Углы опирающиеся на одну хорду в разных окружностях

Углы, связанные с окружностью
Углы опирающиеся на одну хорду в разных окружностяхВписанные и центральные углы
Углы опирающиеся на одну хорду в разных окружностяхУглы, образованные хордами, касательными и секущими
Углы опирающиеся на одну хорду в разных окружностяхДоказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Видео:Вписанные углы в окружностиСкачать

Вписанные углы в окружности

Вписанные и центральные углы

Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).

Углы опирающиеся на одну хорду в разных окружностях

Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).

Углы опирающиеся на одну хорду в разных окружностях

Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.

Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Теоремы о вписанных и центральных углах

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

ФигураРисунокТеорема
Вписанный уголУглы опирающиеся на одну хорду в разных окружностях
Вписанный уголУглы опирающиеся на одну хорду в разных окружностяхВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.
Вписанный уголУглы опирающиеся на одну хорду в разных окружностяхВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды
Вписанный уголУглы опирающиеся на одну хорду в разных окружностяхДва вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды
Вписанный уголУглы опирающиеся на одну хорду в разных окружностяхВписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр
Окружность, описанная около прямоугольного треугольникаУглы опирающиеся на одну хорду в разных окружностях

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Углы опирающиеся на одну хорду в разных окружностях

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

Углы опирающиеся на одну хорду в разных окружностях

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды

Углы опирающиеся на одну хорду в разных окружностях

Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды

Углы опирающиеся на одну хорду в разных окружностях

Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр

Углы опирающиеся на одну хорду в разных окружностях

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Углы опирающиеся на одну хорду в разных окружностях

Видео:Всё про вписанные и центральные углы за 4 минуты | Борис Трушин |Скачать

Всё про вписанные и центральные углы за 4 минуты | Борис Трушин |

Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

Вписанный угол
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

ФигураРисунокТеоремаФормула
Угол, образованный пересекающимися хордамиУглы опирающиеся на одну хорду в разных окружностяхУглы опирающиеся на одну хорду в разных окружностях
Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне кругаУглы опирающиеся на одну хорду в разных окружностяхУглы опирающиеся на одну хорду в разных окружностях
Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касанияУглы опирающиеся на одну хорду в разных окружностяхУглы опирающиеся на одну хорду в разных окружностях
Угол, образованный касательной и секущейУглы опирающиеся на одну хорду в разных окружностяхУглы опирающиеся на одну хорду в разных окружностях
Угол, образованный двумя касательными к окружностиУглы опирающиеся на одну хорду в разных окружностяхУглы опирающиеся на одну хорду в разных окружностях

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Углы опирающиеся на одну хорду в разных окружностях

Углы опирающиеся на одну хорду в разных окружностях

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Углы опирающиеся на одну хорду в разных окружностях

Углы опирающиеся на одну хорду в разных окружностях

Углы опирающиеся на одну хорду в разных окружностях

Углы опирающиеся на одну хорду в разных окружностях

Угол, образованный пересекающимися хордами хордами
Углы опирающиеся на одну хорду в разных окружностях
Формула: Углы опирающиеся на одну хорду в разных окружностях
Угол, образованный секущими секущими , которые пересекаются вне круга
Формула: Углы опирающиеся на одну хорду в разных окружностях

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный касательной и хордой хордой , проходящей через точку касания
Углы опирающиеся на одну хорду в разных окружностях
Формула: Углы опирающиеся на одну хорду в разных окружностях
Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей
Формула: Углы опирающиеся на одну хорду в разных окружностях

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности
Формулы: Углы опирающиеся на одну хорду в разных окружностях

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Видео:№655. Центральный угол АОВ на 30° больше вписанного угла, опирающегося на дугу АВ. НайдитеСкачать

№655. Центральный угол АОВ на 30° больше вписанного угла, опирающегося на дугу АВ. Найдите

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Теорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5).

Углы опирающиеся на одну хорду в разных окружностях

Углы опирающиеся на одну хорду в разных окружностях

Углы опирающиеся на одну хорду в разных окружностях

Углы опирающиеся на одну хорду в разных окружностях

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

Углы опирающиеся на одну хорду в разных окружностях

В этом случае справедливы равенства

Углы опирающиеся на одну хорду в разных окружностях

Углы опирающиеся на одну хорду в разных окружностях

Углы опирающиеся на одну хорду в разных окружностях

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

Углы опирающиеся на одну хорду в разных окружностях

В этом случае справедливы равенства

Углы опирающиеся на одну хорду в разных окружностях

Углы опирающиеся на одну хорду в разных окружностях

Углы опирающиеся на одну хорду в разных окружностях

что и завершает доказательство теоремы 1.

Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.

Углы опирающиеся на одну хорду в разных окружностях

Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

Углы опирающиеся на одну хорду в разных окружностях

Углы опирающиеся на одну хорду в разных окружностях

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Углы опирающиеся на одну хорду в разных окружностях

Углы опирающиеся на одну хорду в разных окружностях

Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

Углы опирающиеся на одну хорду в разных окружностях

Углы опирающиеся на одну хорду в разных окружностях

что и требовалось доказать.

Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.

Углы опирающиеся на одну хорду в разных окружностях

Углы опирающиеся на одну хорду в разных окружностях

Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

Углы опирающиеся на одну хорду в разных окружностях

Углы опирающиеся на одну хорду в разных окружностях

что и требовалось доказать

Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.

Углы опирающиеся на одну хорду в разных окружностях

Углы опирающиеся на одну хорду в разных окружностях

Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

Углы опирающиеся на одну хорду в разных окружностях

Углы опирающиеся на одну хорду в разных окружностях

что и требовалось доказать.

Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 12.

Углы опирающиеся на одну хорду в разных окружностях

Углы опирающиеся на одну хорду в разных окружностях

Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство

Видео:8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном углеСкачать

8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном угле

Углы, связанные с окружностью.

Центральный угол — угол, вершина которого совпадает с центром окружности.

Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают её.

Вписанный угол в два раза меньше центрального , опирающегося на ту же дугу.

Углы опирающиеся на одну хорду в разных окружностях

Все вписанные углы , опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

Углы опирающиеся на одну хорду в разных окружностях

Все вписанные углы , опирающиеся на одну и ту же хорду, вершины которых лежат по одну сторону от этой хорды, равны.

Углы опирающиеся на одну хорду в разных окружностях

Все вписанные углы , опирающиеся на диаметр, прямые.

Углы опирающиеся на одну хорду в разных окружностях

Любые два вписанных угла , опирающиеся на одну и ту же хорду, вершины которых лежат по разные стороны хорды, составляют в сумме 180°.

Углы опирающиеся на одну хорду в разных окружностях

Угол между пересекающимися хордами измеряется полусуммой дуг, заключенных между его сторонами.

Углы опирающиеся на одну хорду в разных окружностях

Угол между секущими, пересекающимися вне окружности, измеряется полуразностью дуг, заключенных между его сторонами.

Углы опирающиеся на одну хорду в разных окружностях

Угол между касательной и секущей, пересекающимися вне окружности, измеряется полуразностью дуг, заключенных между его сторонами.

Углы опирающиеся на одну хорду в разных окружностях

Угол между касательными к окружности измеряется полуразностью дуг, заключенных между его сторонами.

Углы опирающиеся на одну хорду в разных окружностях

Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равняется половине центрального угла, опирающегося на данную хорду:

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

Центральные и вписанные углы

Углы опирающиеся на одну хорду в разных окружностях

О чем эта статья:

Видео:Задача 6 №27859 ЕГЭ по математике. Урок 104Скачать

Задача 6 №27859 ЕГЭ по математике. Урок 104

Центральный угол и вписанный угол

Окружность — замкнутая линия, все точки которой равноудалены от ее центра.

Определение центрального угла:

Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

Углы опирающиеся на одну хорду в разных окружностях

На рисунке: центральный угол окружности EOF и дуга, на которую он опирается EF

Определение вписанного угла:

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.

Углы опирающиеся на одну хорду в разных окружностях

На рисунке: вписанный в окружность угол ABC и дуга, на которую он опирается AC

Видео:Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСССкачать

Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСС

Свойства центральных и вписанных углов

Углы просты только на первый взгляд. Свойства центрального угла и свойства вписанного угла помогут решать задачки легко и быстро.

  • Вписанный угол в два раза меньше, чем центральный угол, если они опираются на одну и ту же дугу:

Углы опирающиеся на одну хорду в разных окружностях

Угол AOC — центральный, угол ABC — вписанный. Оба угла опираются на дугу AC, в этом случае центральный угол равен дуге AC, а угол ABC равен половине угла AOC.

  • Теорема о центральном угле: центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается:

Углы опирающиеся на одну хорду в разных окружностях

  • Вписанные углы окружности равны друг другу, если опираются на одну дугу:

Углы опирающиеся на одну хорду в разных окружностях

ㄥADC = ㄥABC = ㄥAEC, поскольку все три угла, вписанные в окружность, опираются на одну дугу AC.

  • Вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, — всегда прямой:

Углы опирающиеся на одну хорду в разных окружностях

ㄥACB опирается на диаметр и на дугу AB, диаметр делит окружность на две равные части. Значит дуга AB = 180 ํ, ㄥCAB равен половине дуги, на которую он опирается, значит ㄥCAB = 90 ํ.

Если есть вписанный, обязательно найдется и описанный угол. Описанный угол — это угол, образованный двумя касательными к окружности. Вот так:

Углы опирающиеся на одну хорду в разных окружностях

На рисунке: ㄥCAB, образованный двумя касательными к окружности. AO — биссектриса ㄥCAB, значит центр окружности лежит на биссектрисе описанного угла.

Для решения задачек мало знать, какой угол называется вписанным, а какой — описанным. Нужно знать, что такое хорда и ее свойство.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Хорда — отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Углы опирающиеся на одну хорду в разных окружностях

  • Если две хорды в окружности пересекаются, то произведения отрезков одной равно произведению отрезков другой.

Углы опирающиеся на одну хорду в разных окружностях

AB * AC = AE * AD
Получается, что стороны вписанного в окружность угла — это хорды.

  • Если вписанные углы опираются на одну и ту же хорду — они равны, если их вершины находятся по одну сторону от хорды.

Углы опирающиеся на одну хорду в разных окружностях

ㄥBAC = ㄥCAB, поскольку лежат на хорде BC.

  • Если два вписанных угла опираются на одну и ту же хорду, то их суммарная градусная мера равна 180°, если их вершины находятся по разные стороны от хорды.

Углы опирающиеся на одну хорду в разных окружностях

ㄥBAC + ㄥBDC = 180°

Видео:Вписанные и центральные углы #огэ #огэматематика #математикаСкачать

Вписанные и центральные углы #огэ #огэматематика #математика

Примеры решения задач

Центральный, вписанные и описанные углы, как и любые другие, требуют тренировок в решении. Рассмотрите примеры решения задач и потренируйтесь самостоятельно.

Задачка 1. Дана окружность, дуга AC = 200°, дуга BC = 80°. Найдите, чему равен вписанный угол, опирающийся на дугу AB. ㄥACB = ?

Углы опирающиеся на одну хорду в разных окружностях

Как решаем: окружность 360° − AC − CB = 360° − 200° − 80° = 80°
По теореме: вписанный угол равен дуге ½.
ㄥACB = ½ AB = 40°

Задачка 2. Дана окружность, ㄥAOC = 140°, найдите, чему равна величина вписанного угла.

Углы опирающиеся на одну хорду в разных окружностях

Мы уже потренировались и знаем, как найти вписанный угол.
На рисунке в окружности центральный угол и дуга AC = 140°
Мы знаем, что вписанный угол равен половине центрального, то ㄥABC = ½ AC = 140/2 = 70°

Задачка 3. Чему равен вписанный в окружность угол, опирающийся на дугу, если эта дуга = ⅕ окружности?

Углы опирающиеся на одну хорду в разных окружностях

СB = ⅕ от 360° = 72°
Вписанный угол равен половине дуги, поэтому ㄥCAB = ½ от CB = 72° / 2 = 36°

🎦 Видео

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности. Задание А2 из ЦТ 2020 #цт2020Скачать

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности. Задание А2 из ЦТ 2020 #цт2020

Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать

Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языку

Вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружностиСкачать

Вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности

ПЛОЩАДЬ КОЛЬЦА. Сделай выбор: на чьей ты стороне?Скачать

ПЛОЩАДЬ КОЛЬЦА. Сделай выбор: на чьей ты стороне?

Углы в окружности 🔥Полезный файл забирай в комментарияхСкачать

Углы в окружности 🔥Полезный файл забирай в комментариях

Пара фактов про окружность | Ботай со мной #067 | Борис Трушин |Скачать

Пара фактов про окружность | Ботай со мной #067 | Борис Трушин |

№1035. В окружности проведены хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке Е. Найдите острыйСкачать

№1035. В окружности проведены хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке Е. Найдите острый

Угол между хордой и касательнойСкачать

Угол между хордой и касательной

Равенство вписанных в окружность углов, опирающихся на одну и ту же дугу.Скачать

Равенство вписанных в окружность углов, опирающихся на одну и ту же дугу.

Геометрия. 8 класс. Урок 11 "Вписанные углы"Скачать

Геометрия. 8 класс. Урок 11 "Вписанные углы"

ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный УголСкачать

ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный Угол
Поделиться или сохранить к себе: