Центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении серединных перпендикуляров

Окружность, описанная около треугольника.
Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов
Центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении серединных перпендикуляровСерединный перпендикуляр к отрезку
Центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении серединных перпендикуляровОкружность описанная около треугольника
Центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении серединных перпендикуляровСвойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
Центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении серединных перпендикуляровДоказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении серединных перпендикуляров

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Серединный перпендикуляр к отрезку

Определение 1 . Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).

Центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении серединных перпендикуляров

Теорема 1 . Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны.

Центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении серединных перпендикуляров

Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB . Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D .

Центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении серединных перпендикуляров

Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB . Действительно,

Центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении серединных перпендикуляров

Центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении серединных перпендикуляров

Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.

Центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении серединных перпендикуляров

Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE . Действительно,

Центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении серединных перпендикуляров

Центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении серединных перпендикуляров

Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2

Видео:Серединный перпендикуляр. 7 класс геометрия. Центр описанной окружности треугольникаСкачать

Серединный перпендикуляр. 7 класс геометрия. Центр описанной окружности треугольника

Окружность, описанная около треугольника

Определение 2 . Окружностью, описанной около треугольника , называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником .

Центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении серединных перпендикуляров

Видео:Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

Построить описанную окружность (Задача 1)

Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении серединных перпендикуляров,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

Центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении серединных перпендикуляров

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

ФигураРисунокСвойство
Серединные перпендикуляры
к сторонам треугольника
Центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении серединных перпендикуляровВсе серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
Посмотреть доказательство
Окружность, описанная около треугольникаЦентр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении серединных перпендикуляровОколо любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиЦентр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиЦентр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении серединных перпендикуляровЦентром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиЦентр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении серединных перпендикуляровЦентр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.
Теорема синусовЦентр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении серединных перпендикуляров
Площадь треугольникаЦентр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении серединных перпендикуляров
Радиус описанной окружностиЦентр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении серединных перпендикуляров
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника
Центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении серединных перпендикуляров

Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Окружность, описанная около треугольникаЦентр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении серединных перпендикуляров

Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиЦентр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении серединных перпендикуляров

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиЦентр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении серединных перпендикуляров

Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиЦентр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении серединных перпендикуляров

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.

Теорема синусовЦентр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении серединных перпендикуляров

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении серединных перпендикуляров,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Площадь треугольникаЦентр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении серединных перпендикуляров

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Радиус описанной окружностиЦентр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении серединных перпендикуляров

Для любого треугольника справедливо равенство:

Центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении серединных перпендикуляров

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Видео:Окружности) треугольника ✧ Запомнить за 1 мин!Скачать

Окружности) треугольника ✧  Запомнить за 1 мин!

Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Теорема 3 . Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).

Центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении серединных перпендикуляров

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.

Следствие . Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Доказательство . Рассмотрим точку O , в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).

При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:

из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA , OB , OC проходит через все три вершины треугольника ABC , что и требовалось доказать.

Теорема 4 (теорема синусов) . Для любого треугольника (рис. 7)

Центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении серединных перпендикуляров

Центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении серединных перпендикуляров.

Доказательство . Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса R хорды окружности радиуса R , на которую опирается вписанный угол величины φ , вычисляется по формуле:

l = 2Rsin φ .(1)

Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).

Центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении серединных перпендикуляров

Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.

Формула (1) доказана.

Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.7):

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Описанная и вписанная окружность

теория по математике 📈 планиметрия

Видео:Точка пересечения срединных перпендикуляров сторон треугольника.Скачать

Точка пересечения срединных перпендикуляров  сторон треугольника.

Описанная окружность

Окружность называется описанной вокруг многоугольника, если все вершины многоугольника принадлежат этой окружности. Многоугольник в этом случае называется вписанным в окружность.

Любой правильный многоугольник можно вписать в окружность. На рисунке описанная окружность проходит через каждую вершину правильного шестиугольника.

Центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении серединных перпендикуляров

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Вписанная окружность

Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон. Многоугольник в этом случае называется описанным около окружности.

В любой правильный многоугольник можно вписать окружность. На рисунке окружность вписана в правильный шестиугольник, она касается всех его сторон.

Центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении серединных перпендикуляров

Вписанный и описанный треугольники

Центр описанной около треугольника окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника.

В любой треугольник можно вписать окружность: Центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении серединных перпендикуляровЦентр вписанной окружности

Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении его биссектрис.

Вписанный и описанный четырехугольники

Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность. Например, в прямоугольник нельзя вписать окружность. По рисунку видно, что окружность касается только трех его сторон, что не соответствует определению.

Центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении серединных перпендикуляровУсловие вписанной в 4-х угольник окружности

Окружность является вписанной в четырехугольник, если суммы длин противоположных сторон равны.

Центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении серединных перпендикуляров

На рисунке выполняется данное условие, то есть AD + BC=DC + AB

Окружность является описанной около четырехугольника, если суммы противоположных углов равны 180 градусов.

Центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении серединных перпендикуляров

На рисунке окружности описана около четырехугольника, следовательно выполнено условие, что сумма углов А и С равна сумме углов B и D и равна 180 градусов.

Видео:№17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математикеСкачать

№17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математике

Центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении серединных перпендикуляров

Центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении серединных перпендикуляров

Центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении серединных перпендикуляров

554. Докажите, что если центр окружности, описанной около треугольника, принадлежит его высоте, то этот треугольник равнобедренный.

555. Докажите, что если центр окружности, вписанной в треугольник, принадлежит его медиане, то этот треугольник равнобедренный.

556. Докажите, что если центры вписанной и описанной окружностей треугольника совпадают, то этот треугольник равносторонний.

557. Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении 7 : 5, считая от вершины треугольника. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 68 см.

558. Периметр треугольника ABC , описанного около окружности, равен 52 см. Точка касания со стороной AB делит эту сторону в отношении 2 : 3, считая от вершины A . Точка касания со стороной BC удалена от вершины C на 6 см. Найдите стороны треугольника.

559. В треугольник с углами 30°, 70° и 80° вписана окружность. Найдите углы треугольника, вершины которого являются точками касания вписанной окружности со сторонами данного треугольника.

560. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник ABC , касается его боковых сторон AB и BC в точках M и N соответственно. Докажите, что MN ‖ AC .

Центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении серединных перпендикуляров

561. Докажите, что если центр окружности, описанной около треугольника, принадлежит его стороне, то этот треугольник — прямоугольный.

Центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении серединных перпендикуляров

Центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении серединных перпендикуляров562. В треугольник ABC вписана окружность, касающаяся стороны AB в точке M , BС = a . Докажите, что AM = p — a , где p — полупериметр треугольника ABC .

563. К окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной a , провели касательную, пересекающую две его стороны. Найдите периметр треугольника, который эта касательная отсекает от данного.

Центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении серединных перпендикуляров

564. В равнобедренный треугольник ABC ( AB = BC ) с основанием 10 см вписана окружность. К этой окружности проведены три касательные, отсекающие от данного треугольника треугольники ADK , BEF и CMN . Сумма периметров этих треугольников равна 42 см. Чему равна боковая сторона данного треугольника?

565. В треугольнике ABC отрезок BD — медиана, AB = 7 см, BC = 8 см. В треугольники ABD и BDC вписали окружности. Найдите расстояние между точками касания этих окружностей с отрезком BD .

566. Каждый из углов BAC и ACB треугольника ABC разделили на три равные части (рис. 308). Докажите, что ∠ AMN = ∠ CMN .

567. Пусть вершина угла B недоступна (рис. 309). С помощью транспортира и линейки без делений постройте прямую, содержащую биссектрису угла B .

Центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении серединных перпендикуляров

Центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении серединных перпендикуляров

568. Точки F и O — центры вписанной и описанной окружностей равнобедренного треугольника ABC соответственно (рис. 310). Они находятся на одинаковом расстоянии от его основания AC . Найдите углы треугольника ABC .

Центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении серединных перпендикуляров

Упражнения для повторения

569. Биссектриса угла ABC образует с его стороной угол, равный углу, смежному с углом ABC . Найдите угол ABC .

570. В равнобедренном треугольнике из вершины одного угла при основании провели высоту треугольника, а из вершины другого угла при основании — биссектрису треугольника. Один из углов, образовавшихся при пересечении проведённых биссектрисы и высоты, равен 64°. Найдите углы данного треугольника.

571. На рисунке 311 BC ‖ AD , AB = 3 см, BC = 10 см. Биссектриса угла BAD пересекает отрезок BC в точке K . Найдите отрезки BK и KC .

Центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении серединных перпендикуляров

Центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении серединных перпендикуляров

572. В треугольнике ABC известно, что AB = BC , AM и CK — медианы этого треугольника. Докажите, что MK ‖ AC .

Центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении серединных перпендикуляров

Наблюдайте, рисуйте, конструируйте, фантазируйте

Центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении серединных перпендикуляров

573. В квадрате ABCD вырезали заштрихованную фигуру (рис. 312). Разделите оставшуюся часть квадрата на четыре равные фигуры.

📽️ Видео

Описанная и вписанная окружности треугольникаСкачать

Описанная и вписанная окружности треугольника

Вписанные и описанные окружности. Геометрия 9 класс. Ключевая задача №2.Скачать

Вписанные и описанные окружности. Геометрия 9 класс. Ключевая задача №2.

Вписанные и описанные окружности. Геометрия 9 класс. Ключевая задача № 3.Скачать

Вписанные и описанные окружности. Геометрия 9 класс. Ключевая задача № 3.

Где лежит центр описанной окружности? 1 задание ЕГЭ ПрофильСкачать

Где лежит центр описанной окружности? 1 задание ЕГЭ Профиль

Центр вписанной и описанной окружности #shorts #вписаннаяописаннаяокружностиСкачать

Центр вписанной и описанной окружности #shorts #вписаннаяописаннаяокружности

Окружность и треугольникСкачать

Окружность и треугольник

Точка пересечения серединных перпендикуляров.Скачать

Точка пересечения серединных перпендикуляров.

Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника, окружностьСкачать

Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника,  окружность

Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||Скачать

Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||

ОПИСАННАЯ и ВПИСАННАЯ окружности. §21 геометрия 7 классСкачать

ОПИСАННАЯ и  ВПИСАННАЯ окружности. §21 геометрия 7 класс

Тема 7. Вписанные и описанные окружности треугольникаСкачать

Тема 7. Вписанные и описанные окружности треугольника

Центр описанной окружности.Скачать

Центр описанной окружности.
Поделиться или сохранить к себе: