Треугольники общего вида огэ

Треугольники общего вида теория для ОГЭ ЕГЭ

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Видео:Задачи на Треугольники Общего ВидаСкачать

Задачи на  Треугольники Общего Вида

Коммуникативный педагогический тренинг: способы взаимодействия с разными категориями учащихся

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Треугольники общего вида огэ

Треугольники общего вида

Основные свойства треугольников:

  1. Сумма всех углов в треугольнике равна 180°.
  2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
  3. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, одновременно является медианой и биссектрисой.
  4. В равностороннем треугольнике все углы по 60°.
  5. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним.
  6. Треугольники общего вида огэСредняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.

MN // AC, MN= Треугольники общего вида огэ

MN — средняя линия, так как соединяет середины соседних сторон.

Биссектриса — это линия, которая делит угол пополам.

  1. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая из вершины к основанию, является также и медианой, и высотой.
  2. Три биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке, эта точка является центром вписанной в треугольник окружности.
  3. Биссектрисы смежных углов перпендикулярны.
  4. Треугольники общего вида огэВ треугольнике биссектриса угла делит противоположную сторону на отрезки, отношение которых такое же, как отношение сторон треугольника, между которыми эта биссектриса прошла.

Медиана — это линия, проведенная из вершины треугольника к середине противоположной стороны.

1. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, т.е. на два треугольника, у которых площади равны.

Треугольники общего вида огэ

2. Медианы пересекаются в одной точке и этой точкой делятся в отношении два к одному, считая от вершины.

3. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы и радиусу описанной около этого треугольника окружности.

Высота в треугольнике — это линия, проведенная из вершины треугольника к противоположной стороне под углом в 90 градусов.

Треугольники общего вида огэ

1. Три высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

2. Угол между высотами в остроугольном треугольнике равен углу между сторонами, к которым эти высоты проведены.

3. Высоты треугольника обратно пропорциональны его сторонам:

Треугольники общего вида огэ

Прямоугольный треугольник и его свойства:

В прямоугольном треугольнике катетами называются две стороны треугольника, которые образуют прямой угол. Гипотенузой называется сторона, лежащая напротив прямого угла.

Треугольники общего вида огэ

Некоторые свойства прямоугольного треугольника:

1. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90 градусов.

2. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы. (Этот катет называется малым катетом.)

3. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, равна ее половине и радиусу описанной окружности (R)

4. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, делит треугольник на два равнобедренных треугольника, основаниями которых являются катеты данного треугольника.

Треугольники общего вида огэ

5. В прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности равен:

r= Треугольники общего вида огэ

, где а и b – это катеты, с – гипотенуза.

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Треугольники общего вида огэ

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике АВС, с прямым углом С

Для острого угла В:АС — противолежащий катет; ВС — прилежащий катет.

Для острого угла А:ВС — противолежащий катет; АС — прилежащий катет.

1. Синусом (sin) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

2. Косинусом (cos) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

3. Тангенсом (tg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

4. Котангенсом (ctg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

5. В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.

6. Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.

7. Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения.

8. Значения тригонометрических функций некоторых углов: Треугольники общего вида огэ

Треугольники общего вида огэ

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника больше сходственных сторон другого треугольника в некоторое число раз.

Число k — коэффициент подобия (показывает во сколько раз стороны одного треугольника больше сторон другого треугольника.)

  1. Периметры подобных треугольников и их линейные величины (медианы, биссектрисы, высоты) относятся друг к другу как коэффициент подобия k.
  2. Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Признаки подобия треугольников:

  1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.
  2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между ними равны, то такие треугольники подобны.
  3. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Треугольники общего вида огэ Теорема косинусов

Квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

Видео:Треугольники общего вида / Задание №15 / Подготовка к ОГЭСкачать

Треугольники общего вида / Задание №15 / Подготовка к ОГЭ

Треугольники общего вида огэ

В треугольнике одна из сторон равна 10, а опущенная на нее высота — 5. Найдите площадь треугольника.

Площадь треугольника равна половине произведения высоты на основание. Таким образом:

Треугольники общего вида огэ

В треугольнике одна из сторон равна 10, другая равна Треугольники общего вида огэ, а угол между ними равен 60°. Найдите площадь треугольника.

Площадь треугольника равна половине произведения сторон на синус угла между ними. Имеем:

Треугольники общего вида огэ

Найдите площадь треугольника, изображённого на рисунке.

Заметим, что треугольник со сторонами 24, 32 и 40 подобен египетскому треугольнику со сторонами 3, 4, 5 с коэффициентом 8. Следовательно, этот треугольник прямоугольный, а отрезок длины 24 — высота изображенного на рисунке треугольника. Тогда его площадь можно найти как половину произведения основания на высоту:

Треугольники общего вида огэ

В треугольнике ABC отрезок DE — средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 97. Найдите площадь треугольника ABC.

Треугольники ABC и DEC подобны по двум углам. Коэффициент подобия k = 2, так как Треугольники общего вида огэЗначит, Треугольники общего вида огэ

На стороне AC треугольника ABC отмечена точка D так, что AD = 3, DC = 7. Площадь треугольника ABC равна 20. Найдите площадь треугольника BCD.

Площадь треугольника равняется половине произведения сторон на синус угла между ними: Треугольники общего вида огэтак как Треугольники общего вида огэзначит, Треугольники общего вида огэпоэтому

Треугольники общего вида огэ

Выразим через Треугольники общего вида огэплощадь треугольника BCD:

Треугольники общего вида огэ

Приведем другое решение.

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, следовательно, можно найти высоту треугольника ABC:

Треугольники общего вида огэтогда Треугольники общего вида огэ

Треугольник BCD имеет такую же высоту, что и треугольник ABC, следовательно,

Треугольники общего вида огэ

Приведем еще одно решение.

Треугольники ABC и BCD имеют общую вершину B, а их основания лежат на одной прямой, следовательно, отношение их площадей равно отношению их оснований:

Треугольники общего вида огэтогда Треугольники общего вида огэ

Видео:Все типы 15 задания ОГЭ по математике 2024 | Треугольники общего вида. Часть 1Скачать

Все типы 15 задания ОГЭ по математике 2024 | Треугольники общего вида. Часть 1

Геометрия. Урок 3. Треугольники

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Треугольники общего вида огэ

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

  • Определение треугольника
  • Виды треугольников
  • Отрезки в треугольнике

Видео:ТРЕУГОЛЬНИКИ ОБЩЕГО ВИДА / две задачи из ЕГЭ #планиметрия #27743 #27752Скачать

ТРЕУГОЛЬНИКИ ОБЩЕГО ВИДА / две задачи из ЕГЭ #планиметрия #27743 #27752

Определение треугольника

Треугольник – многоугольник с тремя сторонами и тремя углами.

Треугольники общего вида огэ

Угол ∠ A – угол, образованный сторонами A B и A C и противолежащий стороне B C .

Угол ∠ B – угол, образованный сторонами B A и B C и противолежащий стороне A C .

Угол ∠ C – угол, образованный сторонами C B и C A и противолежащий стороне A B .

Видео:ЗАДАНИЕ 1 ЕГЭ (ПРОФИЛЬ). ТРЕУГОЛЬНИКИ ОБЩЕГО ВИДА.Скачать

ЗАДАНИЕ 1 ЕГЭ (ПРОФИЛЬ). ТРЕУГОЛЬНИКИ ОБЩЕГО ВИДА.

Виды треугольников

Треугольник остроугольный , если все три угла в треугольнике острые.

Треугольник прямоугольный , если у него один из углов прямой ( = 90 ° ) .

Треугольник тупоугольный , если у него один из углов тупой.

Треугольники общего вида огэ Треугольники общего вида огэТреугольники общего вида огэ

Основные свойства треугольника:

  • Против большей стороны лежит больший угол.
  • Против равных сторон лежат равные углы.
  • Сумма углов в треугольнике равна 180 ° .
  • Если продолжить одну из сторон треугольника, например, A C , и взять на продолжении стороны точку D , образуется внешний угол ∠ B C D к исходному углу ∠ A C B .

Видео:Все типы 15 задания ОГЭ 2022 математика | Геометрия на ОГЭСкачать

Все типы 15 задания ОГЭ 2022 математика | Геометрия на ОГЭ

Отрезки в треугольнике

Биссектриса угла – луч, выходящий из вершины угла и делящий его пополам.

Биссектриса треугольника – отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне.

Свойства биссектрис треугольника:

  • Биссектриса угла – геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла.
  • Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

Замечание: биссектриса угла – это луч, а биссектриса треугольника – отрезок.

Медиана треугольника – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Свойства медиан треугольника:

  • Медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника (два треугольника, имеющих одинаковую площадь).
  • Медианы треугольника пересекаются в одной точке. Точка пересечения медиан делит их в отношении 2:1, считая от вершины.

Высота треугольника – это перпендикуляр, проведенный из вершины угла треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону этого треугольника.

Если треугольник остроугольный, то все три высоты будут лежать внутри треугольника. Если треугольник тупоугольный, то высоты, проведенные из вершин острых углов будут лежать вне треугольника, а высота, проведенная из вершины тупого угла будет лежать внутри треугольника.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Свойство средней линии треугольника: средняя линия параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Всего в треугольнике можно провести три средние линии. Три средние линии разбивают исходный треугольник на четыре равных треугольника. Площадь каждого маленького треугольника будет равна четверти площади большого треугольника.

Видео:18. Решу ОГЭ. Треугольники общего видаСкачать

18. Решу ОГЭ. Треугольники общего вида

Площадь треугольника

Площадь произвольного треугольника можно найти следующими способами:

    Полупроизведение стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

Треугольники общего вида огэ

Треугольники общего вида огэ

Треугольники общего вида огэ

Видео:Все типы 15 задания ОГЭ по математике 2024 | Треугольники общего вида. Часть 2Скачать

Все типы 15 задания ОГЭ по математике 2024 | Треугольники общего вида. Часть 2

Равнобедренный треугольник

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны.

Равнобедренный треугольник может быть остроугольным, прямоугольным и тупоугольным.

Треугольники общего вида огэ Треугольники общего вида огэТреугольники общего вида огэ

Свойства равноберенного треугольника:

  • В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
  • В равнобедренном треугольнике медиана, высота и биссектриса, проведенные к основанию, совпадают.

Видео:17. Треугольники общего видаСкачать

17. Треугольники общего вида

Равносторонний треугольник

Равносторонним называется треугольник, у которого все стороны и все углы равны.

Площадь равностороннего треугольника находится по формуле S = a 2 3 4

Высота равностороннего треугольника находится по формуле h = a 3 2

Видео:«ТРЕУГОЛЬНИКИ ОБЩЕГО ВИДА НА ОГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ»Скачать

«ТРЕУГОЛЬНИКИ ОБЩЕГО ВИДА НА ОГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ»

Прямоугольный треугольник

Треугольник называется прямоугольным, если у него один из углов равен 90 ° .

Свойства прямоугольного треугольника:

  • Сумма двух острых углов треугольника равна 90 ° .
  • Катет, лежащий напротив угла в 30 ° , равен половине гипотенузы.
  • Если катет равен половине гипотенузы, он лежит напротив угла в 30 ° .

Видео:Открытое занятие. Треугольники общего видаСкачать

Открытое занятие. Треугольники общего вида

Теорема Пифагора

Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

У прямоугольного треугольника катеты перпендикулярны друг другу, следовательно, площадь можно найти по формуле:

Видео:ЕГЭ математика 2021: Все задачи на треугольники общего вида(6 задание)Скачать

ЕГЭ математика 2021: Все задачи на треугольники общего вида(6 задание)

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с треугольниками

💥 Видео

ТРЕУГОЛЬНИКИ ОБЩЕГО ВИДА / две задачи из ЕГЭ #планиметрия #27591 #27592Скачать

ТРЕУГОЛЬНИКИ ОБЩЕГО ВИДА / две задачи из ЕГЭ #планиметрия #27591 #27592

Математикк ЕГЭ 1 задание Треугольники общего вида | 47567 |ОГЭ|ЕГЭ|GCSE |A-LEVELСкачать

Математикк ЕГЭ 1 задание Треугольники общего вида | 47567 |ОГЭ|ЕГЭ|GCSE |A-LEVEL

ЕГЭ 2024. ВСЁ ПРО ТРЕУГОЛЬНИКИ за 15 минутСкачать

ЕГЭ 2024. ВСЁ ПРО ТРЕУГОЛЬНИКИ за 15 минут

Треугольники общего вида (задача из ОГЭ по математике), геометрия.Скачать

Треугольники общего вида (задача из ОГЭ по математике), геометрия.

1 задание ЕГЭ 2023 ПРОФИЛЬ ПРАКТИКА тип:"Треугольники общего вида"Скачать

1 задание ЕГЭ 2023 ПРОФИЛЬ ПРАКТИКА  тип:"Треугольники общего вида"

Открытое занятие. Геометрия. Треугольники общего видаСкачать

Открытое занятие. Геометрия. Треугольники общего вида

Разбор типовых заданий №15(треугольники общего вида) ОГЭ 2021.Скачать

Разбор типовых заданий №15(треугольники общего вида) ОГЭ 2021.

Задание 3 ЕГЭ профиль Треугольники общего видаСкачать

Задание 3  ЕГЭ профиль  Треугольники общего вида
Поделиться или сохранить к себе: