Центр вписанной окружности в треугольник всегда лежит внутри этого

Окружность, описанная около треугольника.
Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов
Центр вписанной окружности в треугольник всегда лежит внутри этогоСерединный перпендикуляр к отрезку
Центр вписанной окружности в треугольник всегда лежит внутри этогоОкружность описанная около треугольника
Центр вписанной окружности в треугольник всегда лежит внутри этогоСвойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
Центр вписанной окружности в треугольник всегда лежит внутри этогоДоказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Центр вписанной окружности в треугольник всегда лежит внутри этого

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Серединный перпендикуляр к отрезку

Определение 1 . Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).

Центр вписанной окружности в треугольник всегда лежит внутри этого

Теорема 1 . Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны.

Центр вписанной окружности в треугольник всегда лежит внутри этого

Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB . Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D .

Центр вписанной окружности в треугольник всегда лежит внутри этого

Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB . Действительно,

Центр вписанной окружности в треугольник всегда лежит внутри этого

Центр вписанной окружности в треугольник всегда лежит внутри этого

Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.

Центр вписанной окружности в треугольник всегда лежит внутри этого

Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE . Действительно,

Центр вписанной окружности в треугольник всегда лежит внутри этого

Центр вписанной окружности в треугольник всегда лежит внутри этого

Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2

Видео:Центр описанной около треугольника окружности ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Центр описанной около треугольника окружности ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Окружность, описанная около треугольника

Определение 2 . Окружностью, описанной около треугольника , называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником .

Центр вписанной окружности в треугольник всегда лежит внутри этого

Видео:ОГЭ 2019. Задание 17. Разбор задач. Геометрия. Окружность.Скачать

ОГЭ 2019.  Задание 17. Разбор задач. Геометрия. Окружность.

Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Центр вписанной окружности в треугольник всегда лежит внутри этого,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

Центр вписанной окружности в треугольник всегда лежит внутри этого

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

ФигураРисунокСвойство
Серединные перпендикуляры
к сторонам треугольника
Центр вписанной окружности в треугольник всегда лежит внутри этогоВсе серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
Посмотреть доказательство
Окружность, описанная около треугольникаЦентр вписанной окружности в треугольник всегда лежит внутри этогоОколо любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиЦентр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиЦентр вписанной окружности в треугольник всегда лежит внутри этогоЦентром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиЦентр вписанной окружности в треугольник всегда лежит внутри этогоЦентр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.
Теорема синусовЦентр вписанной окружности в треугольник всегда лежит внутри этого
Площадь треугольникаЦентр вписанной окружности в треугольник всегда лежит внутри этого
Радиус описанной окружностиЦентр вписанной окружности в треугольник всегда лежит внутри этого
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника
Центр вписанной окружности в треугольник всегда лежит внутри этого

Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Окружность, описанная около треугольникаЦентр вписанной окружности в треугольник всегда лежит внутри этого

Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиЦентр вписанной окружности в треугольник всегда лежит внутри этого

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиЦентр вписанной окружности в треугольник всегда лежит внутри этого

Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиЦентр вписанной окружности в треугольник всегда лежит внутри этого

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.

Теорема синусовЦентр вписанной окружности в треугольник всегда лежит внутри этого

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Центр вписанной окружности в треугольник всегда лежит внутри этого,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Площадь треугольникаЦентр вписанной окружности в треугольник всегда лежит внутри этого

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Радиус описанной окружностиЦентр вписанной окружности в треугольник всегда лежит внутри этого

Для любого треугольника справедливо равенство:

Центр вписанной окружности в треугольник всегда лежит внутри этого

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Видео:№17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математикеСкачать

№17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математике

Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Теорема 3 . Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).

Центр вписанной окружности в треугольник всегда лежит внутри этого

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.

Следствие . Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Доказательство . Рассмотрим точку O , в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).

При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:

из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA , OB , OC проходит через все три вершины треугольника ABC , что и требовалось доказать.

Теорема 4 (теорема синусов) . Для любого треугольника (рис. 7)

Центр вписанной окружности в треугольник всегда лежит внутри этого

Центр вписанной окружности в треугольник всегда лежит внутри этого.

Доказательство . Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса R хорды окружности радиуса R , на которую опирается вписанный угол величины φ , вычисляется по формуле:

l = 2Rsin φ .(1)

Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).

Центр вписанной окружности в треугольник всегда лежит внутри этого

Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.

Формула (1) доказана.

Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.7):

Видео:19 ЗАДАНИЕ ОГЭ ДИАГОНАЛИ РОМБА РАВНЫ?Скачать

19 ЗАДАНИЕ ОГЭ ДИАГОНАЛИ РОМБА РАВНЫ?

Центр вписанной окружности в треугольник всегда лежит внутри этого

Задание 20. Какое из следующих утверждений верно?

1) Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника.

2) Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам.

3) Диагонали ромба равны.

1) Не обязательно, есть тупоугольные треугольники, у которых центр описанной окружности вне его.

2) Да, сумма углов любого треугольника, в том числе и равнобедренного, равна 180°.

3) Нет, диагонали ромба в общем случае не равны.

Видео:Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).Скачать

Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).

Центр вписанной окружности в треугольник всегда лежит внутри этого

Ключевые слова: окружность, описанная окружность, центр окружности, вписанная окружность, треугольник, четырехугольник, вневписанная окружность

Окружность называется вписанной в угол, если она лежит внутри угла и касается его сторон.

Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.

Окружность называется вписанной в выпуклый многоугольник, если она лежит внутри данного многоугольника и касается всех прямых, проходящих через его стороны.

Если в данный выпуклый многоугольник можно вписать окружность, то биссектрисы всех углов данного многоугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности.
Сам многоугольник в таком случае называется описанным около данной окружности.
Таким образом, в выпуклый многоугольник можно вписать не более одной окружности.

Для произвольного многоугольника невозможно вписать в него и описать около него окружность.
Для треуголь ника это всегда возможно.

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех трех его сторон, а её центр находится внутри окружности

  • Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника.
  • В любой треугольник можно вписать окружность, и только одну.
  • Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению площади треугольника и его полупериметра: $$r = frac

    $$ , где S — площадь треугольника, а $$p =frac$$ — полупериметр треугольника.

Серединным перпендикуляром называют прямую перпендикулярную отрезку и проходящую через его середину.

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через три его вершины.

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

Четырехугольник, вписанный в окружность

Окружность, вписанная в ромб

🔥 Видео

5.5.5. Задачи на верность утверждений. Решение геометрических задач. Подготовка к ОГЭ по математикеСкачать

5.5.5. Задачи на верность утверждений. Решение геометрических задач. Подготовка к ОГЭ по математике

ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэСкачать

ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэ

Треугольник и окружность #shortsСкачать

Треугольник и окружность #shorts

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Радиус описанной окружностиСкачать

Радиус описанной окружности

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

ЗАДАНИЕ №3: планиметрия простым языком | ЕГЭ по математике 2022Скачать

ЗАДАНИЕ №3: планиметрия простым языком | ЕГЭ по математике 2022

2038 центр окружности описанной около треугольника ABC лежит на стороне ABСкачать

2038 центр окружности описанной около треугольника ABC лежит на стороне AB

Сможешь найти радиус окружности? Окружность, вписанная в прямоугольный треугольникСкачать

Сможешь найти радиус окружности? Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

Окружность и треугольникСкачать

Окружность и треугольник

Вариант 21. Номер 19. ОГЭ по Математике 2024 Ященко. №40903Скачать

Вариант 21. Номер 19. ОГЭ по Математике 2024 Ященко. №40903

Разбор задачи 9.4 финала ВсОШ 2023 от автораСкачать

Разбор задачи 9.4 финала ВсОШ 2023 от автора

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy
Поделиться или сохранить к себе: