Вписанные треугольники в прямоугольнике

Треугольник вписан в прямоугольник

Если треугольник произвольно вписывать в прямоугольник, то задача окажется слишком многовариантной. Поэтому я решил принять важное ограничение: допустим вершина треугольника А является также и вершиной описанного прямоугольника. В этом случае прямоугольников хоть и бесконечно много, но среди них есть как самый большой по площади, так и самый малый. Какие же они, эти площади, если известны стороны треугольника «a», «b», «c» ?

Довольно несложное дифференциальное исчисление позволило определить нужные углы поворота «t». Это дало возможность при помощи теоремы косинусов найти и экстремальные площади прямоугольников. Формулы, показанные на рисунке, в который раз меня очаровали!

Как и очаровал снег после очень тёплой недели. Когда температура достигала +18 градусов. Утром смотрю в окошко — все деревья в красочном инее!

Содержание
  1. Тема: «Применение производной к решению экстремальных задач»
  2. Главная > Документ
  3. Прямоугольный участок земли, примыкающий к стене заводского здания, нужно оградить забором. Часть забора, параллельная стене, должна быть каменной, а остальная часть деревянной. Площадь участка 90см. Стоимость 1м каменного забора 10руб, а деревянного 8руб. Найдите такие размеры участка, чтобы стоимость всей ограды была наименьшей?
  4. Задача №6. Найти наибольший объем цилиндра, вписанного в данный конус
  5. Задача №8. В трапецию ABCD , боковая сторона АВ , которой
  6. (длина 8 см ) перпендикулярна основанию, вписать прямоугольник наибольшей площади так, чтобы одна из его сторон лежала на большем основании трапеции. Основания трапеции равны 6 и 10 см cоответственно. Вычислить площадь этого прямоугольника.
  7. Задача № 10. В круг радиуса а вписан равнобедренный треугольник. При каком соотношении сторон треугольник будет иметь наибольшую площадь.
  8. Прямоугольный треугольник
  9. 📽️ Видео

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Тема: «Применение производной к решению экстремальных задач»

Главная > Документ

Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

Теорема 2 (второе правило).

Если для дифференцируемой функции f(x) в некоторой точке х 0 ее первая производная f'(x) равна нулю, а вторая производная f»(x) существует и отлично от нуля, т. е. f'(x 0 )= 0, f»(x 0 )≠0, то в этой точке функция f(x) имеет экстремум;

если f»(x 0 )>0, то f(x 0 )- минимум функции f(x), и

если f»(x 0 ) 0 )- максимум функции f(x).

Положим, что f'(x 0 )=0, f»(x 0 ), пусть x=x 0 +Вписанные треугольники в прямоугольникеx 0 — точка близкая к x 0 .

Т.к. вторая производная f»(x) есть производная от первой производной f'(x), то имеем:

Вписанные треугольники в прямоугольнике

Вписанные треугольники в прямоугольникеВписанные треугольники в прямоугольнике

Таким образом, переменная Вписанные треугольники в прямоугольнике

стремится к пределу f // (x 0 )≠0, а значит, начиная с некоторого момента, это величина имеет знак своего предела в нашем случае плюс. поэтому:

Вписанные треугольники в прямоугольнике>0 при 0 0 | f / ( x 0 ) при х 0 -Е x x 0 и, следовательно, f / ( x 0 )>0 при х 0 x x 0 +Е.

Мы видим, что производная f / (x) при переходе через точку х 0 меняет свой знак с минуса на плюс, т.е. минимум функции.

Аналогично доказываем, что если f / (x 0 )=0 и f // (x 0 ) f ( x 0 )- минимум функции f (х).

Дан треугольник АBC, основание которого AC=b и высота BL=h. Найти прямоугольник наибольшей площади, который можно вписать в этот треугольник.

Вписанные треугольники в прямоугольникеешение.

Обозначим высоту KL прямоугольника через х , основание DE через у . Тогда площадь его S=xy . Переменные х и y не являются независимыми, они связаны некоторыми соотношением.

В самом деле из подобия треугольников DBE и ABC , учитывая, что высоты их BK и BL пропорциональны основаниям DE и AC имеем Вписанные треугольники в прямоугольникеВписанные треугольники в прямоугольнике

или т.к . BK=h-x, DE = y, BL=h, AC=b,

то Вписанные треугольники в прямоугольникеу= Вписанные треугольники в прямоугольнике

исключая у из выражения для S находим

S = Вписанные треугольники в прямоугольнике

Ищем максимум для этой функции

S Вписанные треугольники в прямоугольнике= Вписанные треугольники в прямоугольникеВписанные треугольники в прямоугольникеВписанные треугольники в прямоугольнике Вписанные треугольники в прямоугольнике

S Вписанные треугольники в прямоугольнике=0 Вписанные треугольники в прямоугольникеh -2 x =0 x = Вписанные треугольники в прямоугольнике

Легко видеть, что значение х действительно даст максимум функции S. В самом деле, составляя вторую производную, будем иметь Вписанные треугольники в прямоугольнике

следовательно, при Вписанные треугольники в прямоугольникеплощадь S имеет максимум, причем из формулы S = Вписанные треугольники в прямоугольникеполучаем S max = Вписанные треугольники в прямоугольнике

Ответ: площадь наибольшего прямоугольника, вписанного в треугольник, равна половине площади этого треугольника.

§6. Нахождение промежутков монотонности и экстремумов функции.

Решение таких примеров рекомендуется проводить по следующей схеме:

Найти область определения заданной функции Вписанные треугольники в прямоугольнике;

Найти производную Вписанные треугольники в прямоугольнике;

Определить критические точки функции Вписанные треугольники в прямоугольнике;

Найти промежутки знакопостоянства производной и указать промежутки возрастания и убывания функции f(x)

Указать, в каких точках функция имеет максимумы и минимумы, вычислить её экстремальные значения.

Найдем промежутки возрастания и убывания, а также точки максимума и минимума функции Вписанные треугольники в прямоугольнике

Вписанные треугольники в прямоугольнике

Вписанные треугольники в прямоугольнике

3)Найдем критические точки:

Вписанные треугольники в прямоугольникеВписанные треугольники в прямоугольнике

Вписанные треугольники в прямоугольникеВписанные треугольники в прямоугольнике

Вписанные треугольники в прямоугольнике

Вписанные треугольники в прямоугольникеВписанные треугольники в прямоугольнике

Вписанные треугольники в прямоугольникеВписанные треугольники в прямоугольнике

4Вписанные треугольники в прямоугольнике)

Вписанные треугольники в прямоугольнике+ — +

Вписанные треугольники в прямоугольнике1 1

Ответ: функция возрастает на Вписанные треугольники в прямоугольникеВписанные треугольники в прямоугольнике

Функция убывает на Вписанные треугольники в прямоугольнике

§7.Нахождение наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке.

Определение наименьшего и наибольшего значений дифференцируемой функции на заданном отрезке [а; b ] рекомендуется проводить по следующей схеме:

1)Найти производную данной функции;

2) Определить критические точки данной функции;

3)Из всех критических точек отобрать те, которые лежат внутри заданного отрезка;

4)Выписать значения данной функции в отобранных критических точках;

5)Выписать значения данной функции на концах а и b заданного отрезка;

6) Среди всех указанных вычисленных значений функции определить наименьшие и наибольшие числа. Они и являются решениями поставленной задачи.

Пример : Найдите наименьшее и наибольшее значения функции:

Вписанные треугольники в прямоугольнике+ sin 2 x на (0 ; Вписанные треугольники в прямоугольнике)

Решение : D ( f )= R

f’ (x) = — Вписанные треугольники в прямоугольникеcos x +2 sinxcosx = cos x (2 sin x-Вписанные треугольники в прямоугольнике)

Найдем критические точки:

fВписанные треугольники в прямоугольнике(x)=0 Вписанные треугольники в прямоугольникеcos x (2 sin x —Вписанные треугольники в прямоугольнике=0

cos x =0 2sinx — Вписанные треугольники в прямоугольнике=0

x=Вписанные треугольники в прямоугольнике Вписанные треугольники в прямоугольнике2 sin x = Вписанные треугольники в прямоугольнике

sin x = Вписанные треугольники в прямоугольнике

Х=(-1)Вписанные треугольники в прямоугольникеВписанные треугольники в прямоугольникеВписанные треугольники в прямоугольнике+Вписанные треугольники в прямоугольнике, kВписанные треугольники в прямоугольнике.

