Угол с вершиной в центре окружности называется ее углом
Обновлено
Поделиться
Окружность. Основные понятия.
Окружностью называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки (центра).
Часть, плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом.
Отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, называется радиусом.
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется её хордой.
Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.
D = 2R
Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом.
Часть окружности называется дугой.
Градусная мера дуги равна градусной мере центрального угла.
Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.
Вписанный в окружность угол равен половине градусной меры дуги
и, соответственно, половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой.
Вписанные углы ACB, ADB, AEB равны, потому что опираются на одну дугу АВ.
Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой.
И обратно, если вписанный угол — прямой, то он опирается на диаметр.
OH — расстояние от центра до хорды.
Треугольники AOH и BOH равны.
Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности. Их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.
Касательная перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.
Если две окружности имеют только одну общую точку, то они называются касающимися друг друга в этой точке.
Точка касания двух касающихся окружностей принадлежит прямой, которая проходит через центры этих окружностей.
Понравились материалы сайта? Узнайте, как поддержать сайт и помочь его развитию.
Отношение длины любой окружности L к ее диаметру D = 2R есть величина постоянная.
L/2R = π
Число π ≈ 3,1415926535897932384626433832795. — иррациональное и в десятичном виде представляет собой бесконечную непериодическую дробь.
Круговым сектором называется часть круга, лежащая внутри соответствующего центрального угла.
Круговым сегментомназывается часть круга, заключённая между дугой окружности и её хордой.
Одна и та же хорда окружности может быть границей разных сегментов.
Длина дуги и площадь сектора прямо пропорциональны градусной мере дуги и угла сектора.
Длина дуги так относится к длине окружности, как градусная мера дуги относится к градусной мере окружности.
Площадь сектора так относится к площади круга, как градусная мера угла сектора относится к градусной мере полного угла.
Чтобы найти площадь сегмента нужно соединить концы хорды с центром окружности и рассмотреть получившиеся сектор и треугольник.
Если сегмент меньше полукруга, то его площадь равна площади сектора минус площадь треугольника.
Если сегмент больше полукруга, то его площадь равна площади сектора плюс площадь треугольника.
Видео:Углы с вершиной внутри и вне окружности.Скачать
Углы в окружности
Рассмотрим углы в окружности и углы, связанные с окружностью.
Угол с вершиной в центре окружности.
Угол с вершиной на окружности (его стороны пересекают окружность).
Угол с вершиной внутри окружности (не в центре).
Угол с вершиной вне окружности, стороны которого пересекают окружность.
I. Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом.
Стороны центрального угла разбивают окружность на две части. Дугой, соответствующей данному центральному углу, называется та часть, которая содержится внутри угла.
Например, центральному углу AOC соответствует дуга AC (или дуга AFC. Обычно дугу называют двумя буквами. Но, поскольку любую из двух, на которые точки A и C делят окружность, можно назвать AC, то третью, дополнительную букву, иногда используют для уточнения выбранной дуги).
Градусная мера дуги окружности равна градусной мере соответствующего центрального угла:
II. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.
Стороны вписанного угла также разбивают окружность на две дуги. Говорят, что вписанный угол опирается на лугу, которая лежит внутри него.
Например, вписанный угол ABC опирается на дугу AC (или дугу AFC).
Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается:
Есть другой вариант формулировки свойства вписанного угла.
Вписанный угол равен половине соответствующего ему центрального угла:
Вписанный угол, опирающийся на полуокружность — прямой.
И наоборот: любой прямой вписанный угол опирается на полуокружность.
Другая формулировка этого утверждения:
(обратно: Если вписанный угол прямой, то он опирается на диаметр).
III. Угол, вершина которого лежит в окружности — это угол между пересекающимися хордами.
Угол между пересекающимися хордами равен полусумме дуг, заключённых между его сторонами и сторонами вертикального ему угла.
IV. Угол с вершиной вне окружности, обе стороны которого пересекают окружность — это угол между секущими, которые пересекаются вне окружности.
Угол между секущими, пересекающимися вне окружности, измеряется полуразностью большей и меньшей дуг, заключенных между его сторонами.
Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать
Угол с вершиной центр окружности называют окружности
Видео:Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСССкачать
Центральные и вписанные углы
О чем эта статья:
Видео:ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный УголСкачать
Центральный угол и вписанный угол
Окружность — замкнутая линия, все точки которой равноудалены от ее центра.
Определение центрального угла:
Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности. Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.
На рисунке: центральный угол окружности EOF и дуга, на которую он опирается EF
Определение вписанного угла:
Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности.
Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.
На рисунке: вписанный в окружность угол ABC и дуга, на которую он опирается AC
Углы просты только на первый взгляд. Свойства центрального угла и свойства вписанного угла помогут решать задачки легко и быстро.
Вписанный угол в два раза меньше, чем центральный угол, если они опираются на одну и ту же дугу:
Угол AOC — центральный, угол ABC — вписанный. Оба угла опираются на дугу AC, в этом случае центральный угол равен дуге AC, а угол ABC равен половине угла AOC.
Теорема о центральном угле: центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается:
Вписанные углы окружности равны друг другу, если опираются на одну дугу:
ㄥADC = ㄥABC = ㄥAEC, поскольку все три угла, вписанные в окружность, опираются на одну дугу AC.
Вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, — всегда прямой:
ㄥACB опирается на диаметр и на дугу AB, диаметр делит окружность на две равные части. Значит дуга AB = 180 ํ, ㄥCAB равен половине дуги, на которую он опирается, значит ㄥCAB = 90 ํ.
Если есть вписанный, обязательно найдется и описанный угол. Описанный угол — это угол, образованный двумя касательными к окружности. Вот так:
На рисунке: ㄥCAB, образованный двумя касательными к окружности. AO — биссектриса ㄥCAB, значит центр окружности лежит на биссектрисе описанного угла.
Для решения задачек мало знать, какой угол называется вписанным, а какой — описанным. Нужно знать, что такое хорда и ее свойство.
Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!
Хорда — отрезок, соединяющий две точки на окружности.
Если две хорды в окружности пересекаются, то произведения отрезков одной равно произведению отрезков другой.
AB * AC = AE * AD Получается, что стороны вписанного в окружность угла — это хорды.
Если вписанные углы опираются на одну и ту же хорду — они равны, если их вершины находятся по одну сторону от хорды.
ㄥBAC = ㄥCAB, поскольку лежат на хорде BC.
Если два вписанных угла опираются на одну и ту же хорду, то их суммарная градусная мера равна 180°, если их вершины находятся по разные стороны от хорды.
ㄥBAC + ㄥBDC = 180°
Видео:Вписанные и центральные углы #огэ #огэматематика #математикаСкачать
Примеры решения задач
Центральный, вписанные и описанные углы, как и любые другие, требуют тренировок в решении. Рассмотрите примеры решения задач и потренируйтесь самостоятельно.
Задачка 1. Дана окружность, дуга AC = 200°, дуга BC = 80°. Найдите, чему равен вписанный угол, опирающийся на дугу AB. ㄥACB = ?
Как решаем: окружность 360° − AC − CB = 360° − 200° − 80° = 80° По теореме: вписанный угол равен дуге ½. ㄥACB = ½ AB = 40°
Задачка 2. Дана окружность, ㄥAOC = 140°, найдите, чему равна величина вписанного угла.
Мы уже потренировались и знаем, как найти вписанный угол. На рисунке в окружности центральный угол и дуга AC = 140° Мы знаем, что вписанный угол равен половине центрального, то ㄥABC = ½ AC = 140/2 = 70°
Задачка 3. Чему равен вписанный в окружность угол, опирающийся на дугу, если эта дуга = ⅕ окружности?
СB = ⅕ от 360° = 72° Вписанный угол равен половине дуги, поэтому ㄥCAB = ½ от CB = 72° / 2 = 36°
Центральные и вписанные углы — определение и вычисление с примерами решения
Содержание:
Центральным углом называют угол с вершиной в центре окружности.
На рисунке 79
Если центральный угол больше развернутого, то соответствующая ему дуга больше полуокружности. Развернутому углу соответствует дуга, являющаяся полуокружностью. Дугу обозначают символом который записывают перед названием дуги или над ним. Чтобы уточнить, о какой именно из двух дуг, на которые центральный угол разделил окружность, идет речь, на каждой из них отмечают произвольную точку, отличную от концов дуги. Например, и (рис. 79). Тогда эти дуги можно записать так: (или ) и (или ). Если понятно, о какой именно дуге идет речь, то для ее обозначения достаточно указать лишь концы дуги, например (или ).
Дугу окружности можно измерять в градусах.
Градусной мерой дуги окружности называют градусную меру соответствующего ей центрального угла.
Например, если то (рис. 79).
Очевидно, что градусная мера дуги, являющаяся полуокружностью, равна 180°, а дуги, являющейся окружностью, — 360°. На рисунке 79:
Видео:В угол C величиной 83° вписана окружность ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
Что такое вписанный угол
Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность.
На рисунке 80 стороны вписанного угла пересекают окружность в точках и Говорят, что этот угол опирается на дугу
Очевидно, что точки пересечения сторон вписанного угла с окружностью делят ее на две дуги. Той, на которую опирается вписанный угол, будет дуга, не содержащая его вершину. Например, на рисунке 80 стороны вписанного угла делят окружность на две дуги: и Так как не содержит вершины угла (точки ), то является дугой, на которую опирается вписанный угол Эта дуга выделена цветом.
Теорема (о вписанном угле). Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
Доказательство:
Пусть является вписанным в окружность с центром и опирается на дугу (рис. 80).
Докажем, что Рассмотрим три возможных положения центра окружности относительно вписанного угла.
1) Пусть центр окружности — точка — принадлежит одной из сторон угла, например (рис. 81). Центральный угол является внешним углом треугольника Тогда, по свойству внешнего угла, Но — равнобедренный ( как радиусы), поэтому
Следовательно, то есть
Но Таким образом,
2) Пусть центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 82). Проведем луч пересекающий окружность в точке
Тогда
3) Пусть центр окружности лежит вне вписанного угла
(рис. 83). Тогда
Следствие 1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны (рис. 84).
Следствие 2. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой (рис. 85).
Пример:
Докажите, что угол с вершиной внутри круга измеряется полусуммой двух дуг окружности, одна из которых лежит между сторонами угла, а вторая — между их продолжениями.
Доказательство:
Рассмотрим с вершиной внутри круга (рис. 86). Докажем, что
— внешний угол треугольника поэтому:
Пример:
Докажите, что угол между двумя секущими, пересекающимися вне круга, измеряется полуразностью большей и меньшей дуг окружности, лежащих между его сторонами.
Доказательство:
Рассмотрим вершина которого лежит вне круга, a и — секущие (рис. 87). Докажем, что
— внешний угол треугольника поэтому:
то есть
Поэтому
Доказательство теоремы о вписанном угле встречается в «Началах» Евклида. Но еще раньше этот факт, как предположение, впервые высказал Гиппократ Хиосский (V в. до н. э.).
О том, что вписанный угол, опирающийся на диаметр, является прямым, было известно вавилонянам 4000 лет тому назад, а первое доказательство этого факта приписывают Фалесу Милетскому.
Смежные и вертикальные углы
Два угла называют смежными, если одна сторона у них общая, а две другие являются дополняющими лучами. На рисунке 262 углы и — смежные.
Свойство смежных углов. Сумма смежных углов равна 180°.
Два угла называют вертикальными, если стороны одного из них являются дополняющими лучами сторон другого.
На рисунке 263 и — вертикальные, углы и также вертикальные.
Свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей
Соответственные углы, образованные при пересечении параллельных прямых секущей, равны.
Внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых секущей, равны.
Сумма внутренних односторонних углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей, равна 180°.
Рекомендую подробно изучить предметы:
Геометрия
Аналитическая геометрия
Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
Углы и расстояния в пространстве
Подобие треугольников
Решение прямоугольных треугольников
Параллелограмм
Ромб и его свойства, определение и примеры
Квадрат и его свойства
Трапеция и ее свойства
Площадь трапеции
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.
Рассмотрим углы в окружности и углы, связанные с окружностью.
Угол с вершиной в центре окружности.
Угол с вершиной на окружности (его стороны пересекают окружность).
Угол с вершиной внутри окружности (не в центре).
Угол с вершиной вне окружности, стороны которого пересекают окружность.
I. Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом.
Стороны центрального угла разбивают окружность на две части. Дугой, соответствующей данному центральному углу, называется та часть, которая содержится внутри угла.
Например, центральному углу AOC соответствует дуга AC (или дуга AFC. Обычно дугу называют двумя буквами. Но, поскольку любую из двух, на которые точки A и C делят окружность, можно назвать AC, то третью, дополнительную букву, иногда используют для уточнения выбранной дуги).
Градусная мера дуги окружности равна градусной мере соответствующего центрального угла:
II. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.
Стороны вписанного угла также разбивают окружность на две дуги. Говорят, что вписанный угол опирается на лугу, которая лежит внутри него.
Например, вписанный угол ABC опирается на дугу AC (или дугу AFC).
Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается:
Есть другой вариант формулировки свойства вписанного угла.
Вписанный угол равен половине соответствующего ему центрального угла:
Вписанный угол, опирающийся на полуокружность — прямой.
И наоборот: любой прямой вписанный угол опирается на полуокружность.
Другая формулировка этого утверждения:
(обратно: Если вписанный угол прямой, то он опирается на диаметр).
III. Угол, вершина которого лежит в окружности — это угол между пересекающимися хордами.
Угол между пересекающимися хордами равен полусумме дуг, заключённых между его сторонами и сторонами вертикального ему угла.
IV. Угол с вершиной вне окружности, обе стороны которого пересекают окружность — это угол между секущими, которые пересекаются вне окружности.
Угол между секущими, пересекающимися вне окружности, измеряется полуразностью большей и меньшей дуг, заключенных между его сторонами.
который записывают перед названием дуги или над ним. Чтобы уточнить, о какой именно из двух дуг, на которые центральный угол разделил окружность, идет речь, на каждой из них отмечают произвольную точку, отличную от концов дуги. Например, 
и 
(рис. 79). Тогда эти дуги можно записать так: 
(или 
) и 
(или 
). Если понятно, о какой именно дуге идет речь, то для ее обозначения достаточно указать лишь концы дуги, например 
(или 
).
то 
(рис. 79).
пересекают окружность в точках 
и 
Говорят, что этот угол опирается на дугу 
делят окружность на две дуги: 
и 
Так как 
не содержит вершины угла (точки 
), то является дугой, на которую опирается вписанный угол 
Эта дуга выделена цветом.
является вписанным в окружность с центром 
и опирается на дугу 
(рис. 80).
Рассмотрим три возможных положения центра окружности относительно вписанного угла.
— принадлежит одной из сторон угла, например 
(рис. 81). Центральный угол 
является внешним углом треугольника 
Тогда, по свойству внешнего угла, 
Но 
— равнобедренный ( 
как радиусы), поэтому 
то есть 
Таким образом, 
пересекающий окружность в точке 
с вершиной внутри круга (рис. 86). Докажем, что 
— внешний угол треугольника 
поэтому:
вершина которого лежит вне круга, a 
и 
— секущие (рис. 87). Докажем, что 
— внешний угол треугольника 
поэтому:
то есть 
и 
— смежные.
и 
— вертикальные, углы 
и 
также вертикальные.
Например, центральному углу AOC соответствует дуга AC (или дуга AFC. Обычно дугу называют двумя буквами. Но, поскольку любую из двух, на которые точки A и C делят окружность, можно назвать AC, то третью, дополнительную букву, иногда используют для уточнения выбранной дуги).
II. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.
Вписанный угол равен половине соответствующего ему центрального угла:
Вписанный угол, опирающийся на полуокружность — прямой.
