0. Укажите корни, принадлежащие отрезку [-7π/2; — 2π].

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку [-7π/2; -2π]

2) sin 2 x-2sinx∙cosx-3cos 2 x=0. Укажите корни, принадлежащие отрезку [-π; π/2].

a) Разделим обе части уравнения на cos 2 x=0. Получим:

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку [-π; π/2]

3) 2sin 2 x-3cosx-3=0. Укажите корни, принадлежащие отрезку [π; 3π].

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку [π; 3π]

4) 1/cos2x +4tgx — 6=0 .Укажите корни, принадлежащие отрезку [2π;7π/2] .

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку [; 7π/2]

5) 1/cos 2 x + 1/sin(x – π/2) = 2. Укажите корни, принадлежащие отрезку [-2π; -π/2].

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку [-2 π; -π/2]

2. Работа в парах: (Двое учащихся работают на боковых досках, остальные в тетрадях. Затем задания проверяются и анализируются.)

Учитывая, что tgx≠1 и tgx>0, отберём корни с помощью числовой окружности. Получим:

6соs2x-14 cos 2 x — 7sin2x = 0. Укажите корни, принадлежащие отрезку [-3π/2; — π/2].

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку [-3π/2; -π/2]

3. Самостоятельная работа. (После выполнения работы учащиеся обмениваются тетрадями и проверяют работу своего одноклассника, исправляя ошибки ( если таковы есть ) ручкой с красной пастой.)

1) 2cos 2 x+(2-√2)sinx+√2-2=0. Укажите корни, принадлежащие отрезку [-3π; -2π].

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку [-3π; -2π].

2) cos(3π/2-2x)=√2sinx. Укажите корни, принадлежащие отрезку [3π; 9π/2]

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку [3π; 9π/2].

3)1/tg 2 x – 3/sinx+3=0. Укажите корни, принадлежащие отрезку [-4π; -5π/2]

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку [-4π;-5π/2].

V. Подведение итогов урока.

Отбор корней в тригонометрических уравнениях требует хороших знаний формул, умений применять их на практике, требует внимания и сообразительности.

VI. Стадия рефлексии.

На этапе рефлексии учащимся предлагается составить синквейн и в поэтической форме

выразить своё отношение к изучаемому материалу.

Окружность.
Числовая, тригонометрическая.
Изучим, поймем, заинтересуемся.
Присутствует в ЕГЭ.
Реальность.

VII. Домашнее заданиe.

1. Решите уравнения:

1. cos6x-cos3x=0. Укажите корни, принадлежащие отрезку [0; 2π] .
2. сos4x-sin2x=0. Укажите корни, принадлежащие отрезку [2; 4 π] .
3. (6sin2x+13sinx+5)∙=0.
4. |cosx|-cosx=2sinx.

2. Практическое задание.

Составьте по два тригонометрических уравнения, содержащих формулы двойного аргумента.

VIII. Литература.

ЕГЭ-2013: Математика: самое полное издание типовых вариантов заданий/ авт.-сост. И.В. Ященко, И.Р. Высоцкий; под ред. А.Л. Семёнова, И.В. Ященко – М.:АСТ: Астрель, 2013.

Видео:Задание №13. Как отбирать корни в тригонометрической окружности? 🤔Скачать

Задание №12. Уравнения — профильный ЕГЭ по математике

Задание 12 Профильного ЕГЭ по математике – это решение уравнений. Чаще всего, конечно, это тригонометрические уравнения. Но встречаются и другие типы – показательные, логарифмические, комбинированные.

Сейчас задание 12 Профильного ЕГЭ на решение уравнения состоят из двух пунктов: собственно решения и отбора корней на определенном отрезке.

Что нужно знать, чтобы справиться с этой задачей на ЕГЭ? Вот необходимые темы для повторения.

Что необходимо помнить при решении уравнений?

1) Помним про область допустимых значений уравнения! Если в уравнении есть дроби, корни, логарифмы или арксинусы с арккосинусами — сразу записываем ОДЗ. А найдя корни, проверяем, входят они в эту область или нет. Есть в уравнении есть — помним, что он существует, только если

2) Стараемся записывать решение в виде цепочки равносильных переходов.

3) Если есть возможность сделать замену переменной — делаем замену переменной! Уравнение сразу станет проще.

4) Если еще не выучили формулы тригонометрии — пора это сделать! Много формул не нужно. Самое главное — тригонометрический круг, формулы синусов и косинусов двойных углов, синусов и косинусов суммы (разности), понижения степени. Формулы приведения не надо зубрить наизусть! Надо знать, как они получаются.

5) Как отбирать решения с помощью тригонометрического круга? Вспомним, что крайняя правая точка тригонометрического круга соответствует числам Дальше всё просто. Смотрим, какая из точек этого типа попадает в указанный в условии промежуток. И к ней прибавляем (или вычитаем) нужные значения.

Например, вы нашли серию решений , где — целое, а найти надо корни на отрезке На указанном промежутке лежит точка . От нее и будем отсчитывать. Получим:

6) Получив ответ, проверьте его правильность. Просто подставьте найденные решения в исходное уравнение!

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Упростим левую часть по формуле приведения.

Вынесем за скобки. Произведение двух (или нескольких) множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

б) Отметим на тригонометрическом круге найденные серии решений и отрезок

Видим, что указанному отрезку принадлежат решения

Как отбирать решения с помощью тригонометрического круга? Вспомним, что крайняя правая точка тригонометрического круга соответствует числам Дальше всё просто. Смотрим, какая из точек этого типа попадает в указанный в условии промежуток. И к ней прибавляем (или вычитаем) нужные значения.

Например, вы нашли серию решений , где — целое, а найти надо корни на отрезке На указанном промежутке лежит точка От нее и отсчитываем.

2. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Это уравнение — комбинированное. Кроме тригонометрии, применяем свойства степеней.

Степени равны, их основания равны. Значит, равны и показатели.

Это ответ в пункте (а).

б) Отберем корни, принадлежащие отрезку

Отметим на тригонометрическом круге отрезок и найденные серии решений.

Видим, что указанному отрезку принадлежат точки и из серии

Точки серии не входят в указанный отрезок.

А из серии в указанный отрезок входит точка

Ответ в пункте (б):

3. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Применим формулу косинуса двойного угла:

Перенесем всё в левую часть уравнения и разложим по формуле разности квадратов.

Обратите внимание: мы отметили серии решений на тригонометрическом круге. Это помогло нам увидеть, как их записать одной формулой.

б) Для разнообразия отберем корни на отрезке с помощью двойного неравенства.

Какой способ отбора корней лучше — с помощью тригонометрического круга или с помощью двойного неравенства? У каждого из них есть «плюсы» и «минусы».

Пользуясь тригонометрическим кругом, вы не ошибетесь. Вы видите и интервал, и сами серии решений. Это наглядный способ.

Зато, если интервал больше, чем один круг, удобнее отбирать корни с помощью двойного неравенства. Например, надо найти корни из серии на отрезке Это больше 10 кругов! Конечно, в таком случае лучше решить двойное неравенство.

4. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Самое сложное здесь — область допустимых значений (ОДЗ). Условие заметно сразу. А условие появляется, поскольку в уравнении есть

Уравнение равносильно системе:

Отберем решения с помощью тригонометрического круга. Нам нужны те серии решений, для которых , то есть те, что соответствуют точкам справа от оси .

Ответ в пункте а)

б) Отметим на тригонометрическом круге найденные серии решений и отрезок

Как обычно, ориентируемся на начало круга. Видим, что указанному промежутку принадлежат точки

5. а) Решите уравнение

б) Найдите корни, принадлежащие отрезку

Выражение под корнем должно быть неотрицательно, а произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

Это значит, что уравнение равносильно системе:

Решим эту систему с помощью тригонометрического круга. Отметим на нем углы, для которых или . Заметим, что среди них находятся и углы, для которых

Числа серии не могут быть корнями исходного уравнения, т.к. для этих чисел не выполнено условие . Остальные серии решений нас устраивают.

Тогда в ответ в пункте (а) войдут серии решений:

б) Отберем корни, принадлежащие отрезку любым способом — с помощью тригонометрического круга или с помощью двойного неравенства.

🎥 Видео

Как решить пункт б) в задании 13 профиля ЕГЭ. ТригонометрияСкачать

Три способа отбора корней в задании 13 ЕГЭ профильСкачать

3 СПОСОБА ОТБОРА КОРНЕЙ В ЗАДАНИИ #12 (по окружности, неравенством и подбором)Скачать

Отбор корней по окружностиСкачать

Тригонометрические уравнения. ЕГЭ № 12 | Математика | TutorOnline tutor onlineСкачать

Тригонометрические уравнения. Задание 12 | Профильная математика ЕГЭ 2023 | УмскулСкачать

Отбор корней по окружностиСкачать

Выборка с помощью окружностиСкачать

Щелчок по математике I №5,6,12 Тригонометрия с нуля и до ЕГЭ за 4 часаСкачать

Профильный ЕГЭ 2024. Задача 12. Тригонометрические уравнения. 10 классСкачать

ЕГЭ-ПРОФИЛЬ. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ. ЗАДАНИЕ-12Скачать

Профильный ЕГЭ 2023 математика. Задача 12. Тригонометрия, логарифмы, степени. Зимняя школаСкачать

3 СПОСОБА ОТБОРА КОРНЕЙ ИЗ ПРОМЕЖУТКА ✨ Задание 12 из ЕГЭ ✨ #егэ #тригонометрия #математикаСкачать

Отбор корней методом окружности | Профильная математика ЕГЭ - 2023Скачать

Задание №13 (бывшее №12) с 0 и до уровня ЕГЭ за 7 часов | Математика ЕГЭ - УравненияСкачать

КОГДА ПИСАТЬ +Пк, а когда +2Пк? (Задание 13 по Тригонометрии ЕГЭ 2024 по Математике Профиль)Скачать

Отбор корней с невычисляемыми тангенсами в тригонометрическом уравнении. Задание 12 ЕГЭ профильСкачать