На промежутке (0;Вписанные треугольники в прямоугольнике) лежит лишь одна критическая точка x =Вписанные треугольники в прямоугольнике.

Вычислим значение функции в точке х=Вписанные треугольники в прямоугольнике.

f( Вписанные треугольники в прямоугольнике)=1-Вписанные треугольники в прямоугольникеВписанные треугольники в прямоугольникеВписанные треугольники в прямоугольнике+Вписанные треугольники в прямоугольникеВписанные треугольники в прямоугольникеВписанные треугольники в прямоугольнике=Вписанные треугольники в прямоугольнике=0,5.

Вычислим значение функции на концах заданного промежутка:

f (Вписанные треугольники в прямоугольнике)=1-Вписанные треугольники в прямоугольнике1+1=2-Вписанные треугольники в прямоугольнике=0,586

Из трех значений f (0)=1;

f (Вписанные треугольники в прямоугольнике)=0,586;

f ( Вписанные треугольники в прямоугольнике)=0,5.

Выбираем наименьшее и наибольшее значение

Ответ: min f ( x )= f ( Вписанные треугольники в прямоугольнике)=0,5;

Вписанные треугольники в прямоугольнике.

Найти наименьшее и наибольшее значение функции: y(x)= -2xВписанные треугольники в прямоугольнике-3xВписанные треугольники в прямоугольнике+4

на промежутке: а)Вписанные треугольники в прямоугольнике;

б)Вписанные треугольники в прямоугольнике

Находим критические точки функции. Т.к. y’(x)= -6xВписанные треугольники в прямоугольнике-6x=-6x(x+1), то имеются две критические точки: x=0 и x=-1.

а) В промежутке Вписанные треугольники в прямоугольникележит одна из критических точек: x=-1 .

т.к. y(-2)=8, y(-1)=4, y(-0,5)=3,5 то наименьшее значение функции

y(x)=-2xВписанные треугольники в прямоугольнике-3xВписанные треугольники в прямоугольнике+4 достигается в точке x=-1 и равно 3, а наибольшее

в точке x=-2 и равно 8. Кратко запишем так:

б) В промежутке Вписанные треугольники в прямоугольникеданная функция убывает. Поэтому max y(x)=y(1)=-1. Наименьшего значения в промежутке Вписанные треугольники в прямоугольникефункция не достигает, т.к. точка x=3 не принадлежит этому промежутку.

Отрезок с концами на сторонах прямого угла содержит точку внутри себя, удаленную на расстоянии 1 и 8 от сторон этого угла.

Найти наименьшую длину таких отрезков.

РВписанные треугольники в прямоугольникеешение: 1) Пусть ОА=х, ОВ=у

МВписанные треугольники в прямоугольникеАВ, МD=8, МС=1 Вписанные треугольники в прямоугольнике

Исходя из того, что

Вписанные треугольники в прямоугольнике

Вписанные треугольники в прямоугольникеВписанные треугольники в прямоугольнике

у= Вписанные треугольники в прямоугольнике

т.к. Вписанные треугольники в прямоугольникеАВО прямоугольный, то Вписанные треугольники в прямоугольникеВписанные треугольники в прямоугольнике

Найдём наименьшее значение функции Вписанные треугольники в прямоугольнике= Вписанные треугольники в прямоугольникеВписанные треугольники в прямоугольникепри х>1

2) Для этого найдём производную

Вписанные треугольники в прямоугольнике

Вписанные треугольники в прямоугольнике

3. Найдём критические точки:

Вписанные треугольники в прямоугольнике Вписанные треугольники в прямоугольнике Вписанные треугольники в прямоугольнике Вписанные треугольники в прямоугольнике Вписанные треугольники в прямоугольникех=5

Вписанные треугольники в прямоугольнике

т.к. в точке х = 5 производная меняет свой знак с “-“ на “+”, то это наименьшее значение.

4. Вписанные треугольники в прямоугольнике Вписанные треугольники в прямоугольнике. 5. A В= Вписанные треугольники в прямоугольнике= Вписанные треугольники в прямоугольнике

Ответ: 5Вписанные треугольники в прямоугольнике.

Из круга радиусом R вырезан сектор и из сектора сплетен конус. Каков наибольший объем получившийся конической воронки?

Вписанные треугольники в прямоугольникепусть Вписанные треугольники в прямоугольнике— центральный угол сектора

r -радиус основания конуса Вписанные треугольники в прямоугольнике

Вписанные треугольники в прямоугольнике— L осн.кон.=2Вписанные треугольники в прямоугольникеВписанные треугольники в прямоугольнике Вписанные треугольники в прямоугольнике

Вписанные треугольники в прямоугольникеВписанные треугольники в прямоугольнике

ИзВписанные треугольники в прямоугольникеВписанные треугольники в прямоугольникеАОО 1 h = Вписанные треугольники в прямоугольнике= R Вписанные треугольники в прямоугольнике

V = Вписанные треугольники в прямоугольнике Вписанные треугольники в прямоугольникеВписанные треугольники в прямоугольнике Вписанные треугольники в прямоугольнике

Вписанные треугольники в прямоугольнике

Найдем наибольшее значение функции Вписанные треугольники в прямоугольникеy = Вписанные треугольники в прямоугольникеот Вписанные треугольники в прямоугольнике:

y 2 Вписанные треугольники в прямоугольнике=Вписанные треугольники в прямоугольнике Вписанные треугольники в прямоугольнике Вписанные треугольники в прямоугольнике

y 1 = Вписанные треугольники в прямоугольнике

Вписанные треугольники в прямоугольнике

Вписанные треугольники в прямоугольнике

Вписанные треугольники в прямоугольнике

Вписанные треугольники в прямоугольнике

Вписанные треугольники в прямоугольнике

Вписанные треугольники в прямоугольнике

Вписанные треугольники в прямоугольнике

Вписанные треугольники в прямоугольнике

Ответ: Наибольший объем равен Вписанные треугольники в прямоугольнике.

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Прямоугольный участок земли, примыкающий к стене заводского здания, нужно оградить забором. Часть забора, параллельная стене, должна быть каменной, а остальная часть деревянной. Площадь участка 90см. Стоимость 1м каменного забора 10руб, а деревянного 8руб. Найдите такие размеры участка, чтобы стоимость всей ограды была наименьшей?

РВписанные треугольники в прямоугольникеешение: 1) Пусть стоимость ограды f руб.

x (м) — длина каменной части ограды, значит, ширина – 90/х (м),

тогда f ( x )= 10 x +8*2*90/ x = 10 x +1440/ x

2) D (f) =(0; + Вписанные треугольники в прямоугольнике)

3) f ’ (x)= (10x) + 1440’x – 1440*x/x 2 =

10-1440/ x =10( x 2 -144)/ x 2

4) Найдём критические точки:

f ’ ( x )= 0 10( x 2 -144)/ x 2 =0

D ( f )= (0; + Вписанные треугольники в прямоугольнике)

В точке x = 12 производная меняет свой знак с – на + , значит это наименьшее значение функции и оно единственное в области определения.

5) м in f (12) =10*12+1440/12=120+120=240

(0;+Вписанные треугольники в прямоугольнике)

Наименьшая длина каменной стены 12 м , а деревянной 90/12=7,5м

Ответ: 12м; 7,5м; 240 руб.

Из всех равнобедренных треугольников, вписанных в данный круг, найдите тот, который имеет наибольшую площадь.

Пусть радиус круга — R , BD =х,

Вписанные треугольники в прямоугольникетогда О D= х- R

Вписанные треугольники в прямоугольнике

Вписанные треугольники в прямоугольнике

Вписанные треугольники в прямоугольникеВписанные треугольники в прямоугольнике

Вписанные треугольники в прямоугольникеВписанные треугольники в прямоугольнике

Вписанные треугольники в прямоугольнике

Вписанные треугольники в прямоугольнике

Вписанные треугольники в прямоугольнике

Вписанные треугольники в прямоугольнике

Вписанные треугольники в прямоугольнике

Вписанные треугольники в прямоугольнике

Вписанные треугольники в прямоугольнике

если каждая сторона будет равна Вписанные треугольники в прямоугольнике, то площадь будет наименьшей.

На изготовление ящика с крышкой расходуется 108 дм 2 фанеры. Стороны основания относятся как 1: 2. Найдите линейные размеры ящика, при которых его объем наибольший.

Решение: S ПОЛН. = 2 ab + 2 ac +2 bc =2( ab + ac + bc )=108

аb-54= — ac-bc Вписанные треугольники в прямоугольнике

Вписанные треугольники в прямоугольнике54- ab =с(а+ b )

а с=Вписанные треугольники в прямоугольнике Вписанные треугольники в прямоугольнике

Пусть а=х, x Вписанные треугольники в прямоугольнике(0;+ Вписанные треугольники в прямоугольнике), тогда b =2 x , c = Вписанные треугольники в прямоугольнике Вписанные треугольники в прямоугольнике

V=a b c= x 2x Вписанные треугольники в прямоугольнике= Вписанные треугольники в прямоугольникеx (54-2Вписанные треугольники в прямоугольнике) =Вписанные треугольники в прямоугольникеx (27-Вписанные треугольники в прямоугольнике)

Вписанные треугольники в прямоугольникеВписанные треугольники в прямоугольнике Вписанные треугольники в прямоугольнике)Вписанные треугольники в прямоугольникеВписанные треугольники в прямоугольникеВписанные треугольники в прямоугольнике)Вписанные треугольники в прямоугольникеВписанные треугольники в прямоугольникеВписанные треугольники в прямоугольнике) — Вписанные треугольники в прямоугольникеx 2x =

=36- Вписанные треугольники в прямоугольникеВписанные треугольники в прямоугольнике=36-4 x Вписанные треугольники в прямоугольнике

V / ( x )=0 36-4 x Вписанные треугольники в прямоугольнике=0

Вписанные треугольники в прямоугольнике=9

Вписанные треугольники в прямоугольнике=3

Вписанные треугольники в прямоугольнике=-3 Вписанные треугольники в прямоугольнике Вписанные треугольники в прямоугольнике

a =3дм , b =6дм, с= Вписанные треугольники в прямоугольнике

Ответ: 3дм , 6дм , 4дм .

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Задача №6. Найти наибольший объем цилиндра, вписанного в данный конусВписанные треугольники в прямоугольнике

РВписанные треугольники в прямоугольникеешение:

Пусть задан конус высотой Н и радиусом основания R .

Обозначим через h высоту цилиндра и через r радиус

основания цилиндра, вписанного в данный конус.

Обозначим ВМ= x . Тогда Вписанные треугольники в прямоугольнике Вписанные треугольники в прямоугольнике

Объём цилиндра Вписанные треугольники в прямоугольнике.

В нашем случае Вписанные треугольники в прямоугольникеВписанные треугольники в прямоугольникеВписанные треугольники в прямоугольнике

Определим, при каком значении x объём цилиндра будет принимать наибольшее значение.

Найдём производную V 1 (x) .

Вписанные треугольники в прямоугольнике

V 1 ( x )=0 при x = Вписанные треугольники в прямоугольнике

При х  Вписанные треугольники в прямоугольникеV 1 ( x )  0 и V 1 ( x )  0 при х  Вписанные треугольники в прямоугольнике

Следовательно, в точке х= Вписанные треугольники в прямоугольникефункция V (х) имеет максимум. Так как х может менятся от нуля до R , причём V (0)=0 , то число

V( Вписанные треугольники в прямоугольнике)= Вписанные треугольники в прямоугольникеВписанные треугольники в прямоугольникеR 2 является наибольшим значением объёма вписанных цилиндров.

Найти высоту конической воронки наибольшего объёма, если её образующая равна L .

РВписанные треугольники в прямоугольникеешение.

площадь основания которого равна S ,

а высота- Н , вычисляется по формуле Вписанные треугольники в прямоугольнике,

где Вписанные треугольники в прямоугольнике2 ,

R — радиус окружности, лежащей в основании конуса.

По теореме Пифагора R и Н связаны равенством R 2 +H 2 =L 2 .

Воспользовавшись этим равенством, выразим V как функцию только одной переменной Н

Вписанные треугольники в прямоугольнике

Решая уравнения Вписанные треугольники в прямоугольникенаходим две критические точки функции V(H): H 1 + Вписанные треугольники в прямоугольникеH 2=- Вписанные треугольники в прямоугольнике Вписанные треугольники в прямоугольнике

Из которых точка H принадлежит промежутку (0,L ). При переходе через точку Н 1 функция V / (H) =Вписанные треугольники в прямоугольнике(Вписанные треугольники в прямоугольникеLВписанные треугольники в прямоугольнике-3H 2 ) меняет знак с плюса на минус, и, следовательно, на промежутке (0,Вписанные треугольники в прямоугольнике) функция V(H ) возрастает, а на промежутке (Вписанные треугольники в прямоугольнике; L)убывает.

Таким образом Н=Вписанные треугольники в прямоугольнике— высота конуса максимального объема при заданной длине образующей L.

Видео:Вписанный в окружность прямоугольный треугольник.Скачать

Вписанный в окружность прямоугольный треугольник.

Задача №8. В трапецию ABCD , боковая сторона АВ , которой


Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

(длина 8 см ) перпендикулярна основанию, вписать прямоугольник наибольшей площади так, чтобы одна из его сторон лежала на большем основании трапеции. Основания трапеции равны 6 и 10 см cоответственно. Вычислить площадь этого прямоугольника.

РВписанные треугольники в прямоугольникеассмотрим отдельно два случая.

Первый — вершина прямоугольника P лежит на боковой стороне трапеции CD .

Второй — вершина P лежит на основании трапеции ВС .

В первом случае обозначим стороны прямоугольника

Составим уравнение, связывающие неизвестные x и y .

Для этого проведем вспомогательный отрезок BL , параллельный стороне CD и рассмотрим два треугольника ABL и QPD .

Катеты этих треугольников равны соответственно

| AB |=8, | AL |=4, | QD |=10- x , | PQ |= y .

Искомое уравнение получается тогда из условия подобия треугольников ABL и QPD :

Вписанные треугольники в прямоугольникеили y =20-2 x .

Площадь прямоугольника AKPQ равна S ( x )= x (20-2 x ).

Интервал изменения x в первом случае находится из условия, что точка Q — проекция точки P , лежащий на стороне С D , cледовательно, хВписанные треугольники в прямоугольнике6 .

Таким образом, задача свелась к отысканию наименьшего значения функции S ( x ) на промежутке [6;10]. Единственная критическая точка функции S ( x ): x =5 не принадлежит найденному промежутку.

Следовательно, производная функции S ( x ) не меняет на этом промежутке знак.

Вычисляя производную S ( x ) в произвольной точке промежутка [6;10] , убеждаемся, что она отрицательна.

Таким образом, наибольшее значение S ( x ) достигается в левом конце промежутка, т.е. max S ( x )= S (6)=48см 2

x Вписанные треугольники в прямоугольнике[6;10]

Площадь прямоугольников, относящихся по второму случаю, не превосходит 48см 2 , т.к. при одинаковой боковой стороне равной 8см , длины их оснований не могут быть больше 6см .

Из квадратного листа жести со стороной а требуется вырезать развертку правильной четырехугольной пирамиды так, чтобы вершины квадрата склеивались в вершину пирамиды. Как это сделать, чтобы получить пирамиду наибольшего объема?

Решение . Пусть АВС D — данный квадрат, О — его центры и KLMN – основание искомой пирамиды. Обозначив через К расстояние от точки К до стороны АВ , выразим объем пирамиды как функцию x .

Получим: Вписанные треугольники в прямоугольнике

Вписанные треугольники в прямоугольникеВписанные треугольники в прямоугольнике

Следовательно, Вписанные треугольники в прямоугольнике

Функция принимает наибольшее значение одновременно с функцией Вписанные треугольники в прямоугольнике.

Вписанные треугольники в прямоугольнике Вписанные треугольники в прямоугольнике Вписанные треугольники в прямоугольнике Вписанные треугольники в прямоугольнике0 Вписанные треугольники в прямоугольнике

Имеем, V(0)=V(Вписанные треугольники в прямоугольнике=0

V(Вписанные треугольники в прямоугольнике>0

следовательно, при х= Вписанные треугольники в прямоугольникефункция V имеет наибольшее значение.

Таким образом, объём будет наибольшим тогда, когда диагональ её основания равна Вписанные треугольники в прямоугольникесторона квадрата.

Видео:Сможешь найти радиус окружности? Окружность, вписанная в прямоугольный треугольникСкачать

Сможешь найти радиус окружности? Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

Задача № 10. В круг радиуса а вписан равнобедренный треугольник. При каком соотношении сторон треугольник будет иметь наибольшую площадь.

Вписанные треугольники в прямоугольникеРешение:

ПВписанные треугольники в прямоугольникеусть АВС=Вписанные треугольники в прямоугольнике, тогда по теореме синусов имеем АВ=2Вписанные треугольники в прямоугольникеsinВписанные треугольники в прямоугольнике.Далее из АDC СD = АD ctg Вписанные треугольники в прямоугольнике= Вписанные треугольники в прямоугольникеsinВписанные треугольники в прямоугольникеctg Вписанные треугольники в прямоугольнике= a sin a Вписанные треугольники в прямоугольнике= a ( 1 + cos a ) .

Рассмотрим площадь треугольника как функцию переменной а ( 0Вписанные треугольники в прямоугольнике) :

S ( a) = Вписанные треугольники в прямоугольнике= Вписанные треугольники в прямоугольникеsin a ( 1+ cos a ) = Вписанные треугольники в прямоугольнике( sin a + 0,5 sin 2a ).

S` = Вписанные треугольники в прямоугольнике( cos a + cos 2a ) = Вписанные треугольники в прямоугольнике( 2cos 2 a + cos a – 1) =

= a 2 ( cos a + 1 ) ( 2cos a – 1 ).

Т.к cos + 1> 0 ( Вписанные треугольники в прямоугольнике( 0 : п) ), то S` (a) = 0 при cos a = 0,5, откуда Вписанные треугольники в прямоугольнике.

Если 0 0, т.е S (a) возрастает на

( 0; Вписанные треугольники в прямоугольнике]. Если Вписанные треугольники в прямоугольникеЗадача № 11.

Вписать в круг радиуса R прямоугольник наибольшей площади.

ОВписанные треугольники в прямоугольникебозначим длину одной из сторон прямоугольника через x , тогда длина другой стороны равна Вписанные треугольники в прямоугольнике.

Заметим, что 0 x R , т.к. x -длина хорды окружности радиуса R , отличная от диаметра. Следовательно, площадь прямоугольника Вписанные треугольники в прямоугольнике.

Hайдем наибольшее значение функции S ( x ) на

Имеем S ’( x )=0 , т.е. Вписанные треугольники в прямоугольнике4 R 2 -2 x 2 =0, откуда x 1 =RВписанные треугольники в прямоугольникеи x 2 =-RВписанные треугольники в прямоугольникеВписанные треугольники в прямоугольникеВписанные треугольники в прямоугольнике

Значит, надо сравнить значение функции при x = R Вписанные треугольники в прямоугольникеи на концах отрезка x =0 и x =2 R .

Т.к. S(0)=S(2R)=0, а S(RВписанные треугольники в прямоугольнике)=2R 2 , то функция принимает наибольшее значение на [0;2R) при х=RВписанные треугольники в прямоугольнике. Поскольку наибольшее значение функции S(x) на отрезке [0;2R) достигается Вписанные треугольники в прямоугольнике
в точке x= RВписанные треугольники в прямоугольнике.

При этом длина другой стороны прямоугольника равна Вписанные треугольники в прямоугольнике, то есть искомым прямоугольником служит квадрат.

Задача № 12. Из всех прямоугольников данного периметра найти тот, у которого диагональ наименьшая.

Пусть периметр прямоугольника равен 2 а и одна из сторон прямоугольника равна х, тогда другая сторона будет Вписанные треугольники в прямоугольнике

Диагональ прямоугольника — переменная величина, обозначив её через у, получим по теореме Пифагора у 2 =х 2 +(а-х) 2 ,

или у 2 =2х 2 -2ах+а 2 , откуда у=Вписанные треугольники в прямоугольнике, где 0 0, если х>Вписанные треугольники в прямоугольнике.

Производная меняет знак с минуса на плюс на плюс, следовательно, функция х= Вписанные треугольники в прямоугольникеимеет минимум.

Таким образом, из всех прямоугольников данного периметра наименьшую диагональ имеет квадрат.

Работая над темой «Применение производной к решению экстремальных задач» я изучила очень много литературы по этой теме. При решении задач мне пришлось использовать следующие теоремы:

Необходимый признак возрастания и убывания функции.

Достаточный признак возрастания и убывания функции.

Кроме того «Экстремум функции одной переменной и достаточные условия экстремума функции».

Также я, изучая литературу, выделила этапы решения задач на нахождение промежутков монотонности и экстремумов функции и нахождение наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке.

Я считаю, что моя тема очень интересна. Поэтому я буду продолжать ее изучение в дальнейшем.

Моя работа будет очень полезной при подготовке выпускников к экзаменам в качестве дополнительного материала, который можно изучать на факультативах по математике.

1. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П.

Краткий курс высшей математики.- М.: Наука,1989

2. Васильев Н.Б. Заочные математические олимпиады. -М.: Наука,1986.

3. Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочное пособие по методам решения задач по математике.-М.: Наука,1984

4.Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начала анализа.- М.: Просвещение, 1990

5.Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Факультативный курс по математике.-М.: Просвещение,1991

6.Готман Э.Г., Скопец З.А. Решение геометрических задач аналитическим методом -М.: Просвещение, 1979 .

7.Мочалин А.А. Сборник задач по математике.- Саратов, Лицей, 1998.

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник – треугольник, в котором один угол прямой (то есть равен 90˚).

Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой прямоугольного треугольника.

Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами .

Вписанные треугольники в прямоугольнике

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по двум катетам ).

Вписанные треугольники в прямоугольнике

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по катету и острому углу ).

Вписанные треугольники в прямоугольникеЕсли гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и острому углу ).

Вписанные треугольники в прямоугольнике

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и катету ).

Вписанные треугольники в прямоугольнике

Свойства прямоугольного треугольника

1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90˚.

2. Катет, противолежащий углу в 30˚, равен половине гипотенузы.

И обратно, если в треугольнике катет вдвое меньше гипотенузы, то напротив него лежит угол в 30˚.

Вписанные треугольники в прямоугольнике

3. Теорема Пифагора:

Вписанные треугольники в прямоугольнике, где Вписанные треугольники в прямоугольнике– катеты, Вписанные треугольники в прямоугольнике– гипотенуза. Видеодоказательство

Вписанные треугольники в прямоугольнике

4. Площадь Вписанные треугольники в прямоугольникепрямоугольного треугольника с катетами Вписанные треугольники в прямоугольнике:

Вписанные треугольники в прямоугольнике

5. Высота Вписанные треугольники в прямоугольникепрямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе выражается через катеты Вписанные треугольники в прямоугольникеи гипотенузу Вписанные треугольники в прямоугольникеследующим образом:

Вписанные треугольники в прямоугольнике

Вписанные треугольники в прямоугольнике

6. Центр описанной окружности – есть середина гипотенузы.

Вписанные треугольники в прямоугольнике

7. Радиус Вписанные треугольники в прямоугольникеописанной окружности есть половина гипотенузы Вписанные треугольники в прямоугольнике:

Вписанные треугольники в прямоугольнике

8. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине

9. Радиус Вписанные треугольники в прямоугольникевписанной окружности выражается через катеты Вписанные треугольники в прямоугольникеи гипотенузу Вписанные треугольники в прямоугольникеследующим образом:

Вписанные треугольники в прямоугольнике

Вписанные треугольники в прямоугольнике

Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике смотрите здесь.

📽️ Видео

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Вписанные четырехугольники. 9 класс.Скачать

Вписанные четырехугольники. 9 класс.

Три окружности в прямоугольнике.Скачать

Три окружности в прямоугольнике.

Математика за минуту: Объяснение формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник.Скачать

Математика за минуту: Объяснение формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник.

В ТРЕУГОЛЬНИК ВПИСАН ПРЯМОУГОЛЬНИК, НАЙТИ МАКСИМУМ ПЛОЩАДИ!Скачать

В ТРЕУГОЛЬНИК ВПИСАН ПРЯМОУГОЛЬНИК, НАЙТИ МАКСИМУМ ПЛОЩАДИ!

ОГЭ Задание 25 Окружность вписанная в прямоугольный треугольникСкачать

ОГЭ Задание 25 Окружность вписанная в прямоугольный треугольник

Задание 24 Радиус окружности вписанной в прямоугольный треугольникСкачать

Задание 24  Радиус окружности вписанной в прямоугольный треугольник

Суперзадача про полукруг в прямоугольникеСкачать

Суперзадача про полукруг в прямоугольнике

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник | Геометрия 8-9 классыСкачать

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник | Геометрия 8-9 классы

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnline

ЕГЭ задание 16 Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника. Разные способы решенияСкачать

ЕГЭ задание 16 Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника. Разные способы решения

Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать

Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания
Поделиться или сохранить к себе: