Точка м лежит на стороне вс выпуклого четырехугольника авсд причем в и с вершины равнобедренных

Точка м лежит на стороне вс выпуклого четырехугольника авсд причем в и с вершины равнобедренных

БАЗА ЗАДАНИЙ

Задание № 16. Планиметрия с доказательством.

1. Прямая, проходящая через вершину B прямоугольника ABCD перпендикулярно диагонали AC, пересекает сторону AD в точке M, равноудалённой от вершин B и D.
а) Докажите, что ∠ABM =∠DBС = 30°.
б) Найдите расстояние от центра прямоугольника до прямой CM, если BC = 9.

Точка м лежит на стороне вс выпуклого четырехугольника авсд причем в и с вершины равнобедренных

2. К окружности, вписанной в квадрат ABCD, проведена касательная, пересекающая стороны AB и AD в точках M и N соответственно.
а) Докажите, что периметр треугольника AMN равен стороне квадрата.
б) Прямая MN пересекает прямую CD в точке P. В каком отношении делит сторону BC прямая, проходящая через точку P и центр окружности, если AM : MB = 1 : 3?
Ответ: б) 1:3

3. Диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекаются в точке P, причём BC=CD.
а) Докажите, что AB:BC = AP:PD.
б) Найдите площадь треугольника COD, где O— центр окружности, вписанной в треугольник ABD, если дополнительно известно, что BD — диаметр описанной около четырёхугольника ABCD окружности, AB = 6, а BC = 6√2.
Ответ: б) 18√3

4. В треугольнике ABC точки A 1 , B 1 , C 1 — середины сторон BC, AC и A B соответственно, AH— высота, ∠BAC = 60°, ∠BCA = 45°.
а) Докажите, что точки A1, B1, C1, H— лежат на одной окружности.
б) Найдите A1 H, если BC = 2√3.

5. Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P. Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках K и M соответственно.
а) Докажите, что прямые KM и BC параллельны.
б) Пусть L— точка пересечения отрезков KM и AP. Найдите AL, если радиус большей окружности равен 10, а BC = 16.
Ответ: б) √10

6. Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая окружность проходит через центр O большей. Диаметр BC большей окружности вторично пересекает меньшую окружность в точке M, отличной от A. Лучи AO и AM вторично пересекают большую окружность в точках P и Q соответственно. Точка C лежит на дуге AQ большей окружности, не содержащей точку P.
а) Докажите, что прямые PQ и BC параллельны.
б) Известно, что sin ∠AOC=√15/4. Прямые PC и AQ пересекаются в точке K. Найдите отношение QK:KA.
Ответ: б) 1:4

7. Две окружности касаются внутренним образом в точке K, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда MN большей окружности касается меньшей в точке C. Хорды KM и KN пересекают меньшую окружность в точках A и B соответственно, а отрезки KC и AB пересекаются в точке L.
а) Докажите, что CN:CM = LB:LA.
б) Найдите MN, если LB:LA = 2:3, а радиус малой окружности равен √23.
Ответ: б) 115/6

8. Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. На катете AC взята точка M. Окружность с центром O и диаметром CM касается гипотенузы в точке N.
а) Докажите, что прямые MN и BO параллельны.
б) Найдите площадь четырёхугольника BOMN, если CN = 4 и AM:MC = 1:3.

9. Точка B лежит на отрезке AC. Прямая, проходящая через точку A, касается окружности с диаметром BC в точке M и второй раз пересекает окружность с диаметром AB в точке K. Продолжение отрезка MB пересекает окружность с диаметром AB в точке D.
а) Докажите, что прямые AD и MC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника DBC, если AK = 3 и MK = 12.

10. Точка M лежит на стороне BC выпуклого четырёхугольника ABCD, причём B и C — вершины равнобедренных треугольников с основаниями AM и DM соответственно, а прямые AM и MD перпендикулярны.
а) Докажите, что биссектрисы углов при вершинах B и C четырёхугольника ABCD пересекаются на стороне AD.
б) Пусть N— точка пересечения этих биссектрис. Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если известно, что BM:MC=1:3, а площадь четырёхугольника, стороны которого лежат на прямых AM, DM, BN и CN, равна 18.

11. В равнобедренном тупоугольном треугольнике ABC на продолжение боковой стороны BC опущена высота AH. Из точки H на сторону AB и основание AC опущены перпендикуляры HK и HM соответственно.
а) Докажите, что отрезки AM и MK равны.
б) Найдите MK, если AB = 5, AC = 8.
Ответ: б) 2,88

12. Точка O — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC, I — центр вписанной в него окружности, H — точка пересечения высот. Известно, что ∠BAC =OBC+OCB.
а) Докажите, что точка H лежит на окружности, описанной около треугольника BOC.
б) Найдите угол OHI, если ∠ABC = 55°.

13. Точки P, Q, W делят стороны выпуклого четырёхугольника ABCD в отношении AP:PB = CQ:QB = CW:WD = 3:4, радиус окружности, описанной около треугольника PQW, равен 10, PQ = 16, QW = 12, угол PWQ— острый.
а) Докажите, что треугольник PQW— прямоугольный.
б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD.

14. Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках C 1 , B 1 соответственно.
а) Докажите, что треугольник АВC подобен треугольнику AB 1 C 1 .
б) Вычислите длину стороны ВС и радиус данной окружности, если ∠ А = 45°, B 1 C 1 =6 и площадь треугольника AB 1 C 1 в восемь раз меньше площади четырёхугольника BCB 1 C 1 .

Точка м лежит на стороне вс выпуклого четырехугольника авсд причем в и с вершины равнобедренных

15. Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Диагональ BD разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями AD и CD.
а) Докажите, что луч AC— биссектриса угла BAD.
б) Найдите CD, если известны диагонали трапеции: AC = 15 и BD = 8,5.

16. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С точки М и N – середины катетов АС и ВС соответственно, СН – высота.
а) Докажите, что прямые MH и NH перпендикулярны
б) Пусть Р – точка пересечения прямых АС и NH, а Q – точка пересечения прямых ВС и MH. Найдите площадь треугольника PQM, если АН = 12 и ВН = 3.

17. В треугольнике АВС угол АВС равен 60°. Окружность, вписанная в треугольник, касается стороны AC в точке M.
а) Докажите, что отрезок BM не больше утроенного радиуса вписанной в треугольник окружности.
б) Найдите sin ∠BMC если известно, что отрезок ВМ в 2,5 раза больше радиуса вписанной в треугольник окружности.
Ответ: б) 0,65

18. В треугольнике АВС проведены высоты АК и СМ. На них из точек М и К опущены перпендикуляры МЕ и КН соответственно.
а) Докажите, что прямые ЕН и АС параллельны.
б) Найдите отношение ЕН:АС, если угол АВС равен 30.
Ответ: б) 3:4

19. Окружность, вписанная в треугольник KLM, касается сторон KL, LM, MK в точках A, B и C соответственно.
а) Докажите, что KC = (KL+KM-LM)/2 .

б) Найдите отношение LB:BM, если известно, что KC:CM = 3:2 и ∠ MKL = 60.
Ответ: б) 5:2

20. Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Окружность с центром O, построенная на боковой стороне AB как на диаметре, касается боковой стороны CD и второй раз пересекает большее основание AD в точке H, точка Q — середина CD.
а) Докажите, что четырёхугольник DQOH — параллелограмм.
б) Найдите AD, если ∠BAD = 75° и BC =1.
Ответ: б) 3

21. Квадрат ABCD вписан в окружность. Хорда CE пересекает его диагональ BD в точке K.
а) Докажите, что CK*CE = AB*CD.
б) Найдите отношение CK к KE, если ∠ ECD = 15.
Ответ: б) 2:1

22. В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N – середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса ∠ BAC пересекает прямую MN в точке L
а) Докажите, что треугольники AML и BLC подобны.
б) Найдите отношение площадей этих треугольников, если cos ∠BAC = 7/25.
Ответ: б) 25:36

23. Окружность касается стороны AC остроугольного треугольника ABC и делит каждую из сторон AB и BC на три равные части.
а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
б) Найдите, в каком отношении высота этого треугольника делит сторону BC.
Ответ: б) 5:4

24. На катетах AC и BC прямоугольного треугольника ABC как на диаметрах построены окружности, второй раз пересекающиеся в точке M. Точка Q лежит на меньшей дуге MB окружности с диаметром BC. Прямая CQ второй раз пересекает окружность с диаметром AC в точке P.
а) Докажите, что прямые PM и QM перпендикулярны.
б) Найдите PQ, если AM = 1, BM = 3, а Q – середина дуги MB.

25. Окружность, построенная на медиане BM равнобедренного треугольника ABC как на диаметре, второй раз пересекает основание BC в точке K.
а) Докажите, что отрезок BK втрое больше отрезка CK.
б) Пусть указанная окружность пересекает сторону AB в точке N. Найдите AB, если BK = 24 и BN = 23.

Точка м лежит на стороне вс выпуклого четырехугольника авсд причем в и с вершины равнобедренных

26. В прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом при вершине A расположены две окружности. Одна из них касается боковых сторон и большего основания AD, вторая – боковых сторон, меньшего основания BC и первой окружности.
а) Прямая, проходящая через центр окружностей, пересекает основание AD в точке P. Докажите, что AP/PD = sin ∠D.
б) Найдите площадь трапеции, если радиусы окружностей равны 3 и 1.

Точка м лежит на стороне вс выпуклого четырехугольника авсд причем в и с вершины равнобедренных

27. В трапецию ABCD с основаниями AD и BC вписана окружность с центром O.
а) Докажите, что sin ∠AOD = sin ∠ BOS.
б) Найдите площадь трапеции, если ∠ BAD = 90, а основания равны 5 и 7.

28. Дана трапеция с диагоналями равными 8 и 15. Сумма оснований равна 17.
а) Докажите, что диагонали перпендикулярны.
б) Найдите площадь трапеции.

Видео:№783. Точка М лежит на стороне ВС параллелограмма ABCD, причем ВМ:МС=3:1. ВыразитеСкачать

№783. Точка М лежит на стороне ВС параллелограмма ABCD, причем ВМ:МС=3:1. Выразите

Задача 12101 Точка M лежит на стороне BC выпуклого.

Условие

Точка м лежит на стороне вс выпуклого четырехугольника авсд причем в и с вершины равнобедренных

Точка M лежит на стороне BC выпуклого четырёхугольника ABCD, причём B и C — вершины равнобедренных треугольников с основаниями AM и DM соответственно, а прямые AM и MD перпендикулярны.

а) Докажите, что биссектрисы углов при вершинах B и C четырёхугольника ABCD пересекаются на стороне AD.

б) Пусть N — точка пересечения этих биссектрис. Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если известно, что BM:MC=1:3, а площадь четырёхугольника, стороны которого лежат на прямых AM, DM, BN и CN, равна 18.

Решение

Точка м лежит на стороне вс выпуклого четырехугольника авсд причем в и с вершины равнобедренных

Пусть Т- середина АМ. Треугольник АМВ — равнобедренный, значит ВТ- высота, медиана и биссектриса.
DM⊥AM
BT||MD.
BT проходит через середину АМ, значит и через середину AD.
Аналогично, треугольник DCM — равнобедренный.
CP-высота, медиана и биссектриса.
CР || AM, продолжение CP-средняя линия треугольника
АМD и потому проходит через середину AD
Биссектрисы углов В и С четырехугольника АВСD пересекаются на стороне AD.

NPMT- прямоугольник.
S(NPMT)=18

Так как ВМ:МС=1:3, то BT:NT=1:3 и MT:PC=1:3

S(ΔABM)=BT*AM/2=BT*TM=(NT/3)*TM=S(NPTM)/3=18/3=6
S(ΔDCM)=DM*CP/2=DM*PM=
=NT*(3MT)=3S(NPTM)=3*18=54

S(ABCD)=S(ΔDMA)+S(ΔAMB)+S(ΔDMC)=36+6+54=96
О т в е т. S(ABCD)=96 Точка м лежит на стороне вс выпуклого четырехугольника авсд причем в и с вершины равнобедренных

Видео:№555. Точки М, N и Р лежат соответственно на сторонах АВ, ВС и СА треугольника ABC, причем MN||AC,Скачать

№555. Точки М, N и Р лежат соответственно на сторонах АВ, ВС и СА треугольника ABC, причем MN||AC,

Точка м лежит на стороне вс выпуклого четырехугольника авсд причем в и с вершины равнобедренных

Точка M лежит на стороне BC выпуклого четырёхугольника ABCD, причём B и C — вершины равнобедренных треугольников с основаниями AM и DM соответственно, а прямые AM и MD перпендикулярны.

а) Докажите, что биссектрисы углов при вершинах B и C четырёхугольника ABCD, пересекаются на стороне AD.

б) Пусть N — точка пересечения этих биссектрис. Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если известно, что BM : MC = 3 : 4, а площадь четырёхугольника, стороны которого лежат на прямых AM, DM, BN и CN, равна 24.

а) Пусть K — середина отрезка AM. Треугольник AMB равнобедренный, поэтому отрезок BK является в нём медианой, биссектрисой и высотой. Поскольку прямые DM и AM перпендикулярны, прямая KB|| MD и содержит среднюю линию треугольника AMD, то есть проходит через середину стороны AD. Аналогично, биссектриса угла MCD тоже проходит через середину стороны AD. Следовательно, биссектрисы углов B и C четырёхугольника ABCD пересекаются на стороне AD.

б) Пусть прямые AM и BN пересекаются в точке K, а прямые DM и CN — в точке L. Тогда четырёхугольник KMLN — прямоугольник.

Точка м лежит на стороне вс выпуклого четырехугольника авсд причем в и с вершины равнобедренных

Аналогично, Точка м лежит на стороне вс выпуклого четырехугольника авсд причем в и с вершины равнобедренных

Точка м лежит на стороне вс выпуклого четырехугольника авсд причем в и с вершины равнобедренных

Точка м лежит на стороне вс выпуклого четырехугольника авсд причем в и с вершины равнобедренных

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

💥 Видео

ОГЭ. Геометрия. Из открытого банка заданий ОГЭ (ФИПИ). Медианы №1Скачать

ОГЭ.  Геометрия.  Из открытого банка заданий ОГЭ (ФИПИ).  Медианы №1

№29. В трапеции ABCD основание ВС равно 12 см. Точка М не лежит в плоскостиСкачать

№29. В трапеции ABCD основание ВС равно 12 см. Точка М не лежит в плоскости

№785. Точки М и N — середины диагоналей АС и BD четырехугольника ABCD.Скачать

№785. Точки М и N — середины диагоналей АС и BD четырехугольника ABCD.

Все типы 24 задание 2 часть ОГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ 2023 УмскулСкачать

Все типы 24 задание 2 часть ОГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ 2023 Умскул

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика

9 класс. Геометрия.Скачать

9 класс. Геометрия.

ОГЭ Задание 25 Две окружностиСкачать

ОГЭ Задание 25 Две окружности

№346. Точки М и N — середины оснований АВ и CD трапеции ABCD, а О — произвольнаяСкачать

№346. Точки М и N — середины оснований АВ и CD трапеции ABCD, а О — произвольная

№27. Точка С лежит на отрезке АВ, причем АВ:ВС = 4:3. Отрезок CDСкачать

№27. Точка С лежит на отрезке АВ, причем АВ:ВС = 4:3. Отрезок CD

8 класс, 3 урок, ЧетырехугольникСкачать

8 класс, 3 урок, Четырехугольник

Геометрия Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 8 и 30 отСкачать

Геометрия Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 8 и 30 от

№54. Точка В не лежит в плоскости треугольника ADC, точки М, N и Р — середины отрезков ВА, ВССкачать

№54. Точка В не лежит в плоскости треугольника ADC, точки М, N и Р — середины отрезков ВА, ВС

№369. Найдите углы A, B и C выпуклого четырехугольника ABCD, еслиСкачать

№369. Найдите углы A, B и C выпуклого четырехугольника ABCD, если

ОГЭ 2024 Ященко 3 вариант ФИПИ школе полный разбор!Скачать

ОГЭ 2024 Ященко 3 вариант ФИПИ школе полный разбор!

ОГЭ без рекламы 2021 математика вариант 19 задача 25Скачать

ОГЭ без рекламы 2021 математика вариант 19 задача 25

🔴 В параллелограмме ABCD отмечена точка M ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 15 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

🔴 В параллелограмме ABCD отмечена точка M ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 15 | ШКОЛА ПИФАГОРА

№377. В параллелограмме MNPQ проведен перпендикуляр NH к прямой MQ, причем точкаСкачать

№377. В параллелограмме MNPQ проведен перпендикуляр NH к прямой MQ, причем точка

№24. Точка М не лежит в плоскости трапеции ABCD с основанием AD.Скачать

№24. Точка М не лежит в плоскости трапеции ABCD с основанием AD.
Поделиться или сохранить к себе: