Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми (6 видео)

51. Планиметрия Читать 0 мин.

Содержание

51.65. Углы и параллельные прямые
Углы и расстояния в пространстве — определение и вычисление с примерами решения
Угол между двумя прямыми в пространстве
Угол между прямой и плоскостью в пространстве
Угол между двумя плоскостями, пространства
Пример №1
Расстояния в пространстве
Пример №2
Пример №3
Пример №4
Углы, образованные параллельными прямыми
Просмотр содержимого документа «Углы, образованные параллельными прямыми»
📹 Видео

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

51.65. Углы и параллельные прямые

Взаимное расположение прямых:

Прямые пересекаются, у них есть одна общая точка.
Прямые не пересекаются, у них нет общих точек. Такие прямые называются параллельными.

При пересечении двух прямых образуются вертикальные и смежные углы.

Вертикальные углы — равны.

Сумма смежных углов равна 180°.

Параллельные прямые

Прямые называются параллельными, если они не пересекаются, сколько бы их не продолжать.

О параллельных прямых:

Если одна из пары параллельных прямых параллельна третьей прямой, то все прямые параллельны между собой.
На плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.
Если две прямые на плоскости перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны.

При пересечении двух параллельных прямых секущей образуются следующие углы:

внутренние накрест лежащие (4 и 5, 3 и 6) — попарно равны;
внешние накрест лежащие (1 и 8, 2 и 7) — попарно равны;
соответственные (1 и 5, 2 и 6, 3 и 7, 4 и 8) — попарно равны;
внутренние односторонние (3 и 5, 4 и 6) — сумма таких углов равна 180°;
внешние односторонние (1 и 7, 2 и 8) — сумма таких углов равна 180°.

Часто для использования свойств углов, полученных при пересечении двух параллельных прямых секущей, необходимо применять дополнительные построения.

Пример: Даны углы с попарно параллельными сторонами. Что можно сказать об углах 1 и 2? Что можно сказать об углах 3 и 4?

Продолжим стороны углов до пересечения:

Получаем, что углы 1 и 2 равны, т. к. являются накрест лежащими при параллельных прямых.

Сумма углов 3 и 4 равна 180°, т. к. они являются односторонними при параллельных прямых.

Теорема Фалеса: При пересечении сторон угла параллельными прямыми стороны угла делятся на пропорциональные отрезки (образуются подобные треугольники).

Видео:7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать

Углы и расстояния в пространстве — определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

В планиметрии угол — это геометрическая фигура, образованная двумя лучами, которые выходят из одной точки — вершины угла (лучи — стороны угла). Такое определение понятия угла переносится и в стереометрию. Углы в пространстве рассматриваются между двумя прямыми, прямой и плоскостью, двумя плоскостями. Опишем и определим каждый из этих случаев.

Видео:УГЛЫ ПРИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ И СЕКУЩЕЙСкачать

Угол между двумя прямыми в пространстве

Две прямые, лежащие в одной плоскости, при пересечении образуют смежные и вертикальные углы. В модуле 1 мы повторили все свойства таких углов (вертикальные углы равны, а смежные — дополняют друг друга до 180°). В пространстве (аналогично планиметрии) также сохраняются все названия и понятия об углах и их величинах. Меньший из углов, образованных двумя пересекающимися прямыми, называют углом между прямыми. Угол между перпендикулярными прямыми равен 90°. Считают, что параллельные прямые также образуют угол, равный 0°. В стереометрии рассматривают угол между скрещивающимися прямыми. Пусть даны скрещивающиеся прямые

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между прямыми, которые пересекаются и соответственно параллельны скрещивающимся. — угол между скрещивающимися прямыми и (рис. 6.1). Он не зависит от выбора пересекающихся прямых, поскольку параллельное перенесение сохраняет равенство соответствующих углов с параллельными сторонами. Например, если то углом между прямыми и будет угол между прямыми и , где (рис. 6.1,6).

Итак,
Если , то . Однако о перпендикулярности скрещивающихся прямых не говорят, поскольку выдерживается определение понятия перпендикулярных прямых.

Угол между прямой и плоскостью в пространстве

Об угле наклона прямой к плоскости говорят в том случае, когда прямая пересекает эту плоскость. Чтобы построить, например, угол между прямой и плоскостью , последовательно выполняют такие шаги (рис. 6.2):

выбирают точку прямой ;
проводят из точки перпендикуляр к плоскости ;
проводят через точки плоскости и прямую .

Прямую называют проекцией прямой на плоскость а.
Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость. Если прямая перпендикулярна , то угол между ней и плоскостью равен 90°, если параллельна, то — 0°.
Угол между прямой и плоскостью обозначают или или . Читают: «угол между прямой и плоскостью ».

Угол между двумя плоскостями, пространства

Прямая на плоскости разбивает ее на две полуплоскости. Две полуплоскости могут иметь общую прямую и не образовывать одну плоскость. В этом случае они образуют фигуру, которую называют двугранным углом.

Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями вместе с общей прямой, их ограничивающей. Эту прямую называют ребром двугранного угла.

Если двугранный угол пересечь плоскостью, перпендикулярной его ребру, то лучи, по которым она пересекает заданные
полуплоскости, образуют линейный угол, например (рис. 6.3). Величиной двугранного угла называется величина его линейного угла.

Пересекающиеся плоскости образуют четыре угла. Чтобы определить угол между двумя плоскостями, проводят плоскость, перпендикулярную прямой их пересечения. Она пересекает данные плоскости по двум прямым. Угол между этими прямыми называется углом между данными плоскостями. Т.е. угол между двумя пересекающимися плоскостями — это угол между двумя прямыми, которые принадлежат этим плоскостям и перпендикулярны прямой их пересечения.
(рис. 6.3).

Если линейный угол — 90°, то плоскости перпендикулярны. Если плоскости параллельны, то угол между ними равен 0°.

Теорема 1

Угол между плоскостями не зависит от места построения линейного угла.

Выберем точки и (рис. 6.4), принадлежащие прямой — линии пересечения плоскостей и , — и построим два линейных угла для плоскостей и . Для этого проведем плоскости и , которые пересекут плоскости и по прямым и , и . Прямые и лежат в плоскости и перпендикулярны прямой , значит и . Если к плоскости применить параллельный перенос, который переводит точку в точку , то прямая совпадет с прямой , а прямая — с прямой . Это возможно, поскольку прямые параллельны. А потому плоскости и совпадают, отсюда совпадение линейных углов и соответственно их равенство. Теорема доказана.

Пример №1

Концы отрезка длиной 24 см принадлежат двум перпендикулярным плоскостям. Расстояния от концов отрезка до линии пересечения данных плоскостей равны 12 см и см. Найдите углы, образованные отрезком с этими плоскостями.

Дано: — отрезок,
Найти: углы, образованные отрезком с плоскостями и .

и — проекции точек и на плоскости и соответственно. Поскольку , (или ) — прямая пересечения этих плоскостей, то , .
Итак, и — прямоугольные, у которых: (по условию).
Из
Из
Ответ. 30°; 45°.

Почему именно так?

В этой задаче важно построить проекции концов отрезка на другую, перпендикулярную ей, плоскость. При этом следует помнить, что они должны лежать на прямой пересечения данных перпендикулярных плоскостей, согласно свойствам перпендикулярных плоскостей. Далее, рассматривая прямоугольные треугольники, нужно правильно использовать определение синуса угла как отношения противолежащего катета к гипотенузе и таблицу значений:

Расстояния в пространстве

Одним из ключевых понятий геометрии является длина отрезка. Через него вводится много других понятий, связанных с понятием расстояния. Как известно, расстоянием между двумя точками и называется длина отрезка (рис. 6.14). Расстояние от точки до прямой равно длине перпендикуляра , проведенного из этой точки на данную прямую (рис. 6.15). Поскольку все другие отрезки с концами в точке и произвольной точке прямой, отличной от , — наклонные, то их длина больше длины перпендикуляра. Поэтому говорят, что расстояние от точки до прямой — это длина наименьшего из всех возможных отрезков, проведенных из этой точки к прямой. Такой отрезок является перпендикуляром к прямой. Опираясь на такие рассуждения, определим понятие расстояния между некоторыми другими фигурами в пространстве.

Рассмотрим плоскость и точку , не принадлежащую ей (рис. 6.16). Понятно, что за расстояние от точки до плоскости следует выбрать длину перпендикуляра , проведенного из этой точки к плоскости, поскольку все другие отрезки , где — произвольная точка плоскости, отличная от , будут наклонными и поэтому их длина больше чем .

Итак, расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, проведенного из этой точки к плоскости.

Если точка принадлежит плоскости, то в этом случае расстояние от нее до плоскости равно нулю.

Расстояние от точки до отрезка (рис. 6.17) определяется по такому алгоритму: 1) проводим перпендикуляр из точки к прямой ; 2) если основание этого перпендикуляра принадлежит данному отрезку , то искомое расстояние равно длине отрезка (рис. 6.17, а); в другом случае оно равно длине отрезка или (в зависимости от того, какая из точек — или — лежит ближе к точке ) (рис. 6.17, б). Аналогично определяется расстояние от точки до луча.

Расстояние между двумя параллельными прямыми равно длине общего перпендикуляра этих прямых (рис. 6.18). Это вытекает из того, что все такие перпендикуляры равны между собой, а каждый отрезок с концами и на данных прямых, не являющийся их общим перпендикуляром, имеет длину, большую чем длина общего перпендикуляра .

Теорема 2 (о расстоянии между параллельными прямой и плоскостью)

Расстояние между параллельными прямой и плоскостью равно длине общего перпендикуляра, проведенного из произвольной точки прямой к плоскости.

Данная теорема доказывается рассуждениями, аналогичными приведенным выше, о расстоянии между параллельными прямыми.

Теорема 3 (о расстоянии между параллельными плоскостями)

Расстояние между параллельными плоскостями равно длине общего перпендикуляра, проведенного из произвольной точки одной плоскости ко второй.

Пусть имеем две параллельные плоскости и (рис. 6.19). Поскольку прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных плоскостей, перпендикулярна
и второй, то перпендикуляр , проведенный из произвольной точки одной из этих плоскостей ко второй, будет перпендикуляром и к первой, т.е. их общим перпендикуляром. Поскольку любые два попарно взятых общих перпендикуляра , и параллельных плоскостей и параллельны, то они равны между собой как отрезки параллельных прямых между параллельными плоскостями. Для полного доказательства теоремы остается показать, что любой отрезок с концами в данных плоскостях и , не являющийся их общим перпендикуляром, больше общего перпендикуляра .

А это вытекает из того, что перпендикуляр , к плоскости меньше наклонной к этой плоскости. Теорема доказана.

Понятие расстояния между точками широко применяется в разнообразных сферах жизни человека — от науки до быта и досуга. Используется оно в тех случаях, когда размерами реальных объектов, расстояние между которыми вычисляется, в данных условиях можно пренебречь. Так мы говорим о расстоянии между звездами, планетами, передатчиками и принима-телями информации, населенными пунктами, ядрами атома и электронами на его орбите и т.п.

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Сначала рассмотрим определение перпендикуляра, проведенного к двум скрещивающимся прямым, и докажем его существование и единственность.

Общим перпендикуляром к двум скрещивающимся прямым называется отрезок с концами на этих прямых, перпендикулярный каждой из них.

Теорема 4

Две скрещивающиеся прямые имеют общий перпендикуляр, и притом только один. Он является общим перпендикуляром к параллельным плоскостям, проходящим через эти прямые.

Действительно, пусть и — данные скрещивающиеся прямые (рис. 6.20). Проведем прямые и , соответственно параллельные и , так, что прямая пересекается с прямой , а прямая . Через прямые и и и которые попарно пересекаются, проводим плоскости и .
Плоскости и — параллельные. Произвольные прямые , которые пересекают прямую и перпендикулярны плоскости , лежат в одной плоскости. Назовем ее . Эта плоскость пересекает плоскость по прямой , параллельной . Пусть точка — точка пересечения прямых , и некой прямой , а точка — точка пересечения той же прямой и . Тогда прямая , перпендикулярная плоскости , перпендикулярна и плоскости , поскольку . Отсюда вытекает, что и .

Отрезок — общий перпендикуляр к плоскостям и , а следовательно, и к прямым и . Докажем, что он единственный. Пусть прямые и имеют другой общий перпендикуляр . Проведем через точку прямую , параллельную . Прямая перпендикулярна прямой , а следовательно, и .

Поскольку она перпендикулярна прямым и, которые проходят через точку , то она перпендикулярна плоскости . Тогда параллельна прямой . Имеем, что через прямые и , как через параллельные прямые, можно провести плоскость и она будет содержать скрещивающиеся прямые и . А это невозможно. Получили противоречие. Теорема доказана.

Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра.

Пример №2

Отрезок перпендикулярен плоскости треугольника , стороны , и которого соответственно равны 13 см, 14 см и 15 см. Найдите расстояние от точки до стороны , если .

Пусть — высота данного остроугольного треугольника (рис. 6.21). Тогда, по теореме о трех перпендикулярах, и длина будет расстоянием от точки до стороны . Определим ее из прямоугольного треугольника (поскольку ), то ). Для этого предварительно найдем .

Из формулы для площади треугольника .
Необходимую площадь определим по формуле Герона:
Тогда и.

Пример №3

Прямая перпендикулярна плоскости ромба, диагонали которого пересекаются в точке . Докажите, что расстояния от точки до всех сторон ромба равны между собой.

Пусть — ромб и — точка пересечения его диагоналей (рис. 6.22). Тогда — центр вписанной в ромб окружности. Пусть — точки касания сторон к окружности. Тогда . Поскольку , то по теореме о трех перпендикулярах . Итак, — расстояния от точки до сторон ромба. Из равенства треугольников вытекает, что . Ч.т.д.

Пример №4

Точка не лежит в плоскости прямоугольного треугольника и находится на расстояниях и от прямых, содержащих катеты и (рис. 6.23). — перпендикуляр к плоскости этого треугольника. Докажите, что четырехугольник -прямоугольник.

Поскольку отрезки и — расстояния от точки соответственно до прямых и , то и . По условию , поэтому и — проекции наклонных и на плоскость и (по теореме о трех перпендикулярах). Однако по условию, поэтому — прямоугольник. Ч.т.д.

Рекомендую подробно изучить предметы:

Геометрия
Аналитическая геометрия
Начертательная геометрия

Ещё лекции с примерами решения и объяснением:

Подобие треугольников
Решение прямоугольных треугольников
Параллелограмм
Теорема синусов и теорема косинусов
Квадрат и его свойства
Трапеция и ее свойства
Площадь трапеции
Центральные и вписанные углы

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Углы, образованные параллельными прямыми и секущейСкачать

Углы, образованные параллельными прямыми

Презентация — подробное и наглядное изложение темы » Углы, образованные параллельными прямыми». В ней рассматриваются понятие обратной теоремы, метода от противного, теорем о свойствах углов, образованных параллельными прямыми и секущей, приведены задачи для закрепления рассматриваемой темы.

Просмотр содержимого документа
«Углы, образованные параллельными прямыми»

Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

Геометрия, Глава III, 7 класс

К учебнику Л.С.Атанасяна

Автор: Софронова Наталия Андреевна,

учитель математики высшей категории

МОУ «Упшинская основная общеобразовательная школа»

Оршанского района Республики Марий Эл

Теорема, обратная данной

Теорема: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны .

Теорема: Если треугольник – равнобедрен-ный, то в нём углы при основании равны .

Условие теоремы (Дано): треугольник — равнобедренный

Заключение теоремы (Доказать): углы при основании равны

Условие теоремы : углы при основании равны

Заключение теоремы : треугольник — равнобедренный

Если в треугольнике два угла

Теорема, обратная данной

Всегда ли обратное утверждение верно?

Если сумма двух углов равна 180 0 , то углы — смежные

Сумма смежных углов

то они — вертикальные

Вертикальные углы равны

Если в треугольнике биссектриса, проведенная к одной из его сторон, является и медианой, проведенной к этой стороне, то этот треугольник -равнобедренный

В равнобедренном треугольнике, биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой

Если в треугольнике биссектриса, проведенная к одной из его сторон, является и высотой, проведенной к этой стороне, то этот треугольник -равнобедренный

Е сли треугольник — равнобедренный, то биссектриса, проведенная к основанию , является и медианой и высотой