Найти координаты центра и радиус описанной окружности треугольника

Как найти координаты центра описанной окружности треугольника

Видео:Найти центр и радиус окружностиСкачать

Найти центр и радиус окружности

Уравнение описанной окружности

Как составить уравнение описанной около треугольника окружности по координатам его вершин? Как найти координаты центра описанной окружности? Как найти радиус описанной окружности, зная координаты вершин треугольника?

Решение всех этих задач сводится к одной — написать уравнение окружности, проходящей через три данные точки. Для этого достаточно подставить координаты точек (вершин треугольника) в уравнение окружности. Получим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными: координатами центра и радиусом окружности.

Составить уравнение описанной окружности для треугольника с вершинами в точках A(2;1), B(6;3), C(9;2).

Подставив координаты вершин треугольника в уравнение окружности

Найти координаты центра и радиус описанной окружности треугольника

получим систему уравнений

Найти координаты центра и радиус описанной окружности треугольника

Вычтем из первого уравнения системы второе:

Найти координаты центра и радиус описанной окружности треугольника

Найти координаты центра и радиус описанной окружности треугольника

Найти координаты центра и радиус описанной окружности треугольника

Найти координаты центра и радиус описанной окружности треугольника

Теперь из второго уравнения системы вычтем третье:

Найти координаты центра и радиус описанной окружности треугольника

Найти координаты центра и радиус описанной окружности треугольника

Найти координаты центра и радиус описанной окружности треугольника

Приравняем правые части равенств b=-2a+10 и b=3a-20:

Найти координаты центра и радиус описанной окружности треугольника

Найти координаты центра и радиус описанной окружности треугольника

Найти координаты центра и радиус описанной окружности треугольника

Найти координаты центра и радиус описанной окружности треугольника

Подставим в первое уравнение системы a=6 и b=-2:

Найти координаты центра и радиус описанной окружности треугольника

Найти координаты центра и радиус описанной окружности треугольника

Найти координаты центра и радиус описанной окружности треугольника

a и b — координаты центра окружности, R — её радиус. Таким образом, точка (6;-2) — центр описанной около треугольника ABC окружности, радиус R=5, а уравнение описанной окружности

Найти координаты центра и радиус описанной окружности треугольника

Для решения аналогичной задачи для четырёхугольника либо многоугольника достаточно знать координаты трёх его вершин.

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Центр описанной окружности треугольника

Если треугольник вписан в окружность так, что его вершины располагаются на окружности, такая окружность называется описанной, а треугольник считается вписанным в данную окружность.

Центр окружности расположен в точке пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника. Серединный перпендикуляр — прямая, которая проходит через середину отрезка, перпендикулярно ему.
Вокруг треугольника возможно описать только одну окружность.

Чтобы определить радиус R описанной окружности, необходимо произведение сторон треугольника (a × b × с) разделить на учетверенную S — площадь треугольника:
R = (a × b × с) / 4S.

Если окружность описана около равностороннего треугольника, радиус R равняется:
R = a /√3.

В том случае, когда окружность описана около прямоугольного треугольника, середина его гипотенузы (с ) является центром описанной окружности.
Радиус R составляет ½ гипотенузы: R = с/2.

Радиус окружности R также равняется медиане m, проведенной к гипотенузе: R = m.

Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы сможете быстро и правильно определить координаты центра описанной окружности.

Видео:№578. Найдите координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением: а) х2+y2+z2 = 49; б) (x — 3)2Скачать

№578. Найдите координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением: а) х2+y2+z2 = 49; б) (x — 3)2

Окружность, описанная около треугольника.
Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов

Найти координаты центра и радиус описанной окружности треугольникаСерединный перпендикуляр к отрезку
Найти координаты центра и радиус описанной окружности треугольникаОкружность описанная около треугольника
Найти координаты центра и радиус описанной окружности треугольникаСвойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
Найти координаты центра и радиус описанной окружности треугольникаДоказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Найти координаты центра и радиус описанной окружности треугольника

Видео:найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать

найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника

Серединный перпендикуляр к отрезку

Определение 1 . Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).

Найти координаты центра и радиус описанной окружности треугольника

Теорема 1 . Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны.

Найти координаты центра и радиус описанной окружности треугольника

Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB . Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D .

Найти координаты центра и радиус описанной окружности треугольника

Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB . Действительно,

Найти координаты центра и радиус описанной окружности треугольника

Найти координаты центра и радиус описанной окружности треугольника

Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.

Найти координаты центра и радиус описанной окружности треугольника

Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE . Действительно,

Найти координаты центра и радиус описанной окружности треугольника

Найти координаты центра и радиус описанной окружности треугольника

Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2

Видео:Радиус описанной окружностиСкачать

Радиус описанной окружности

Окружность, описанная около треугольника

Определение 2 . Окружностью, описанной около треугольника , называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником .

Найти координаты центра и радиус описанной окружности треугольника

Видео:Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

Построить описанную окружность (Задача 1)

Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов

ФигураРисунокСвойство
Серединные перпендикуляры
к сторонам треугольника
Найти координаты центра и радиус описанной окружности треугольникаВсе серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
Посмотреть доказательство
Окружность, описанная около треугольникаНайти координаты центра и радиус описанной окружности треугольникаОколо любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиЦентр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиНайти координаты центра и радиус описанной окружности треугольникаЦентром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиНайти координаты центра и радиус описанной окружности треугольникаЦентр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.
Теорема синусовНайти координаты центра и радиус описанной окружности треугольника

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Найти координаты центра и радиус описанной окружности треугольника,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Площадь треугольникаНайти координаты центра и радиус описанной окружности треугольника

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Радиус описанной окружностиНайти координаты центра и радиус описанной окружности треугольника

Для любого треугольника справедливо равенство:

Найти координаты центра и радиус описанной окружности треугольника

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника
Найти координаты центра и радиус описанной окружности треугольника

Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Окружность, описанная около треугольникаНайти координаты центра и радиус описанной окружности треугольника

Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиНайти координаты центра и радиус описанной окружности треугольника

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиНайти координаты центра и радиус описанной окружности треугольника

Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиНайти координаты центра и радиус описанной окружности треугольника

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.

Теорема синусовНайти координаты центра и радиус описанной окружности треугольника

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Найти координаты центра и радиус описанной окружности треугольника,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Площадь треугольникаНайти координаты центра и радиус описанной окружности треугольника

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Радиус описанной окружностиНайти координаты центра и радиус описанной окружности треугольника

Для любого треугольника справедливо равенство:

Найти координаты центра и радиус описанной окружности треугольника

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Теорема 3 . Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).

Найти координаты центра и радиус описанной окружности треугольника

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.

Следствие . Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Доказательство . Рассмотрим точку O , в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).

При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:

из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA , OB , OC проходит через все три вершины треугольника ABC , что и требовалось доказать.

Теорема 4 (теорема синусов) . Для любого треугольника (рис. 7)

Найти координаты центра и радиус описанной окружности треугольника

Найти координаты центра и радиус описанной окружности треугольника.

Доказательство . Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса R хорды окружности радиуса R , на которую опирается вписанный угол величины φ , вычисляется по формуле:

l = 2Rsin φ .(1)

Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).

Найти координаты центра и радиус описанной окружности треугольника

Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.

Формула (1) доказана.

Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.7):

Видео:начертить окружность. Привести уравнение окружности к стандартному виду. Координаты центра и радиус.Скачать

начертить окружность. Привести уравнение окружности к стандартному виду. Координаты центра и радиус.

439. Даны точки О (0; 0; 0), А (4; 0; 0), В (0; 6; 0), С (0; 0; —2). Найдите: а) координаты центра и радиус окружности, описанной около треугольника АОВ; б) координаты точки, равноудаленной от вершин тетраэдра OABC.

Найти координаты центра и радиус описанной окружности треугольника

где r — радиус окружности;

Точки А, О, В и R лежат в одной плоскости.

Точка О (0; 0; 0) совпадает с началом координат, А (4; 0; 0) лежит на оси

Ох; В (0; 6; 0) лежит на оси Оу, следовательно, ΔAOB лежит в координатной плоскости Оху, тогда, центр описанной окружности лежит в той же плоскости. Следовательно, координаты центра: R (х; у; 0). По формуле расстояния между двумя точками:

Найти координаты центра и радиус описанной окружности треугольника

Можем записать систему уравнений:

Найти координаты центра и радиус описанной окружности треугольникаНайти координаты центра и радиус описанной окружности треугольникаНайти координаты центра и радиус описанной окружности треугольника

Координаты центра окружности, описанной около ΔAOB: R (2; 3; 0). Радиус описанной окружности равен AR=BR=OR=r,

Найти координаты центра и радиус описанной окружности треугольника

б) Если точка R (х; у; z) равноудалена от вершин тетраэдра ОАВС, то

Найти координаты центра и радиус описанной окружности треугольникаНайти координаты центра и радиус описанной окружности треугольника

Можем записать систему уравнений:

Найти координаты центра и радиус описанной окружности треугольника

Найти координаты центра и радиус описанной окружности треугольника Решебник по геометрии за 10 класс (Л.С.Атанасян, 2001 год),
задача №439
к главе «Глава V. Метод координат в пространстве. § 1. Координаты точки и координаты вектора.».

Видео:Как найти центр и радиус нарисованной окружности #математика #егэ2023 #школа #fyp #shortsСкачать

Как найти центр и радиус нарисованной окружности #математика #егэ2023 #школа #fyp #shorts

Уравнение описанной окружности

Как составить уравнение описанной около треугольника окружности по координатам его вершин? Как найти координаты центра описанной окружности? Как найти радиус описанной окружности, зная координаты вершин треугольника?

Решение всех этих задач сводится к одной — написать уравнение окружности, проходящей через три данные точки. Для этого достаточно подставить координаты точек (вершин треугольника) в уравнение окружности. Получим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными: координатами центра и радиусом окружности.

Составить уравнение описанной окружности для треугольника с вершинами в точках A(2;1), B(6;3), C(9;2).

Подставив координаты вершин треугольника в уравнение окружности

Найти координаты центра и радиус описанной окружности треугольника

получим систему уравнений

Найти координаты центра и радиус описанной окружности треугольника

Вычтем из первого уравнения системы второе:

Найти координаты центра и радиус описанной окружности треугольника

Найти координаты центра и радиус описанной окружности треугольника

Найти координаты центра и радиус описанной окружности треугольника

Найти координаты центра и радиус описанной окружности треугольника

Теперь из второго уравнения системы вычтем третье:

Найти координаты центра и радиус описанной окружности треугольника

Найти координаты центра и радиус описанной окружности треугольника

Найти координаты центра и радиус описанной окружности треугольника

Приравняем правые части равенств b=-2a+10 и b=3a-20:

Найти координаты центра и радиус описанной окружности треугольника

Найти координаты центра и радиус описанной окружности треугольника

Найти координаты центра и радиус описанной окружности треугольника

Найти координаты центра и радиус описанной окружности треугольника

Подставим в первое уравнение системы a=6 и b=-2:

Найти координаты центра и радиус описанной окружности треугольника

Найти координаты центра и радиус описанной окружности треугольника

Найти координаты центра и радиус описанной окружности треугольника

a и b — координаты центра окружности, R — её радиус. Таким образом, точка (6;-2) — центр описанной около треугольника ABC окружности, радиус R=5, а уравнение описанной окружности

Найти координаты центра и радиус описанной окружности треугольника

Для решения аналогичной задачи для четырёхугольника либо многоугольника достаточно знать координаты трёх его вершин.

📺 Видео

Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).Скачать

Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).

№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружностиСкачать

№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружности

Задание 16 ОГЭ по математике. Две окружности одна описана около квадрата, другая вписана в него.Скачать

Задание 16 ОГЭ по математике. Две окружности одна  описана около квадрата, другая вписана в него.

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.

За 5 секунд находим радиус описанной окружности #геометрия #образование #обучение #репетиторСкачать

За 5 секунд находим радиус описанной окружности #геометрия #образование #обучение #репетитор

Формула радиуса описанной окружности треугольника. Геометрия 9 классСкачать

Формула радиуса описанной окружности треугольника. Геометрия 9 класс

ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэСкачать

ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэ

ОГЭ 2019. Задание 17. Разбор задач. Геометрия. Окружность.Скачать

ОГЭ 2019.  Задание 17. Разбор задач. Геометрия. Окружность.

Задание 24 ОГЭ по математике #7Скачать

Задание 24 ОГЭ по математике #7
Поделиться или сохранить к себе: