Перенос треугольника относительно вектора

Параллельный перенос

Параллельный перенос — это преобразование плоскости, при котором точки смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние.

Строгое определение параллельного переноса даётся либо через декартовы координаты, либо через вектор.

1) Введём на плоскости декартовы координаты x, y.

Параллельный перенос — это такое преобразование фигуры F, при котором её произвольная точка (x;y) переходит в точку (x+a; y+b), где a и b — некоторые числа, одинаковые для всех точек (x;y) фигуры F.

Формулы параллельного переноса

Перенос треугольника относительно вектораЕсли при параллельном переносе точка A(x;y) переходит в точку A1(x1;y1)

Перенос треугольника относительно вектора

то параллельный перенос задаётся формулами:

Перенос треугольника относительно вектора

Говорят также, что A1 является образом точки A при параллельном переносе на вектор (a; b). Точка A называется прообразом.

2) Параллельный перенос на данный вектор ā называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка A отображается в такую точку A1, то вектор AA1 равен вектору ā:

Перенос треугольника относительно вектора

Свойства параллельного переноса

1) Параллельный перенос есть движение (то есть параллельный перенос сохраняет расстояние).

2) При параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние.

3) При параллельном переносе каждая прямая переходит в параллельную ей прямую (или в себя).

4) Каковы бы ни были точки A и A1, существует единственный параллельный перенос, при котором точка A переходит в точку A1.

В алгебре параллельный перенос широко используется для построения графиков функций.

Видео:9 класс, 32 урок, Параллельный переносСкачать

9 класс, 32 урок, Параллельный перенос

Планиметрия. Страница 7

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Перенос треугольника относительно вектора

Видео:Перенос треугольника по векторуСкачать

Перенос треугольника по вектору

1.Движение и его свойства

Пусть на плоскости задана геометрическая фигура. Если каждую точку данной фигуры переместить на некоторое расстояние, так чтобы расстояние между точками сохранилось, то мы получим новую фигуру, преобразованную из данной. (Рис.1) Таким образом, преобразование одной фигуры в другую так, что расстояние между точками остается неизменным, называется движением.

Например, при перемещении фигуры М на некоторое расстояние получим фигуру М1. Все точки фигуры М передут в точки фигуры М1. Расстояние между точками сохранится АВ = А1В1

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№29 - Параллельный перенос.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№29 - Параллельный перенос.)

Свойства движения

При движение все точки, лежащие на прямой, перейдут в точки также лежащие на прямой. Порядок их взаимного расположения останется неизменным. Т.е. Прямые переходят в прямые, полупрямые — в полупрямые, отрезки — в отрезки и т.д. При движении градусная мера угла между двумя полупрямыми останется неизменной.

Перенос треугольника относительно вектора

Рис.1 Движение и его свойства.

Видео:Угол между векторами. 9 класс.Скачать

Угол между векторами. 9 класс.

2.Симметрия относительно точки

Пусть на плоскости задана точка О. (Рис.2) Возьмем произвольную точку А. Если через точки О и А провести прямую и отложить от точки О отрезок ОА’, равный отрезку АО, то точка О будет называться точкой симметрии. А точка А’ — точкой симметричной точке А относительно точки О.

При преобразовании фигур каждая точка переходит в симметричную ей точку относительно точки симметрии О. Такое преобразование называется преобразованием симметрии, а фигуры называются симметричными относительно точки О.

Если при преобразовании фигура переходит в саму себя, то она называется центрально-симметричной, а точка О называется точкой симметрии. Например, параллелограмм, окружность, эллипс, ромб, квадрат.

Преобразование фигур относительно точки симметрии является движением.

Перенос треугольника относительно вектора

Рис.2 Симметрия относительно точки.

Видео:Координаты вектора. 9 класс.Скачать

Координаты вектора. 9 класс.

3.Симметрия относительно прямой

Пусть дана прямая а. (Рис.3). Если взять произвольную точку, например точку Е, провести перпендикуляр к прямой а и на продолжении этого перпендикуляра отложить отрезок ВE’, равный отрезку ЕВ, то точка Е’ будет симметрична относительно прямой а. Если точка лежит на прямой а, то она симметрична сама себе.

При преобразовании фигуры в фигуру каждая точка переходит в точку С’, симметричную относительно прямой а. Такое преобразование называется преобразование симметрии относительно прямой.

Преобразование симметрии относительно прямой также является движением, т.к. согласно определению движения расстояние между точками фигуры при смещении относительно прямой не изменяется.

Перенос треугольника относительно вектора

Рис.3 Симметрия относительно прямой.

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

4.Параллельный перенос и его свойства

Пусть на плоскости с осями координат Ox и Oy задана фигура S. Каждая точка фигуры параллельным переносом переходит в точку А’ на одно и тоже расстояние. Тогда можно дать следующее определение: преобразование фигуры S в фигуру S’, в котором каждая точка фигуры с координатами x и y смещается в точку с координатами x+a и y+b, где a и b постоянные числа, называется параллельным переносом.

Параллельный перенос есть движение, т.к. все точки смещаются на одно и тоже расстояние.

Таким образом, для получения координат новой фигуры, параллельный перенос задается следующими формулами:

x’ = x + a
y’ = y + b

Видео:11 класс, 12 урок, Параллельный переносСкачать

11 класс, 12 урок, Параллельный перенос

Свойства параллельного переноса

При параллельном переносе все точки какой-либо фигуры смещаются по параллельным прямым на одно и тоже расстояние. Перпендикулярные прямые переходят в перпендикулярные прямые, параллельные прямые — в параллельные. Расстояния между точками какой-либо фигуры при перемещении, так же как и углы между прямыми, сохраняются.

Перенос треугольника относительно вектора

Рис.4 Параллельный перенос и его свойства.

Репетитор: Васильев Алексей Александрович

Перенос треугольника относительно вектора

Предметы: математика, физика, информатика, экономика, программирование.

Перенос треугольника относительно вектора2000 руб / 120 мин — подготовка к ЕГЭ и ГИА для школьников. 3000 руб / 120 мин — индивидуально (базовый уровень). 2000 руб / 120 мин — студенты.

Тел. 8 916 461-50-69, email: alexey-it@ya.ru

Перенос треугольника относительно вектора

5.Пример 1

Докажите, что у параллелограмма точка пересечения диагоналей является центром симметрии.

Доказательство:

Пусть дан параллелограмм АВA’В’ (Рис.5). По свойству параллелограмма, его диагонали делятся точкой пересечения пополам, а противолежащие стороны параллельны и равны. Следовательно, треугольники АОB’ и ВОА’ равны по двум сторонам и углу между ними. АО = ОА’, ВО = ОB’, углы при вершине О равны как вертикальные. А отсюда следует, что точки A’ и B’ симметричны точкам А и В относительно точки О. Т.е. получается, что вершины параллелограмма центрально симметричны относительно точки О.

Теперь на стороне АВ’ возьмем произвольную точку Е и проведем через нее прямую, проходящую через точку О. Треугольники ЕОВ’ и BOE’ равны по второму признаку равенства треугольников: по стороне и прилегающим к ней углам. BO = OB’ и углы при вершинах О и В,B’ равны (при вершине О как вертикальные, при вершинах B,B’ как внутренние накрест лежащие). Следовательно, отрезки ЕО и ОE’ равны, т.е. ЕО = ОE’.

Перенос треугольника относительно вектора

Рис.5 Задача. Докажите, что у параллелограмма.

Отсюда можно сделать вывод, что каждая точка Х параллелограмма переходит в точку X’, симметричную относительно данной точки О. Т.е. преобразование симметрии относительно точки О переводит параллелограмм в сам себя, поэтому он называется центрально-симметричной фигурой, а точка О является его центром симметрии.

Пример 2

Докажите, что прямая, содержащая медиану равнобедренного треугольника, которая проведена к основанию, является его осью симметрии.

Доказательство:

Пусть АВА’ данный равнобедренный треугольник с основанием АА’, АВ = ВA’ (Рис.6). Медиана ОВ лежит на прямой а. Так как медиана делит противолежащую сторону пополам, то треугольники АВО и A’BO равны по трем сторонам (АВ = ВA’, АО = ОA’, сторона ОВ у них общая). Следовательно, углы при вершине О равны 90°, как равные смежные углы. А углы при вершине В равны, так как треугольники равны. Следовательно, вершина треугольника А симметрична вершине A’ относительно прямой а, так как основание АA’ перпендикулярно прямой а. Так же как и для любой точки, принадлежащей отрезку АО, найдется симметричная ей точка на отрезке ОА’ относительно прямой а.

Точка В лежит на прямой а, поэтому она симметрична сама себе относительно прямой а.

Теперь проведем произвольную прямую b, параллельную основанию АА’. Она пересечет боковые стороны треугольника в точках ЕЕ’. Рассмотрим треугольники ЕВО’ и BO’E’. Они равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и прилегающим к ней углам: сторона BO’ у них общая, углы при вершинах В и О’ равны). Следовательно, ЕО’ = O’E’.

Перенос треугольника относительно вектора

Рис.6 Задача. Докажите, что прямая, содержащая медиану.

Отсюда следует, что любая точка Х’ треугольника ВОА’ симметрична точке Х треугольника АВО относительно прямой а, что является преобразованием симметрии относительно прямой. А если преобразование симметрии относительно прямой а переводит треугольник АВА’ сам в себя, то прямая а является его осью симметрии.

Пример 3

Параллельный перенос задается формулами x’ = x + 2, y’ = y — 3. В какие точки при этом параллельном переносе переходят точки А (1;1), В (2;2), С (-2;0).

Решение:

По условию задачи параллельный перенос задается формулами:

x’ = x + 2, y’ = y — 3

Следовательно, точка А переходит в точку А’ с координатами:

x’ = 1 + 2 = 3, y’ = 1 — 3 = -2, т.е. A’ (3;-2).

Точка В переходит в точку В’ с координатами:

x’ = 2 + 2 = 4, y’ = 2 — 3 = -1, т.е. В’ (4;-1).

Точка С переходит в точку С’ с координатами:

x’ = -2 + 2 = 0, y’ = 0 — 3 = -3, т.е. С’ (0;-3). (Рис.7)

Перенос треугольника относительно вектора

Рис.7 Задача. Параллельный перенос задается формулами.

Пример 4

Докажите, что если у двух ромбов равны диагонали, то они равны.

Доказательство:

Пусть даны два ромба: ABCD и A»B»С»D». AC = A»C», BD = B»D». Углы между диагоналями равны 90°. Докажем, что они совмещаются движением, причем вершина А переходит в вершину A», вершина В — в B», вершина С — в С», вершина D — в D».

Подвергнем ромб ABCD преобразованию симметрии относительно прямой а, перпендикулярной отрезку СС’ и проходящей через его середину (Рис.8). Если два ромба не располагаются друг под другом, то нужного расположения можно добиться при помощи параллельного переноса. (Напомним, что параллельный перенос также является движением со всеми вытекающими из этого свойствами.) В результате получим ромб A’B’C’D’. Если точки А и А’ различны, то подвергнем его симметрии относительно прямой b, перпндикулярной отрезку A’A» и проходящей через его середину и точку С’. Таким образом, отрезок A’C’ перейдет в отрезок A»C». И в результате получим ромб A»B»’C»D»’.

Преобразование симметрии относительно прямой является движением. А при движении точки переходят в точки, прямые — в прямые, углы между прямыми, так же как и расстояния между точками, сохраняются.

Перенос треугольника относительно вектора

Рис.8 Задача. Докажите, что если у двух ромбов.

Отсюда следует, что отрезок B»’D»’ перпендикулярен отрезку А»C» и проходит через его середину, а точки B»’ и D»’ совпадают с точками B» и D», так как по условию задачи диагонали двух ромбов равны. Таким образом, получается, что диагонали ромба АС и BD полностью совпадут с диагоналями A»C» и B»D». А из этого следует, что и вершины ромба ABCD полностью совпадут с вершинами ромба A»B»C»D», так как они находятся на концах диагоналей. Следовательно, ромб ABCD полностью перейдет в ромб A»B»C»D».

Пример 5

Существует ли параллельный перенос, при котором точка А (2;2) переходит в точку A'(3;-2), а точка В (-2;1) переходит в точку В'(-2;-3).

Решение:

Параллельный перенос задается формулами:

x’ = x + a, y’ = y + b

где а и b одни и те же числа. Отсюда следует, что

a = x’ — x, b = y’ — y. Подставим координаты точки А и A’:

a = 3 — 2, b = -2 — 2; т.е. a = 1, b = -4

Следовательно, параллельный перенос по точке А задается формулами: x’ = x + 1, y’ = y — 4

Отсюда, координаты точки В» будут:

x» = -2 + 1 = -1, y» = 1 — 4 = -3

т.е. B»(-1;-3), а точка B’ имеет координаты (-2;-3).

Следовательно, такого параллельного переноса не существует. (Рис.9)

Перенос треугольника относительно вектора

Рис.9 Задача. Существует ли параллельный перенос.

Видео:Параллельный перенос. Симметрия. Поворот | МатематикаСкачать

Параллельный перенос. Симметрия. Поворот | Математика

Параллельный перенос, поворот плоскости и подобные треугольники

Корзина

Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора

Теоретический урок по предмету математики для решения задач по теме «Параллельный перенос, поворот плоскости и подобные треугольники».

Содержание данной онлайн страницы электронного справочника для школьников:

  • – тема «Параллельный перенос» представлена на примере решения задач 145 — 148;
  • – в контрольных работах с номерами 149 — 154 данной рабочей тетради по математике рассматривается поворот плоскости вокруг точки на угол;
  • – повторение курса геометрии 9 класса в решениях приведено на примере заданий 155 — 173: углы треугольника, площадь треугольника через катеты и гипотенузу, вычисление радиуса описанной окружности, стороны ромба, подобные треугольники.

Видео:СУММА ВЕКТОРОВ правило треугольникаСкачать

СУММА ВЕКТОРОВ правило треугольника

Параллельный перенос

Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораОпределение:

Параллельным переносом на вектор Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораназывается отображение плоскости на себя, при котором каждая точка M отображается в такую точку M1, что два вектора равны

Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора= Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора

Задача 145.

Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно векторавектор Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора

A → A1 : Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора= Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора

B → B1 : Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора= Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора

Теорема:

При параллельном переносе на вектор Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно векторасохраняется расстояние между точками, т.е. параллельный перенос – движение.

f – параллельный перенос на вектор Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора

M Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораM1

N Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораN1

Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораДоказать:

Точка M переводится движением в точку M1 с условием, что два вектора равны: M Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораM1: Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора= MM1

Точка N переводится движением в точку N1 с условием, что два вектора равны: N Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораN1: Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора= NN1

Следовательно, полученные отрезки параллельны MM1 || NN1 и построенные отрезки равны MM1 = NN1

Значит, четырехугольник MM1N1N – параллелограмм.

Поэтому MN = M1N1, значит f – движение.

Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора

Задача 146.

A Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораA1:

Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора= Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора

B Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораB1:

Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора= Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора

C Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораC1:

Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора= Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора

Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора

A Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораA1: Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора= Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора

B Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораB1:

Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора= Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора

C Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораC1:

Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора= Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора

Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора***

Задача 147.

точка D лежит на AC: D Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораAC

точка C лежит на AD: C Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораAD

BC Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораB1D

б) Доказать: ABB1D – равнобедренная трапеция

1) От точки B проведем прямую a, параллельную вектору Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора: a || Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора

2) Точка B переводится движением в точку B1

Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора= Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора

3) Проведем прямую B1D, параллельную отрезку BC:

Рассмотрим четырехугольник BB1DC.

Т.к. основания BB1 || CD и боковые стороны BC || BD параллельны, то BB1DC – параллелограмм (по определению)

По свойству параллелограмма:

основания BB1 = CD и боковые стороны BC = BD равны, но AB = BC, тогда AB = B1D

Т.к. BB1 || AD параллельны и AB Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораB1D не параллельны, следовательно, ABB1D – трапеция (по определению).

Т.к. AB = B1D, то ABB1D – равнобедренная трапеция.

Задача 148.

Дано: Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора

вектор Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора

окр (O;R) Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораокр (O1;R1)

ΔABC Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораΔA1B1C1

EFPQ Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораE1F1P1Q1

как показано на рисунке.

Видео:Параллельный переносСкачать

Параллельный перенос

Поворот плоскости вокруг точки на угол

Определение:

Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораПоворотом плоскости вокруг точки O на угол α называется такое отображение плоскости на себя, при котором каждая точка M отображается в такую точку M1, что угол поворота

Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораMOM1 = α и OM1 = OM.

O – центр поворота

α – угол поворота

Задача 149.

Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораДано:

α = 75° (против часовой стрелки)

O – центр поворота

1) A Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораA1;

Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораAOA1 = 75°

2) B Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораB1;

Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораBOB1 = 75°

Теорема:

Поворот является движением.

Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораf – поворот

α – угол поворота (против часовой стрелки)

точка O – центр поворота

Тогда треугольники равны ΔOMN = ΔOM1N1 по двум сторонам и углу между ними:

Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораMON = Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораM1ON1

Тогда MN = M1N1, значит, f – движение.

Задача 150.

точка O – центр поворота

Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораα = 180°

1) A Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораA1;

Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораAOA1 = 180°

2) B Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораB1;

Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораBOB1 = 180°

Задача 151.

точка A – центр поворота

α = 160° (против часовой стрелки)

1) B Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораB1;

Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораBAB1 = 160°

2) C Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораC1;

Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораCAC1 = 160°

Задача 152.

точка O – центр поворота

Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораПостроить:

1) A Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораA1;

Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораAOA1 = 120°

2) B Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораB1;

Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораBOB1 = 120°

Задача 153.

точка C – центр окружности (C; R)

точка O – центр поворота

угол поворота α = 60° (против часовой стрелки)

а) точка C и точка O не совпадают

б) точка C и точка O совпадают

Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораПостроить:

1) проведем луч CO

2) C Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораC1;

Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораCOC1 = 60°

Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора

Т.к. точка О – центр поворота и точка С – центр окружности совпадают, то окружности (C;R) и (C1;R) будут тоже совпадать.

Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора

Задача 154.

Δ ABC – равнобедренный, равносторонний

D – точка пересечения биссектрис

D – центр поворота

угол поворота α = 120°

ΔABC Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораΔABC

Т.к. Δ ABC – правильный, то все углы в нем равны 60°.

Т.к. точка D – центр описанной и вписанной окружности, то

Δ ABD = Δ BDC = Δ DAC (по трем сторонам).

Следовательно, что Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораADB = Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораBDC = Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораCDA

A Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораB

B Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораC

C Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораA

Таким образом, Δ ABC отображается на себя.

Повторение.

Задача 155.

Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораABC : Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораBCA : Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораCAB = 3 : 7 : 8

Найти: наибольший угол треугольника

Пусть x – коэффициент пропорциональности. Зная, что сумма углов в треугольнике равна 180°, составим и решим уравнение:

3x + 7x + 8x = 180

Наибольший угол Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораCAB = 8 • 10 = 80°

Задача 156.

треугольник ΔABC – равнобедренный,

один угол больше другого:

Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораABC > Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораBAC на 60°

Найти: угол при основании треугольника

Пусть x° – угол при основании треугольника. Зная, что сумма углов в треугольнике составляет 180°, составим и решим уравнение:

(x + 60°) + x + x = 180°

Значит, Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораBAC = 40°.

Задача 157.

треугольник ΔABC – прямоугольный

c = 26 см – гипотенуза

Найти: больший катет b

Пусть x – коэффициент пропорциональности. По теореме Пифагора составим и решим уравнение:

(5x) 2 + (12x) 2 = 26 2

25x 2 + 144x 2 = 676

b = 12 • 2 = 24 (см)

Задача 158.

Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораC = 90°

c = 13 – гипотенуза

По теореме Пифагора получаем:

a = Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора= Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора= Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора= 12

Тогда площадь треугольника

SΔABC = Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораab = Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора=

= 30 (квадратных единиц)

Задача 159.

треугольник ΔABC – равнобедренный,

Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораC = 90°

c = 4 Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора– гипотенуза

Найти: площадь треугольника SΔABC = ?

SΔABC = Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораab

Т.к. Δ ABC – равнобедренный, то углы при основании по 45° и катеты равны a = b.

По теореме Пифагора получаем:

Тогда (4 Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора) 2 = 2a 2

Тогда площадь треугольника

SΔABC = Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораab = Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора=

= 8 (квадратных единиц)

Задача 160.

Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораA = 90°

Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораa = 6

Найти: радиус описанной окружности R = ?

Т.к. AH – медиана, то CH = Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораc

По теореме Пифагора получаем:

Тогда CH = Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораc = Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора= 5 (ед)

Точка H – центр описанной окружности

Т.к. R = AH, то R = AH = CH = 5 ед.

Задача 161.

Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораC = 90°

соотношение острых углов

Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораABC : Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораCAB = 1 : 2

AC = 4 Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора

Найти: радиус описанной окружности R = ?

Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораПусть x – коэффициент пропорциональности. Зная, что сумма углов в треугольнике составляет 180°, составим и решим уравнение:

Тогда Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораCAB = 30°,

Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораABC = 2 • 30° = 60°

Следовательно, BC = Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораAB

По теореме Пифагора получаем:

AC 2 + Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора= AB 2

AC 2 = Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораAB 2

AB 2 = Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора= 64

R = AD = BD = 8 : 2 = 4 (ед)

Задача 162.

Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораC = 90°

радиус описанной окружности

Тогда AB = 2,5 • 2 = 5

По теореме Пифагора получаем:

AC = Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора= Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора= Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора= 4 (ед)

Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораЗадача 163.

Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораC = 90°

tg Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораA = Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора

0,6 = Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора; AC = 3 • Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора= 5 (ед)

Задача 164.

Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораA = 90°

Найти: Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораABC = ?

Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораРешение:

Т.к. AH = AC, то Δ AHC – равнобедренный.

Точка H – радиус вписанной окружности, поэтому AH = CH, но AH = AC, следовательно, AH = CH = AC.

Тогда Δ AHC – равносторонний.

Значит, Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораHAC = AHC = Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораHCA = 60°.

Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораABC = 180° – (90° + 60°) = 30°.

Задача 165.

треугольник Δ ABC – правильный, равносторонний,

SΔABC = Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно векторакв.ед.

Найти: длину биссектрисы BH = ?

Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораТ.к. Δ ABC – правильный, то все углы по 60°.

Рассмотрим Δ ABC – равнобедренный, где

Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораBAC = Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораBCA = 60°.

Тогда BH – медиана, высота.

Значит, перпендикулярны отрезки BH Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораAC.

Рассмотрим треугольники Δ ABH и Δ BHC.

AB = BC, по условию.

AH = CH, BH – медиана.

Значит, треугольники равны Δ ABH = Δ BHC.

Т.е. SΔABH = Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораSΔABC = Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораПеренос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора= Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора(кв.ед.)

SΔABH = Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораAH • BH

Рассмотрим треугольник Δ ABH.

Т.к. BH – биссектриса, то угол Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораABH = 30°, поэтому

AH = Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораAB

SΔABH = Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораAB • BH = Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора

AB • BH = Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора(*)

По теореме Пифагора получаем:

AB 2 = AH 2 + BH 2

AB 2 = Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораAB 2 + BH 2

BH 2 = Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораAB 2

BH = Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораAB (**)

Используя результат (**) в уравнении (*), получаем

AB • Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораAB = Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора

AB 2 = Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора

AB = Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора

Тогда AB • BH = Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора• BH = Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора

Задача 166.

треугольник Δ ABC – правильный, равносторонний,

Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно векторарадиус описанной окружности

R = Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора

Найти: площадь треугольника

Рассмотрим Δ ABO (AO = BO = R) Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораΔ ABO – равнобедренный.

Проведем из вершины O к AB высоту OH.

Рассмотрим Δ AOH, где Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораAHO = 90°.

Т.к. Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораHAO = 30°, то OH = Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораAO Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораOH = Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораR

OH = Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораПеренос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора= Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора

По теореме Пифагора получаем:

OH 2 + AH 2 = OA 2

Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора+ AH 2 = ( Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора) 2 Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора+ AH 2 =

= Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора

AH 2 = Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораПеренос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора= Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораAH = Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора= Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора

Тогда площадь треугольника

SΔAOH = Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораAH • OH = Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораПеренос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораПеренос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора= Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора= Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора

Следовательно, SΔABO = 2 • SΔAOH = 2 • Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора= Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора(кв.ед.)

Тогда площадь треугольника

SΔABC = 3 • SΔABO = 3 • Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора= Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора= 2 Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора= 2,25 (кв.ед.)

Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораЗадача 167.

Площадь ромба SABCD = 384

Соотношение диагоналей ромба:

Найти: сторону ромба AB = ?

SABCD = Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораAC • BD

Пусть x – коэффициент пропорциональности. Тогда

SABCD = Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора3x • 4x

Следовательно, диагональ BD = 4x = 4 • 8 = 32

AC = 3x = 3 • 8 = 24

Поэтому половина диагонали AO = Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораAC = Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора• 24 = 12

BO = Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораBD = Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора• 32 = 16

По теореме Пифагора получаем:

AO 2 + BO 2 = AB 2

Сторона ромба AB = Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора= Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора= 20

Задача 168.

треугольник Δ ABD – равнобедренный,

Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораоснование AD = 16

Найти: площадь треугольника

SΔABD = Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораAD • BH

Проведем высоту BH к основанию AD.

По свойству равнобедренного треугольника:

BH – медиана, биссектриса, высота.

Т.к. BH – медиана, то AH = DH = 16 : 2 = 8 (ед.)

Рассмотрим треугольник Δ ABH, где угол Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораAHB = 90°.

По теореме Пифагора получаем:

AB 2 = AH 2 + BH 2

BH = Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора= Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора= Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора= 6 (ед.)

Тогда площадь треугольника

SΔABD = Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораAD • BH = Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора•16 • 6 = 48 (кв.ед.)

Ответ: площадь треугольника SΔABD = 48 кв.ед.

Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора

Задача 169.

треугольник Δ ABC –равнобедренный,

основание AC больше высоты BH на 15: AC > BH на 15

Найти: основание AC = ?

Т.к. треугольник Δ ABC –равнобедренный, то BH – высота, медиана, биссектриса.

Тогда AC = AH + CH = AH + AH = 2 AH

Рассмотрим Δ ABH – прямоугольный.

Пусть AC = (x) ед. Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораAH = ( Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора) ед.

Тогда AB = (x – 15) ед. (по условию).

По теореме Пифагора решим уравнение:

(x – 15) 2 = ( Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора) 2 + 15 2 Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораx 2 – 30x + 225 = Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора+ 225

4 (x 2 – 30x) = x 2

4x 2 – 120x = x 2

3x 2 – 120x = 0 | : x

Таким образом, 40 ед. – длина основания.

Ответ: AC = 40 ед.

Видео:Определение преобразований | Геометрические преобразования и Конгруэнтность | ГеометрияСкачать

Определение преобразований | Геометрические преобразования и Конгруэнтность | Геометрия

Подобные треугольники

Задача 170.

Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно векторатреугольник Δ ABC, два угла

Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораA = 54°

Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораB = 18°

CH – биссектриса угла Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораC

Доказать: подобие треугольников

Δ BHC Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораΔ ABC

Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораC = 180° – ( Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораA + Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораB)

Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораC = 180° – (54° + 18°) = 108°

Т.к. CH – биссектриса угла Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораC, то

Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораBCH = Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораHCA = 108° : 2 = 54°

Рассмотрим Δ BHC

Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораHBC = Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораB = 18°

Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораBCH = Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораA = 54°

Тогда Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораCHB = Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораC = 108°

Поэтому треугольники подобны Δ BHC Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораΔ ABC.

Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораЗадача 171.

верхнее основание BC = 4 см

нижнее основание AD = 10 см

диагональ BD = 8 см

часть диагонали BO = ?

соотношение периметров треугольников

Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора= ?

Углы равны Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораCBO = Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораODA как накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей BD.

Углы равны Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораBCO = Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораOAD как накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей AC.

Тогда треугольники подобны Δ BCO Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораΔ AOD.

Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора= Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора= Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора= Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора= Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора

Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора= Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора. Тогда 4AO = 10BO Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораBO = Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораAO

Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора= Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора= 0,4 = k

Пусть BO = x, AO = 8 – x. Тогда 10x = 4 • (8 – x)

x = 2 Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора(см)

Следовательно, BO = 2 Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно векторасм.

Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора= k = 0,4

Ответ: BO = 2 Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно векторасм, Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора= 0,4.

Задача 172.

ΔABC Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораΔA1B1C1 ,

Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно векторапериметр треугольника:

P (ΔABC) = 12 +16 + 20 = 48 (дм)

Т.к. треугольники подобны, то

Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора= Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора= Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора

Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора= Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора= Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора= k (*)

Тогда соотношение периметров треугольников

Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора= k (**)

Из равенств (*) и (**) следует

Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора= Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора

Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора= Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора

B1C1 = Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора= 20 (дм)

Тогда Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора= Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора

Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора= Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора

A1B1 = Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора= 15 (дм)

Задача 173.

Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораABCD – трапеция,

стороны трапеции пересекаются в точке M:

Рассмотрим треугольники ΔAMD и ΔBMC:

Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораBAD = Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораMBC, как соответственные при параллельных прямых BC и AD и секущей AB.

Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораMCB = Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораMDA, как соответственные при параллельных прямых BC и AD и секущей CD.

Тогда, по первому признаку подобия треугольников:

треугольники подобны Δ AMD Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектораΔ BMC.

Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора= Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора= Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора

Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора= Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора,

но AM = AB + BM = 3,9 + BM

8 • BM = 5 (3,9 + BM)

Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора= Перенос треугольника относительно вектора Перенос треугольника относительно вектора,

🎬 Видео

Геометрия 9 класс (Урок№30 - Поворот.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№30 - Поворот.)

Скалярное произведение векторов. 9 класс.Скачать

Скалярное произведение векторов. 9 класс.

Параллельный перенос точки, отрезка, треугольника, четырехугольника. Геометрия 8 классСкачать

Параллельный перенос точки, отрезка, треугольника, четырехугольника. Геометрия 8 класс

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС И ПОВОРОТ 9 класс геометрия АтанасянСкачать

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС И ПОВОРОТ 9 класс геометрия Атанасян

Урок 8. Параллельный перенос. Декартовы координаты на плоскости.Скачать

Урок 8.  Параллельный перенос. Декартовы координаты на плоскости.

Геометрия и группы. Алексей Савватеев. Лекция 2.3. Параллельный переносСкачать

Геометрия и группы. Алексей Савватеев. Лекция 2.3. Параллельный перенос

Геометрия 9 класс : Параллельный перенос и поворотСкачать

Геометрия 9 класс : Параллельный перенос и поворот

Сложение векторов. Правило параллелограмма. 9 класс.Скачать

Сложение векторов. Правило параллелограмма. 9 класс.

СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #формулы #профильныйегэ #векторыСкачать

СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #формулы #профильныйегэ #векторы
Поделиться или сохранить к себе: