Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров

Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров

Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров

Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров

554. Докажите, что если центр окружности, описанной около треугольника, принадлежит его высоте, то этот треугольник равнобедренный.

555. Докажите, что если центр окружности, вписанной в треугольник, принадлежит его медиане, то этот треугольник равнобедренный.

556. Докажите, что если центры вписанной и описанной окружностей треугольника совпадают, то этот треугольник равносторонний.

557. Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении 7 : 5, считая от вершины треугольника. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 68 см.

558. Периметр треугольника ABC , описанного около окружности, равен 52 см. Точка касания со стороной AB делит эту сторону в отношении 2 : 3, считая от вершины A . Точка касания со стороной BC удалена от вершины C на 6 см. Найдите стороны треугольника.

559. В треугольник с углами 30°, 70° и 80° вписана окружность. Найдите углы треугольника, вершины которого являются точками касания вписанной окружности со сторонами данного треугольника.

560. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник ABC , касается его боковых сторон AB и BC в точках M и N соответственно. Докажите, что MN ‖ AC .

Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров

561. Докажите, что если центр окружности, описанной около треугольника, принадлежит его стороне, то этот треугольник — прямоугольный.

Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров

Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров562. В треугольник ABC вписана окружность, касающаяся стороны AB в точке M , BС = a . Докажите, что AM = p — a , где p — полупериметр треугольника ABC .

563. К окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной a , провели касательную, пересекающую две его стороны. Найдите периметр треугольника, который эта касательная отсекает от данного.

Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров

564. В равнобедренный треугольник ABC ( AB = BC ) с основанием 10 см вписана окружность. К этой окружности проведены три касательные, отсекающие от данного треугольника треугольники ADK , BEF и CMN . Сумма периметров этих треугольников равна 42 см. Чему равна боковая сторона данного треугольника?

565. В треугольнике ABC отрезок BD — медиана, AB = 7 см, BC = 8 см. В треугольники ABD и BDC вписали окружности. Найдите расстояние между точками касания этих окружностей с отрезком BD .

566. Каждый из углов BAC и ACB треугольника ABC разделили на три равные части (рис. 308). Докажите, что ∠ AMN = ∠ CMN .

567. Пусть вершина угла B недоступна (рис. 309). С помощью транспортира и линейки без делений постройте прямую, содержащую биссектрису угла B .

Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров

Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров

568. Точки F и O — центры вписанной и описанной окружностей равнобедренного треугольника ABC соответственно (рис. 310). Они находятся на одинаковом расстоянии от его основания AC . Найдите углы треугольника ABC .

Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров

Упражнения для повторения

569. Биссектриса угла ABC образует с его стороной угол, равный углу, смежному с углом ABC . Найдите угол ABC .

570. В равнобедренном треугольнике из вершины одного угла при основании провели высоту треугольника, а из вершины другого угла при основании — биссектрису треугольника. Один из углов, образовавшихся при пересечении проведённых биссектрисы и высоты, равен 64°. Найдите углы данного треугольника.

571. На рисунке 311 BC ‖ AD , AB = 3 см, BC = 10 см. Биссектриса угла BAD пересекает отрезок BC в точке K . Найдите отрезки BK и KC .

Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров

Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров

572. В треугольнике ABC известно, что AB = BC , AM и CK — медианы этого треугольника. Докажите, что MK ‖ AC .

Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров

Наблюдайте, рисуйте, конструируйте, фантазируйте

Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров

573. В квадрате ABCD вырезали заштрихованную фигуру (рис. 312). Разделите оставшуюся часть квадрата на четыре равные фигуры.

Видео:Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

Построить описанную окружность (Задача 1)

Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров

Какие из следующих утверждений верны?

1) Около всякого треугольника можно описать не более одной окружности.

2) В любой треугольник можно вписать не менее одной окружности.

3) Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения биссектрис.

4) Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Около всякого треугольника можно описать не более одной окружности.» — верно, oколо треугольника можно описать окружность, притом только одну.

2) «В любой треугольник можно вписать не менее одной окружности.» — верно, в любой треугольник можно вписать окружность.

3) «Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения биссектрис.» — неверно, центром описанной около треугольника окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров треугольника.

4) «Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.» — неверно, центром вписанной в треугольник окружности является точка пересечения биссектрис треугольника.

Выражение «не более одной» означает, что окружностей не может быть больше одной. Выражение «не менее одной» означает, что окружностей не может быть меньше одной. В частности, «ровно одна окружность» удовлетворяет как условию «не более одной», так и условию «не менее одной».

Утверждение «В любой треугольник можно вписать не менее одной окружности» можно сформулировать так: «В любой треугольник можно вписать хотя бы одну окружность». Если бы это утверждение было неверным, это означало бы, что существуют треугольники, в которые нельзя вписать хотя бы одну окружность, но таких треугольников не существует, поэтому утверждение является верным.

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Окружность, описанная около треугольника.
Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов

Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляровСерединный перпендикуляр к отрезку
Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляровОкружность описанная около треугольника
Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляровСвойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляровДоказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров

Видео:Точка пересечения срединных перпендикуляров сторон треугольника.Скачать

Точка пересечения срединных перпендикуляров  сторон треугольника.

Серединный перпендикуляр к отрезку

Определение 1 . Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).

Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров

Теорема 1 . Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны.

Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров

Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB . Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D .

Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров

Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB . Действительно,

Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров

Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров

Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.

Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров

Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE . Действительно,

Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров

Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров

Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2

Видео:Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Окружность, описанная около треугольника

Определение 2 . Окружностью, описанной около треугольника , называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником .

Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров

Видео:Точка пересечения серединных перпендикуляров.Скачать

Точка пересечения серединных перпендикуляров.

Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

ФигураРисунокСвойство
Серединные перпендикуляры
к сторонам треугольника
Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляровВсе серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
Посмотреть доказательство
Окружность, описанная около треугольникаЦентр вписанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляровОколо любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиЦентр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиЦентр вписанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляровЦентром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиЦентр вписанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляровЦентр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.
Теорема синусовЦентр вписанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров
Площадь треугольникаЦентр вписанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров
Радиус описанной окружностиЦентр вписанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника
Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров

Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Окружность, описанная около треугольникаЦентр вписанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров

Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиЦентр вписанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиЦентр вписанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров

Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиЦентр вписанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.

Теорема синусовЦентр вписанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Площадь треугольникаЦентр вписанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Радиус описанной окружностиЦентр вписанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров

Для любого треугольника справедливо равенство:

Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Видео:Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||Скачать

Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||

Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Теорема 3 . Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).

Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.

Следствие . Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Доказательство . Рассмотрим точку O , в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).

При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:

из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA , OB , OC проходит через все три вершины треугольника ABC , что и требовалось доказать.

Теорема 4 (теорема синусов) . Для любого треугольника (рис. 7)

Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров

Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров.

Доказательство . Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса R хорды окружности радиуса R , на которую опирается вписанный угол величины φ , вычисляется по формуле:

l = 2Rsin φ .(1)

Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).

Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров

Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.

Формула (1) доказана.

Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.7):

📸 Видео

Серединный перпендикуляр. 7 класс геометрия. Центр описанной окружности треугольникаСкачать

Серединный перпендикуляр. 7 класс геометрия. Центр описанной окружности треугольника

Урок по теме ЧЕТЫРЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ ТРЕУГОЛЬНИКА ГЕОМЕТРИЯ 8 КЛАСССкачать

Урок по теме ЧЕТЫРЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ ТРЕУГОЛЬНИКА ГЕОМЕТРИЯ 8 КЛАСС

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Диагностическая работа-1 в формате ОГЭ. Задача-25Скачать

Диагностическая работа-1 в формате ОГЭ. Задача-25

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Вписанные и описанные окружности. Геометрия 9 класс. Ключевая задача № 3.Скачать

Вписанные и описанные окружности. Геометрия 9 класс. Ключевая задача № 3.

Вписанные и описанные окружности. Геометрия 9 класс. Ключевая задача №2.Скачать

Вписанные и описанные окружности. Геометрия 9 класс. Ключевая задача №2.

8 класс, 36 урок, Свойства серединного перпендикуляра к отрезкуСкачать

8 класс, 36 урок, Свойства серединного перпендикуляра к отрезку

Вписанные и описанные окружностиСкачать

Вписанные и описанные окружности

8 класс, 39 урок, Описанная окружностьСкачать

8 класс, 39 урок, Описанная окружность

✓ Расстояние от вершины треугольника до точки пересечения высот | Ботай со мной #113 | Борис ТрушинСкачать

✓ Расстояние от вершины треугольника до точки пересечения высот | Ботай со мной #113 | Борис Трушин

Центром описанной окружности треугольника ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Центром описанной окружности треугольника ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

ГЕОМЕТРИЯ 8 класс: 4 замечательные точкиСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 8 класс: 4 замечательные точки

Вписанные и описанные окружности (в треугольник)Скачать

Вписанные и описанные окружности (в треугольник)
Поделиться или сохранить к себе: