Центры вписанной и описанной окружности треугольника совпадают в треугольнике

Треугольник: вписанная и описанная окружности

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Окружность, вписанная в треугольник

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

Видео:Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания

Окружность, описанная около треугольника

Окружность, проходящая через все вершины треугольника, называется описанной около треугольника окружностью.

  • Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника;
  • Радиус описанной окружности можно найти из теоремы синусов : a sin α = b sin β = c sin γ = 2 R frac=frac=frac=2R sin α a ​ = sin β b ​ = sin γ c ​ = 2 R .

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Центры вписанной и описанной окружности треугольника совпадают в треугольнике

Укажите номера верных утверждений.

1) Центры вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника совпадают.

2) Существует квадрат, который не является ромбом.

3) Сумма углов любого треугольника равна 180° .

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Центры вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника совпадают» — верно, т. к. совпадают точки пересечения биссектрис и серединных перпендикуляров этого треугольника.

2) «Существует квадрат, который не является ромбом» — неверно; верным будет утверждение: «Существует ромб, который не является квадратом».

3) «Сумма углов любого треугольника равна 180°» — верно по свойству треугольника.

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Свойства равностороннего треугольника: теория и пример задачи

В данной статье мы рассмотрим определение и свойства равностороннего (правильного) треугольника. Также разберем пример решения задачи для закрепления теоретического материала.

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Определение равностороннего треугольника

Равносторонним (или правильным) называется треугольник, в котором все стороны имеют одинаковую длину. Т.е. AB = BC = AC.

Центры вписанной и описанной окружности треугольника совпадают в треугольнике

Примечание: правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, имеющий равные стороны и углы между ними.

Видео:Радиус описанной окружностиСкачать

Радиус описанной окружности

Свойства равностороннего треугольника

Свойство 1

В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Т.е. α = β = γ = 60°.

Центры вписанной и описанной окружности треугольника совпадают в треугольнике

Свойство 2

В равностороннем треугольнике высота, проведенная к любой из сторон, одновременно является биссектрисой угла, из которого она проведена, а также медианой и серединным перпендикуляром.

Центры вписанной и описанной окружности треугольника совпадают в треугольнике

CD – медиана, высота и серединный перпендикуляр к стороне AB, а также биссектриса угла ACB.

Свойство 3

В равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы, высоты и серединные перпендикуляры, проведенные ко всем сторонам, пересекаются в одной точке.

Центры вписанной и описанной окружности треугольника совпадают в треугольнике

Свойство 4

Центры вписанной и описанной вокруг равностороннего треугольника окружностей совпадают и находятся на пересечении медиан, высот, биссектрис и серединных перпендикуляров.

Центры вписанной и описанной окружности треугольника совпадают в треугольнике

Свойство 5

Радиус описанной вокруг равностороннего треугольника окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности.

Центры вписанной и описанной окружности треугольника совпадают в треугольнике

  • R – радиус описанной окружности;
  • r – радиус вписанной окружности;
  • R = 2r.

Свойство 6

В равностороннем треугольнике, зная длину стороны (условно примем ее за “a”), можно вычислить:

1. Высоту/медиану/биссектрису:
Центры вписанной и описанной окружности треугольника совпадают в треугольнике

2. Радиус вписанной окружности:
Центры вписанной и описанной окружности треугольника совпадают в треугольнике

3. Радиус описанной окружности:
Центры вписанной и описанной окружности треугольника совпадают в треугольнике

4. Периметр:
Центры вписанной и описанной окружности треугольника совпадают в треугольнике

5. Площадь:
Центры вписанной и описанной окружности треугольника совпадают в треугольнике

Видео:Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.

Пример задачи

Дан равносторонний треугольник, сторона которого равна 7 см. Найдите радиус описанной вокруг и вписанной окружности, а также, высоту фигуры.

Решение
Применим формулы, приведеные выше, для нахождения неизвестных величин:

🌟 Видео

Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).Скачать

Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).

Вписанные и описанные окружности (в треугольник)Скачать

Вписанные и описанные окружности (в треугольник)

Урок 80. Определение положения центра масс телаСкачать

Урок 80. Определение положения центра масс тела

Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

Построить описанную окружность (Задача 1)

Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника, окружностьСкачать

Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника,  окружность

Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСССкачать

Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСС

Геометрия. 9 класс. Формулы для нахождения радиусов вписанной и описанной окружностей треугольникаСкачать

Геометрия. 9 класс. Формулы для нахождения радиусов вписанной и описанной окружностей треугольника

Описанная и вписанная окружности треугольника - 7 класс геометрияСкачать

Описанная и вписанная окружности треугольника - 7 класс геометрия

Центры вписанной и описанной окружностей ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Центры вписанной и описанной окружностей ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Тема 7. Вписанные и описанные окружности треугольникаСкачать

Тема 7. Вписанные и описанные окружности треугольника

Пара фактов про окружность | Ботай со мной #067 | Борис Трушин |Скачать

Пара фактов про окружность | Ботай со мной #067 | Борис Трушин |

8 класс, 38 урок, Вписанная окружностьСкачать

8 класс, 38 урок, Вписанная окружность

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика
Поделиться или сохранить к себе: