Центр вписанной окружности лежит внутри треугольника а центр

МАТЕМАТИКА

Центр вписанной окружности лежит внутри треугольника а центр

Формула Эйлера

Мы знаем, что в каждый треугольник можно вписать окружность и можно описать около него окружность. Ясно, что вписанная окружность лежит внутри описанной, поскольку вписанная окружность лежит внутри треугольника, а сам треугольник лежит внутри описанной окружности.

Радиусы вписанной и описанной окружностей и расстояние между их центрами всегда связаны между собой определенным соотношением. Справедлива следующая теорема.

Теорема. В треугольнике радиус R описанной окружности и радиус r вписанной окружности связаны с расстоянием d между их центрами соотношением

Центр вписанной окружности лежит внутри треугольника а центр

В частности, если d=0 (центры окружностей совпадают), то Центр вписанной окружности лежит внутри треугольника а центр.

Эта формула называется формулой Эйлера.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник АВС, у которого точка О – центр описанной окружности, а точка Центр вписанной окружности лежит внутри треугольника а центр– центр вписанной окружности. Будем считать пока, что Центр вписанной окружности лежит внутри треугольника а центр(рисунок 1). Проведем биссектрисы Центр вписанной окружности лежит внутри треугольника а центри Центр вписанной окружности лежит внутри треугольника а центруглов А и В. Они пересекаются с описанной окружностью в некоторых точках Центр вписанной окружности лежит внутри треугольника а центри Центр вписанной окружности лежит внутри треугольника а центр. Пусть P и Q – точки пересечения прямой Центр вписанной окружности лежит внутри треугольника а центрс описанной окружностью. По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд Центр вписанной окружности лежит внутри треугольника а центр, или

Центр вписанной окружности лежит внутри треугольника а центр

Заметим теперь, что поскольку Центр вписанной окружности лежит внутри треугольника а центри Центр вписанной окружности лежит внутри треугольника а центр– биссектрисы углов А и В, то Центр вписанной окружности лежит внутри треугольника а центр, а Центр вписанной окружности лежит внутри треугольника а центр. Следовательно,

Центр вписанной окружности лежит внутри треугольника а центр

Поэтому треугольник Центр вписанной окружности лежит внутри треугольника а центрравнобедренный: Центр вписанной окружности лежит внутри треугольника а центр. Таким образом, соотношение можно переписать так:

Центр вписанной окружности лежит внутри треугольника а центр

Проведем теперь диаметр Центр вписанной окружности лежит внутри треугольника а центрописанной окружности и обозначим буквой К точку касания вписанной окружности и стороны АВ. Треугольники Центр вписанной окружности лежит внутри треугольника а центри Центр вписанной окружности лежит внутри треугольника а центрподобны (они прямоугольные и имеют равные углы А и Центр вписанной окружности лежит внутри треугольника а центр), поэтому

Центр вписанной окружности лежит внутри треугольника а центр

Откуда Центр вписанной окружности лежит внутри треугольника а центр. Подставив это выражение, получим

Центр вписанной окружности лежит внутри треугольника а центр

В случае d=0 (рисунок 2) каждая из сторон треугольника АВС равна Центр вписанной окружности лежит внутри треугольника а центр, а значит, этот треугольник равносторонний.

Поэтому Центр вписанной окружности лежит внутри треугольника а центр, Центр вписанной окружности лежит внутри треугольника а центр, и, следовательно, Центр вписанной окружности лежит внутри треугольника а центр. Теорема доказана.

Замечание. В ходе доказательства теоремы мы установили весьма полезный факт:

Точка пересечения продолжения биссектрисы, проведенной из одной из вершин треугольника, с описанной окружностью равноудалена от двух других вершин и центра вписанной окружности.

Теорема Птолемея

В любой треугольник можно вписать окружность и около него можно описать окружность. Однако для других многоугольников это не так. Мы знаем, например, что в четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны. Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна Центр вписанной окружности лежит внутри треугольника а центр. Эти утверждения очень похожи друг на друга. Используя скобки, их можно объединить в одно:

Описанная (вписанная) окружность для данного четырехугольника существует тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов (сторон) равны.

Существуют и другие характеристические свойства вписанных и описанных четырехугольников. Наиболее известное основано на теореме Птолемея.

Теорема (Птолемея). Произведение диагоналей вписанного в окружность четырехугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

Доказательство.

Рассмотрим вписанный четырехугольник АВСD. Для удобства введем обозначение: АВ = а, ВС = b, CD = c, DA = d, AC = m, BD = n (рисунок 3) и докажем, что Центр вписанной окружности лежит внутри треугольника а центр.

На диагонали АС возьмем такую точку М, что Центр вписанной окружности лежит внутри треугольника а центр. Треугольники АВМ и DBC подобны по двум углам ( Центр вписанной окружности лежит внутри треугольника а центрпо построению, а углы ВАМ и BDC равны как вписанные и опирающиеся на одну и ту же дугу). Следовательно, Центр вписанной окружности лежит внутри треугольника а центр, откуда Центр вписанной окружности лежит внутри треугольника а центр, или Центр вписанной окружности лежит внутри треугольника а центр(1).

Далее, треугольники МВС и ADB также подобны, так как Центр вписанной окружности лежит внутри треугольника а центр, а углы ВСМ и BDA равны как вписанные и опирающиеся на одну и ту же дугу. Поэтому , Центр вписанной окружности лежит внутри треугольника а центр, откуда Центр вписанной окружности лежит внутри треугольника а центр, или Центр вписанной окружности лежит внутри треугольника а центр(2).

Сложив равенства (1) и (2), получим Центр вписанной окружности лежит внутри треугольника а центр, или Центр вписанной окружности лежит внутри треугольника а центр, что и требовалось доказать.

Оказывается, что рассмотренное свойство вписанного четырехугольника является характеристическим, то есть верно и обратное утверждение.

Если в выпуклом четырехугольнике произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон, то около него можно описать окружность.

Рекомендую далее изучить тему «Вневписанные окружности».

Спасибо, что поделились статьей в социальных сетях

Источник: Атанасян Л.С. Геометрия. Дополнительные главы к учебнику 8 кл.: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики.

Видео:4 С какой вероятностью центр окружности лежит внутри случайного вписанного треугольника?Скачать

4 С какой вероятностью центр окружности лежит внутри случайного вписанного треугольника?

Вписанная окружность

Окружность вписанная в многоугольник — это окружность, которая касается всех сторон многоугольника. Центр вписанной окружности лежит внутри многоугольника, в который она вписана. Описанный около окружности многоугольник — это многоугольник, в который вписана окружность. На рисунке 1 четырехугольник АВСD описан около окружности с центром О, а четырехугольник АЕКD не является описанным около этой окружности, так как сторона ЕК не касается окружности.

Центр вписанной окружности лежит внутри треугольника а центр

Теорема

В любой треугольник можно вписать окружность.

Доказательство

Дано: произвольный Центр вписанной окружности лежит внутри треугольника а центрАВС.

Доказать: в Центр вписанной окружности лежит внутри треугольника а центрАВС можно вписать окружность.

Доказательство:

1. Проведем биссектрисы углов А, В и С, которые пересекутся в точке О (следствие из свойства биссектрис). Из точки О проведем перпендикуляры ОК, ОL и ОМ соответственно к сторонам АВ, ВС и СА (Рис. 2).

Центр вписанной окружности лежит внутри треугольника а центр

2. Точка О равноудалена от сторон Центр вписанной окружности лежит внутри треугольника а центрАВС (свойство биссектрис), поэтому ОК = ОL = ОМ. Следовательно, окружность с центром О радиуса ОК проходит через точки К, L и М. Стороны Центр вписанной окружности лежит внутри треугольника а центрАВС касаются этой окружности в точках К, L, М, т.к. они перпендикулярны к радиусам ОК, ОL и ОМ. Значит, окружность с центром О радиуса ОК является вписанной в Центр вписанной окружности лежит внутри треугольника а центрАВС. Теорема доказана.

Замечание 1

В треугольник можно вписать только одну окружность.

Доказательство

Предположим, что в треугольник можно вписать две окружности. Тогда центр каждой окружности равноудален от сторон треугольника и, значит, совпадает с точкой О пересечения биссектрис треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до сторон треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают, значит в треугольник можно вписать только одну окружность. Что и требовалось доказать.

Замечание 2

Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной в него окружности.

Доказательство

На рисунке 2 мы видим, что Центр вписанной окружности лежит внутри треугольника а центрАВС составлен из трех треугольников: АВО, ВСО и САО. Пусть АВ, ВС и АС основания треугольников АВО, ВСО и САО соответственно, тогда высотами данных треугольников окажутся отрезки ОК = ОL = ОМ = r ( r — радиус окружности с центром О). Следовательно, площади этих треугольников вычисляются по формулам: Центр вписанной окружности лежит внутри треугольника а центр. Тогда, по свойству площадей, площадь треугольника Центр вписанной окружности лежит внутри треугольника а центрАВС выражается формулой: Центр вписанной окружности лежит внутри треугольника а центр, где Центр вписанной окружности лежит внутри треугольника а центр— периметр Центр вписанной окружности лежит внутри треугольника а центрАВС. Что и требовалось доказать.

Замечание 3

Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.

Доказательство

Рассмотрим, например, прямоугольник, у которого смежные стороны не равны, т.е. прямоугольник, не являющийся квадратом. В такой прямоугольник можно «поместить» окружность, касающуюся трех его сторон (Рис.3), но нельзя «поместить» окружность так, чтобы она касалась всех четырех его сторон, т.к. диаметр окружности меньше большей стороны прямоугольника т.е. нельзя вписать окружность. Что и требовалось доказать.

Центр вписанной окружности лежит внутри треугольника а центр

Если же в четырехугольник можно вписать окружность, то его стороны обладают следующим замечательным свойством:

В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

Доказательство

Рассмотрим четырехугольник АВСD, описанный около окружности (Рис. 4).

Центр вписанной окружности лежит внутри треугольника а центр

На рисунке 4 одинаковыми буквами обозначены равные отрезки касательных, т.к. отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны. Тогда АВ + СD = Центр вписанной окружности лежит внутри треугольника а центри ВС + АD = Центр вписанной окружности лежит внутри треугольника а центр, следовательно, АВ + СD = ВС + АD.

Верно и обратное утверждение:

Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Доказательство

Пусть в выпуклом четырехугольнике АВСD

АВ + СD = ВС + АD. (1)

Точка О пересечения биссектрис углов А и В равноудалена от сторон АD, АВ и ВС (свойство биссектрис), поэтому можно провести окружность с центром О, касающуюся указанных трех сторон (Рис. 5).

Центр вписанной окружности лежит внутри треугольника а центр

Докажем, что эта окружность касается также стороны СD и, значит, является вписанной в четырехугольник АВСD.

Предположим, что это не так. Тогда прямая СD либо не имеет общих точек с окружностью, либо является секущей. Рассмотрим первый случай (Рис. 6). Проведем касательную С1D1, параллельную стороне СD (С1 и D1 — точки пересечения касательной со сторонами ВС и АD).

Центр вписанной окружности лежит внутри треугольника а центр

Так как АВС1D1 — описанный четырехугольник, то по свойству его противоположных сторон

АВ + С1D1 = ВС1 + AD1. (2)

Но ВС1 = ВСС1С, АD1 = АDD1D, поэтому из равенства (2) получаем:

С1D1 + С1С + D1D = ВС + АDАВ.

Правая часть этого равенства в силу (1) равна СD. Следовательно, приходим к равенству

т.е. в четырехугольник С1СDD1 одна сторона равна сумме трех других сторон. Но этого не может быть, т.к. к аждая сторона четырёхугольника всегда меньше суммы трёх остальных сторон. Значит, наше предположение ошибочно. Аналогично можно доказать, что прямая CD не может быть секущей окружности. Следовательно, окружность касается стороны СD. Что и требовалось доказать.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Центр вписанной окружности лежит внутри треугольника а центр

Ключевые слова: окружность, описанная окружность, центр окружности, вписанная окружность, треугольник, четырехугольник, вневписанная окружность

Окружность называется вписанной в угол, если она лежит внутри угла и касается его сторон.

Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.

Окружность называется вписанной в выпуклый многоугольник, если она лежит внутри данного многоугольника и касается всех прямых, проходящих через его стороны.

Если в данный выпуклый многоугольник можно вписать окружность, то биссектрисы всех углов данного многоугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности.
Сам многоугольник в таком случае называется описанным около данной окружности.
Таким образом, в выпуклый многоугольник можно вписать не более одной окружности.

Для произвольного многоугольника невозможно вписать в него и описать около него окружность.
Для треуголь ника это всегда возможно.

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех трех его сторон, а её центр находится внутри окружности

  • Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника.
  • В любой треугольник можно вписать окружность, и только одну.
  • Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению площади треугольника и его полупериметра: $$r = frac

    $$ , где S — площадь треугольника, а $$p =frac$$ — полупериметр треугольника.

Серединным перпендикуляром называют прямую перпендикулярную отрезку и проходящую через его середину.

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через три его вершины.

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

Четырехугольник, вписанный в окружность

Окружность, вписанная в ромб

📺 Видео

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Радиус описанной окружностиСкачать

Радиус описанной окружности

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Задача 6 №27926 ЕГЭ по математике. Урок 141Скачать

Задача 6 №27926 ЕГЭ по математике. Урок 141

Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).Скачать

Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).

Центр окружности описанной вокруг треугольникаСкачать

Центр окружности описанной вокруг треугольника

№17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математикеСкачать

№17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математике

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

2038 центр окружности описанной около треугольника ABC лежит на стороне ABСкачать

2038 центр окружности описанной около треугольника ABC лежит на стороне AB

Треугольник и окружность #shortsСкачать

Треугольник и окружность #shorts

88 Центр описанной окружности треугольникаСкачать

88 Центр описанной окружности треугольника

Центр описанной около треугольника окружности ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Центр описанной около треугольника окружности ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

Где искать центр описанной окружности #геометрия #огэ #егэ #математикаСкачать

Где искать центр описанной окружности #геометрия #огэ #егэ #математика

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Основания равнобедренной трапеции равны 72 и 30. Центр окружности, описанной около трапеции... (ЕГЭ)Скачать

Основания равнобедренной трапеции равны 72 и 30. Центр окружности, описанной около трапеции... (ЕГЭ)

Задание 16 ЕГЭ по математикеСкачать

Задание 16 ЕГЭ по математике
Поделиться или сохранить к себе: