1. Свойство углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой (формулировки и примеры)
При пересечении двух прямых секущей, образуется 8 уг-
лов. На рисунке 8 обозначим их цифрами.
Углы 3 и 5, 4 и 6 — накрест лежащие;
Углы 4 и 5, 3 и 6 — односторонние;
Углы 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7 — соответственные.
Если прямые а и Ь на рис.8 параллельны, то эти углы
имеют специальные свойства:
Теорема: Если две параллельные прямые пересечены се-
кущей, то накрест лежащие углы равны.
Теорема: Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.
Теорема: Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180°
2. Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними.
Решением треугольника называется нахождение всех его шести элементов (трех сторон и трех углов) по каким-нибудь трем заданным элементам, определяющим треугольник.
Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними
То есть мы нашли три неизвестных элемента треугольника, а значит, решили треугольник.
3. Задача по теме »Средняя линия треугольника» (типа №46-48)
№46. В треугольнике ABC отмечены точки D и E, которые являются серединами сторон AB и BC соответственно Найдите периметр четырехугольника ADEC, если AB=24 см, BC=32 см и АС=44 см
DE — средняя линия треугольника ABC по определению. По свойству средней линии (средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьем стороне и равна ее половине)
Периметр четырехугольника ADEC равен
№ 47 . Диагональ квадрата равна 26 см. Найдите периметр
четырехугольника, вершинами которого являются середи-
ны сторон квадрата.
Периметр четырехугольника EFGH равен EF+FG+GH+HE=4EF=4*13=52 cм.
№ 48 . В равностороннем треугольнике QRP отмечены точки S, T и O, которые являются серединами сторон QR, RP и QP соответственно. Найдите периметр параллелограмма QSTO, если периметр треугольника SRT равен 27 см.
ST — средняя линия треугольника QRP, по свойству средней линии она параллельна QP и равна . Треугольники следовательно, т. SPT — равносторонний , и SR=RT=ST, его периметр равен SR+RT+ST= 27 см, откуда получаем, что 3SR=27 cм; SR=9см=RT=ST. QO= = ST=9 см; QS= =SR=9 см. В параллелограмме противоположные стороны равны, значит, SQ=TO. Следовательно, периметр параллелограмма QSTO равен ST+TO+OQ+QS=36см.
4. Задача по теме «Неравенство треугольника»
(типа № 44)
№ 44. Расстояние от точки А до точек В и С равны 3 см и
14 см соответственно, а расстояния от точки D до точек
В и С равны 5 см и б см соответственно. Докажите, что
точки А, В, С и D лежат на одной прямой.
AC=14, AB=3, CD=6, BD=5 (см)
Проведем отрезок AC. Проведем окружность с центром в точке A радиуса 3 см. Точка B лежит на этой окружности. При этом AM=3 cм. Проведем окружность с центром в точке С радиуса 6 см. Точка D лежит на этой окружности. При этом CN=6 см. Тогда MN=AC-AM-CN=5 см. Теперь видим, что BD=5см, тогда и только тогда, когда точки B и D лежат на отрезке AC. Что и требовалось доказать.
Углы при пересечении двух прямых
Если какие-нибудь две прямые пересечены третьей прямой, то пересекающая их прямая называется секущей по отношению к прямым, которые она пересекает.
При пересечении двух прямых третьей, образуется два вида углов: внешние и внутренние.
На рисунке изображены две прямые a и b, пересекаемые прямой c. Прямая c по отношению к прямым a и b является секущей. Синим цветом на рисунке обозначены внешние углы (∠1, ∠2, ∠7 и ∠8), а красным — внутренние углы (∠3, ∠4, ∠5 и ∠6).
Также при пересечении двух прямых третьей, образовавшиеся углы получают попарно следующие названия:
| Соответственные углы: ∠1 и ∠5, ∠3 и ∠7, ∠2 и ∠6, ∠4 и ∠8. |  |
| Внутренние накрест лежащие углы: ∠3 и ∠6, ∠4 и ∠5. |  |
| Внешние накрест лежащие углы: ∠1 и ∠8, ∠2 и ∠7. |  |
| Внутренние односторонние углы: ∠3 и ∠5, ∠4 и ∠6. |  |
| Внешние односторонние углы: ∠1 и ∠7, ∠2 и ∠8. |  |
Углы при пересечении параллельных прямых
Если секущая пересекает две параллельные прямые линии, то:
- внутренние накрест лежащие углы равны;
- сумма внутренних односторонних углов равна 180°;
- соответственные углы равны;
- внешние накрест лежащие углы равны;
- сумма внешних односторонних углов равна 180°.
Геометрия. Урок 2. Углы
Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:
- Углы
Понятие угла
Угол – геометрическая фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки.
Стороны угла – лучи, которые образуют угол.
Вершина угла – точка, из которой выходят лучи.
Угол называют тремя заглавными латинскими буквами, которыми обозначены вершина и две точки, расположенные на сторонах угла.
Важно: в названии буква, обозначающая вершину угла, стоит между двумя буквами, обозначающими точки на сторонах угла. Так, угол, изображенный на рисунке, можно назвать: ∠ A O B или ∠ B O A , но ни в коем случае не ∠ O A B , ∠ O B A , ∠ A B O , ∠ B A O .
Величину угла измеряют в градусах. ∠ A O B = 24 ° .
Виды углов:
Биссектриса угла
Биссектриса угла – это луч с началом в вершине угла, делящий его на два равных угла.
Биссектриса угла – это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла.
O D – биссектриса угла ∠ A O B . Она делит этот угол на два равных угла.
∠ A O D = ∠ B O D = ∠ A O B 2
Точка D – произвольная точка на биссектрисе. Она равноудалена от сторон O A и O B угла ∠ A O B .
Углы, образованные при пересечении двух прямых
Вертикальные углы – пара углов, у которых стороны одного угла являются продолжением сторон второго.
Свойство: вертикальные углы равны.
Смежные углы – пара углов, у которых одна сторона общая, а две другие стороны расположены на одной прямой.
Свойство: сумма смежных углов равна 180 ° .
( 1 ) и ( 3 )
( 2 ) и ( 4 )
называются вертикальными .
По свойству вертикальных углов:
∠ C O D = ∠ A O B
∠ B O D = ∠ A O C
( 1 ) и ( 2 )
( 2 ) и ( 3 )
( 3 ) и ( 4 )
( 4 ) и ( 1 )
называются смежными .
По свойству смежных углов:
∠ C O D + ∠ D O B = 180 ° ∠ D O B + ∠ B O A = 180 ° ∠ B O A + ∠ A O C = 180 ° ∠ A O C + ∠ C O D = 180 °
Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей
Прямая, пересекающая две заданные прямые, называется секущей этих прямых.
Существует пять видов углов, которые образуются при пересечении двух прямых секущей.
( 1 ) и ( 5 )
( 2 ) и ( 6 )
( 3 ) и ( 7 )
( 4 ) и ( 8 )
называются соответственными .
(Легко запомнить: они соответствуют друг другу, похожи друг на друга).
( 3 ) и ( 5 )
( 4 ) и ( 6 )
называются внутренними односторонними .
(Легко запомнить: лежат по одну сторону от секущей, между двумя прямыми).
( 1 ) и ( 7 )
( 2 ) и ( 8 )
называются внешними односторонними .
(Легко запомнить: лежат по одну сторону от секущей по разные стороны от двух прямых).
( 3 ) и ( 6 )
( 4 ) и ( 5 )
называются внутренними накрест лежащими .
(Легко запомнить: лежат между двумя прямыми, расположены наискосок друг относительно друга).
( 1 ) и ( 8 )
( 2 ) и ( 7 )
называются внешними накрест лежащими .
(Легко запомнить: лежат по разные стороны от двух прямых, расположены наискосок друг относительно друга).
Если прямые, которые пересекает секущая, параллельны , то углы имеют следующие свойства:
- Соответственные углы равны.
- Внутренние накрест лежащие углы равны.
- Внешние накрест лежащие углы равны.
- Сумма внутренних односторонних углов равна 180 ° .
- Сумма внешних односторонних углов равна 180 ° .
Сумма углов многоугольника
Сумма углов произвольного n -угольника вычисляется по формуле:
S n = 180 ° ⋅ ( n − 2 )
где n – это количество углов в n -угольнике.
Пользуясь этой формулой, можно вычислить сумму углов для произвольного n -угольника.
Сумма углов треугольника: S 3 = 180 ° ⋅ ( 3 − 2 ) = 180 °
Сумма углов четырехугольника: S 4 = 180 ° ⋅ ( 4 − 2 ) = 360 °
Сумма углов пятиугольника: S 5 = 180 ° ⋅ ( 5 − 2 ) = 540 °
Так можно продолжать до бесконечности.
Правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны.
На рисунках изображены примеры правильных многоугольников:
Чтобы найти величину угла правильного n -угольника , необходимо сумму углов этого многоугольника разделить на количество углов.
α n = 180 ° ⋅ ( n − 2 ) n
Примеры решений заданий из ОГЭ
Модуль геометрия: задания, связанные с углами