Как архимед вычислил длину окружности

Видео:Площадь круга и АрхимедСкачать

Как архимед вычислил длину окружности

Напомним: число π («пи») определяется как отношение длины окружности к ее диаметру . Это кратко выражается формулой для вычисления длины окружности , или . Другая известная формула, в которой встречается π, – формула площади круга , или . В принципе π можно было бы определить как отношение площади круга к квадрату радиуса. За этими формулами скрываются три нетривиальных математических факта:

Десятичная дробь, выражающая число π, бесконечна, хотя можно вычислить различные конечные дроби – десятичные приближения для π. Наиболее популярное приближение – с точностью до сотых: π ≈ 3,14.

Самое простое приближение для π полагает его равным 3 (несмотря на грубость этого приближения, его ошибка менее 5 %). Такое приближение использовалось, например, в Древнем Вавилоне в III–II вв. до н. э.: длину окружности находили по правилу, которое в современных обозначениях можно записать , площадь круга находили по правилу . Значение π = 3 используется и древними иудеями: библейский автор упоминает, что при строительстве храма при царе Соломоне мастер Хирам из Тира в числе других храмовых украшений «сделал литое из меди море, – от края его до края его десять локтей, – совсем круглое. и шнурок в тридцать локтей обнимал его кругом» (3 Цар 7, 23). Позже для более точных вычислений использовалось геометрическое приближение: от площади квадрата, описанного вокруг круга, отнимались площади треугольников с длиной стороны, равной трети стороны квадрата, получалось довольно точное значение

В Древнем Египте для вычисления площади круга использовалось правило , что соответствует значению . Ошибка при этом составляет менее 1 %. Как получали это правило, неизвестно.

У древнегреческих математиков с их превалирующим интересом к геометрическим построениям и доказательствам, а не к вычислениям, вопрос о численном значении π был не столь важным, нежели проблема квадратуры круга, т. е. построения квадрата, равновеликого данному кругу, если удастся, то с помощью циркуля и линейки, а в противном случае – с помощью каких-то других инструментов. Задача о квадратуре круга имела широкую известность не только среди математиков: например, о ней говорится в комедии Аристофана «Птицы».

Изучая задачу о квадратуре круга, Гиппократ Хиосский (V в. до н. э.) нашел некоторые случаи, когда с помощью циркуля и линейки можно найти квадратуру определенных частей круга, ограниченных кривыми линиями (а именно, двумя окружностями). Такие части называются луночками . Самый простой случай – это луночка между окружностью, описанной около равнобедренного прямоугольного треугольника, и другой окружностью, диаметром которой служит катет этого треугольника.

Нетрудно видеть, что, по теореме Пифагора, , а потому площадь круга, построенного на , равна двум площадям круга, построенного на , а значит, площадь полукруга, построенного на , равна площади четверти круга, построенного на . Поэтому, вырезав из этих фигур их общую часть – сегмент – получим равновеликие фигуры: таким образом, площадь луночки равна площади прямоугольного треугольника .

Древнейшие известные попытки собственно квадратуры круга принадлежат Антифонту и Бризону (V в. до н. э.). Антифонт последовательно вписывал в круг правильные многоугольники, каждый раз удваивая количество сторон, и полагал, что в конце концов многоугольник совпадет с окружностью. Бризон строил два квадрата – вписанный в окружность и описанный вокруг нее – и считал, что площадь квадрата, лежащего между ними, равна площади круга. Разумеется, в буквальном понимании и Антифонт, и Бризон заблуждались. Однако их идеи оказались весьма плодотворными: действительно, вписывая в окружность правильные многоугольники со все большим числом сторон, можно сколь угодно близко подойти к площади круга и длине окружности; смысл есть и в том, чтобы рассматривать не только вписанные, но и описанные многоугольники: при этом площадь круга будет лежать между площадями вписанных и описанных многоугольников, а длина окружности – между периметрами тех и других.

В дальнейшем именно вписанные и описанные правильные многоугольники стали активно применяться как для теоретических исследований, так и для конкретного вычисления числа π. Именно с помощью таких многоугольников было сформулировано строгое доказательство того, что площади кругов относятся как квадраты их диаметров, найденное, по-видимому, Евдоксом и приведенное в «Началах» Евклида. Архимед доказал, что площадь круга равна половине произведения длины окружности на ее радиус. Кроме того, с помощью вычисленных им периметров вписанных и описанных правильных многоугольников (от 6-угольника до 96-угольника) Архимед нашел, что:

или, в десятичных дробях, (подлинное значение ).

Таким образом, он не только нашел приближенные значения π, но и оценил точность этих приближений. Уже найденная Архимедом верхняя оценка, равная 22/7, дает приближение π с точностью 0,04 %. Эту дробь часто называют «архимедовым числом». Клавдий Птолемей, использовав правильный 720-угольник, нашел, что , что составляет приблизительно 3,14167 (ошибка меньше 0,003 %).

Как и для удвоения куба, и для трисекции угла, для квадратуры круга были изобретены методы, использующие свойства различных кривых. Общим свойством этих кривых было их образование путем сочетания двух типов движений – равномерного поступательного (вдоль некоторой прямой) и равномерного вращательного (вокруг некоторой точки или оси). При этом имеет место пропорциональность между углом, на который повернулся вращающийся элемент, и длиной отрезка, пройденной при поступательном движении.

Прежде всего, это была уже упомянутая квадратриса (см. урок, посвященный трисекции угла), которую впервые использовал для квадратуры круга Динострат. Оказывается, если – точка, в которой квадратриса пересекает отрезок , то четверть длины окружности, проходящей через точку , с центром в точке , равна длине отрезка .

Из этого следует, что длина дуги равна , а площадь круга радиуса равна площади прямоугольника со сторонами и ; такой прямоугольник легко построить с помощью циркуля и линейки, если известны отрезки и . Построив прямоугольник, можно построить и равновеликий ему квадрат.

Кроме квадратрисы, для квадратуры круга использовались связанные с ней винтовая линия и спираль Архимеда. Винтовая линия получается при движении точки по поверхности цилиндра, складывающемся из двух движений: во-первых, движения с постоянной скоростью вдоль оси цилиндра, а во-вторых, равномерного вращения по окружности основания цилиндра.

Спираль Архимеда – эта кривая, которую заметает точка , равномерно движущаяся вдоль радиуса , который, в свою очередь, равномерно вращается вокруг точки .

Задача, похожая на квадратуру круга, фигурировала и в Древней Индии. В уже упоминавшейся (см. урок по теореме Пифагора) книге «Шулва-сутра», излагавшей правила строительства алтарей, построение круга, равновеликого данному квадрату , производится так. Вокруг квадрата описывается окружность; пусть перпендикуляр к отрезку , проходящий через центр окружности , пересекает прямую и окружность в точках и , а точка делит отрезок в отношении . Тогда – радиус круга, равновеликого данному квадрату. Если – сторона квадрата, то длина полученного радиуса описанный способ соответствует приближенному значению π

В более поздние времена в Индии использовались приближения для π, равные (т. е. ≈ 3,162 – ошибка менее 1 %); 22/7 и даже 3,1416. Интересно наглядное доказательство предложения «площадь круга равна площади прямоугольника, стороны которого равны полуокружности и радиусу» у математика Ганеши (XVI в.). Как и в доказательстве теоремы Пифагора у Бхаскары, здесь все доказательство состоит из чертежа и слова «смотри». Ганеша делит круг на 12 секторов, а затем разворачивает каждый полукруг, состоящий из 6 секторов, в пилообразную фигуру, основание которой равно полуокружности, а высота – радиусу. Прямоугольник, о котором говорится в условии, получится при вставлении зубьев одной «пилы» в зазоры между зубьями другой. По-видимому, читатель должен был представлять себе, что круг разделен не на 12, а на столь большое число секторов, что эти секторы неотличимы от треугольников, составляющих «пилы».

Значение по-видимому, впервые появилось у китайского астронома и философа Чжан Хена (нач. II в. н. э.); вероятно, из Китая оно перешло к индийцам (Брахмагупта, VII в.) и арабам (ал-Хорезми, IX в.); впрочем, метод получения этого значения нам неизвестен. Лю Хуэй (III–IV вв.) с помощью рассмотрения вписанных и описанных многоугольников (в том числе с 3072 вершинами) пришел к приближению , а Цзу Чун-чжи (V в.) доказал, что

Самаркандский математик ал-Каши в «Трактате об окружности» (1424 г.) поставил себе задачу выразить окружность через диаметр с такой точностью, чтобы погрешность в длине окружности, равной 600 000 диаметров Земли, не превосходила толщины волоса. Рассмотрев правильные многоугольники вплоть до фигуры с 805 306 368 (3 ∙ 2 28 ) вершинами, ал-Каши нашел 16 верных знаков (после запятой) числа π, а именно, приближение (в реальности 17-й знак после запятой – 3 или 4, потому что 18-й – 8). Европейские математики достигли такой точности и превзошли ее лишь в конце XVI в.: в 1597 г. голландец вычислил 17-й знак, для чего применил многоугольник с 1 073 741 824 (2 30 ) вершинами.

В начале XVII в. профессор математических и военных наук Лейденского университета Лудольф ван Цейлен довел количество точных знаков (после запятой) числа π до 35. Современники называли найденное им приближение π «числом Лудольфа». Эти знаки он завещал выбить на надгробном камне. Интересно, что, поскольку в то время привычная нам позиционная запись десятичных дробей еще не вполне прижилась, на надгробии было написано не 3,14159265358979323846264338327960288, а

Еще два голландца XVII в. – В. Снеллиус и Х. Гюйгенс – с помощью некоторых тонких геометрических рассуждений смогли достичь большей точности при меньшем числе сторон рассматриваемых многоугольников. Снеллиус воспроизвел результат Архимеда – три верных знака после запятой – рассматривая не более чем а с помощью получил целых 7 верных знаков. Гюйгенс, доказав некоторые геометрические теоремы, смог вычислить 10 верных знаков с помощью 60-угольника.

Далее метод вписанных и описанных многоугольников уступил место новым методам, разработанным с помощью математического анализа – использованию бесконечных сумм, которые дают приближенные значения числа π нужной точности, если оставить в них достаточно большое, но лишь конечное число членов. В результате число верных знаков быстро возросло: вычислители подбирали формулы поудобнее и соревновались друг с другом в том, кто больше получит этих знаков.

Рекорд для XIX в. поставил Уильям Шенкс, нашедший в результате 707 знаков после запятой; в 1-ой половине XX в. эти знаки часто воспроизводили в популярной литературе, а архитекторы даже украшали ими свои сооружения (Дом занимательной науки в Ленинграде, ныне Санкт-Петербург, 1934; Дворец открытий в Париже, 1937). В 1945 г. результаты Шенкса были проверены на компьютере, и оказалось, что из его знаков верны только первые 527. Компьютеры позволили существенно увеличить количество точных цифр в десятичном разложении π, причем, если раньше вычислители тратили на них многие годы, то теперь компьютеры справлялись с этим менее чем за день работы. Этому также способствовало применение более эффективных алгоритмов на основание новых математических формул.

Само обозначение π для отношения окружности к диаметру было введено в 1706 году У. Джонсом.

Что касается принципиальных математических результатов относительно π, то здесь следует упомянуть, во-первых, доказательство иррациональности этого числа, проведенное в 1766 г. И. Г. Ламбертом (некоторый пробел в доказательстве Ламберта был восполнен в 1800 г. А. М. Лежандром), а во-вторых, доказательство трансцендентности π, осуществленное в 1882 г. К. Ф. Линдеманом. Трансцендентность некоторого числа означает, что оно не может быть корнем никакого уравнения вида с целыми коэффициентами . Из этого следует, что оно не может быть представлено в виде конечной комбинации целых чисел, арифметических действий и знака извлечения корня. Поэтому и квадратура круга не может быть решена с помощью циркуля и линейки, которые позволяют строить лишь отрезки, выражаемые через арифметические действия и квадратные корни.

Видео:Длина окружности. Площадь круга - математика 6 классСкачать

Кто открыл число Пи? История вычислений

Уже много веков и даже, как ни странно, тысячелетий люди понимают важность и ценность для науки математической постоянной, равной отношению длины окружности к ее же диаметру. Кто открыл число Пи, до сих пор неизвестно, но к нему имели отношение самые лучшие математики на протяжении всей нашей истории. Большинство из них хотели выразить его рациональным числом.

Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Интересные сведения о числе Пи

1. Исследователи и истинные поклонники числа Пи организовали клуб, для вступления в который требуется знать наизусть достаточно большое количество его знаков.

2. С 1988 года празднуется «День числа Пи», который приходится на 14 марта. Готовят салаты, торты, печенья, пирожные с его изображением.

3. Число Пи уже переложили на музыку, при этом оно весьма неплохо звучит. Ему даже воздвигли памятник в американском Сиэтле перед зданием городского Музея искусств.

Видео:Площадь круга - Доказательство Архимеда πR²Скачать

Древний период

В то далекое время число Пи старались вычислить при помощи геометрии. То, что это число постоянно для самых разных окружностей, знали еще геометры в Древнем Египте, Вавилоне, Индии и Древней Греции, утверждавшие в своих работах, что оно всего лишь немного больше трех.

В одной из священных книг джайнизма (древняя индийская религия, которая возникла в VI в. до н. э.) упоминается, что тогда число Пи считалось равным корню квадратному из десяти, что в итоге дает 3,162. .

Древнегреческие математики проводили измерение окружности методом построения отрезка, а вот для того, чтобы измерить круг, им приходилось строить равновеликий квадрат, то есть фигуру, равную ему по площади.

Когда еще не знали десятичных дробей, великий Архимед нашел значение числа Пи с точностью 99,9%. Он открыл способ, который стал основой многих последующих вычислений, вписывал в окружность и описывал вокруг нее правильные многоугольники. В результате Архимед рассчитал значение числа Пи как отношение 22 / 7 ≈ 3,142857142857143.

В Китае, математик и придворный астроном, Цзу Чунчжи в V веке до н. э. обозначил более точное значение числа Пи, рассчитав его до семи цифр после запятой и определил его значение между числами 3, 1415926 и 3,1415927. Более 900 лет понадобилось ученым, чтобы продолжить дальше этот цифровой ряд.

Видео:Математика 6 класс (Урок№76 - Длина окружности. Площадь круга.)Скачать

Средние века

Известный индийский ученый Мадхава, который жил на рубеже XIV — XV веков, ставший основателем Керальской школы астрономии и математики, впервые в истории стал работать над разложением тригонометрических функций в ряды. Правда, сохранились всего лишь два его труда, а на другие известны лишь ссылки и цитаты его учеников. В научном трактате «Махаджьянаяна», который приписывают Мадхаве, указано, что число Пи равно 3,14159265359. А в трактате «Садратнамала» приведено число с еще большим количеством точных знаков после запятой: 3,14159265358979324. В указанных числах последние цифры не соответствуют правильному значению.

В XV веке самаркандский математик и астроном Ал-Каши вычислил число Пи с шестнадцатью знаками после запятой. Его результат считался наиболее точным в течение последующих 250 лет.

У. Джонсон, математик из Англии, одним из первых смог обозначить отношение длины окружности к ее диаметру буквой π. Пи — это первая буква греческого слова «περιφέρεια» — окружность. Но этому обозначению удалось стать общепринятым лишь после того, как им воспользовался в 1736 году более известный ученый Л. Эйлер.

Видео:КАК ИЗМЕРИТЬ ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ? · ФОРМУЛА + примеры · Длина окружности как найти? Математика 6 классСкачать

Заключение

Современные ученые продолжают работать над дальнейшими вычислениями значений числа Пи. Для этого уже используют суперкомпьютеры. В 2011 г. ученый из Японии Сигэру Кондо, сотрудничая с американским студентом Александром Йи, произвели правильный расчет последовательности из 10 триллионов цифр. Но до сих пор так и неясно, кто открыл число Пи, кто впервые задумался над этой проблемой и произвел первые расчеты этого, по-настоящему мистического числа.

Видео:Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

Как Архимед измерил Вселенную и убивал лазером

Жил, «околдованный сиреною», топил «когтями» корабли и погиб, защищая свои чертежи

Древнегреческий физик, математик и инженер Архимед сделал множество геометрических открытий, заложил основы гидростатики и механики, создал изобретения, послужившие отправной точкой для дальнейшего развития науки. Легенды об Архимеде создавались еще при его жизни.

Математика в стихах

Биография Архимеда известна из трудов Тита, Цицерона, Полибия, Ливия, Витрувия и других авторов, которые жили позже самого ученого. Оценить степень достоверности этих данных сложно.
Известно, что родился Архимед в 287 году до нашей эры в греческой колонии Сиракузы, расположенной на острове Сицилия. Его отцом, предположительно, стал астроном и математик Фидий. Начальное образование ученый, возможно, получил у отца. Плутарх также утверждал, что ученый был близким родственником доброго и искусного правителя Сиракуз Гиерона II.

Вероятно, детские годы Архимед провел в Сиракузах, а в юном возрасте отправился в Александрию, столицу Египта. На протяжении нескольких столетий этот город был культурным и научным центром цивилизованного древнего мира, славился своей библиотекой, где хранилось 700 тысяч книг, и научно-историческим музеем. Учёные, принятые в сотрудники музея, занимались натурфилософией, математикой, астрономией, географией, медициной, теорией музыки, лингвистикой и другими науками. Роль музея — культурная и религиозная — сохранилась и в эпоху римского завоевания.

Достоверно известно, что в музее Архимед встретился с целой группой ученых. Один из них — греческий математик, астроном, географ и филолог Эратосфен — стал его близким другом. Архимед написал сочинение «Для Эратосфена. О методе», в котором объясняет, каким путем приходит к решению задачи. Это было довольно откровенным посланием, ведь в древности математики обычно не разглашали «секретов своего мастерства», а только доказывали правильность полученных результатов. Кроме того, своему другу Архимед посвятил стихотворение, наверное, единственное, написанное в жизни, в котором описал условия сложной математической задачи, а сюжет взял из «Одиссея» Гомера. Прожив в Александрии несколько лет, Архимед вернулся в Сиракузы, где и пребывал до самой смерти.

«Дайте мне точку опоры»

Механика постоянно находилась в круге интересов Архимеда. В одной из своих первых работ он исследует распределение нагрузок между опорами балки. Архимеду принадлежит определение понятия центра тяжести тела. Применяя интеграционные методы, он нашел положение центра тяжести различных фигур и тел. Архимед дал математический вывод законов рычага.

Легенда рассказывает, что построенный царем Гиероном в подарок египетскому царю Птолемею роскошный корабль «Сирокосия» никак не удавалось спустить на воду. Архимед соорудил сложную систему рычагов, с помощью которой он смог проделать эту работу одним движением руки. Этот случай и размышления Архимеда над принципом рычага стали причиной его легендарной фразы: «Дайте мне точку опоры, и я переверну мир!»

В течение многих веков механика рассматривалась как наука о простых статических машинах. Ее основой были теория рычага, изложенная Архимедом в сочинении «О равновесии плоских фигур». В этой книге также содержатся определения центров тяжести треугольника, параллелограмма, трапеции, параболического сегмента, трапеции, боковые стороны которой являются дугами парабол. Не подлежит сомнению, что все законы, постулаты и другие результаты, данные в этой книге, получены Архимедом в результате длительного практического опыта, обобщением которого и явилась механика Архимеда.
Архимед был и одним из крупнейших инженеров-конструкторов своего времени. В сельском хозяйстве и строительстве использовали архимедов винт для перекачки жидкостей и сыпучих веществ, таких как уголь и зерно, и для выкачивания воды изо рвов и шахт. Винт состоял из деревянного валика, на который насажено было червячное колесо. Устройство помещалось в цилиндре, сделанном из деревянных досок. Этот винт применяется до сих пор, особенно в Египте.

Строительная и военная техника была тесно связана с вопросами равновесия и подводила к выработке понятия центра тяжести. В основе этой техники лежал рычаг и другие простые механизмы. Машины, построенные с использованием этих механизмов, и в первую очередь рычага, помогли человеку перехитрить природу и силу тяжести. Отсюда и пошло название «механика». Греческое слово «механе» означало орудие, приспособление, осадную или театральную машину, а также уловку, ухищрение.

Сколько песчинок во Вселенной?

Архимед занимался также астрономией. Он построил небесную сферу – механический прибор, на котором можно было наблюдать движения планет, фазы Луны, солнечные и лунные затмения.

О занятиях Архимеда астрономией свидетельствует и сочинение «Псаммит» — «Исчисление песчинок». Чтобы определить число песчинок, помещающихся во Вселенной, Архимеду нужно было вычислить её размеры. Он сделал предположение, что Вселенная сферическая (заключенная в «сферу удалённых звёзд»), и отношение диаметра Вселенной к диаметру орбиты Земли вокруг Солнца равно отношению диаметра орбиты Земли вокруг Солнца к диаметру Земли.

Для вычисления верхней границы размера Вселенной Архимед специально завышал свои оценки. Он предположил, что длина земной окружности не более 300 мириад стадий (около 500 тысяч км). Для измерения углового диаметра Солнца (то есть, угла, который занимает Солнце на окружности небесной сферы) Архимед проводил эксперимент, выполнявшийся на рассвете, когда свет достаточно слаб, чтобы можно было смотреть прямо на Солнце. Для этого он прикреплял к концу линейки небольшой цилиндр и отдалял его так, чтобы он как раз закрывал собою Солнце. При расчётах Архимед учитывал размер зрачка.
В результате измерений было получено, что угловой диаметр Солнца больше 1/200 части прямого угла. Из этого измерения Архимед показывает, что диаметр Солнца больше стороны вписанного в небесную сферу тысячеугольника. При этом он впервые в истории рассматривает параллакс, замечая различие между наблюдениями Солнца из центра Земли и с её поверхности на восходе.

Из полученных предпосылок Архимед подсчитал, что диаметр Вселенной, если перевести в современную систему исчисления, около двух световых лет. Также он предположил, что в объёме макового зёрнышка помещается не более мириады песчинок, а диаметр макового зёрнышка не менее сороковой части дюйма. В итоге Архимед показал, что Вселенная может содержать в себе не более дециллиарда песчинок – это 10 в 63-й степени, число в котором 63 нуля. Таким образом, Архимед принимает мир, хотя и очень большим, но конечным, что позволяет ему довести свой расчет до конца.

Голым побежал к царю

Рассмотрим теперь знаменитый закон Архимеда, изложенный в его сочинении «О плавающих телах». Он определил, что на всякое тело, погруженное в жидкость, оказывает давление выталкивающая сила. Она направлена вверх, а по величине равна весу жидкости, которая была вытеснена при помещении тела в жидкость, вне зависимости от того, какова плотность этой жидкости. Существует легенда, что Архимед пришел к своему закону, решая задачу: содержит ли золотая корона, заказанная царем Гиероном мастеру, посторонние примеси или нет? Не добавил ли туда хитрый ювелир серебро или же другие металлы?
Удельный вес золота был известен, но трудность состояла в том, чтобы точно определить объём короны: ведь она имела неправильную форму! Архимед всё время размышлял над этой задачей. Как-то он принимал ванну, и тут ему пришла в голову блестящая идея: погружая корону в воду, можно определить её объём, измерив объём вытесненной ею воды. Согласно легенде, Архимед выскочил голый на улицу с криком: «Эврика!» Т. е, «Нашёл!» И в таком виде побежал к царю. В этот момент был открыт основной закон гидростатики. Сравнив объёмы воды, вытесненные короной и слитком золота равного с ней веса, учёный доказал обман ювелира.

Однако, вероятно, мотивация работы Архимеда была все же более серьезной. Ведь Сиракузы были портовым и судостроительным городом. Вопросы плавания тел здесь решались ежедневно, и поэтому перед Архимедом стояла задача выяснения научной основы этих вопросов. В своей книге он разбирает не только условия плавания тел, но и вопрос об устойчивости равновесия плавающих тел различной геометрической формы. Научный гений Архимеда в этом сочинении, оставшемся, по-видимому, незаконченным, проявился с огромной силой.

Головоломки из Древней Греции

И все же любимым делом его жизни была математика. По словам Плутарха, Архимед был просто одержим ею. Он забывал о пище, совершенно не заботился о себе. Его работы относились почти ко всем областям математики того времени: ему принадлежат замечательные исследования по геометрии, арифметике, алгебре. Ряд работ имеет вид посланий к друзьям и коллегам. Иногда Архимед предварительно сообщал им без доказательств свои открытия, с тонкой иронией добавляя несколько неверных гипотез.

Центральной темой математических работ Архимеда являются задачи на нахождение площадей поверхностей и объемов. Архимед вычислил площади эллипса, параболического сегмента, нашел площади поверхности конуса и шара, объемы шара и сферического сегмента, а также различных тел вращения и их сегментов. Он нашёл общий метод, позволяющий найти любую площадь или объём. Трудно переоценить значение этого метода, без которого была бы немыслима ни физика, ни астрономия. Идеи Архимеда легли в основу интегрального исчисления.

А как вам такая головоломка — дана кривая линия, как определить касательную в любой её точке? В школе учат, как проводить касательную к окружности. Древние греки умели, кроме того, находить касательные к эллипсу, гиперболе и параболе. Первый общий метод решения и этой задачи был найден Архимедом. Этот метод впоследствии лёг в основу дифференциального исчисления.

В математике, физике и астрономии очень важно уметь находить наибольшие и наименьшие значения изменяющихся величин — их экстремумы. Например, как среди цилиндров, вписанных в шар, найти цилиндр, имеющий наибольший объём? Все такие задачи в настоящее время могут быть решены с помощью дифференциального исчисления.

Огромное значение для развития математики имело вычисленное Архимедом отношение длины окружности к диаметру. Архимед исследовал свойства т. н. архимедовой спирали, дал построение касательной к этой спирали, нашел площадь ее витка. Архимеду принадлежит формула для определения площади треугольника через три его стороны. Он дал теорию полуправильных выпуклых многогранников, которые стали называться архимедовы тела.

Солнечный лазер и «когти» Архимеда

В 212 году до нашей эры римский флот подошел под стены Сиракуз. Это стало завершающим этапом осады. Город, блокированный с суши, теперь был заперт и со стороны моря. Тяжелые корабли с веслами в пять рядов подошли под самые стены и метатели с их палуб забрасывали войска оборонявшихся стрелами и камнями. Архимед до сих пор использовал свой гений только в мирных целях, но когда война пришла в его дом, он не оставил исследований, но начал работу, которая могла бы помочь родному городу.

Одна за другой у жителей Сиракуз стали появляться чудодейственные машины. Одни метали в нападавших копья и камни. Другие захватывали корабли за нос, поднимали над водой и с высоты бросали вниз – эти устройства получили название «когти Архимеда». Неожиданно возникшие водовороты как скорлупки швыряли тяжелые боевые суда по морской глади и выбрасывали их на прибрежные скалы. Плутарх писал: «Вдруг с высоты стен бревна опускались, вследствие своего веса и приданной скорости, на суда и топили их. То железные когти и клювы захватывали суда, поднимали их в воздух носом вверх, кормою вниз и потом погружали в воду. А то суда приводились во вращение и, кружась, попадали на подводные камни и утесы у подножия стен. Большая часть, находящихся на судах, погибала под ударом. Всякую минуту видели какое-нибудь судно поднятым в воздухе над морем. Страшное зрелище!»

Но и это еще не все. Нежданно на стене появилось огромное зеркало. Оно отразило лучи Солнца, направило их на один из вражеских кораблей, и тот вспыхнул, как факел. Огонь быстро распространялся, и вот под угрозой оказались соседние суда. Римляне решили отвести флот дальше от города. Архимед хорошо знал зажигательные свойства вогнутых зеркал, проводил опыты по преломлению света, знал свойства изображений в плоских, выпуклых и вогнутых зеркалах.

Римляне вынуждены были отказаться от мысли взять город штурмом и перешли к осаде. Знаменитый историк древности Полибий писал: «Такова чудесная сила одного человека, одного дарования, умело направленного на какое-либо дело… римляне могли бы быстро овладеть городом, если бы кто-либо изъял из среды сиракузцев одного старца». Только вследствие измены Сиракузы были взяты римлянами. При этом Архимед был убит.

«Не наступай на мои чертежи!»

Рассказывали несколько разных историй о гибели великого ученого.

Например, говорили, что в разгар боя он сидел на пороге своего дома, углубленно размышляя над чертежами, сделанными им прямо на дорожном песке. В это время пробегавший мимо римский воин наступил на технический рисунок. И возмущенный изобретатель бросился на римлянина с криком: «Не наступай на мои чертежи!» Эта фраза стоила Архимеду жизни. Солдат остановился и хладнокровно зарубил старика мечом.

В другом повествовании военачальник римлян Марцелл специально послал солдата на поиски знаменитого Архимеда. Воин разыскал ученого и сказал: «Иди со мной, тебя зовет Марцелл». — «Какой еще Марцелл?! Я должен решить задачу!» – отвечал Архимед. Разгневанный неповиновением римлянин грубо потащил ученого, приставив меч к его горлу. Архимед сопротивлялся, как мог, но силы были не равны. К тому же рука легионера дрогнула, и меч пронзил 75-летнего старика.

То, что истина и наука были для Архимеда дороже, чем жизнь, рассказывается и в еще одной легенде. Когда солдат ворвался в дом Архимеда для грабежа и занес меч на хозяина, тот не убегал, а успел крикнуть: «Остановись, подожди хотя бы немного. Я хочу закончить решение задачи, а потом делай, что хочешь!»

И, наконец, в древних летописях есть упоминание о том, что Архимед сам отправился к Марцеллу, чтобы отнести ему свои приборы для измерения величины Солнца. По дороге его ноша привлекла внимание римских солдат. Они решили, что ученый несет в ларце золото или драгоценности и, недолго думая, перерезали ему горло.

Однако многие историки полагают, что Архимед был убит неслучайно — ведь его ум стоил в те времена целой армии. Захватчики, во-первых, хотели отмстить ему за неудачный штурм, а во-вторых, всерьез опасались, что неугомонный изобретатель может вновь огорошить их какой-нибудь дьявольской выдумкой.

Учитель гениев

Современникам Архимеда было трудно самостоятельно пользоваться плодами его трудов, слишком сложными и новаторскими были его идеи – они на века опередили время. Работы Архимеда позже изучали и преподавали математики Анфимий из Тралл и Исидор из Милета, архитекторы собора св. Софии, возведенного в Константинополе в VI веке. А реформа преподавания математики, которую проводил в Константинополе в IX веке Лев Фессалоникийский, по-видимому, способствовала собиранию работ Архимеда.

Человечество вновь и вновь «открывало» Архимеда. В Средние века часть трактатов Архимеда перевели на арабский язык. Достижения античного учёного оказали влияние на развитие математики исламского Средневековья, в частности, на определение объёмов тел вращения, центров тяжести сложных геометрических конструкций. Несмотря на то, что учёные их даже вычислили несколько новых интегралов, далеко они не продвинулись. Их достижения лишь несколько дополнили открытия Архимеда.

Средневековые латиноязычные ученые впервые услышали об Архимеде в XII веке, когда появились два перевода с арабского на латынь его сочинения «Об измерении круга». Но наибольшее влияние работы Архимеда оказали на математиков Европы в XVI—XVII веках. Результаты его работ использовали в своих сочинениях такие всемирно известные математики и физики, как Иоганн Кеплер, Галилео Галилей, Рене Декарт, Пьер Ферма, Исаак Ньютон, Готфрид Лейбниц.

А недавно были найдены неизвестные ранее труды Архимеда. Американские учёные из Музея искусств имени Уолтерса в Балтиморе обнаружили несколько неизвестных ранее текстов, написанных древнегреческим математиком. Уникальные записи были скрыты под картинами, нанесёнными поверх текста. Специалисты сумели прочесть трактаты Архимеда, не разрушая поверхностный слой. Тексты были написаны на пергаменте из козлиной шкуры в X веке. Тремя веками позднее свитки попали в иерусалимский монастырь. Монахи превратили пергамент в палимпсест — счистили тексты Архимеда, нанесли поверх них греческие православные молитвы, разрезали листы пополам и сделали из них 174-страничную книгу. Поскольку страницы сшивались в произвольном порядке, некоторые фрагменты трудов Архимеда могут быть безвозвратно утеряны.

В XX веке какие-то умельцы, желая увеличить ценность этой сенсационной находки и продать её подороже, дорисовали золотой краской на пергаменте иллюстрации религиозного содержания. В результате оригинальный текст был почти полностью уничтожен и расшифровать его учёные смогли только с помощью рентгеновской аппаратуры, которую обычно применяют геологи и биологи. Пергамент был пропущен через синхротрон (ускоритель электронов), и, благодаря тому, что древний писец использовал чернила с железосодержащим пигментом, текст стал различим. Работа эта была очень кропотливой — на восстановление текста одной страницы уходило около 12 часов.

«Околдованный домашнею сиреною»

Среди чудом обнаруженных произведений Архимеда – «Метод механических теорем» и «Стомахион», ранее известные лишь по одной копии, а также уникальный трактат «О плавающих телах». В настоящее время специалисты занимаются изучением трудов великого математика и философа.

Плутарх пишет: «Архимед был настолько горд наукой, что именно о тех своих открытиях, благодаря которым он приобрел славу, он не оставил ни одного сочинения». Многих работ Архимеда современные ученые действительно не читали. Мы не знаем, например, конструкций его боевых машин, нам неизвестно, как он мог вычислять квадратные корни из больших чисел, и многое другое.

Плутарх писал: «Нет оснований не верить написанному об Архимеде, что он жил как бы околдованный какою-то домашнею сиреною, постоянной его спутницей, заставляющей его забывать пищу, питье, всякие заботы о своем теле. Иногда, приведенный в баню, он чертил пальцем на золе очага геометрические фигуры, или проводил линии на умащенном маслом своем теле. Автор прекрасных открытий, он просил своих родственников поставить на его могиле цилиндр, включающий в себя конус и шар, и подписать отношение их объемов (3:2:1)». И в память об этом гении древности потомки Архимеда через века пронесут его радостный возглас, боевой клич науки: «Эврика!» — «Я нашел!»

Подготовил Иоанн Микрюков по материалам «История» , «Планета» , «Люди» , «24 СМИ»

💥 Видео

Длина окружности и площадь кругаСкачать

ПЛОЩАДЬ КРУГА. ЛАЙФХАК #math #логика #загадка #математика #геометрияСкачать

Формула Площади Круга. Доказательство АрхимедаСкачать

+Как найти длину окружностиСкачать

Лучший способ найти площадь кругаСкачать

Длина окружности. Площадь круга, 6 классСкачать

Лекальные кривые. Спираль Архимеда. Эвольвента окружности. ЦиклоидаСкачать

КАК НАЙТИ ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ, ЕСЛИ ИЗВЕСТЕН ДИАМЕТР ИЛИ РАДИУС? Примеры | МАТЕМАТИКА 6 классСкачать

КАК НАЙТИ ДИАМЕТР ОКРУЖНОСТИ, ЕСЛИ ИЗВЕСТНА ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ? Примеры | МАТЕМАТИКА 6 классСкачать

Длина параболы и спирали Архимеда: что у них общего?Скачать

Длина окружностиСкачать

Площадь круга. Математика 6 класс.Скачать

Радиус и диаметрСкачать