Центр окружности вписанной в четырехугольник лежит на его диагонали

Вписанная в четырехугольник окружность

Описанный четырехугольник — это четырехугольник, все стороны которого касаются окружности. При этом окружность называется вписанной в четырехугольник.

Какими свойствами обладает вписанная в четырехугольник окружность? Когда в четырехугольник можно вписать окружность? Где находится центр вписанной окружности?

В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противолежащих сторон равны.

Центр окружности вписанной в четырехугольник лежит на его диагоналиВ четырехугольник ABCD можно вписать окружность, если

И обратно, если суммы противоположных сторон четырехугольника равны:

то в четырехугольник ABCD можно вписать окружность.

Центр вписанной в четырехугольник окружности — точка пересечения его биссектрис.

Центр окружности вписанной в четырехугольник лежит на его диагоналиO — точка пересечения биссектрис четырехугольника ABCD.

AO, BO, CO, DO — биссектрисы углов четырехугольника ABCD,

то есть ∠BAO=∠DAO, ∠ABO=∠CBO и т.д.

3. Точки касания вписанной окружности, лежащие на сторонах, выходящих из одной вершины, равноудалены от этой вершины.

Центр окружности вписанной в четырехугольник лежит на его диагоналиAM=AN,

Центр окружности вписанной в четырехугольник лежит на его диагонали

Центр окружности вписанной в четырехугольник лежит на его диагонали

Центр окружности вписанной в четырехугольник лежит на его диагонали

Центр окружности вписанной в четырехугольник лежит на его диагонали

Центр окружности вписанной в четырехугольник лежит на его диагонали

5. Площадь четырехугольника связана с радиусом вписанной в него окружности формулой

Центр окружности вписанной в четырехугольник лежит на его диагонали

где p — полупериметр четырехугольника.

Так как суммы противолежащих сторон описанного четырехугольника равны, полупериметр равен любой из пар сумм противолежащих сторон.

Например, для четырехугольника ABCD p=AD+BC или p=AB+CD и

Центр окружности вписанной в четырехугольник лежит на его диагонали

Центр окружности вписанной в четырехугольник лежит на его диагонали

Соответственно, радиус вписанной в четырехугольник окружности равен

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Окружность, вписанная в четырехугольник

Определение 1. Окружность называют вписанным в четырехугольник, если окружность касается всех сторон четырехугольника.

На рисунке 1 окружность вписан в четырехугольник ABCD. В этом случае говорят также, что четырехугольник описан около окружности.

Центр окружности вписанной в четырехугольник лежит на его диагонали

Теорема 1. Если окружность вписан в четырехугольник, то сумма противолежащих сторон четырехугольника равны.

Доказательство. Пусть окружность ABCD вписан в четырехугольник (Рис.2). Докажем, что ( small AB+CD=AD+BC ).

Центр окружности вписанной в четырехугольник лежит на его диагонали

Точки M, N, Q, P − точки касания окружности со сторонами четырехугольника. Так как отрезки касательных, проведенных к окружности через одну точку, равны (статья Касательная к окружности теорема 2), то

( small AM=AQ=a, ) ( small BM=BN=b, ) ( small CN=CP=c, ) ( small DQ=DP=d )
( small AB+CD ) ( small=AM+BM+CP+DP ) ( small =a+b+c+d, )(1)
( small AD+BC) ( small=AQ+DQ+BN+CN) ( small=a+d+b+c. )(2)

Из равенств (1) и (2), следует:

( small AB+CD=AD+BC. ) Центр окружности вписанной в четырехугольник лежит на его диагонали

Теорема 2. Если в выпуклом четырехугольнике сумма противолежащих сторон равны, то в него можно вписать окружность.

Доказательство. Пусть задан выпуклый четырехугольник ABCD и пусть ( small AB+CD=AD+BC. ) (Рис.3). Докажем, что в него можно вписать окружность.

Центр окружности вписанной в четырехугольник лежит на его диагонали

Проведем биссектрисы углов A и B четырехугольника ABCD. Точку их пересечения обозначим буквой O. Тогда точка O равноудалена от сторон AB, BC, AD. Следовательно существует окружность с центром в точке O, которая касается этих трех сторон.

Пусть эта окружность не касается стороны CD. Тогда возможны два случая.

Случай 1. Сторона CD не имеет общих точек с построенной окружностью.

Проведем касательную C1D1 к окружности, параллельно стороне CD четырехугольника.

Тогда окружность с центром O вписан в четырехугольник ABC1D1. Следовательно, по теореме 1, имеем:

( small AB+C_1D_1=AD_1+BC_1. )(3)

Но по условию данной теоремы:

( small AB+CD=AD+BC. )(4)

Вычтем из равенства (4) равенство (3):

( small CD-C_1D_1) (small=AD-AD_1+BC-BC_1 )
( small CD-C_1D_1=DD_1+CC_1 )
( small CD=DD_1+CC_1+C_1D_1)

Получили, что в четырехугольнике CC1D1D длина одной стороны равна сумме длин трех остальных сторон, что невозможно (см. задачу 1 статьи Четырехугольник).

Таким образом сторона CD должна иметь общие точки с рассматриваемой окружностью.

Случай 2. Сторона CD имеет две общие точки с построенной окружностью (Рис.4).

Центр окружности вписанной в четырехугольник лежит на его диагонали

Аналогичными рассуждениями можно показать, что сторона CD не может иметь две общие точки с построенной окружностью.

Следовательно, предполагая, что построенная окружность не касается стороны CD, мы пришли к противоречию. Таким образом, если в выпуклом четырехугольнике сумма противолежащих сторон равны, то в него можно вписать окружность.Центр окружности вписанной в четырехугольник лежит на его диагонали

Если в четырехугольник вписан окружность, то существует точка, равноудаленная от всех сторон четырехугольника. Эта точка является центром вписанной в четырехугольник окружности. Для нахождения этой точки достаточно найти точку пересечениия биссектрис двух соседних углов данного четырехугольника.

Видео:№203. Через центр О окружности, вписанной в треугольник ABC, проведена прямая ОK, перпендикулярнаяСкачать

№203. Через центр О окружности, вписанной в треугольник ABC, проведена прямая ОK, перпендикулярная

Please wait.

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

We are checking your browser. mathvox.ru

Видео:Вписанные четырехугольники. 9 класс.Скачать

Вписанные четырехугольники. 9 класс.

Why do I have to complete a CAPTCHA?

Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

What can I do to prevent this in the future?

If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.

If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.

Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.

Cloudflare Ray ID: 6d92020d184d16db • Your IP : 85.95.188.35 • Performance & security by Cloudflare

🎦 Видео

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.

ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 ЦЕНТР ОКРУЖНОСТИ ОПИСАННОЙ ОКОЛО ТРЕУГОЛЬНИКА АБС ЛЕЖИТ НА СТОРОНЕ АБ РАДИУС 14,5Скачать

ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 ЦЕНТР ОКРУЖНОСТИ ОПИСАННОЙ ОКОЛО ТРЕУГОЛЬНИКА АБС ЛЕЖИТ НА СТОРОНЕ АБ РАДИУС 14,5

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Вписанный четырёхугольник. Центр окружностиСкачать

Вписанный четырёхугольник. Центр окружности

ОГЭ 2019. Задание 17. Разбор задач. Геометрия. Окружность.Скачать

ОГЭ 2019.  Задание 17. Разбор задач. Геометрия. Окружность.

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

#26. EGMO-2022, Problem 6Скачать

#26. EGMO-2022, Problem 6

3 правила для вписанного четырехугольника #shortsСкачать

3 правила для вписанного четырехугольника #shorts

2038 центр окружности описанной около треугольника ABC лежит на стороне ABСкачать

2038 центр окружности описанной около треугольника ABC лежит на стороне AB

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Геометрия Точка O центр окружности вписанной в треугольник ABC BC = a AC = b угол AOB = 120 НайдитеСкачать

Геометрия Точка O центр окружности вписанной в треугольник ABC BC = a AC = b угол AOB = 120 Найдите

Вписанный четырёхугольник | ЕГЭ-2018. Задание 16. Математика. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать

Вписанный четырёхугольник | ЕГЭ-2018. Задание 16. Математика. Профильный уровень | Борис Трушин

8 класс Геометрия. Окружность вписанная в четырехугольник и описанная около четырехугольника Урок #4Скачать

8 класс Геометрия. Окружность вписанная в четырехугольник и описанная около четырехугольника Урок #4

Описанная и вписанная окружности четырехугольника - 8 класс геометрияСкачать

Описанная и вписанная окружности четырехугольника - 8 класс геометрия

Окружность и четырехугольникСкачать

Окружность и четырехугольник
Поделиться или сохранить к себе: