Углы треугольника на окружности доказать что угол прямой

Углы, связанные с окружностью
Углы треугольника на окружности доказать что угол прямойВписанные и центральные углы
Углы треугольника на окружности доказать что угол прямойУглы, образованные хордами, касательными и секущими
Углы треугольника на окружности доказать что угол прямойДоказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Вписанные и центральные углы

Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).

Углы треугольника на окружности доказать что угол прямой

Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).

Углы треугольника на окружности доказать что угол прямой

Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.

Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.

Видео:Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | МатематикаСкачать

Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | Математика

Теоремы о вписанных и центральных углах

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

ФигураРисунокТеорема
Вписанный уголУглы треугольника на окружности доказать что угол прямой
Вписанный уголУглы треугольника на окружности доказать что угол прямойВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.
Вписанный уголУглы треугольника на окружности доказать что угол прямойВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды
Вписанный уголУглы треугольника на окружности доказать что угол прямойДва вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды
Вписанный уголУглы треугольника на окружности доказать что угол прямойВписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр
Окружность, описанная около прямоугольного треугольникаУглы треугольника на окружности доказать что угол прямой

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Углы треугольника на окружности доказать что угол прямой

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

Углы треугольника на окружности доказать что угол прямой

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды

Углы треугольника на окружности доказать что угол прямой

Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды

Углы треугольника на окружности доказать что угол прямой

Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр

Углы треугольника на окружности доказать что угол прямой

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Углы треугольника на окружности доказать что угол прямой

Видео:7 класс, 31 урок, Теорема о сумме углов треугольникаСкачать

7 класс, 31 урок, Теорема о сумме углов треугольника

Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

Вписанный угол
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

ФигураРисунокТеоремаФормула
Угол, образованный пересекающимися хордамиУглы треугольника на окружности доказать что угол прямойУглы треугольника на окружности доказать что угол прямой
Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне кругаУглы треугольника на окружности доказать что угол прямойУглы треугольника на окружности доказать что угол прямой
Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касанияУглы треугольника на окружности доказать что угол прямойУглы треугольника на окружности доказать что угол прямой
Угол, образованный касательной и секущейУглы треугольника на окружности доказать что угол прямойУглы треугольника на окружности доказать что угол прямой
Угол, образованный двумя касательными к окружностиУглы треугольника на окружности доказать что угол прямойУглы треугольника на окружности доказать что угол прямой

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Углы треугольника на окружности доказать что угол прямой

Углы треугольника на окружности доказать что угол прямой

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Углы треугольника на окружности доказать что угол прямой

Углы треугольника на окружности доказать что угол прямой

Углы треугольника на окружности доказать что угол прямой

Углы треугольника на окружности доказать что угол прямой

Угол, образованный пересекающимися хордами хордами
Углы треугольника на окружности доказать что угол прямой
Формула: Углы треугольника на окружности доказать что угол прямой
Угол, образованный секущими секущими , которые пересекаются вне круга
Формула: Углы треугольника на окружности доказать что угол прямой

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный касательной и хордой хордой , проходящей через точку касания
Углы треугольника на окружности доказать что угол прямой
Формула: Углы треугольника на окружности доказать что угол прямой
Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей
Формула: Углы треугольника на окружности доказать что угол прямой

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности
Формулы: Углы треугольника на окружности доказать что угол прямой

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Видео:Соотношения между сторонами и углами треугольника. 7 класс.Скачать

Соотношения между сторонами и углами треугольника. 7 класс.

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Теорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5).

Углы треугольника на окружности доказать что угол прямой

Углы треугольника на окружности доказать что угол прямой

Углы треугольника на окружности доказать что угол прямой

Углы треугольника на окружности доказать что угол прямой

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

Углы треугольника на окружности доказать что угол прямой

В этом случае справедливы равенства

Углы треугольника на окружности доказать что угол прямой

Углы треугольника на окружности доказать что угол прямой

Углы треугольника на окружности доказать что угол прямой

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

Углы треугольника на окружности доказать что угол прямой

В этом случае справедливы равенства

Углы треугольника на окружности доказать что угол прямой

Углы треугольника на окружности доказать что угол прямой

Углы треугольника на окружности доказать что угол прямой

что и завершает доказательство теоремы 1.

Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.

Углы треугольника на окружности доказать что угол прямой

Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

Углы треугольника на окружности доказать что угол прямой

Углы треугольника на окружности доказать что угол прямой

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Углы треугольника на окружности доказать что угол прямой

Углы треугольника на окружности доказать что угол прямой

Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

Углы треугольника на окружности доказать что угол прямой

Углы треугольника на окружности доказать что угол прямой

что и требовалось доказать.

Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.

Углы треугольника на окружности доказать что угол прямой

Углы треугольника на окружности доказать что угол прямой

Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

Углы треугольника на окружности доказать что угол прямой

Углы треугольника на окружности доказать что угол прямой

что и требовалось доказать

Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.

Углы треугольника на окружности доказать что угол прямой

Углы треугольника на окружности доказать что угол прямой

Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

Углы треугольника на окружности доказать что угол прямой

Углы треугольника на окружности доказать что угол прямой

что и требовалось доказать.

Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 12.

Углы треугольника на окружности доказать что угол прямой

Углы треугольника на окружности доказать что угол прямой

Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство

Видео:7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построение

Треугольник вписанный в окружность

Углы треугольника на окружности доказать что угол прямой

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№23 - Сумма углов треугольника.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№23 - Сумма углов треугольника.)

Определение

Треугольник, вписанный в окружность — это треугольник, который
находится внутри окружности и соприкасается с ней всеми тремя вершинами.

На рисунке 1 изображена окружность, описанная около
треугольника
и окружность, вписанная в треугольник.

ВD = FC = AE — диаметры описанной около треугольника окружности.

O — центр вписанной в треугольник окружности.

Углы треугольника на окружности доказать что угол прямой

Видео:Что такое угол? Виды углов: прямой, острый, тупой, развернутый уголСкачать

Что такое угол? Виды углов: прямой, острый, тупой,  развернутый угол

Формулы

Радиус вписанной окружности в треугольник

r — радиус вписанной окружности.

  1. Радиус вписанной окружности в треугольник,
    если известна площадь и все стороны:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны площадь и периметр:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны полупериметр и все стороны:

Радиус описанной окружности около треугольника

R — радиус описанной окружности.

  1. Радиус описанной окружности около треугольника,
    если известна одна из сторон и синус противолежащего стороне угла:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и площадь:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и полупериметр:

Площадь треугольника

S — площадь треугольника.

  1. Площадь треугольника вписанного в окружность,
    если известен полупериметр и радиус вписанной окружности:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен полупериметр:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен высота и основание:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известна сторона и два прилежащих к ней угла:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и синус угла между ними:

[ S = fracab cdot sin angle C ]

Периметр треугольника

P — периметр треугольника.

  1. Периметр треугольника вписанного в окружность,
    если известны все стороны:

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известна площадь и радиус вписанной окружности:

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и угол между ними:

Сторона треугольника

a — сторона треугольника.

  1. Сторона треугольника вписанного в окружность,
    если известны две стороны и косинус угла между ними:

Сторона треугольника вписанного в
окружность, если известна сторона и два угла:

Средняя линия треугольника

l — средняя линия треугольника.

  1. Средняя линия треугольника вписанного
    в окружность, если известно основание:

Средняя линия треугольника вписанного в окружность,
если известныдве стороны, ни одна из них не является
основанием, и косинус угламежду ними:

Высота треугольника

h — высота треугольника.

  1. Высота треугольника вписанного в окружность,
    если известна площадь и основание:

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен сторона и синус угла прилежащего
к этой стороне, и находящегося напротив высоты:

[ h = b cdot sin alpha ]

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен радиус описанной окружности и
две стороны, ни одна из которых не является основанием:

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Свойства

  • Центр вписанной в треугольник окружности
    находится на пересечении биссектрис.
  • В треугольник, вписанный в окружность,
    можно вписать окружность, причем только одну.
  • Для треугольника, вписанного в окружность,
    справедлива Теорема Синусов, Теорема Косинусов
    и Теорема Пифагора.
  • Центр описанной около треугольника окружности
    находится на пересечении серединных перпендикуляров.
  • Все вершины треугольника, вписанного
    в окружность, лежат на окружности.
  • Сумма всех углов треугольника — 180 градусов.
  • Площадь треугольника вокруг которого описана окружность, и
    треугольника, в который вписана окружность, можно найти по
    формуле Герона.

Видео:Строим прямой уголСкачать

Строим прямой угол

Доказательство

Около любого треугольника, можно
описать окружность притом только одну.

Углы треугольника на окружности доказать что угол прямой

окружность и треугольник,
которые изображены на рисунке 2.

окружность описана
около треугольника.

  1. Проведем серединные
    перпендикуляры — HO, FO, EO.
  2. O — точка пересечения серединных
    перпендикуляров равноудалена от
    всех вершин треугольника.
  3. Центр окружности — точка пересечения
    серединных перпендикуляров — около
    треугольника описана окружность — O,
    от центра окружности к вершинам можно
    провести равные отрезки — радиусы — OB, OA, OC.

окружность описана около треугольника,
что и требовалось доказать.

Подводя итог, можно сказать, что треугольник,
вписанный в окружность
— это треугольник,
в котором все серединные перпендикуляры
пересекаются в одной точке, и эта точка
равноудалена от всех вершин треугольника.

Видео:Только 1 может решить эту хитрую задачу ★ Найдите углы треугольника ★ Супер ЖЕСТЬСкачать

Только 1 может решить эту хитрую задачу ★ Найдите углы треугольника ★ Супер ЖЕСТЬ

Вписанный прямой угол

Вписанный прямой угол обладает свойством, непосредственно вытекающим из теоремы о вписанном угле.

Вписанный прямой угол опирается на диаметр.

вписанный прямой угол опирается на полуокружность).

Углы треугольника на окружности доказать что угол прямойДано : окружность (O;R), ∠ABC — вписанный угол,

Доказать : AC — диаметр

Углы треугольника на окружности доказать что угол прямойВписанный угол равен половине соответствующего ему центрального угла,

Углы треугольника на окружности доказать что угол прямой

А так как ∠ABC=90º,

Углы треугольника на окружности доказать что угол прямой

Углы треугольника на окружности доказать что угол прямой

Следовательно, точки A, C и O лежат на одной прямой, то есть отрезок AC соединяет две точки окружности и проходит через её центр.

Значит, хорда AC является диаметром окружности ( а дуга AC — полукругом).

📺 Видео

Задача, которую боятсяСкачать

Задача, которую боятся

Найдите угол: задача по геометрииСкачать

Найдите угол: задача по геометрии

Окружность вписана в треугольник, найти углы треугольникаСкачать

Окружность вписана в треугольник, найти углы треугольника

№254. Найдите углы равнобедренного прямоугольного треугольника.Скачать

№254. Найдите углы равнобедренного прямоугольного треугольника.

Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.Скачать

Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.

МЕРЗЛЯК-7 ГЕОМЕТРИЯ. СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА. ПАРАГРАФ-16, ЧАСТЬ-1Скачать

МЕРЗЛЯК-7 ГЕОМЕТРИЯ. СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА. ПАРАГРАФ-16, ЧАСТЬ-1

Внешний угол треугольникаСкачать

Внешний угол треугольника

Геометрия 7 класс (Урок№25 - Прямоугольные треугольники.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№25 - Прямоугольные треугольники.)

Как видеть тангенс? Тангенс угла с помощью единичного круга.Скачать

Как видеть тангенс? Тангенс угла с помощью единичного круга.

Геометрия за 6 минут — Сумма углов треугольника и Внешний УголСкачать

Геометрия за 6 минут — Сумма углов треугольника и Внешний Угол
Поделиться или сохранить к себе: