Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).
Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны .
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной .
Трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной .
Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции .
Свойства трапеции
1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.
3. Треугольники 
и 
, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.
Коэффициент подобия – 
Отношение площадей этих треугольников есть 
.
4. Треугольники 
и 
, образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.
5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.
6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.
7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.
8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.
Свойства и признаки равнобедренной трапеции
1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.
2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.
3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.
4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.
5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.
Вписанная окружность
Если в трапецию вписана окружность с радиусом 
и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — 
и 
, то 
Площадь
или 
где 
– средняя линия
Смотрите хорошую подборку задач с трапецией (входят в ГИА и часть В ЕГЭ) здесь и здесь.
Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:
Биссектриса трапеции
Биссектриса угла трапеции, пересекающая основание, отсекает от трапеции равнобедренный треугольник.
Дано : ABCD — трапеция, AD ∥ BC,
AF — биссектриса ∠BAD.
Доказать : треугольник ABF — равнобедренный.
1) ∠BAF=∠DAF (так как AF — биссектриса ∠BAD по условию)
2) ∠BFA=∠DAF (как внутренние накрест лежащие при AD ∥ BC и секущей AF)
3) Следовательно, ∠BAF=∠BFA
4) Следовательно, треугольник ABF — равнобедренный с основанием AF (по признаку).
Что и требовалось доказать.
Если биссектриса угла трапеции пересекает не основание трапеции, а прямую, содержащую основание, то она отсекает равнобедренный треугольник на продолжении этой прямой.
Таким образом, биссектриса угла трапеции отсекает на ее основании или продолжении основания отрезок, равный боковой стороне:
Узнать ещё
Знание — сила. Познавательная информация
Биссектриса угла трапеции
Рассмотрим задачи, в которых биссектриса угла трапеции делит противоположное основание на отрезки.
Мы уже имели дело с похожей задачей на биссектрису угла параллелограмма, а также рассматривали частный случай для трапеции (когда основание трапеции равно ее боковой стороне, биссектриса трапеции совпадает с ее диагональю).
I. Биссектриса острого угла при большем основании трапеции делит другое основание на отрезки.
1) ∠ BAF= ∠ DAF (так как AF — биссектриса ∠ BAD по условию).
2) ∠ DAF= ∠ BFA (как внутренние накрест лежащие при AD ∥ BC и секущей AF).
3) Следовательно, ∠ BAF= ∠ BFA.
4) Следовательно, треугольник ABF — равнобедренный с основанием AF (по признаку равнобедренного треугольника).
5) Следовательно, AB=BF.
II. Биссектриса тупого угла при меньшем основании трапеции делит другое основание на отрезки.
Аналогично доказывается, что треугольник ABP — равнобедренный:
1) ∠ ABP= ∠ CBP (так как BP — биссектриса ∠ ABC по условию).
2) ∠ CBP= ∠ APB (как внутренние накрест лежащие при AD ∥ BC и секущей BP).
3) Следовательно, ∠ ABP= ∠ APB.
4) Следовательно, треугольник ABP — равнобедренный с основанием BP (по признаку равнобедренного треугольника).
5) Следовательно, AB=AP.
Вывод: в этом случае
биссектриса угла трапеции отсекает от нее равнобедренный треугольник.
Эта задачи — базовые. На их основе существует много других задач.
В следующий раз рассмотрим задачи на пересечение двух биссектрис трапеции.