Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми

51. Планиметрия Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымиЧитать 0 мин.

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

51.65. Углы и параллельные прямые

Взаимное расположение прямых:

  • Прямые пересекаются, у них есть одна общая точка.
  • Прямые не пересекаются, у них нет общих точек. Такие прямые называются параллельными.

При пересечении двух прямых образуются вертикальные и смежные углы.

Вертикальные углы — равны.

Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми

Сумма смежных углов равна 180°.

Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми

Параллельные прямые

Прямые называются параллельными, если они не пересекаются, сколько бы их не продолжать.

О параллельных прямых:

  • Если одна из пары параллельных прямых параллельна третьей прямой, то все прямые параллельны между собой.
  • На плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.
  • Если две прямые на плоскости перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны.

При пересечении двух параллельных прямых секущей образуются следующие углы:

  • внутренние накрест лежащие (4 и 5, 3 и 6) — попарно равны;
  • внешние накрест лежащие (1 и 8, 2 и 7) — попарно равны;
  • соответственные (1 и 5, 2 и 6, 3 и 7, 4 и 8) — попарно равны;
  • внутренние односторонние (3 и 5, 4 и 6) — сумма таких углов равна 180°;
  • внешние односторонние (1 и 7, 2 и 8) — сумма таких углов равна 180°.

Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми

Часто для использования свойств углов, полученных при пересечении двух параллельных прямых секущей, необходимо применять дополнительные построения.

Пример: Даны углы с попарно параллельными сторонами. Что можно сказать об углах 1 и 2? Что можно сказать об углах 3 и 4?

Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми

Продолжим стороны углов до пересечения:

Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми

Получаем, что углы 1 и 2 равны, т. к. являются накрест лежащими при параллельных прямых.

Сумма углов 3 и 4 равна 180°, т. к. они являются односторонними при параллельных прямых.

Теорема Фалеса: При пересечении сторон угла параллельными прямыми стороны угла делятся на пропорциональные отрезки (образуются подобные треугольники).

Видео:7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать

7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

Углы и расстояния в пространстве — определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

В планиметрии угол — это геометрическая фигура, образованная двумя лучами, которые выходят из одной точки — вершины угла (лучи — стороны угла). Такое определение понятия угла переносится и в стереометрию. Углы в пространстве рассматриваются между двумя прямыми, прямой и плоскостью, двумя плоскостями. Опишем и определим каждый из этих случаев.

Видео:УГЛЫ ПРИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ И СЕКУЩЕЙСкачать

УГЛЫ ПРИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ И СЕКУЩЕЙ

Угол между двумя прямыми в пространстве

Две прямые, лежащие в одной плоскости, при пересечении образуют смежные и вертикальные углы. В модуле 1 мы повторили все свойства таких углов (вертикальные углы равны, а смежные — дополняют друг друга до 180°). В пространстве (аналогично планиметрии) также сохраняются все названия и понятия об углах и их величинах. Меньший из углов, образованных двумя пересекающимися прямыми, называют углом между прямыми. Угол между перпендикулярными прямыми равен 90°. Считают, что параллельные прямые также образуют угол, равный 0°. В стереометрии рассматривают угол между скрещивающимися прямыми. Пусть даны скрещивающиеся прямые Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми

Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между прямыми, которые пересекаются и соответственно параллельны скрещивающимся. Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми— угол между скрещивающимися прямыми Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымии Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми(рис. 6.1). Он не зависит от выбора пересекающихся прямых, поскольку параллельное перенесение сохраняет равенство соответствующих углов с параллельными сторонами. Например, если Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымито углом между прямыми Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымии Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымибудет угол между прямыми Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымии Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми, где Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми(рис. 6.1,6).

Итак,Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми
Если Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми, то Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми. Однако о перпендикулярности скрещивающихся прямых не говорят, поскольку выдерживается определение понятия перпендикулярных прямых.

Угол между прямой и плоскостью в пространстве

Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми

Об угле наклона прямой к плоскости говорят в том случае, когда прямая пересекает эту плоскость. Чтобы построить, например, угол между прямой Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымии плоскостью Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымиУглы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми, последовательно выполняют такие шаги (рис. 6.2):

  1. выбирают точку Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымипрямой Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымиУглы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми;
  2. проводят из точки Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымиперпендикуляр к плоскости Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымиУглы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымиУглы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми;
  3. проводят через точки плоскости Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымии Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымипрямую Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми.

Прямую Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыминазывают проекцией прямой Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымина плоскость Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымиа.
Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость. Если прямая Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымиперпендикулярна Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми, то угол между ней и плоскостью равен 90°, если параллельна, то — 0°.
Угол между прямой Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымии плоскостью Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымиобозначают Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымиили Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымиили Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми. Читают: «угол между прямой Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымии плоскостью Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми».

Угол между двумя плоскостями, пространства

Прямая на плоскости разбивает ее на две полуплоскости. Две полуплоскости могут иметь общую прямую и не образовывать одну плоскость. В этом случае они образуют фигуру, которую называют двугранным углом.

Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями вместе с общей прямой, их ограничивающей. Эту прямую называют ребром двугранного угла.

Если двугранный угол пересечь плоскостью, перпендикулярной его ребру, то лучи, по которым она пересекает заданные
полуплоскости, образуют линейный угол, например Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми(рис. 6.3). Величиной двугранного угла называется величина его линейного угла.

Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми

Пересекающиеся плоскости образуют четыре угла. Чтобы определить угол между двумя плоскостями, проводят плоскость, перпендикулярную прямой их пересечения. Она пересекает данные плоскости по двум прямым. Угол между этими прямыми называется углом между данными плоскостями. Т.е. угол между двумя пересекающимися плоскостями — это угол между двумя прямыми, которые принадлежат этим плоскостям и перпендикулярны прямой их пересечения.
Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми(рис. 6.3).

Если линейный угол — 90°, то плоскости перпендикулярны. Если плоскости параллельны, то угол между ними равен 0°.

Теорема 1

Угол между плоскостями не зависит от места построения линейного угла.

Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми

Выберем точки Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымии Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми(рис. 6.4), принадлежащие прямой Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми— линии пересечения плоскостей Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымии Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми, — и построим два линейных угла для плоскостей Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымии Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми. Для этого проведем плоскости Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымии Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми, которые пересекут плоскости Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымии Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымипо прямым Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымии Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми, Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымии Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми. Прямые Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымии Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымилежат в плоскости Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымии перпендикулярны прямой Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми, значит Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымии Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми. Если к плоскости Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымиприменить параллельный перенос, который переводит точку Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымив точку Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми, то прямая Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымисовпадет с прямой Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми, а прямая Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми— с прямой Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми. Это возможно, поскольку прямые параллельны. А потому плоскости Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымии Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымисовпадают, отсюда совпадение линейных углов и соответственно их равенство. Теорема доказана.

Пример №1

Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми

Концы отрезка длиной 24 см принадлежат двум перпендикулярным плоскостям. Расстояния от концов отрезка до линии пересечения данных плоскостей равны 12 см и Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымисм. Найдите углы, образованные отрезком с этими плоскостями.

Дано: Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми— отрезок,Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымиУглы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми
Найти: углы, образованные отрезком Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымис плоскостями Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымии Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми.

Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымии Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми— проекции точек Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымии Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымина плоскости Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымии Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымисоответственно. Поскольку Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми, Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми(или Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми) — прямая пересечения этих плоскостей, то Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми, Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми.
Итак, Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымии Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми— прямоугольные, у которых: Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми(по условию).
Из Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымиУглы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымиУглы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми
Из Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымиУглы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми
Ответ. 30°; 45°.

Почему именно так?

В этой задаче важно построить проекции концов отрезка на другую, перпендикулярную ей, плоскость. При этом следует помнить, что они должны лежать на прямой пересечения данных перпендикулярных плоскостей, согласно свойствам перпендикулярных плоскостей. Далее, рассматривая прямоугольные треугольники, нужно правильно использовать определение синуса угла как отношения противолежащего катета к гипотенузе и таблицу значений: Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми

Расстояния в пространстве

Одним из ключевых понятий геометрии является длина отрезка. Через него вводится много других понятий, связанных с понятием расстояния. Как известно, расстоянием между двумя точками Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми и Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыминазывается длина отрезка Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми(рис. 6.14). Расстояние от точки Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымидо прямой Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымиравно длине перпендикуляра Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми, проведенного из этой точки на данную прямую (рис. 6.15). Поскольку все другие отрезки Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымис концами в точке Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымии произвольной точке Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымипрямой, отличной от Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми, — наклонные, то их длина больше длины перпендикуляра. Поэтому говорят, что расстояние от точки до прямой — это длина наименьшего из всех возможных отрезков, проведенных из этой точки к прямой. Такой отрезок является перпендикуляром к прямой. Опираясь на такие рассуждения, определим понятие расстояния между некоторыми другими фигурами в пространстве.

Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми

Рассмотрим плоскость Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымии точку Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми, не принадлежащую ей (рис. 6.16). Понятно, что за расстояние от точки Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымидо плоскости Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымиследует выбрать длину перпендикуляра Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми, проведенного из этой точки к плоскости, поскольку все другие отрезки Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми, где Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми— произвольная точка плоскости, отличная от Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми, будут наклонными и поэтому их длина больше чем Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми.

Итак, расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, проведенного из этой точки к плоскости.

Если точка принадлежит плоскости, то в этом случае расстояние от нее до плоскости равно нулю.

Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми

Расстояние от точки Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми до отрезка Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми(рис. 6.17) определяется по такому алгоритму: 1) проводим перпендикуляр Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымииз точки Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымик прямой Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми; 2) если основание Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымиэтого перпендикуляра принадлежит данному отрезку Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми, то искомое расстояние равно длине отрезка Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми(рис. 6.17, а); в другом случае оно равно длине отрезка Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымиили Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми(в зависимости от того, какая из точек — Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымиили Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми— лежит ближе к точке Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми) (рис. 6.17, б). Аналогично определяется расстояние от точки до луча.

Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми

Расстояние между двумя параллельными прямыми равно длине общего перпендикуляра этих прямых (рис. 6.18). Это вытекает из того, что все такие перпендикуляры Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымиравны между собой, а каждый отрезок с концами Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымии Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымина данных прямых, не являющийся их общим перпендикуляром, имеет длину, большую чем длина общего перпендикуляра Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми.

Теорема 2 (о расстоянии между параллельными прямой и плоскостью)

Расстояние между параллельными прямой и плоскостью равно длине общего перпендикуляра, проведенного из произвольной точки прямой к плоскости.

Данная теорема доказывается рассуждениями, аналогичными приведенным выше, о расстоянии между параллельными прямыми.

Теорема 3 (о расстоянии между параллельными плоскостями)

Расстояние между параллельными плоскостями равно длине общего перпендикуляра, проведенного из произвольной точки одной плоскости ко второй.

Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми

Пусть имеем две параллельные плоскости Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымии Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми(рис. 6.19). Поскольку прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных плоскостей, перпендикулярна
и второй, то перпендикуляр Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми, проведенный из произвольной точки Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымиодной из этих плоскостей ко второй, будет перпендикуляром и к первой, т.е. их общим перпендикуляром. Поскольку любые два попарно взятых общих перпендикуляра Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми, Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымии Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымипараллельных плоскостей Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымии Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымипараллельны, то они равны между собой как отрезки параллельных прямых между параллельными плоскостями. Для полного доказательства теоремы остается показать, что любой отрезок Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымис концами в данных плоскостях Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымии Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми, не являющийся их общим перпендикуляром, больше общего перпендикуляра Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми.

А это вытекает из того, что перпендикуляр Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми, к плоскости Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымименьше наклонной Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымик этой плоскости. Теорема доказана.

Понятие расстояния между точками широко применяется в разнообразных сферах жизни человека — от науки до быта и досуга. Используется оно в тех случаях, когда размерами реальных объектов, расстояние между которыми вычисляется, в данных условиях можно пренебречь. Так мы говорим о расстоянии между звездами, планетами, передатчиками и принима-телями информации, населенными пунктами, ядрами атома и электронами на его орбите и т.п.

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Сначала рассмотрим определение перпендикуляра, проведенного к двум скрещивающимся прямым, и докажем его существование и единственность.

Общим перпендикуляром к двум скрещивающимся прямым называется отрезок с концами на этих прямых, перпендикулярный каждой из них.

Теорема 4

Две скрещивающиеся прямые имеют общий перпендикуляр, и притом только один. Он является общим перпендикуляром к параллельным плоскостям, проходящим через эти прямые.

Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми

Действительно, пусть Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымии Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми— данные скрещивающиеся прямые (рис. 6.20). Проведем прямые Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымии Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми, соответственно параллельные Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымии Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми, так, что прямая Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымипересекается с прямой Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми, а прямая Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми. Через прямые Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымии Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымии Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымии Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымикоторые попарно пересекаются, проводим плоскости Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымии Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми.
Плоскости Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымии Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми— параллельные. Произвольные прямые Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми, которые пересекают прямую Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымии перпендикулярны плоскости Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми, лежат в одной плоскости. Назовем ее Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми. Эта плоскость пересекает плоскость Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымипо прямой Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми, параллельной Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми. Пусть точка Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми— точка пересечения прямых Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми, Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымии некой прямой Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми, а точка Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми— точка пересечения той же прямой Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымии Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми. Тогда прямая Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми, перпендикулярная плоскости Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми, перпендикулярна и плоскости Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми, поскольку Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми. Отсюда вытекает, что Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымии Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми.

Отрезок Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми— общий перпендикуляр к плоскостям Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымии Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми, а следовательно, и к прямым Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымии Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми. Докажем, что он единственный. Пусть прямые Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымии Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымиимеют другой общий перпендикуляр Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми. Проведем через точку Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымипрямую Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми, параллельную Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми. Прямая Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымиперпендикулярна прямой Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми, а следовательно, и Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми.

Поскольку она перпендикулярна прямым Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымииУглы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми, которые проходят через точку Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми, то она перпендикулярна плоскости Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми. Тогда Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымипараллельна прямой Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми. Имеем, что через прямые Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымии Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми, как через параллельные прямые, можно провести плоскость и она будет содержать скрещивающиеся прямые Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымии Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми. А это невозможно. Получили противоречие. Теорема доказана.

Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра.

Пример №2

Отрезок Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымиперпендикулярен плоскости треугольника Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми, стороны Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми, Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымии Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымикоторого соответственно равны 13 см, 14 см и 15 см. Найдите расстояние от точки Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымидо стороны Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми, если Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми.

Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми

Пусть Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми— высота данного остроугольного треугольника Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми(рис. 6.21). Тогда, по теореме о трех перпендикулярах, Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымии длина Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымибудет расстоянием от точки Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымидо стороны Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми. Определим ее из прямоугольного треугольника Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми(поскольку Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми), то Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми). Для этого предварительно найдем Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми.

Из формулы для площади треугольника Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми.
Необходимую площадь определим по формуле Герона: Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми
Тогда Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымииУглы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми.

Пример №3

Прямая Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымиперпендикулярна плоскости ромба, диагонали которого пересекаются в точке Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми. Докажите, что расстояния от точки Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымидо всех сторон ромба равны между собой.

Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми

Пусть Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми— ромб и Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми— точка пересечения его диагоналей (рис. 6.22). Тогда Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми— центр вписанной в ромб окружности. Пусть Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми— точки касания сторон к окружности. Тогда Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми. Поскольку Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымиУглы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми, то по теореме о трех перпендикулярах Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми. Итак, Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми— расстояния от точки Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымидо сторон ромба. Из равенства треугольников Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымивытекает, что Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми. Ч.т.д.

Пример №4

Точка Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымине лежит в плоскости прямоугольного треугольника Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымии находится на расстояниях Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымии Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымиот прямых, содержащих катеты Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымии Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми(рис. 6.23). Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми— перпендикуляр к плоскости этого треугольника. Докажите, что четырехугольник Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми-прямоугольник.

Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми

Поскольку отрезки Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымии Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми— расстояния от точки Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымисоответственно до прямых Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымии Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми, то Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымии Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми. По условию Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми, поэтому Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымии Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми— проекции наклонных Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымии Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымина плоскость Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымии Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми(по теореме о трех перпендикулярах). Однако Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямымипо условию, поэтому Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми— прямоугольник. Ч.т.д.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Подобие треугольников
  • Решение прямоугольных треугольников
  • Параллелограмм
  • Теорема синусов и теорема косинусов
  • Квадрат и его свойства
  • Трапеция и ее свойства
  • Площадь трапеции
  • Центральные и вписанные углы

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Углы, образованные параллельными прямыми и секущейСкачать

Углы, образованные параллельными прямыми и секущей

Углы, образованные параллельными прямыми

Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми

Презентация — подробное и наглядное изложение темы » Углы, образованные параллельными прямыми». В ней рассматриваются понятие обратной теоремы, метода от противного, теорем о свойствах углов, образованных параллельными прямыми и секущей, приведены задачи для закрепления рассматриваемой темы.

Просмотр содержимого документа
«Углы, образованные параллельными прямыми»

Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми

Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

Геометрия, Глава III, 7 класс

К учебнику Л.С.Атанасяна

Автор: Софронова Наталия Андреевна,

учитель математики высшей категории

МОУ «Упшинская основная общеобразовательная школа»

Оршанского района Республики Марий Эл

Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми

Теорема, обратная данной

Теорема: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны .

Теорема: Если треугольник – равнобедрен-ный, то в нём углы при основании равны .

Условие теоремы (Дано): треугольник — равнобедренный

Заключение теоремы (Доказать): углы при основании равны

Условие теоремы : углы при основании равны

Заключение теоремы : треугольник — равнобедренный

Если в треугольнике два угла

Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми

Теорема, обратная данной

Всегда ли обратное утверждение верно?

Если сумма двух углов равна 180 0 , то углы — смежные

Сумма смежных углов

то они — вертикальные

Вертикальные углы равны

Если в треугольнике биссектриса, проведенная к одной из его сторон, является и медианой, проведенной к этой стороне, то этот треугольник -равнобедренный

В равнобедренном треугольнике, биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой

Если в треугольнике биссектриса, проведенная к одной из его сторон, является и высотой, проведенной к этой стороне, то этот треугольник -равнобедренный

Е сли треугольник — равнобедренный, то биссектриса, проведенная к основанию , является и медианой и высотой

Углы в параллельных плоскостях образованные параллельными прямыми

Углы, образованные двумя параллельными прямыми и секущей

Всегда ли обратное утверждение верно?

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны

Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны то прямые параллельны .

Но это противоречит аксиоме параллельных , значит наше допущение неверно

📹 Видео

Пары углов в геометрииСкачать

Пары углов в геометрии

7 класс, 30 урок, Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонамиСкачать

7 класс, 30 урок, Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонами

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)

№203. Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых а и b секущей сСкачать

№203. Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых а и b секущей с

Параллельные прямые — Признак Параллельности Прямых и Свойства УгловСкачать

Параллельные прямые — Признак Параллельности Прямых и Свойства Углов

Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей. Решение задач.Скачать

Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей. Решение задач.

29. Теорема об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать

29. Теорема об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

Угол между прямыми в пространстве. 10 класс.Скачать

Угол между прямыми в пространстве. 10 класс.

Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.

Параллельные прямые (задачи).Скачать

Параллельные прямые (задачи).

Углы при параллельных и секущей #математика #огэматематика #огэ #данирСкачать

Углы при параллельных и секущей #математика #огэматематика #огэ #данир

ГЕОМЕТРИЯ 7 класс : Соответственные, односторонние и накрест лежащие углыСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 7 класс : Соответственные, односторонние и накрест лежащие углы

10 класс, 10 урок, Параллельные плоскостиСкачать

10 класс, 10 урок, Параллельные плоскости

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)

Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)

Параллельность прямых. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых. 10 класс.
Поделиться или сохранить к себе: