Если треугольник произвольно вписывать в прямоугольник, то задача окажется слишком многовариантной. Поэтому я решил принять важное ограничение: допустим вершина треугольника А является также и вершиной описанного прямоугольника. В этом случае прямоугольников хоть и бесконечно много, но среди них есть как самый большой по площади, так и самый малый. Какие же они, эти площади, если известны стороны треугольника «a», «b», «c» ?
Довольно несложное дифференциальное исчисление позволило определить нужные углы поворота «t». Это дало возможность при помощи теоремы косинусов найти и экстремальные площади прямоугольников. Формулы, показанные на рисунке, в который раз меня очаровали!
Как и очаровал снег после очень тёплой недели. Когда температура достигала +18 градусов. Утром смотрю в окошко — все деревья в красочном инее!
- Тема: «Применение производной к решению экстремальных задач»
- Главная > Документ
- Прямоугольный участок земли, примыкающий к стене заводского здания, нужно оградить забором. Часть забора, параллельная стене, должна быть каменной, а остальная часть деревянной. Площадь участка 90см. Стоимость 1м каменного забора 10руб, а деревянного 8руб. Найдите такие размеры участка, чтобы стоимость всей ограды была наименьшей?
- Задача №6. Найти наибольший объем цилиндра, вписанного в данный конус
- Задача №8. В трапецию ABCD , боковая сторона АВ , которой
- (длина 8 см ) перпендикулярна основанию, вписать прямоугольник наибольшей площади так, чтобы одна из его сторон лежала на большем основании трапеции. Основания трапеции равны 6 и 10 см cоответственно. Вычислить площадь этого прямоугольника.
- Задача № 10. В круг радиуса а вписан равнобедренный треугольник. При каком соотношении сторон треугольник будет иметь наибольшую площадь.
- Прямоугольный треугольник
- 📽️ Видео
Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать
Тема: «Применение производной к решению экстремальных задач»
Главная > Документ
Информация о документе | |
Дата добавления: | |
Размер: | |
Доступные форматы для скачивания: |
Теорема 2 (второе правило).
Если для дифференцируемой функции f(x) в некоторой точке х 0 ее первая производная f'(x) равна нулю, а вторая производная f»(x) существует и отлично от нуля, т. е. f'(x 0 )= 0, f»(x 0 )≠0, то в этой точке функция f(x) имеет экстремум;
если f»(x 0 )>0, то f(x 0 )- минимум функции f(x), и
если f»(x 0 ) 0 )- максимум функции f(x).
Положим, что f'(x 0 )=0, f»(x 0 ), пусть x=x 0 +x 0 — точка близкая к x 0 .
Т.к. вторая производная f»(x) есть производная от первой производной f'(x), то имеем:
Таким образом, переменная
стремится к пределу f // (x 0 )≠0, а значит, начиная с некоторого момента, это величина имеет знак своего предела в нашем случае плюс. поэтому:
>0 при 0 0 | f / ( x 0 ) при х 0 -Е x x 0 и, следовательно, f / ( x 0 )>0 при х 0 x x 0 +Е.
Мы видим, что производная f / (x) при переходе через точку х 0 меняет свой знак с минуса на плюс, т.е. минимум функции.
Аналогично доказываем, что если f / (x 0 )=0 и f // (x 0 ) f ( x 0 )- минимум функции f (х).
Дан треугольник АBC, основание которого AC=b и высота BL=h. Найти прямоугольник наибольшей площади, который можно вписать в этот треугольник.
ешение.
Обозначим высоту KL прямоугольника через х , основание DE через у . Тогда площадь его S=xy . Переменные х и y не являются независимыми, они связаны некоторыми соотношением.
В самом деле из подобия треугольников DBE и ABC , учитывая, что высоты их BK и BL пропорциональны основаниям DE и AC имеем
или т.к . BK=h-x, DE = y, BL=h, AC=b,
то у=
исключая у из выражения для S находим
S =
Ищем максимум для этой функции
S =
S =0 h -2 x =0 x =
Легко видеть, что значение х действительно даст максимум функции S. В самом деле, составляя вторую производную, будем иметь
следовательно, при площадь S имеет максимум, причем из формулы S = получаем S max =
Ответ: площадь наибольшего прямоугольника, вписанного в треугольник, равна половине площади этого треугольника.
§6. Нахождение промежутков монотонности и экстремумов функции.
Решение таких примеров рекомендуется проводить по следующей схеме:
Найти область определения заданной функции ;
Найти производную ;
Определить критические точки функции ;
Найти промежутки знакопостоянства производной и указать промежутки возрастания и убывания функции f(x)
Указать, в каких точках функция имеет максимумы и минимумы, вычислить её экстремальные значения.
Найдем промежутки возрастания и убывания, а также точки максимума и минимума функции
3)Найдем критические точки:
4)
+ — +
1 1
Ответ: функция возрастает на
Функция убывает на
§7.Нахождение наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке.
Определение наименьшего и наибольшего значений дифференцируемой функции на заданном отрезке [а; b ] рекомендуется проводить по следующей схеме:
1)Найти производную данной функции;
2) Определить критические точки данной функции;
3)Из всех критических точек отобрать те, которые лежат внутри заданного отрезка;
4)Выписать значения данной функции в отобранных критических точках;
5)Выписать значения данной функции на концах а и b заданного отрезка;
6) Среди всех указанных вычисленных значений функции определить наименьшие и наибольшие числа. Они и являются решениями поставленной задачи.
Пример : Найдите наименьшее и наибольшее значения функции:
+ sin 2 x на (0 ; )
Решение : D ( f )= R
f’ (x) = — cos x +2 sinxcosx = cos x (2 sin x-)
Найдем критические точки:
f(x)=0 cos x (2 sin x —=0
cos x =0 2sinx — =0
x= 2 sin x =
sin x =
Х=(-1)+, k.
На промежутке (0;) лежит лишь одна критическая точка x =.
Вычислим значение функции в точке х=.
f( )=1-+==0,5.
Вычислим значение функции на концах заданного промежутка:
f ()=1-1+1=2-=0,586
Из трех значений f (0)=1;
f ()=0,586;
f ( )=0,5.
Выбираем наименьшее и наибольшее значение
Ответ: min f ( x )= f ( )=0,5;
.
Найти наименьшее и наибольшее значение функции: y(x)= -2x-3x+4
на промежутке: а);
б)
Находим критические точки функции. Т.к. y’(x)= -6x-6x=-6x(x+1), то имеются две критические точки: x=0 и x=-1.
а) В промежутке лежит одна из критических точек: x=-1 .
т.к. y(-2)=8, y(-1)=4, y(-0,5)=3,5 то наименьшее значение функции
y(x)=-2x-3x+4 достигается в точке x=-1 и равно 3, а наибольшее
в точке x=-2 и равно 8. Кратко запишем так:
б) В промежутке данная функция убывает. Поэтому max y(x)=y(1)=-1. Наименьшего значения в промежутке функция не достигает, т.к. точка x=3 не принадлежит этому промежутку.
Отрезок с концами на сторонах прямого угла содержит точку внутри себя, удаленную на расстоянии 1 и 8 от сторон этого угла.
Найти наименьшую длину таких отрезков.
Решение: 1) Пусть ОА=х, ОВ=у
МАВ, МD=8, МС=1
Исходя из того, что
у=
т.к. АВО прямоугольный, то
Найдём наименьшее значение функции = при х>1
2) Для этого найдём производную
3. Найдём критические точки:
х=5
т.к. в точке х = 5 производная меняет свой знак с “-“ на “+”, то это наименьшее значение.
4. . 5. A В= =
Ответ: 5.
Из круга радиусом R вырезан сектор и из сектора сплетен конус. Каков наибольший объем получившийся конической воронки?
пусть — центральный угол сектора
r -радиус основания конуса
— L осн.кон.=2
ИзАОО 1 h = = R
V =
Найдем наибольшее значение функции y = от :
y 2 =
y 1 =
Ответ: Наибольший объем равен .
Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать
Прямоугольный участок земли, примыкающий к стене заводского здания, нужно оградить забором. Часть забора, параллельная стене, должна быть каменной, а остальная часть деревянной. Площадь участка 90см. Стоимость 1м каменного забора 10руб, а деревянного 8руб. Найдите такие размеры участка, чтобы стоимость всей ограды была наименьшей?
Решение: 1) Пусть стоимость ограды f руб.
x (м) — длина каменной части ограды, значит, ширина – 90/х (м),
тогда f ( x )= 10 x +8*2*90/ x = 10 x +1440/ x
2) D (f) =(0; + )
3) f ’ (x)= (10x) + 1440’x – 1440*x/x 2 =
10-1440/ x =10( x 2 -144)/ x 2
4) Найдём критические точки:
f ’ ( x )= 0 10( x 2 -144)/ x 2 =0
D ( f )= (0; + )
В точке x = 12 производная меняет свой знак с – на + , значит это наименьшее значение функции и оно единственное в области определения.
5) м in f (12) =10*12+1440/12=120+120=240
(0;+)
Наименьшая длина каменной стены 12 м , а деревянной 90/12=7,5м
Ответ: 12м; 7,5м; 240 руб.
Из всех равнобедренных треугольников, вписанных в данный круг, найдите тот, который имеет наибольшую площадь.
Пусть радиус круга — R , BD =х,
тогда О D= х- R
если каждая сторона будет равна , то площадь будет наименьшей.
На изготовление ящика с крышкой расходуется 108 дм 2 фанеры. Стороны основания относятся как 1: 2. Найдите линейные размеры ящика, при которых его объем наибольший.
Решение: S ПОЛН. = 2 ab + 2 ac +2 bc =2( ab + ac + bc )=108
аb-54= — ac-bc
54- ab =с(а+ b )
а с=
Пусть а=х, x (0;+ ), тогда b =2 x , c =
V=a b c= x 2x = x (54-2) =x (27-)
))) — x 2x =
=36- — =36-4 x
V / ( x )=0 36-4 x =0
=9
=3
=-3
a =3дм , b =6дм, с=
Ответ: 3дм , 6дм , 4дм .
Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать
Задача №6. Найти наибольший объем цилиндра, вписанного в данный конус
Решение:
Пусть задан конус высотой Н и радиусом основания R .
Обозначим через h высоту цилиндра и через r радиус
основания цилиндра, вписанного в данный конус.
Обозначим ВМ= x . Тогда
Объём цилиндра .
В нашем случае
Определим, при каком значении x объём цилиндра будет принимать наибольшее значение.
Найдём производную V 1 (x) .
V 1 ( x )=0 при x =
При х V 1 ( x ) 0 и V 1 ( x ) 0 при х
Следовательно, в точке х= функция V (х) имеет максимум. Так как х может менятся от нуля до R , причём V (0)=0 , то число
V( )= R 2 является наибольшим значением объёма вписанных цилиндров.
Найти высоту конической воронки наибольшего объёма, если её образующая равна L .
Решение.
площадь основания которого равна S ,
а высота- Н , вычисляется по формуле ,
где 2 ,
R — радиус окружности, лежащей в основании конуса.
По теореме Пифагора R и Н связаны равенством R 2 +H 2 =L 2 .
Воспользовавшись этим равенством, выразим V как функцию только одной переменной Н
Решая уравнения находим две критические точки функции V(H): H 1 + H 2=-
Из которых точка H принадлежит промежутку (0,L ). При переходе через точку Н 1 функция V / (H) =(L-3H 2 ) меняет знак с плюса на минус, и, следовательно, на промежутке (0,) функция V(H ) возрастает, а на промежутке (; L)убывает.
Таким образом Н=— высота конуса максимального объема при заданной длине образующей L.
Видео:Вписанный в окружность прямоугольный треугольник.Скачать
Задача №8. В трапецию ABCD , боковая сторона АВ , которой
Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать
(длина 8 см ) перпендикулярна основанию, вписать прямоугольник наибольшей площади так, чтобы одна из его сторон лежала на большем основании трапеции. Основания трапеции равны 6 и 10 см cоответственно. Вычислить площадь этого прямоугольника.
Рассмотрим отдельно два случая.
Первый — вершина прямоугольника P лежит на боковой стороне трапеции CD .
Второй — вершина P лежит на основании трапеции ВС .
В первом случае обозначим стороны прямоугольника
Составим уравнение, связывающие неизвестные x и y .
Для этого проведем вспомогательный отрезок BL , параллельный стороне CD и рассмотрим два треугольника ABL и QPD .
Катеты этих треугольников равны соответственно
| AB |=8, | AL |=4, | QD |=10- x , | PQ |= y .
Искомое уравнение получается тогда из условия подобия треугольников ABL и QPD :
или y =20-2 x .
Площадь прямоугольника AKPQ равна S ( x )= x (20-2 x ).
Интервал изменения x в первом случае находится из условия, что точка Q — проекция точки P , лежащий на стороне С D , cледовательно, х6 .
Таким образом, задача свелась к отысканию наименьшего значения функции S ( x ) на промежутке [6;10]. Единственная критическая точка функции S ( x ): x =5 не принадлежит найденному промежутку.
Следовательно, производная функции S ( x ) не меняет на этом промежутке знак.
Вычисляя производную S ( x ) в произвольной точке промежутка [6;10] , убеждаемся, что она отрицательна.
Таким образом, наибольшее значение S ( x ) достигается в левом конце промежутка, т.е. max S ( x )= S (6)=48см 2
x [6;10]
Площадь прямоугольников, относящихся по второму случаю, не превосходит 48см 2 , т.к. при одинаковой боковой стороне равной 8см , длины их оснований не могут быть больше 6см .
Из квадратного листа жести со стороной а требуется вырезать развертку правильной четырехугольной пирамиды так, чтобы вершины квадрата склеивались в вершину пирамиды. Как это сделать, чтобы получить пирамиду наибольшего объема?
Решение . Пусть АВС D — данный квадрат, О — его центры и KLMN – основание искомой пирамиды. Обозначив через К расстояние от точки К до стороны АВ , выразим объем пирамиды как функцию x .
Получим:
Следовательно,
Функция принимает наибольшее значение одновременно с функцией .
0
Имеем, V(0)=V(=0
V(>0
следовательно, при х= функция V имеет наибольшее значение.
Таким образом, объём будет наибольшим тогда, когда диагональ её основания равна сторона квадрата.
Видео:Сможешь найти радиус окружности? Окружность, вписанная в прямоугольный треугольникСкачать
Задача № 10. В круг радиуса а вписан равнобедренный треугольник. При каком соотношении сторон треугольник будет иметь наибольшую площадь.
Решение:
Пусть АВС=, тогда по теореме синусов имеем АВ=2sin.Далее из АDC СD = АD ctg = sinctg = a sin a = a ( 1 + cos a ) .
Рассмотрим площадь треугольника как функцию переменной а ( 0) :
S ( a) = = sin a ( 1+ cos a ) = ( sin a + 0,5 sin 2a ).
S` = ( cos a + cos 2a ) = ( 2cos 2 a + cos a – 1) =
= a 2 ( cos a + 1 ) ( 2cos a – 1 ).
Т.к cos + 1> 0 ( ( 0 : п) ), то S` (a) = 0 при cos a = 0,5, откуда .
Если 0 0, т.е S (a) возрастает на
( 0; ]. Если Задача № 11.
Вписать в круг радиуса R прямоугольник наибольшей площади.
Обозначим длину одной из сторон прямоугольника через x , тогда длина другой стороны равна .
Заметим, что 0 x R , т.к. x -длина хорды окружности радиуса R , отличная от диаметра. Следовательно, площадь прямоугольника .
Hайдем наибольшее значение функции S ( x ) на
Имеем S ’( x )=0 , т.е. 4 R 2 -2 x 2 =0, откуда x 1 =Rи x 2 =-R
Значит, надо сравнить значение функции при x = R и на концах отрезка x =0 и x =2 R .
Т.к. S(0)=S(2R)=0, а S(R)=2R 2 , то функция принимает наибольшее значение на [0;2R) при х=R. Поскольку наибольшее значение функции S(x) на отрезке [0;2R) достигается
в точке x= R.
При этом длина другой стороны прямоугольника равна , то есть искомым прямоугольником служит квадрат.
Задача № 12. Из всех прямоугольников данного периметра найти тот, у которого диагональ наименьшая.
Пусть периметр прямоугольника равен 2 а и одна из сторон прямоугольника равна х, тогда другая сторона будет
Диагональ прямоугольника — переменная величина, обозначив её через у, получим по теореме Пифагора у 2 =х 2 +(а-х) 2 ,
или у 2 =2х 2 -2ах+а 2 , откуда у=, где 0 0, если х>.
Производная меняет знак с минуса на плюс на плюс, следовательно, функция х= имеет минимум.
Таким образом, из всех прямоугольников данного периметра наименьшую диагональ имеет квадрат.
Работая над темой «Применение производной к решению экстремальных задач» я изучила очень много литературы по этой теме. При решении задач мне пришлось использовать следующие теоремы:
Необходимый признак возрастания и убывания функции.
Достаточный признак возрастания и убывания функции.
Кроме того «Экстремум функции одной переменной и достаточные условия экстремума функции».
Также я, изучая литературу, выделила этапы решения задач на нахождение промежутков монотонности и экстремумов функции и нахождение наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке.
Я считаю, что моя тема очень интересна. Поэтому я буду продолжать ее изучение в дальнейшем.
Моя работа будет очень полезной при подготовке выпускников к экзаменам в качестве дополнительного материала, который можно изучать на факультативах по математике.
1. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П.
Краткий курс высшей математики.- М.: Наука,1989
2. Васильев Н.Б. Заочные математические олимпиады. -М.: Наука,1986.
3. Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочное пособие по методам решения задач по математике.-М.: Наука,1984
4.Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начала анализа.- М.: Просвещение, 1990
5.Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Факультативный курс по математике.-М.: Просвещение,1991
6.Готман Э.Г., Скопец З.А. Решение геометрических задач аналитическим методом -М.: Просвещение, 1979 .
7.Мочалин А.А. Сборник задач по математике.- Саратов, Лицей, 1998.
Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать
Прямоугольный треугольник
Прямоугольный треугольник – треугольник, в котором один угол прямой (то есть равен 90˚).
Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой прямоугольного треугольника.
Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами .
Признаки равенства прямоугольных треугольников
Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по двум катетам ).
Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по катету и острому углу ).
Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и острому углу ).
Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и катету ).
Свойства прямоугольного треугольника
1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90˚.
2. Катет, противолежащий углу в 30˚, равен половине гипотенузы.
И обратно, если в треугольнике катет вдвое меньше гипотенузы, то напротив него лежит угол в 30˚.
3. Теорема Пифагора:
, где – катеты, – гипотенуза. Видеодоказательство
4. Площадь прямоугольного треугольника с катетами :
5. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе выражается через катеты и гипотенузу следующим образом:
6. Центр описанной окружности – есть середина гипотенузы.
7. Радиус описанной окружности есть половина гипотенузы :
8. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине
9. Радиус вписанной окружности выражается через катеты и гипотенузу следующим образом:
Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике смотрите здесь.
📽️ Видео
Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать
Вписанные четырехугольники. 9 класс.Скачать
Три окружности в прямоугольнике.Скачать
Математика за минуту: Объяснение формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник.Скачать
В ТРЕУГОЛЬНИК ВПИСАН ПРЯМОУГОЛЬНИК, НАЙТИ МАКСИМУМ ПЛОЩАДИ!Скачать
ОГЭ Задание 25 Окружность вписанная в прямоугольный треугольникСкачать
Задание 24 Радиус окружности вписанной в прямоугольный треугольникСкачать
Суперзадача про полукруг в прямоугольникеСкачать
Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник | Геометрия 8-9 классыСкачать
Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать
ЕГЭ задание 16 Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника. Разные способы решенияСкачать
Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать
Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать